2017年高考數(shù)學(xué)(考點(diǎn)解讀+命題熱點(diǎn)突破)專題11數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用理_第1頁(yè)
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1、專題 11 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用【考向解讀】數(shù)列求和是數(shù)列部分高考考查的兩大重點(diǎn)之一,主要考查等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及其他求和方法,尤其是錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容,常與通項(xiàng)公式相結(jié)合考查,有時(shí)也與函數(shù)、方程、 不等式等知識(shí)交匯,綜合命題.從全國(guó)卷來(lái)看,由于三角和數(shù)列問(wèn)題在解答題中輪換命題,若考查數(shù)列解答題,則以數(shù)列的通項(xiàng)與求和為核心地位來(lái)考查,題目難度不大【命題熱點(diǎn)突破一】分組轉(zhuǎn)化法求和例 1、(2016 浙江卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 S,已知 4,禺+1= 2S+ 1,n N*.(1)求通項(xiàng)公式an;求數(shù)列|ann2|的前n項(xiàng)和.a1+a1 24,a11,解:(1

2、)由題意得 2則彳a2= 2a1+ 1,a2= 3.又當(dāng)n2時(shí),由an+1an= (2Sn+ 1) (2Sn1+ 1) = 2an,得an+1= 3an,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= 3n1,n N.設(shè)bn= |3n 2| ,n N,則 b = 2, b?= 1.當(dāng)n3時(shí),由于 3n1n+ 2,故bn= 3n1n 2,n3.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn, 則T= 2,T2= 3,當(dāng)n3時(shí),Tn= 3+ 牛J(n+7)(n-2)n 23 n 5n+11兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列22,n 2Tn=J3n 5n+ 11*-,n2 , n N.2n= 1,【變式探究】等比數(shù)列an中,a1,a2,a3分別是下表

3、第一,二,三行中的某一個(gè)數(shù),且a1,a2,a3中的任何2第一列第二列第三列第一行32103第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;若數(shù)列bn滿足:bn=an+ ( 1)nlnan,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和S.解(1)當(dāng)ai= 3 時(shí),不合題意;當(dāng)ai= 2 時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)a2= 6,as= 18 時(shí),符合題意;當(dāng)a1= 10 時(shí),不合題意.因此a1= 2,a2= 6,a3= 18,所以公比q= 3.故an=2 3n(nN).(2)因?yàn)閎n=an+ ( 1) Inan=2 3n1+(1)nln(2 3n1)n1n=2 3+ ( 1) In 2 + (n 1)ln 3=2 3n1+ (

4、1)n(ln 2 In 3) + ( 1)nnln 3 ,所以 S= 2(1 + 3+-+ 3n1) + 1 + 1 1 + + ( 1)n (ln 2 In 3) + 1 + 2 3+-+ ( 1)nnln 3.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n13nnnSn=2X+-In 3=3+In 31;1322當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n13S=2X(In 2In 3)13nn1=32 In 3In 21.nn3 + ?ln 3 1,n為偶數(shù),綜上所述,Sn=n 1| 3 In 3 In 2 1,n為奇數(shù).- 2【方法技巧】在處理一般數(shù)列求和時(shí),一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想數(shù)列進(jìn)行求和,在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列,哪些項(xiàng)構(gòu)成

5、等比數(shù)列,清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時(shí),由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的,所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù) 以合并為一個(gè)公式.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比n進(jìn)行討論,最后再驗(yàn)證是否可【命題熱點(diǎn)突破二】裂項(xiàng)相消法求和4例 2、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,對(duì)任意正整數(shù)n都有 6$= 1 2an.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;解由 65;二 1 一 2 占廿兩式相減得 6 實(shí)二2: 一 2 占“ 即雖=扌晶一L(J2)F由呂& =1Zai,彳尊筑 二數(shù)列藺是等比數(shù)列,公比尸扌,12n+1J %J s, _fll一 .【2016 年高考四川理數(shù)】(本小題滿分 12 分)的首項(xiàng)為 1,Sn為數(shù)列an的前 n

