2024初中數(shù)學(xué)競賽9年級競賽輔導(dǎo)講義專題13 旋轉(zhuǎn)變換含答案

2024初中數(shù)學(xué)競賽9年級競賽輔導(dǎo)講義專題13旋轉(zhuǎn)變換閱讀與思考在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點(diǎn)沿某個方向轉(zhuǎn)動一定的角度，這樣的圖形變換稱為旋轉(zhuǎn)，這個定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫旋轉(zhuǎn)角．旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀和大?。ㄟ^旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向轉(zhuǎn)動同樣大小的角度．旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形有下列性質(zhì)：（1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）對應(yīng)線段相等，對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段的垂直平分線都經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心．例題與求解【例1】如圖，邊長為1的正△A1B1C1的中心為O，將正△A1B1C1繞中心O旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2，使得A2B2丄B1C1，則兩個三角形的公共部分（即六邊形ABCDEF）的面積為＿＿．解題思路：S六邊形ABCDEF＝，解題的關(guān)鍵是尋找CB1，CB2，CD，C1D之間的關(guān)系．【例2】如圖，已知△AOB，△COD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CQD＝90°，N，M，Q，P分別為AB，CB，CD，AD的中點(diǎn)．求證：四邊形NMQP為正方形．解題思路：連結(jié)BD，AC，并延長AC交于點(diǎn)E，則△OAC可以看作是由△OBD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，且∠AED＝90°，這是證明本例的關(guān)鍵．【例3】如圖，巳知在△ABC中，AB＝AC，P為形內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB＜∠APC．求證：PB＞PC．解題思路：以A為中心，將△APB旋轉(zhuǎn)一個∠BAC，使AB邊與AC邊重合，這時△APB到了△AP'C的位置．【例4】點(diǎn)B，C，E在同一直線上，點(diǎn)A，D在直線CE的同側(cè)，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直線AE，BD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠BAC＝60°，則∠AFB＝＿＿＿＿；如圖2，若∠BAC＝90°，則∠AFB＝＿＿＿＿；（2）如圖3，若∠BAC＝，則∠AFB＝＿＿＿＿（用含的式子表示）；（3）將圖3中的△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A，B重合），得圖4或圖5．在圖4中，∠AFB與∠的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿；在圖5中，∠AFB與∠的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿．請你任選其中一個結(jié)論證明．圖1圖1圖2圖3圖4圖5解題思路：從特殊到一般，在動態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中，有兩組不變的關(guān)系：△ABC∽△EDC，△BCD∽△ACE，這是解本例的關(guān)鍵．【例5】如圖，已知凸五邊形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝2∠DBE．求證：∠ABC＝60°．解題思路：將△ABE以B為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)∠ABC，使得AB與BC重合，落在△CBE'位置，則△ABE≌△CBE′，AE＝CE′，BE＝BE′，∠CBE′＝∠ABE．【例6】如圖，已知正方形ABCD內(nèi)一動點(diǎn)E到A，B，C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長．解題思路：本例是費(fèi)馬點(diǎn)相關(guān)的問題的變形，解題的關(guān)鍵是確定最小值時E點(diǎn)的位置，通過旋轉(zhuǎn)變換，把EA，EB，EC連結(jié)起來．能力訓(xùn)練A級1．如圖，巳知正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE＝2，EC＝1，把線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在直線BC上的點(diǎn)F處，則F，C兩點(diǎn)的距離為＿＿＿＿．第1題第1題第2題第3題2．如圖，P是正△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若將△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P'AB，則點(diǎn)P與點(diǎn)P'之間的距離為＿＿＿＿，∠APB＝＿＿＿＿．3．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°．