天體運(yùn)動中的相遇急追及問題

1、天體運(yùn)動中的相遇急追及問題地面上的物體常常出現(xiàn)追及相遇問題，關(guān)鍵是找出它們的位移、速度和時間等關(guān)系，運(yùn)動路線應(yīng)該在同一軌道上。天體運(yùn)動中也有追及相遇問題，它與地面上的追及相遇問題在思維有上相似之處，即也是找出一些物理量的關(guān)系，但它也不同之處，MmvUr二用一n U二萬有引力提供向心力，即 對應(yīng)的圓周軌道會發(fā)生相應(yīng)的變化，所以天體不可能能在同一軌道上追及或相遇。分析天體運(yùn)動的追及相遇重點(diǎn)是角度、角速度和時間等關(guān)系的判斷。？1 1 .追及問題例 1 1 如圖 1 1 所示，有A B兩顆行星繞同一顆恒星M做圓周運(yùn)動， 旋轉(zhuǎn)方向相同，A行星的周期為T1,B行星的周期為T2,在某一時刻 兩行星相距最近，

2、則經(jīng)過多長時間，兩行星再次相距最近經(jīng)過多 長時間，兩行星第一次相距最遠(yuǎn)分析與解答：A、B兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動，由萬有引力提供向r =7 =I-,因此TIT2?？梢姰?dāng)A運(yùn)動完一周時，B還沒有達(dá)到一周，但是要它們的相距最近，只有A、B行星和恒星M的連線再次在一條直線上，且A B在同側(cè)，從角度看，在相同時間內(nèi)，A比B多轉(zhuǎn)了 2 2n;如果A、B在異側(cè)，則它們相距最遠(yuǎn)，從角度看，在相同時間內(nèi)，A比B多轉(zhuǎn)了n。所以再次相距最近的時間tl，由1一-；第一次相距最遠(yuǎn)的時間t2,由2=殲與耳=i。如果在問題中把“再次”或“第一次”這樣的詞去 掉，那么結(jié)果如何2 2.相遇問題例 2 2 設(shè)地球質(zhì)量為M繞太陽做

3、勻速圓周運(yùn)動，有一 質(zhì)量為m的飛船由靜止開始從P點(diǎn)沿PD方向做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動，1 1年后在D點(diǎn)飛船掠過地球上空，再過 3 3 個月又在Q處掠過地球上空，如圖 2 2 所示（圖中“S”表 示太陽）。根據(jù)以上條件，求地球與太陽之間的萬有引力大 小。分析與解答：飛船開始與地球相當(dāng)于在D點(diǎn)相遇，經(jīng)過e =x因此在這段時間內(nèi)，地球與太陽的連線轉(zhuǎn)過的角度- 期為T,飛船由靜止開始做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動，則DQ= PQ-PD=a =返理=也&丁地球的公轉(zhuǎn)半徑為？-3 3 個月后，它們又在Q點(diǎn)相遇,360 = 90。設(shè)地球的公轉(zhuǎn)周，所以當(dāng)天體速度增加或減少時,GMQ例 3 3 閱讀下

4、列信息，并結(jié)合該信息解題：(1 1)開普勒從 16091609 年16191619 年發(fā)表了著名的開普勒行星運(yùn)動三定律，其中第一定律 為：所有的行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運(yùn)動，太陽在這個橢圓的一個焦點(diǎn)上。第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等。實(shí)踐證明，開普勒三定律也適用于其他中心天體的衛(wèi)星運(yùn)動。(2 2)從地球表面向火星發(fā)射火星探測器，設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運(yùn)動，火星軌道半徑 RnRn 為地球軌道半徑R的 1 1 . 500500 倍，簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為 兩步進(jìn)行：第一步，在地球表面用火箭對探測器進(jìn)行加速，使之獲

5、得足夠動能，從而脫離地 球引力作用成為一個沿地球軌道運(yùn)動的人造衛(wèi)星；第二步是在適當(dāng)時刻點(diǎn)燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機(jī)，在短時間內(nèi)對探測器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當(dāng)值，從而使得探測器沿著一個與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個橢圓軌道正好射到火 星上。當(dāng)探測器脫離地球并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后，在某年 3 3 月 1 1 日零時測得探測器與火星之間的角距離為 6060,如圖 3 3 所示，問應(yīng)在何年何月何日點(diǎn)燃探測器上的火箭發(fā)動機(jī) 方能使探測器恰好落在火星表面(時間計(jì)算僅需精確到日)，已知地球半徑為：&二&4x12胸.J(1.5嚴(yán)二1.840.(1.25/ =

6、1.400 ; ;分析與解答：為使探測器落到火星上， 必須選擇適當(dāng)時機(jī)點(diǎn)燃探測器上的發(fā)動機(jī)，使探測器沿橢圓軌道到達(dá)火星軌道的相切點(diǎn)， 同時，火星也恰好運(yùn)行到該點(diǎn)與探測器相遇， 為此 必須首先確定點(diǎn)燃時刻兩者的相對位置。如圖4 4 所示。因探測器在地球公轉(zhuǎn)軌道運(yùn)行周期Td與地球公轉(zhuǎn)周期Te相等，即Td= =Te=365=365 天由開普勒第三定律 得探測器在橢圓軌道上運(yùn)行周期天 = = = = 2%2%天因此探測器從點(diǎn)火到達(dá)火星所需時間二火星公轉(zhuǎn)周期 天火星繞太陽轉(zhuǎn)動的角速度-由于探測器運(yùn)行至火星需 255255 天，在此期間火星繞太陽運(yùn)行的角度q二 =0 5377/天心乃天二1ST所以 地球與太陽之間的萬有引力大小為探測器在點(diǎn)火前繞太陽轉(zhuǎn)動角速度- =09砧/天365探測器沿橢圓軌道的半長軸即探測器在橢圓軌道近日點(diǎn)點(diǎn)火時，火星在遠(yuǎn)日點(diǎn)的切點(diǎn)之前137137，亦即點(diǎn)燃火箭發(fā)動機(jī)時，探測器與火星角距離應(yīng)為e e2=180=180 e e1=43=43故點(diǎn)燃發(fā)動機(jī)時刻應(yīng)為當(dāng)年3 3 月 1 1 日后 3838 天，即 4 4 月 7 7 日。已知某年 3 3 月 1 1 日零時，探測器與火星角距離為6060（火星在前，探測器在后），為使其角距離