6、 項(xiàng)和,Sn 1= qSn 1,其中 q0,nN(I)若2a2,a3,a22成等差數(shù)列,求an的通項(xiàng)公式;x2=1的離心率為e,且=5,證明:an3【答案】(I)an=qn-1; (n)詳見(jiàn)解析【解析】(I)由已知,S+1= qSn+ 1,S+2= qSn+1+ 1,兩式相減得到 an+2= qan+1,n?1.又由 S?= qSi + 1 得到 a2= qa1,故 an+1= qan對(duì)所有 n3 1 都成立.所以,數(shù)列an是首項(xiàng)為 1,公比為q的等比數(shù)列 從而 an=qn-1.2由 2a2, aa2+2 成等比數(shù)列,可得 2 玄3=3 比 + 2,即 2q =3q + 2,,則(2q+ 1)

7、(q- 2) = 0 , 由已知,q 0 ,故 q=2 .所以 an= 2 宀(n? N*).(n)由(I)可知,an= qi.所以島=右-8【變式探究】已知數(shù)列an4n-3n(n)設(shè)雙曲線25所以雙曲線 x2+ q2=5解得q =-33因?yàn)?1+q2(k-1)q2(k-1),所以.?qk-1(k? N*).n于是 +僉 + 鬃?en 1+q+ 鬃?qn-1=q - 1, q- 1故 e+,鬃?曳 =3【方法技巧】裂項(xiàng)相消法求和,常見(jiàn)的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和(n 1)(n+ 1)(n2)或n(n+ 2)【命題熱點(diǎn)突破三】 錯(cuò)位相減法求和 例 3、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 S,且 S =an+1+

8、n 2,n N,a= 2.(1)證明:數(shù)列an 1是等比數(shù)列,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;3n*設(shè)bn=(n N*)的前n項(xiàng)和為Tn,證明:TnV6.S n+1(1)證明 因?yàn)?_n 2 時(shí):-L=顯+(R1)2=邑十JJ兩式相洞得 a=即A-L=2 1.設(shè)* lj 代入上式* 得 g +l=2(a+1) -艮卩G*:= 2G.又 =瓦_(dá): + 口一則民_:二阮一 n+2故比=$1 + 2=比所以 H=ft 1 c= 12r故G=2G.綜上,對(duì)于正整數(shù) m 二沁都成立,艮唆列儀-1是等比數(shù)列,其苜項(xiàng) H 公比尸 2所臥色-1=1X2- 故 =2 + 1,(2)解 由Sn=an+1+n 2 ,得Sn

9、n+ 2=an+1= 2 + 1 ,故Snn+ 1 = 2 .所以bn= 2n.所以Tn=b1+b2+3 63nbn1+bn= + + 歹,6 3X33n2X,得 2Tn= 3 + + 2+ + gnT,(如本例),還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和,如=1 的離心率十qg61 + 2 + + 君爭(zhēng)=3X4 2= 6 呼.因?yàn)?323 + 1 是奇數(shù).3333n一,得3+2+22+ 2 22n3n+ 6 0,2n73n+6V6.【方法技巧】近年高考對(duì)錯(cuò)位相減法求和提到了特別重要的位置上,常在解答題中出現(xiàn),也是考綱對(duì)數(shù)列前n項(xiàng)和的基本要求,錯(cuò)位相減法適用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和,其中an為等差數(shù)列,bn

10、為等比數(shù)列;所謂“錯(cuò)位”,就是要找“同類項(xiàng)”相減要注意的是相減后得到部分等比數(shù)列的和,此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù)【命題熱點(diǎn)突破四】利用數(shù)列單調(diào)性解決數(shù)列不等式問(wèn)題 例 4、首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列an滿足an+1= 4-(an+ 3),n N(1)證明:若ai為奇數(shù),則對(duì)一切n2,an都是奇數(shù);若對(duì)一切n N 都有an+1an,求a1的取值范圍.1 + 3另一方面,若 0VakV1,貝U0Vak+1V= 1 ; 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法,?n N ,an+1an與a2ai同號(hào).因此,對(duì)一切n N*都有an+1an的充要條件是 Ovaiv1 或ai3.【方法技巧】涉及到數(shù)列不等式,比較大小或恒成立問(wèn)題,經(jīng)常用到作差法.