將CD以點(diǎn)D為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連結(jié)AE，則△ADE的面積是＿＿＿＿．4．如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝2CD．把△ABC繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)（0＜＜180）度后，如果點(diǎn)B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，那么＝＿＿＿＿．第4題第4題第5題第6題5．如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°至AB'C'D′的位置，則這兩個正方形重疊部分的面積是＿＿＿＿．6．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm．以斜邊BC上距離點(diǎn)B6cm的點(diǎn)P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，則旋轉(zhuǎn)前后兩個三角形重疊部分的面積為＿＿＿．7．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C（0，1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A'B'C，設(shè)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（，），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）第7題第7題第8題第9題8．如圖，已知P是等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，∠APB︰∠BPC︰∠CPA＝5︰6︰7．則以PA，PB，PC為邊的三角形的三個角的大小之比（從小到大）是（）A．2︰3︰4 B．3︰4︰5 C．4︰5︰6 D．不能確定9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則（）A．PA＋PB＋PC＜AB＋ACB．PA＋PB＋PC＞AB＋ACC．PA＋PB＋PC＝AB＋ACD．PA＋RB＋PC與AB＋AC的大小關(guān)系不確定10．已知：如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點(diǎn)F，OD到點(diǎn)E，使OF＝2OA，OE＝2OD．連結(jié)EF，將△FOE繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)角得到△F′OE′（如圖2）．圖1圖1圖2（1）探究A'E與BF′的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2）當(dāng)＝30°時，求證：△AOE'為直角三角形．11．在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF＝，點(diǎn)M，N分別是BE，CF的中點(diǎn)．（1）若點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上（如圖1），則AM與AN的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿＿，∠MAN與的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿＿；（2）將圖1中的△DEF繞點(diǎn)A（D）旋轉(zhuǎn)（如圖2），第（1）問的兩個結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．圖1圖1圖2B級1．如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，∠MDN＝60°，則△AMN的周長＝＿＿＿＿．第1題第1題第2題第3題2．如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使∠MCN＝45°，記AM＝，MN＝，BN＝，則以線段，，為邊長的三角形的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．隨，，的變化而變化3．如圖，直線＝與軸，軸分別交于A，B兩點(diǎn)，把△AOB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AO'B'，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（）A．（3，4） B．（4，5） C．（7，4） D．（7，3）4．如圖，正方形ABCD中，已知AB＝，點(diǎn)分別在BC，CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，求△AEF的面積．第4題第4題圖①圖②第5題5．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．求證：BC＋DC＝AC；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD＝120°，求證：PA＋PD＋PC≥BD．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，△ADE是正三角形，點(diǎn)D在邊BC上，已知BD︰DC＝2︰3，當(dāng)△ABC的面積是50cm2時，求△ADE的面積．第6題第6題第7題7．如圖，已知O是銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AQB＝∠BOC＝∠COA＝120°，P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)．