三角形中線專題

1、z.中線：頂點到對邊中點的連線段第一、中線等分面積；1 能將一個三角形分成面積相等的兩個三角形的一條線段是（）A 中線B 角平分線C.高線 D 三角形的角平分線2如圖，在 ABC 中，D、E 分別為 BC 上兩點，且 BD = DE = EC,則圖中面積相等的三角形有（）A 4 對 B 5 對 C. 6 對 D 7 對（注意考慮完全，不要漏掉某些情況）4.一塊三角形優(yōu)良品種試驗田，現(xiàn)引進四個良種進行對比實驗，需將這塊土地分成面積相等的 四塊請你制訂岀兩種以上的劃分方案.第二、 中線提供了對應全等的一組邊 一一倍長中線構(gòu)造全等;實例： ABC 中 AD 是 BC 邊中線方式 1:延長 AD 至

2、U E，使 DE=AD，連接 BE方式 2:間接倍長 延長 MD 到 N，使 DN=MD，連接 CN方式 3:過點 C 作 CF 丄 AD 于 F，過點 B 作 BEXAD 的延長線于 E;【經(jīng)典例題】3. ABC 的周長為 16cm，AB 長相等的兩個三角形若 BD =z.例 ABC 中，AB=5 , AC=3，求中線 AD 的取值圍例 2:已知在 ABC 中，AB=AC , D 在 AB 上，E 在 AC 的延長線上， DE 交 BC 于 F,且DF=EF，求證：BD=CE例 3:已知在 ABC 中，AD 是 BC 邊上的中線，E 是 AD 上一點，且 BE=AC，延長 BE 交AC 于

3、F,求證：AF=EF提示：倍長 AD 至 G,連接 BG,證明 BDGACDA三角形 BEG 是等腰三角形例 4：已知：如圖，在ABC中，AB交 AE 于點 F, DF=AC.求證：AE 平分BAC提示：方法 1:倍長 AE 至 G,連結(jié) DG 方法 2:倍長FE 至 H，連結(jié) CHAC, D、E 在 BC 上，且 DE=EC 過 D 作DF / BA例 5:已知 CD=AB，/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD 的 中線，求證：/ C= / BAE提示：倍長 AE 至 F,連結(jié) DF證明AABEAFDE ( SAS進而證明AADFAADC(SAS例 6:在厶 ABC 中，AD 是

4、厶 ABC 的中線，求證： AB+AC2ADFEZ.【融會貫通】1 在四邊形 ABCD 中，AB / DC, E 為 BC 邊的中點，/ BAE= / EAF , AF 與 DC 的延長線 相交于點F。試探究線段 AB 與 AF、CF 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長 AE、DF 交于 G證明 AB=GC AF=GF所以 AB=AF+FCABC的中線，DE 平分BDA交 AB 于 E，DF 平分ADC交 AC 于 F.求EF5.如圖 1,在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，點 A , B , E 在同一條直線上，P 是線段 DF 的中點，連接 PG, PC.(1) 探究 PG

5、與 PC 的位置關(guān)系及罟的值(寫出結(jié)論，不需要證明)；(2) 如圖 2,將原問題中的正方形 ABCD 和正方形 BEFG 換成菱形 ABCD 和菱形 BEFG , 且/ ABC= /BEF=60 度.探究 PG 與 PC 的位置關(guān)系及 二的值，寫出你的猜想并加以證明；(3) 如圖 3,將圖 2 中的菱形 BEFG 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形 BEFG 的邊 BG 恰好與菱 形 ABCD的邊 AB 在同一條直線上，問題(2)中的其他條件不變.你在(2)中得到的兩 個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.6.如圖，點 B、C、E 在同一條直線上， ABC、 DCE 都為等邊三角形， M 為

6、BD 的中 點，N為 AE 的中點，求證： CMN 為等邊三角形.2、如圖，證：BEAD 為CF3、已知: 如圖,ABC中，于 T，過 D 作 DE/AB 交 BC 于 E，求證：CT=BE.4.如圖， ABC 中，D 是 BC 的中點，動點 E 在 AB 邊上，DF 丄 DE 交 AC 于 F,連接 EF, 猜想：BE+CF 與 EF 的大小關(guān)系為 _，并請加以證明.DBz.第 6 題圖第 7 題圖7.如圖，在 ABC 中，經(jīng)過 BC 的中點 M,有垂直相交于 M 的兩條直線，它們與 AB、AC 分別交于 D、E,求證：BD+CE DE .第三、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；1.如圖

7、，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 D , E, F 分別是 AB , BC, CA 的中點，若 CD=5cm ,則 EF 為（ ）A . 5 B . 10 C. 15 D . 20第 1 題圖第 2 題圖第 3 題圖2.如圖， ABC 中，BD、CE 是厶 ABC 的兩條高，點 F、M 分別是 DE、BC 的中點.求 證：FM丄 DE.&如圖，/ ABC= / ADC=90 M、N 分別是 AC、BD 的中點.求證： MN 丄 BD .第四、 兩邊中點連線，為三角形的中位線一一平行于第三邊且等于第三邊的一般；（一）、已知三角形的三邊為 6、8、10,順次連結(jié)各邊中點， 所得到的三角形的

8、周長為多少？變形題：已知三角形的三邊為a、b、c,順次連結(jié)各邊中點，所得到的三角形的周長為多少？（二）在四邊形 ABCD 中，E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA 的中點。求證：四邊形 EFGH 是平行四邊形變形題 1:已知如圖，E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA 的中點。求證：四邊形 EFGHZ.是平行四邊形變形題 2 :已知 E 為平行四邊形 ABCD 邊的延長線上的一點，且CE=DC,連結(jié) AE，分別交 BC、BD 于 F、G,連結(jié) AC 交 BD 于 0 點，連 AF。求證：AB=20F（三）如圖，在四邊形 ABCD 中，AB=CD,E、F 分別是 BC、AD 的

9、中點，連結(jié) EF 并延長, 分別與BA、CD 的延長線相交于 M、N。求證：/ BME= / CNE變形題：在四邊形 ABCD 中，ACBD 相交于 0 點，AC=BD,E、F 分別是 AB、CD 的中點，連接 EF分別交 AC、BD 于 M、N，判斷三角形 MON 的形狀，并說明理由。第五、三中線交于一點，該點稱為重心”，將中線長度分為 2 : 1 ;三角形的重心將三角形的每條中線都分成1 : 2 兩部分，其中重心到三角形某一頂點的距離是到該頂點對邊中點距離的2 倍。證法 1 :取 GA、GB 中點 M、N，連接 MN、ND、DE、EM。（如圖 1） 證法 2 :延長 BE 至 F,使 GF=GB，連接 FC。BCAZ.求面積例 2 在厶 ABC 中，中線 AD、BE 相交于點 0,若厶 BOD 的面積等于 5,求厶 ABC 的 面積。練習：1.如圖 5,AABC 中，AD 是 BC 邊上的中線，G 是重心，如果 AG=6，那么線 段 DG= 。2.如圖