11、法一用了作差法和數(shù)學(xué)歸納法;法二將an+1an的符號(hào)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a2ai的符號(hào)問(wèn)題,再由a2,ai的遞推關(guān)系,求出ai的范圍.【命題熱點(diǎn)突破五】放縮法解決與數(shù)列和有關(guān)的不等式例 5、已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且ai= 2, 4$=anan+1,n N*.根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法,對(duì)任意n N,an都是奇數(shù).解法一由an+1an=1=4(an 1) (an 3)知,an+1an當(dāng)且僅當(dāng)anV1 或an 3.(1)證明已知a1是奇假設(shè)ak= 2m- 1 是奇其中m為正整數(shù),則由遞推關(guān)系得2ak+ 3ak+1= =m-根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法, Ova1V1? 0VanV1, ?n N,ai3?an3, ?n N.

12、綜合所述,對(duì)一切n N 都有an+ian的充要條a2+ 3I2法二 由a2=4a1,得a1 4a1+ 3 0,是 0VaV1 或 a1 3.an+1an742 2an+ 3an1+ 3(an+an1)(an4an+ 3因?yàn)閍1 0,an+1=4 ,所以所有的an均大于0,因此an+1an與anan1冋號(hào).8(i)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Tn,求證:4n+4 VTnV (1)解* 乞 t,4 乞=比* ftj 乂奩=4當(dāng)時(shí)f4 久_:=足_: 雖, 得 4 足=足顯-:* 禺由題意知心工 0,隹+廠占 1=41當(dāng) n=2J-+1,+ENT 日寸,比一:一弧=4即at,P也是首項(xiàng)

13、為 4,公差為 4 的等差數(shù)列,二吐=4+ (Jt-l)X 4=41=2 X2;2當(dāng)尸 2 爲(wèi)上 E1T時(shí),念:一牡-;=4,即 ftjas?,弧-i 是首項(xiàng)為2,公差為 4 的等差數(shù)列,二盤 i=2+U-1) X4=4-2= 2(2-1).綜上可知8r2JJ, Ji N*丄丄 i i 什 i a2_4n4 54n(n+ i)_4n n+ i ,4iii Tn=2+2+-2:aictan4(2)證明9i i ii ii尹 23+nn+ii i iii3+35+272n+7廠匕v2.即得 4TnV2.2n+ i 24n+ 42【方法技巧】數(shù)列與不等式的證明主要有兩種題型:(i)利用對(duì)通項(xiàng)放縮證明

14、不等式;(2)作差法證明不等i又v-i=an2V24n4nii(2n i)(2n+ i)1ii2 2n i2n+ i,iiiiTn=2+ 卄十22nA(a1-2 ), nN*;f 3 V*(II)若an|E|,nN,證明:an蘭2,nNl2丿【答案】(I)證明見(jiàn)解析;(Il )證明見(jiàn)解析.【解析】(I)由an1蘭1得an|an蘭1,故an 1n2n 1所以怙丨_總丨_+ +八+an_1|anH212n122丿點(diǎn)23丿2n丿1 1 1 + + . .12n 12 2 2::1 ,因此an|才(a1-2 )(II )任取 n ”,由(I )知,對(duì)于任意m n,Ian| |am| Kl2n2nan

15、1on十2丿an 1am 42am2皿丄丄2“2n十+丄2皿413212從而對(duì)于任意m . n,均有an|2J3f由m的任意性得ana1,則G(A);(3) 證明:若數(shù)列 A 滿足an-anjw1 (n=2,3, - ,N),則G(A)的元素個(gè)數(shù)不小于aN- 6 .【答案】(1)G(A)的元素為2和5; (2)詳見(jiàn)解析;(3)詳見(jiàn)解析.【解析】(I)G(A)的元素為2和5.(n)因?yàn)榇嬖赼n使得aa1,所以=2蘭i蘭N式0 .n2n否則,存在n0EN有ano2mo于于廣廣anol20_a - 2且no取正整數(shù)m logsn。42no-2 ,綜上,對(duì)于任意n匚;,均有an蘭2.,則稱n是13記m