求證：PA＋PB＋PC≥OA＋OB＋OC．8．（1）如圖1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B，C，G在同一條直線上，M為線段AE的中點(diǎn)．探究：線段MD，MF的關(guān)系；（2）如圖2，若將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)45°，使得正方形CGEF的對角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長線上，M為AE的中點(diǎn)．試問：（1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，若將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，M為AE的中點(diǎn)．試問：第（1）問中探究的結(jié)論是否成立？圖1圖1圖2圖39．已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE＝EF，∠BEF＝90°．按圖1的位置，使點(diǎn)F在BC上，取DF的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，CG．（1）探索EG，CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；（2）將圖中△BEF繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°，再連結(jié)DF，取DF中點(diǎn)G（如圖2），第（1）問中的結(jié)論是否仍然成立？請你證明；（3）將圖1中△BEF繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動任意角度（在0°～90°之間），再連結(jié)DF，取DF的中點(diǎn)G（如圖3），第（1）問中的結(jié)論是否仍成立？不必證明．圖3圖3圖2圖110．在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（3，0），B（0，4）．以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABO順時針旋轉(zhuǎn)，得△ACD．記旋轉(zhuǎn)角為，∠ABO為．（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D恰好落在AB邊上時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足BC∥軸時，求與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足∠AOD＝時，求直線CD的解析式．圖1圖1圖2第10題第11題11．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AD，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA＝，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面積．專題13旋轉(zhuǎn)變換例1如圖，連接OB1，OB2，B1B2，則OB1＝OB2，∠OB1B2＝∠OB2B1.又∠OB1C＝30°＝∠OB2C，∴∠CB1B2＝∠CB2B1，故CB1＝CB2.同理，B2D＝DC1.設(shè)CB1＝x，則CB2＝x，CD＝x，DC1＝DB2＝2x，于是x＋x＋2x＝1，故＝＝.例2∵N，M分別為線段AB，CB的中點(diǎn)，∴MN＝AC.同理MQ＝BD，PQ＝AC，PN＝BD.∵AC＝BD，∴MN＝MQ＝PQ＝PN，∴四邊形NMQP為菱形.∵M(jìn)N∥AC，MQ∥BD，∴AC⊥BD，∴∠NMQ＝90°，∴菱形NMQP為正方形.例3，，，.連接，由得，而，即，∴，于是，即.例4（1）60°45°（2）90°－（3）∠AFB＝90°－∠AFB＝90°＋對∠AFB＝90°－證明如下：∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，∴△ABC∽△EDC，得∠ACB＝∠ECD，，∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，得∠CBD＝∠CAE.∵∠AQF＝∠BQC，∠CBD＝∠CAF，∴∠AFB＝∠ACB＝.例5∵，∴.連接.∵，，，∴，得，∴為正三角形，＝60°，又BC＝CD＝CE’，則＝30°.∴.例6將△ABE繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得△FBG，連接GE，F(xiàn)C，則△BEG為等邊三角形，GE＝BE，∴FC≤FG＋GE＋EC，即FC≤EA＋EB＋EC，∵FC為定長，∴當(dāng)E點(diǎn)落在FC上時，F(xiàn)C＝EA＋EB＋EC為最小值.∵∠FBC＝150°，F(xiàn)B＝BC，∴∠BCF＝∠BFC＝15°，而∠GEB＝60°，∴∠EBC＝45°，即E在正方形ABCD的對角線BD上.作FH⊥BC交CB延長線于H，設(shè)BC＝x，則FB＝x，F(xiàn)H＝，HB＝，在Rt△FHC中，由，得x＝2或x＝－2（舍去），即正方形的邊長為2.例6題例6題圖A級1.1或52.6150°3.14.80或1205.2-提示:如圖,過B'作MN//AD，分別AB,CD于M,N,點(diǎn)B’C’交CD于K，則B’M=AB’sin60°=,B’N=1-,AM=,Rt△AKB≌Rt△AKD,∠KAB’=∠KAD=15°,∠ADB’=75°,△ADK∽△DNB’,

,DK=2-,重疊部分面積=2S△AKD=