16、二min打二N2:Si込N,aia,則m _ 2,且對(duì)任意正整數(shù)k : m, ak二a:am.因此mG(A),從而G(A) =.(川)當(dāng)aN_印時(shí),結(jié)論成立.以下設(shè)aN印.由(n)知G(A).設(shè)G(A)= ”1小2,;np:% :np.記n0= 1.則an0anj.如果Gi工0,取mj= min Gi,則對(duì)任何1蘭k c mi, ak蘭a c am.從而m.G( A)且mj二ni d.又因?yàn)閚p是G(A)中的最大元素,所以Gp = _.從而對(duì)任意 npEkEN ,akanp,特別地,a anp.對(duì)i =0,1, p -1,ani1d- ani.因此anianilJL(ani1.-ani1.)豈

17、ani 7.p所以aN一乞p-厲(ani一備)乞P.i=1因此G(A)的元素個(gè)數(shù) p 不小于 aN-a1.5.【2016 年高考四川理數(shù)】(本小題滿分 12 分)已知數(shù)列an的首項(xiàng)為 1,Sn為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和,SnqSn1,其中 q0,nN(I)若2a2,a3,a22成等差數(shù)列,求%的通項(xiàng)公式;【答案】(I)an=qn-1; (n)詳見(jiàn)解析(n)設(shè)雙曲線x22的離心率為e,且倉(cāng)=53,證明:4n-3n14【解析】(1)由已知,仏=楓一亠:=叭.+1兩式相減得到a_. =qatnl.又由 S:=qS+1 得到 a=qai,故j =弘*對(duì)所有n二諸 B 成立.所以,數(shù)列血是苜項(xiàng)為 b 公比

18、対 P 的等比數(shù)列.由 2 僉如還-2 成等比數(shù)列,可得 2 碣現(xiàn)+2,即 2-3+1 j 則(2+lX-2)-0,由已知?0,故尸 2.所eV).()由(I)可知,an= qn-12 . .所以雙曲線X- 爲(wèi)=1 的離心率 en=1 + a:= . 1 +an+ q2=5解得q =-33因?yàn)?1+q2(k-1) q2*1,所以 一 1+q2(k-1) qk-k? N*).于是 ei + e2+ 鬃?en 1+q+ 鬃?qn-1qn- 1q- 1 4n3n故 ey+鬃?s6.【2016 高考上海理數(shù)】(本題滿分18 分)本題共有 3 個(gè)小題,第 1 小題滿分 4 分,第 2 小題滿分 6 分,

19、第 3 小題滿分 8 分.若無(wú)窮數(shù)列an滿足: 只要ap二aq( p,q N ),必有ap彳二aq彳,則稱a*具有性質(zhì)P.(1)若an具有性質(zhì)P,且a1= 1忌=2, a4=3忌=2,a6a?a$= 21,求a3;(2)若無(wú)窮數(shù)列bn是等差數(shù)列,無(wú)窮數(shù)列cn是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,d = C5= 1,b5= c 81,an=bn Cn判斷a“是否具有性質(zhì)P,并說(shuō)明理由;(3)設(shè)bn是無(wú)窮數(shù)列, 已知an 1二bn,sinan(n,N*).求證: “對(duì)任意a“ an都具有性質(zhì)P”的充要條 件為“bn是常數(shù)列” 1516【答案】(1)a3=16. (2):an不具有性質(zhì)?. (3 )見(jiàn)解析.【解析

20、】(1)因?yàn)閍5 = a2,所以a6 = a3,a = a = 3,a = a = 2.于是a6a7a8= a33 2,又因?yàn)閍6a7a21,解得a3= 16.1(2)bn?的公差為20,上的公比為-,35 nan二bnCn=20n -19 3.心304印廠82,但a48,,aa6,所以不具有性質(zhì)?.(3) 證充分性:當(dāng):bn?為常數(shù) 列時(shí),anb|- sin an.對(duì)任意給定的a1,只要ap=aq,則由bisin a b1sin aq,必有ap 1 =aq1充分性得證.必要性:用反證法證明.假設(shè):bnf不是常數(shù)列,則存在k卜使得D =b2= =bk=b,而b.下面證明存在滿足anbnsi n

21、an的 an?,使得 印=a?=ak 1,但ak 2 設(shè)f x i:= x sinx b,取m匚;,使得m二b,貝Uf m二=m -b 0,f m二-m二一b:0,故存在c使得f c = 0.取a=c,因?yàn)閍n+= b +sin a*(1蘭n蘭k),所以a?= b +sin c = c =,依此類推,得a1= a2=ak彳=c.但ak 2二bk1sin ak 1二bk 1sin c = bsin c,艮卩ak 2= ak 1.所以0=12 0 n-1 =20n -19,53“ak 1.17所以訂鳥不具有性質(zhì)I矛盾.18必要性得證.綜上,“對(duì)任意ai,1an?都具有性質(zhì)m”的充要條件為“ g 是

22、常數(shù)列”.7.【2016 高考新課標(biāo) 2 理數(shù)】Sn為等差數(shù)列 牯訂的前n項(xiàng)和,且q=1,S7-28.記bn= llg an1,其中l(wèi)x表 示不超過(guò)x的最大整數(shù),如1.0.91=0,,g99 1=1.()求bi,bii,b10l;(n)求數(shù)列 的前 1 000 項(xiàng)和.【答案】(I)b(=0,bn =1,b(01=2; (n)1893.【解析】(I 設(shè)何的公差為八 據(jù)已知有 7*2 以8,解得 d = L所獲仇的通項(xiàng)公式切.嘰-Pgl=0At-Dgls=lgl01-2.1 10M100,1001000:K= 1 000.所以數(shù)列他的前 10E 項(xiàng)和為 1x90 + 2x900-3x1-18938

23、.【2016 高考山東理數(shù)】(本小題滿分 12 分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和 3=3n2+8n,是等差數(shù)列,且abn彳.(I)求數(shù)列:bn1的通項(xiàng)公式;【答案】(I)bn-3n 1; (n)Tn=3n 2【解析】(I)由題意知當(dāng)n -2時(shí),an二Sn-Sn4=6 n5,(II因?yàn)樯?J 2.(n)令c(an1)n1n(bn2)n求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn.19當(dāng)n =1時(shí),aS1=11,20所以an= 6n 5設(shè)數(shù)列Ibn ?的公差為d,即J1=2bl代,可解得a =44 =3,;17 = 20 + 3d所以bn= 3n 1.又二 &C2- C爲(wèi)Cn,得Tn=3 2 223 234 24(n 1

24、) 2n 12Tn=3 2 233 244 25(n 1) 2n 2,兩式作差,得兀=3 2 222324dn1- (n 1) 2n 2所以Tn=3n 29.【2016 高考江蘇卷】(本小題滿分 16 分)記U 1,2,100?.對(duì)數(shù)列1an? n,N*和U的子集 T,若T=處,定義竊=0;若T=:即2,,tj,定義ST=at1e+atk.例如:T=1,3,66時(shí),S =a a3+a66.現(xiàn)設(shè)訂鳥 nN*是公比為 3 的等比數(shù)列,且當(dāng)T=2,4?時(shí),Sr =30.(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)對(duì)任意正整數(shù)k1k空100,若T1,2,,kl,求證:sr ak,;(3)設(shè)C - U ,D - U