6. 過P作PM丄AC于M,PN丄DF于N，可證明四邊形PMGN為正方形,PM=,S重疊=S正方形PMGN=.7.D8.A9.B提示:將△CPA繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△C’AP’,連結(jié)PP’,△APP’為等邊三角形.PB+PP’+P’C=PA+PB+PC＞AB+AC’=AB+AC.10.(1)AE’=BF’.(2)證法較多，如取OE’中點(diǎn)G,連結(jié)AG.11.(1)AM=AN,∠MAN=.(2)第(1)問的結(jié)論仍成立，理由如下:由△ABE≌△ACF得BE=CF,∠ABM=∠CAN,進(jìn)一步可以證明△ABM≌△CAN.B級1.2提示:MN=BM+CN2.B提示:△ACM≌△BCD.∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45°,又CN=CN,則△MNC≌△DNC,MN=ND=x,AM=BD=m,又∠DBN=45°+45°=90°,故m2+n2=x2.3.D4. 提示:將△ADF'繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,到△ABG.的位置,則△AEF≌△AEG.∠AEF=∠AEG=∠FEC=60°,BE=1,EC=BC-BE=,EF=EG=2(),S△AEF=S△ABG=EG·AB=.5.(1)提示:延長BC至E,使CE=CD連結(jié)DE,證明△ACD≌△BED.(2)將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°到△ACB’,連結(jié)B’D,B’P,則四邊形AB’DP符合(1)的條件,于是B’P=PA+PD連結(jié)AC,則△ABD≌△ACB’.BD=B’C,B’C≤PB’+PC=PA+PD+PC,從而BD≤PA+PD+PC.6.直接解題有困難,△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°,240°拼成正△MBC(如圖),則正△ADE變?yōu)檎鰽D1E1和正△AD2E2易知,六邊形DED1E1D2E2是正六邊形,△DD1D2是正三角形,其面積是△ADE面積的3倍..因此,設(shè)法由正△MBC面積為150求出△DD1D2的面積,問題就解決了.注意到BD:DC=CD1:D1M=MD2:D2B=2:3,連結(jié)DM,則S△ADE=S△ABD=36cm2,而=36cm2.同理,可得=150-3×36=42cm2,故S△ADE==14cm2.7.如圖,將BP,BO,BC繞點(diǎn)B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，變?yōu)锽P'，BO’,BC’連結(jié)OO’,PP’,則△BOO’,△BPP’都是正三角形.因此OO’=OB,PP’=PB,顯然△BO’C’≌△BOC,△BP’C≌△BPC,由于∠BO’C=∠BOC=120°=180°-∠BO’O,∴A,O,O’,C’四點(diǎn)共線.故AP+PP’+P’C≥AC’=AO+OO’+O’C,即PA+PB+PC≥OA+OB+OC.8.(1)提示:延長DM交EF于N,由△ADM≌△ENM,得DM=MN,MF=DN,FD=FN,故MD丄MF.(2)延長DM交CE于N,連結(jié)DF,FN先證明△ADM≌△ENM,再證明△CDF≌△ENF.第(1)問中的結(jié)論仍成立.(3)第(1)問中的結(jié)論仍成立,延長DM至N,使MN=DM,連結(jié)DF,FN,證法同上.(9)提示:EG=CG,EG丄CG,B,E,D在一條直線上,(2)仍然成立，延長EG交CD于H點(diǎn)△FEG≌△DHG,△ECH,△ECG為等腰直角三角形.(3)仍然成立.10.(1)(2)＝2(3)如圖1,△OAE≌△DAE,△ABO≌△ABD,B,D,C,三點(diǎn)共線.設(shè)D(a,b),則解得,∴,可得直線CD的解析式為.如圖2,同理可得,.11.提示:易證∠ACB=90°,如圖，將△APC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△AQO,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連結(jié)PQ,得到△APQ為等邊三角形.過點(diǎn)Q作QE丄AP,垂足為E,則∠AQE=30°,QE=,AE=PE連結(jié)DE,則DE=BP=，于是DE2=()2=QE2+QD2,從而∠DQE=90°,∠AQD=∠AQE+∠EQD=120°=∠APC.過點(diǎn)C作CF丄AP交AP的延長線于點(diǎn)F，得到∠CPF=60°,∵PC=2,∴PF=1,CF=,于是AC2=AF2+CF2=,∴S△ABC=2S△ACD=專題14平行線分線段成比例閱讀與思考平行線分線段成比例定理是證明比例線段的常用依據(jù)之一，是研究比例線段及相似形的最基本、最重要的理論．運(yùn)用平行線分線段成比例定理解題的關(guān)鍵是尋找題中的平行線．若無平行線，需作平行線，而作平行線要考慮好過哪一個點(diǎn)作平行線，一般是由成比例的兩條線段啟發(fā)而得．此外，還要熟悉并善于從復(fù)雜的圖形中分解出如下的基本圖形：例題與求解【例1】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝，BC＝，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，且AF交BE于P，CE交DF于Q，則PQ的長為＿＿＿＿．解題思路：建立含PQ的比例式，為此，應(yīng)首先判斷PQ與AD（或BC）的位置關(guān)系，關(guān)鍵是從復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形，并能在多個成比例線段中建立聯(lián)系．【例2】如圖，在△ABC中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，BM交AD，AE于G，H，則BG︰GH：HM等于（）A．3︰2︰1 B．4︰2︰1 C．