25、,SC-SD,求證:SCSep -2SD.ra1+b2由丿a2=b2+b3(n)由(i)知(6n 6)n 1(3n3)n-3(n1) 2n 1,=3 44(2n-1)2-1-(n 1) 2n 22n221【答案】(1)an=3 心(2)詳見(jiàn)解析(3)詳見(jiàn)解析【解析】(1 )由已知得an=a,3n,n N*.于是當(dāng)T =2,4時(shí),Sr=a2+a4=3印+27a!=30印.又Sr=30,故30ai= 30,即a =1.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =3nl,nN*.(2) 因?yàn)門 1,2J|,k,an=3n0,n N*,1所以Sr空a1 a2ak= 1 3 l| I 3k_l(3k-1):3k2因

26、此,Sr: ak1.(3) 下面分三種情況證明.1若D是C的子集,則SCSc-D=SC SD_ SDS2SD.2若C是D的子集,則SC- Sc-D=Sc- Sc=2SC_2SD.3若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E二C Pie uD,F(xiàn)二DfleuC則E = 一,F(xiàn) -,EClF =_ .于是SC= SE SCD,SD=SF SCD,進(jìn)而由Sc丄SD,得SE SF.設(shè)k是E中的最大數(shù),I為F中的最大數(shù),則k_1,l_1,k = l.l 1k由(2)知,SE ak 1,于是3= al乞SF乞SE ak3,所以I一1:k,即I遼k.又k =1,故mk-1,從而SF-a1aHal=1 JH 3

27、lJ=31蟲1_1,2 2 2故SE-2SF1,所以SC-SC-、D-2(SD- SC,1D) - 1,即SC- SD-2SD1.綜合得,足SC、D-2缶.2210.【2016 高考山東理數(shù)】(本小題滿分 12 分)已知數(shù)列 a / 的前 n 項(xiàng)和 s=3n2+8n, g 是等差數(shù)列,且a bn0.仆(I)求數(shù)列 論?的通項(xiàng)公式;(n)令cn少1)n求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.(bn+2)n【答案】(I)bn= 3n 1; (n)Tn=3n22.【解析】2時(shí),為=取一=血+廠當(dāng)M =寸,a1= S- = 11 j所以叭=6n+5.設(shè)數(shù)列4的公差為上 1 二優(yōu) + fl 1 =lb,4-d由 :即 J

28、 J 可解得= hd-,= b-, +b17 = 2玄+3川K *1I丄所以打二知+】(n)由(I)知cn二(6n6)n=3(n 1) 2n 1,(3n +3)n又Tn=CiC2C3亠亠Cn,得Tn-3 2 223 234 24(n 1) 2n 1,345n-+22Tn-3 2 233 244 25(n 1) 2n 2,兩式作差,得兀=3 2 222324Jn1- (n 1) 2n 2=3 4429 -(n 1) 2n 22-1=-3n 2n 223所以Tn=3n 2n 21. ( 2015 新課標(biāo)全國(guó)n,16)設(shè) S 是數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和,且 a = 1, an+1= SS+1,則S=_

29、24Sn+1Sn1解析 由題意,得 Si =ai= 1 ,又由an+1=SnSh+1,得Sn+1Sn=SS+1,所以Sn 0,所以 - =1,即云一S1S1+1S+=1,故數(shù)列 1 是以=1 為首項(xiàng),一 1 為公差的等差數(shù)列, 得=1 (n 1) =n,所以Sn= SnSnSiS11n答案一n22.(2015 福建,8)若a,b是函數(shù)f(x) =xpx+q(p 0,q 0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),且a,b, 2 這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于()A. 6 B. 7C. 8D. 9解析 由題意知:a+b=p,ab=q,vp 0,q0,.a 0,b0.在a,b

30、, 2 這三個(gè)數(shù)的 6 種排序中, 成等差數(shù)列的情況有a,b, 2;b,a, 2;2,a,b; 2,b, a;成等比數(shù)列的情況有:a, 2,b;b,2,a. p= 5,q= 4,.p+q= 9,故選 D.答案 D3. (2015 浙江,3)已知an是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項(xiàng)和是S,若as,a:,as成等比數(shù)列,則(A.a1d0,dS40B. adv0,dSv0C.a1d0,dSv0D. adv0,dS02552解析Tas,a4,as成等比數(shù)列,(a+ 3d)=(a+ 2d)(a1+ 7d),整理得a1= 3d,:a1d= sdv0,3324X32d2d丄S4= 4a1+ 亍d= , dS