5︰4︰3 D．5︰3︰2解題思路：因題設(shè)條件沒有平行線，故須過M作BC的平行線，構(gòu)造基本圖形．【例3】如圖，□ABCD中，P為對角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作一直線分別交BA，BC的延長線于Q，R，交CD，AD于S，T．求證：PQ?PT＝PR?PS．解題思路：要證PQ?PT＝PR?PS，需證＝，由于PQ，PT，PR，PS在同一直線上，故不能直接應(yīng)用定理，需觀察分解圖形．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．（1）如圖1，如果P，E，F(xiàn)分別是BC，AC，BD的中點(diǎn)，求證：AB＝PE＋PF；（2）如圖2，如果P是BC上的任意一點(diǎn)（中點(diǎn)除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF這個結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．圖2圖2圖1解題思路：（1）不難證明；對于（2），先假設(shè)結(jié)論成立，從平行線出發(fā)證明AB＝PE＋PF，即要證明＋＝1，將線段和差問題的證明轉(zhuǎn)化為與成比例線段相關(guān)問題的證明．【例5】如圖，已知AB∥CD，AD∥CE，F(xiàn)，G分別是AC和FD的中點(diǎn)，過G的直線依次交AB，AD，CD，CE于點(diǎn)M，N，P，Q．求證：MN＋PQ＝2PN．解題思路：考慮延長BA，EC構(gòu)造平行四邊形，再利用平行線設(shè)法構(gòu)造有關(guān)的比例式．【例6】已知：△ABC是任意三角形．（1）如圖1，點(diǎn)M，P，N分別是邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，求證：∠MPN＝∠A；（2）如圖2，點(diǎn)M，N分別在邊AB，AC上，且＝，＝，點(diǎn)P1，P2是邊BC的三等分點(diǎn)，你認(rèn)為∠MP1N＋∠MP2N＝∠A是否正確？請說明你的理由；如圖3，點(diǎn)M，N分別在邊AB，AC上，且P1，P2，…，P2009是邊BC的2010等分點(diǎn)，則∠MP1N＋∠MP2N＋…＋∠MP2009N＝＿＿＿＿．圖1圖1圖2圖3解題思路：本題涉及的考點(diǎn)有三角形中位線定理、平行四邊形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)．能力訓(xùn)練A級1．設(shè)K＝＝＝，則K＝＿＿＿＿．2．如圖，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，則EF＝＿＿＿＿．第2題第2題第3題第4題第5題3．如圖，在△ABC中，AM與BN相交于D，BM＝3MC，AD＝DM，則BD︰DN＝＿＿＿＿．4．如圖，ABCD是正方形，E，F(xiàn)是AB，BC的中點(diǎn)，連結(jié)EC交DB，交DF于G，H，則EG︰GH︰HC＝＿＿＿＿．5．如圖，在正△ABC的邊BC，CA上分別有點(diǎn)E，F(xiàn)，且滿足BE＝CF＝，EC＝FA＝（＞），當(dāng)BF平分AE時，則的值為（）A． B． C． D．6．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上的一點(diǎn)，且AF︰FD＝1︰5，連結(jié)CF并延長交AB于E，則AE︰EB等于（）A．1︰10 B．1︰9 C．1︰8 D．1︰7第6題第6題第7題第8題7．如圖，PQ∥AB，PQ＝6，BP＝4，AB＝8，則PC等于（）A．4 B．8 C．12 D．16

8．如圖，EF∥BC，F(xiàn)D∥AB，BD＝BC，則BE︰EA等于（）A．3︰5 B．2︰5 C．2︰3 D．3︰29．（1）閱讀下列材料，補(bǔ)全證明過程．已知，如圖，矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，OE⊥BC于E，連結(jié)DE交OC于點(diǎn)F，作FG⊥BC于G．求證：點(diǎn)G是線段BC的一個三等分點(diǎn)．（2）請你依照上面的畫法，在原圖上畫出BC的一個四等分點(diǎn)．（要求：保留畫圖痕跡，不寫畫法及證明過程）第9題第9題第10題第11題10．如圖，已知在□ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，AF＝FD，F(xiàn)E與AC相交于G．求證：AG＝AC．11．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過梯形對角線的交點(diǎn)O，且EF∥AD．（1）求證：OE＝OF；（2）求＋的值；（3）求證：＋＝．12．如圖，四邊形ABCD是梯形，點(diǎn)E是上底邊AD上的一點(diǎn)，CE的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作BA的平行線交CD的延長線于點(diǎn)M，MB與AD交于點(diǎn)N．求證：∠AFN＝∠DME．B級1．如圖，工地上豎立著兩根電線桿AB，CD，它們相距15cm，分別自兩桿上高出地面4m，6m的A，C處，向兩側(cè)地面上的E，D和B，F(xiàn)點(diǎn)處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿，那么鋼絲繩AD與BC的交點(diǎn)P離地面的高度為＿＿＿＿m．第2題第2題第3題第1題2．如圖，□ABCD的對角線交于O點(diǎn)，過O任作一直線與CD，BC的延長線分別交于F，E點(diǎn)．設(shè)BC＝，CD＝，CF＝，則CE＝＿＿＿＿．3．如圖，D，F(xiàn)分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，且AD︰DB＝CF︰FA＝2︰3，連結(jié)DF交BC邊的延長線于點(diǎn)E，那么EF︰FD＝＿＿＿＿．