31、= v0,故選 B.233答案 Bn+ 2*4. (2015 廣東,21)數(shù)列an滿足:a1+ 2a2+-+na= 4 尹,n N.(1)求as的值;求數(shù)列an前n項(xiàng)和Tn;+(1+1+ g+十員2),證明:數(shù)列bn的前n項(xiàng)和S滿足 S2 + 2lnn.(1)解a= 1,a1+ 2Q= 2,a2= 2, a+ 2a?+ 3as= 4:,as=1244(2)解n2時(shí),a1+ 2a2+ + (n 1)an-1= 4n:+1,2b=: 2 或ab=:解之得:2a=b2a=:,b= 1a= 1,b=:.Tn1令b1=日,bn=v1 + + - +25(3)證明n2時(shí),只需證明 21+1+12 + 2l

32、n k22入1f1、1M N,令 x 石(-1,0)時(shí),ln-苗+1+市 ,k= 1 時(shí),知 2 ln 1 ,k=2時(shí),知3ln 2.1k=n 1 時(shí),1 n 2 ln(n 1).111.1+二+匚+一1+ (1n 2 In 1) + (In 3 In 2) + Innln(n 1),23n1 11即 1+;+才+ 1 + Inn,2 3n(1 1 1、所以n2時(shí),2 1 + + 3 +2 + 2lnn,綜上n N+時(shí),Sn2 + 2lnn.12*5.(2015 浙江,20)已知數(shù)列an滿足a1= 且an+1=anan(n N).an*(1)證明:1 -2(n N);an+1與原式相減,得an

33、= 2n-1,n= 1 也符合,Tn=1i=1zi=11 IpTnTn-11 1bn= TT+1+2+ 3+n故S= v b=a1+ 弓 +i=12a1+a23i冷+i=1ia1+a2+an-1+a1+ 比 + +an-1+i=占 0.由 0vanW2得an即 1W一W2an+1(2、)由題意得an=anan+1, 所以S=a1an+1丄 11anan/ 口由 =和 1W W2得an+1anan+1an+11 11WW2,an+1an1 1所以nW W2n,an+1a 1 1*因此2(n+)Wan+1W+2(n N) 1Si1由得 2 (n+ 2)WAW2 (n+1)(nN)-6.(2015

34、山東,18)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S.已知2$= 3n+ 3.(1) 求an的通項(xiàng)公式;(2) 若數(shù)列bn滿足anbn= lOg3an,求5的前門項(xiàng)和Tn.解(1)因?yàn)?2S= 3n+ 3,所以 2a1= 3+ 3,故a1= 3,n一q當(dāng)n 1 時(shí),2S-1= 3+ 3,此時(shí) 2an= 2Sn 2Si1= 3 3VI= 2x31,即卩 ai = 31VInn1當(dāng)n 1 時(shí),bn= 3 log33 = (n 1)anan+1an2=anan11 an 1 , 2,(n N*).271因?yàn)閏htn= logsan,所以b1= 3,所以an=3=1,1,n 1.1n281所以Ti=bi= 3;1_I

35、_i_2in當(dāng)n1 時(shí),Tn=bi+b + /+ +bn=-+(1X3 +2X3 +(n_1)X3),3所以 3Tn=1+(1X30+2X31+ +(n1)X32_n),2_ _ _ _兩式相減,得 2Tn= - + (30+ 3_1+ 3_2+ 32_n) _(n 1)X31_n31_n=3+哥1)X3-n136n+ 3-136n+ 3=n,所以Tn= n,62X 3 124X 3 經(jīng)檢驗(yàn),n= 1 時(shí)也適合.136n+ 3綜上可得Tn=亦-科.7.(2015 天津,18)已知數(shù)列an滿足an+2=qan(q為實(shí)數(shù),且qz1),n N*,ai= 1,a2= 2,且 a+as,as+a4,a4+as成等差數(shù)列.(1) 求q

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