4．如圖，設(shè)AF＝10，F(xiàn)B＝12，BD＝14，DC＝6，CE＝9，EA＝7，且KL∥DF，LM∥FE，MN∥ED，則EF︰FD＝＿＿＿＿．第5題第5題第4題第6題5．如圖，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，CD＝80，那么EF的值是（）A．10 B．12 C．16 D．186．如圖，CE，CF分別平分∠ACB，∠ACD，AE∥CF，AF∥CE，直線EF分別交AB，AC于點(diǎn)M，N．若BC＝，AC＝，AB＝，且＞＞，則EM的長為（）A． B． C． D．7．如圖，在□ABCD的邊AD延長線上取一點(diǎn)F，BF分別交AC與CD于E，G．若EF＝32，GF＝24，則BE等于（）A．4 B．8 C．10 D．12 E．168．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E是對角線AC的中點(diǎn)，直線BE交AD于點(diǎn)F，則AF︰FD的值是（）A．2 B． C． D．1第7題第7題第8題第9題9．如圖，P是梯形ABCD的中位線MN所在直線上的任意一點(diǎn)，直線AP，BP分別交直線CD于E，F(xiàn)．求證：＝．10．如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于O，直線平行于BD且與AB，DC，BC，AD及AC的延長線分別交于點(diǎn)M，N，R，S和P．求證：PM·PN＝PR·PS．第11題第11題第10題11．如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，B，D是垂足，AD和BC交于E，EF⊥BD于F．我們可以證明：＝成立（不要求證出）．以下請回答：若將圖中垂直改為AB∥CD∥EF，那么，（1）＝還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．（2）請找出S△ABD，S△BED和S△BDC的關(guān)系式，并給出證明．12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，過D點(diǎn)的直線PQ交邊AC于點(diǎn)P，交邊AB的延長線于點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)PQ⊥AC時，求證：＝；（2）如圖2，當(dāng)PQ不與AD垂直時，（1）的結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；（3）如圖3，若∠BAC＝60°，其它條件不變，且＝，則＝＿＿＿＿（直接寫出結(jié)果）圖1圖1圖2圖3專題14平行線分線段成比例例1提示：由,推得PQ∥AD。例2D例3提示：例4（1）略（2）結(jié)論仍然成立提示：.例5延長BA，EC，設(shè)交點(diǎn)為O，則四邊形OADC為平行四邊形，不妨設(shè)QP=a，MN=b，PG=x,GN=y.∵F是AC的中點(diǎn)，∴DF的延長線必過O點(diǎn)，且.∵AB∥CD，∴，即，，∵AD∥CE，∴，即，，由①②可得，即例6（1）∵點(diǎn)M，P，N分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，∴線段MP，PN是△ABC的中位線，∴MP∥AN，PN∥AM，∴四邊形AMPN是平行四邊形，∴∠MPN=∠A。（2）∠MP1N+∠MP2N=∠A正確.如圖所示，連接MN，∵，∴△AMN∽△ABC，∴∠AMN=∠B，，∴MN∥BC，，又∵點(diǎn)P1,P2是邊BC的三等分點(diǎn)，∴MN與BP1平行且相等，MN與P1P2平行且相等，MN與P2C平行且相等，∴四邊形MBP1N，MP1P2N,MP2CN都是平行四邊形，∴MB∥NP1,MP1∥NP2,MP2∥AC,∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A。（3）∠A.A級1.-2或12.173.7：14.5：4：65.C6.A7.C8.C9.略10.提示：延長FE交CB的延長線于H，易證△AEF≌△BEH，.11.（1）略（2）1（3）提示：,EF=2OE。12.延長 BF和CM交于點(diǎn)P，延長ME和BC交于點(diǎn)Q?！進(jìn)E∥BA，∴，∴,∵AD∥BC，∴，∴，得FN∥PM，故∠AFN=∠P=∠DME.B級1．2．提示：延長FO交AB于G，則△OAG≌△OCF，。3．2：1提示：過D作DG∥BC交于CA于G，則AG:GC=2:3，CF:AF=2:3。4．5：2提示：，，。5．C6．B7．E提示：。8．C提示：延長BF，CD交于點(diǎn)G。9．提示：，，。10．提示：。11．（1）等式還成立。（2）。提示：作BG⊥AD于G，作DH⊥BC于H，則，又，即，∴，。同理，。12．（1），（2）作DK∥AQ交AC于點(diǎn)K，，∴（3）專題15從全等到相似閱讀與思考相似三角形的知識應(yīng)用廣泛，可以證明角的相等、線段成比例等問題．通過尋找（或構(gòu)造）相似三角形獲得比例線段或等角，用以論證或計算的方法，我們稱為相似三角形法，這是幾何學(xué)中應(yīng)用最廣泛的方法之一．全等三角形是相似三角形相似比等于1的特殊情況，相等是它的主旋律，從全等到相似的過程，不僅是認(rèn)識形式上的變化，而且在思維方法上也是一個飛躍，在相似形的問題中出現(xiàn)的線段間的關(guān)系比全等形中的等量形式更為復(fù)雜，不僅有比例式，還有等積式、平方式，甚至是線段乘積的和差、線段比的和差．證明這類問題，常常要通過命題的轉(zhuǎn)換或中間量的過渡．熟悉下面這些“A”型、“X”型，子母型等相似三角形．例題與求解【例1】如圖，□ABCD中，直線PS分別交AB，CD的延長線于P，S，交BC，AC，AD于Q，E，R，圖中相似三角形的對數(shù)（不含全等三角形）共有對．（武漢市競賽試題）解題思路：從尋找最基本的相似三角形入手，注意相似三角形的傳遞性．【例2】如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3．如果邊AB上的點(diǎn)P使得以P，A，D為頂點(diǎn)的三角形和以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的點(diǎn)P有（）A．1個B．2個C．3個D．4個解題思路：通過代數(shù)化，將P點(diǎn)的個數(shù)的討論轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)的討論．要使兩個三角形相似，并沒有具體的對應(yīng)關(guān)系，所以結(jié)論具有不確定性，應(yīng)注意分類討論．【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于F．求證：．（吉林省中考試題）解題思路：由于BP，PE，PF在一條直線上，所以必須通過等線段的代換促使問題的轉(zhuǎn)化．證明比例式或等積式是幾何問題中的常見題型，解決它的常用方法是：①找相似：三點(diǎn)定形法；②作平行：根據(jù)要證明的式子，找到一個分點(diǎn)，過此點(diǎn)作平行線，能寫出要證式子中的一個比或與其相關(guān)的比；③變原式：包括等量代換、等積代換和等比代換．【例4】已知△ABC中，，CH是AB邊上的高，且滿足．試探討∠A與∠B的關(guān)系，并加以證明．（武漢市競賽試題）解題思路：由題設(shè)易想到直角三角形中的基本圖形、基本結(jié)論，可猜想出∠A與∠B的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用勾股定理、比例線段的性質(zhì)，推導(dǎo)判定兩個三角形相似的條件．如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，由此得出的等積式在計算與證明中應(yīng)用極為廣泛，其特點(diǎn)是：①一線段是兩個三角形的公共邊；②另兩條線段在同一直線上．構(gòu)造逆命題是提出問題的一個常用方法，例4是在直角三角形被斜邊上的高分成的相似三角形得出結(jié)論基礎(chǔ)上提出的一個逆命題．你能提出新的問題嗎？并加以證明．【例5】如圖1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC．在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)．（1）如圖2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CD是AB上的中線，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，試說明E是△ABC的自相似點(diǎn)；（2）在△ABC中，．①如圖3，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P（寫出作法并保留作圖痕跡）；②若△ABC的內(nèi)心（∠A，∠B，∠C角平分線的交點(diǎn)）P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)．（南京市中考試題）解題思路：本例設(shè)問形式多樣，從概念的判斷說理到作圖求解，由淺入深，而認(rèn)識并深刻理解“自相似點(diǎn)”的概念，是解題的關(guān)鍵．圖1圖2圖3【例6】如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向B以2cm/s的速度移動，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動．如果P，Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動時間（），那么：（1）當(dāng)t為何值時，△QAP為等腰三角形？（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；（3）當(dāng)t為何值時，以點(diǎn)Q，A，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？（河北省中考試題）解題思路：對于（3），借助三角形相似的判定方法，由于未指明對應(yīng)關(guān)系，探求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的時間應(yīng)注意分類討論．能力訓(xùn)練A級1．如圖，已知，，，，那么AD=．（第1題）（第2題）（第3題）2．如圖，在△ABC中，，，點(diǎn)M在AB上且，點(diǎn)N在AC上．如果連接MN，使得△AMN與原三角形相似，則AN=．3．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，，，E，F(xiàn)為兩腰上的中點(diǎn)．下面的四個結(jié)論：①；②△ADE∽△EDC；③；④．其中結(jié)論正確的有．（填序號即可）（宜昌市中考試題）4．在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的一點(diǎn)，且．閱讀下段材料，然后回答后面問題．如圖，連接BD，∵，，∴EH∥BD，∴FG∥BD，F(xiàn)G∥EH．（1）連接AC，則EF與GH是否一定平行，答：．（2）當(dāng)k值為時，四邊形EFGH為平行四邊形．（3）在（2）的情形下，對角線AC與BD只須滿足條件時，EFGH為矩形；（4）在（2）的情形下，對角線AC與BD只須滿足條件時，EFGH為矩形．（黃岡市中考試題）5．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，下列條件：①；②；③；④，其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（）A．3個B．2個C．1個D．0個（山西省中考試題）（第5題）（第6題）（第7題）（第8題）6．如圖，□ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，，AE交BD于點(diǎn)F，則等于（）A．B．C．D．（重慶市中考試題）7．將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，即為點(diǎn)B′，折痕為EF．已知，，若以點(diǎn)B′，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長度為（）A．2B．C．2或D．不確定（山東省中考試題）8．如圖，在△ABC中，，，，延長BC至P，使得△PAB∽△PCA，則PC等于（）A．7B．8C．9D．10（重慶市競賽試題）9．已知：正方形的邊長為1．（1）如圖1，可以算出一個正方形的對角線長，求兩個正方形并排拼成的矩形的對角線長，進(jìn)而猜想出n個正方形并排拼成的矩形的對角線長；圖1（2）根據(jù)圖2，求證：△BCE∽△BED；（3）由圖3，在下列所給的三個結(jié)論中，通過合情推理選出一個正確的結(jié)論加以證明：①；②；③．圖2圖3（三明市中考試題）10．如圖，在△ABC中，．求證：．（黃岡市競賽試題）11．（1）如圖1，等邊△ABC中，D為AB邊上的動點(diǎn)，以CD為一邊向上作等邊△EDC，連接AE，求證：AE∥BC；（2）如圖2，將（1）中的等邊△ABC的形狀改為以BC為底邊的等腰三角形，所作△EDC改成相似于△ABC，請問：是否仍有AE∥BC？證明你的結(jié)論．（蘇州市中考試題）圖1圖212．如圖，分別以銳角△ABC的邊AB，BC，CA為斜邊向外作等腰Rt△DAB，等腰Rt△EBC，等腰Rt△FAC．求證：（1）AE=DF；（2）AE⊥DF．（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）B級1．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，，一直線交BA延長線于E，交DC延長線于J，交AD于F，BD于G，AC于H，BC于I．已知，則．（“祖沖之杯”邀請賽試題）（第1題）（第2題）（第3題）2．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，，點(diǎn)P在高AB上滑動．若△DAP∽△PBC，時，．（重慶市競賽試題）3．如圖，四邊形ABCD為正方形，A，E，F(xiàn)，G在同一條直線上，且cm，cm，那么．（香港初中數(shù)學(xué)競賽試題）4．如圖，Rt△ABC中，，，DE⊥AB于E．設(shè)，，則（）A．B．C．D．（重慶市競賽試題）（第4題）（第5題）5．如圖，在△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，下面四種情況中，△ABD∽△ACB不一定成立的情況是（）A．B．C．D．（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）6．已知一個梯形被一條對角線分成兩個相似三角形，如果兩腰的比為，那么兩底的比為（）A．B．C．D．（江蘇省競賽試題）7．如圖，O是四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)，已知，，，，，求BC．（“祖沖之杯”邀請賽試題）（第7題）（第8題）8．如圖，△ABC中，角，AD，BE分別平分∠BAC，∠ABC．求證：．（沈陽市競賽試題）9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別用a，b，c表示．（1）如圖1，在△ABC中，，且，求證：；（2）如果一個三角形的一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．本題第1問中的三角形是一個特殊的倍角三角形，那么對于任意的倍角△ABC，如圖2，其中，關(guān)系式是否仍然成立？并證明你的結(jié)論．10．在△ABC中，，點(diǎn)D在線段BC上，，BE⊥DE于E，DE與AB相交于點(diǎn)F．（1）當(dāng)AB=AC時（如圖1），①；②探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）當(dāng)時（如圖2），求的值（用含k的式子表示）．（大連市中考試題）11．如圖，AB是等腰直角三角形的斜邊，若點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC上，沿直線MN將△MCN翻折，使點(diǎn)C落在AB上，設(shè)其落點(diǎn)為點(diǎn)P．（1）當(dāng)點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)時，求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)P不是邊AB的中點(diǎn)時，是否仍然成立？請證明你的結(jié)論．（北京市宣武區(qū)中考試題）12．如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)．P為對角線AC延長線上的任意一點(diǎn)，PF交AD于點(diǎn)M，PE交BC于點(diǎn)N，EF交MN于點(diǎn)K．求證：K是線段MN的中點(diǎn)．（江西省競賽試題）專題15從全等到相似例18例2C提示：分△PAD∽△PBC，△PAD∽△CBP兩種情況討論。例3提示：連接PC，則BP=CP，只要證明即可。例4（1）若垂足H在線段AB上，如圖1，由，,得，即，∴，又由，得，∴，由①②得，即，又∠B是△ABC和△CBH的公共角，∴△ABC∽△CHB，∠ACB=∠CHB=90o，∠A+∠B=90o（2）若垂足H在BA的延長線上，如圖2，作邊CA關(guān)于CH的對稱線段CA＇，由（1）的結(jié)論知∠A＇＋∠B=90o，而∠A＇=180o-∠A，代入上式得