《電動(dòng)力學(xué)》教案 第六章

1、第六章 狹義相對(duì)論61證明在伽利略變換下，牛頓定律是協(xié)變換的，麥克斯韋方程不是協(xié)變的證：設(shè)慣性系以速度沿另一個(gè)慣性系的軸運(yùn)動(dòng)，兩參考系相應(yīng)的坐標(biāo)軸平行，由伽利略變換得速度在這兩個(gè)慣性系之間的變換：物體在這兩個(gè)慣性系中分別為 ，而質(zhì)量是伽利略變換下的不變量，即 ，于是牛頓定律系和系有相同的形式： 即牛頓定律在伽利略變換下是協(xié)變的。我們知道，從麥克斯韋方程組可以導(dǎo)出矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)的波動(dòng)方程，設(shè)系中標(biāo)勢(shì)波動(dòng)方程為 在伽利略變換之下，均為不變量，但光速c不是不變量，因此，這方程不是協(xié)變的，由此推知麥克斯韋方程組也不是協(xié)變的。62設(shè)兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長(zhǎng)度均為，它們以相同速度相對(duì)于某一參

2、考系運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)方向相反，且平行于尺子。求站在一概尺子上測(cè)量另一根尺的長(zhǎng)度。解：設(shè)一尺（系）沿系X軸正向以速度運(yùn)動(dòng)，則二尺（系）相對(duì)于 系的速度為，于是，在一尺上測(cè)量二尺的速度即其長(zhǎng)度。分別為63靜止長(zhǎng)度為的車廂以速度相對(duì)于地面運(yùn)行，車廂的后壁以速度向前推出一個(gè)小球，求地面的觀察者測(cè)得小球從后壁到前壁的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。解：如圖（6。1），設(shè)地面參考系為 ，車廂沿的x軸正向運(yùn)動(dòng)。在系中，小球處于車廂后壁的時(shí)空坐標(biāo)為,到達(dá)前壁時(shí)空坐標(biāo)為，在車廂參考系中，這兩件事的時(shí)空坐標(biāo)為：。方法一：洛倫茲變換為 （1）其中。在系中，測(cè)得車廂靜止長(zhǎng)度，小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，于是由變換（1）的第二式，得地面上測(cè)得小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

3、為 （2）方法二：由變換（1）的第一式，地面上測(cè)得小球的運(yùn)動(dòng)距離（3），在地面與車廂中，這兩事件的間隔為別為 （4） （5）將（3）式代入（4）式，并由間隔不變性，可得，如（2）式。方法三：在小球靜止的系觀察，車廂以速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)距離和時(shí)間分別為 （6）地面測(cè)得小球的運(yùn)動(dòng)速度為 （7）于是，地面上測(cè)得小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 （8）方法四：地面測(cè)得車廂的長(zhǎng)度為，小球運(yùn)動(dòng)速度如（7）式，設(shè)地面上測(cè)得小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則應(yīng)當(dāng)有 （9）由此也可解得 （10）64一輛以速度運(yùn)動(dòng)的列車上的觀察者，在經(jīng)過某一高大建筑物時(shí)，看見其避雷針上跳動(dòng)起一脈沖電火花，電光迅速傳播，先后照亮了鐵路沿線上的兩鐵塔，求列車上的觀察者

4、測(cè)量到電光到達(dá)兩鐵塔的時(shí)間差，設(shè)建筑物及兩鐵塔都在一直線上，與列車前進(jìn)方向一致，鐵塔到達(dá)建筑物的地面距離已知都是.解：設(shè)地面參考系中，兩鐵塔分別位于,距離，被照亮的時(shí)刻，故。由洛倫茲變換 （1）的第一式在列車參考系中，兩鐵塔被照亮的時(shí)刻差為 （2）或者，從（1）式的第二式，有故由間隔不變性， （3）亦可得（2）式的結(jié)果。本題結(jié)果表示“同時(shí)”的相對(duì)性的含義。65有一光源S，與接收器R相對(duì)靜止，距離為，S-R裝置浸在均勻無限的液體介質(zhì)（靜止折射率n）中。試對(duì)下面三種情況計(jì)算光源發(fā)出訊號(hào)到接收器接到訊號(hào)所經(jīng)歷的時(shí)間。（1）液體介質(zhì)相對(duì)于SR裝置靜止；（2）液體沿著S-R連線方向以速度V流動(dòng)；（3）液

5、體垂直于S-R連線方向以速度V流動(dòng)。解：設(shè)S-R裝置靜止的參考系為，S-R連線在x軸上。（1） 當(dāng)液體相對(duì)于這裝置靜止時(shí)，光速為，訊號(hào)傳播時(shí)間為 （2）當(dāng)液體沿著S-R連線方向流動(dòng)時(shí)，在液體靜止的參考系中，光速，故在中，光速及訊號(hào)傳播時(shí)間分別是：（3）當(dāng)液體介質(zhì)系的Y軸正方向流動(dòng)時(shí)，在液體靜止的系中，S-R裝置的運(yùn)動(dòng)速度為，光速，故在系中，光從S到R的傳播速度和時(shí)間分別是：,變換到S-R靜止的系中，便有66在參考系中，有兩個(gè)物體都以速度沿X軸運(yùn)動(dòng)，在系看來，它們一直保持距離不變。今有觀察者以速度沿X軸運(yùn)動(dòng)，他們看到這兩個(gè)物體的距離是多少？解：在兩物體都靜止的參考系中，兩者距離為設(shè)觀察者所在參考

6、系為，他測(cè)得這兩個(gè)物體的速度為故觀察者測(cè)得這兩個(gè)物體的距離為67一把直尺相對(duì)于參考系靜止，直尺與x軸交角。今有一觀察者以速度沿x軸運(yùn)動(dòng)，他看到直尺與x軸交角有何變化？解：在尺子靜止的參考系中，有。而在運(yùn)動(dòng)的觀察者看來，尺子的長(zhǎng)度在x和y軸兩個(gè)方向的投影為因此有68 兩個(gè)慣性系和中各放置若干時(shí)鐘，同一個(gè)慣性系中的時(shí)鐘同步。相對(duì)于以速度沿x軸方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)兩系原點(diǎn)相遇時(shí)，。問處于系中某點(diǎn)處的時(shí)鐘與系中何處的時(shí)鐘相遇時(shí)，指示的時(shí)刻相同？讀數(shù)是多少？解：由洛侖茲變換 （1）當(dāng)系位于的鐘與系位于的鐘相遇，而且兩鐘指示的時(shí)刻相同，即時(shí)，從（1）的第四式，得 （2）將此式代入（1）的第一式，得這兩個(gè)鐘的位置關(guān)

7、系以及它們的讀數(shù)為 （3）69火箭由靜止?fàn)顟B(tài)加速到，設(shè)瞬時(shí)慣性系上加速度為，問按靜止系的時(shí)鐘和按火箭內(nèi)的時(shí)鐘加速火箭各需多少時(shí)間？解：設(shè)火箭加速方向沿靜止系的x軸正向，速度為在瞬時(shí)慣性系中，而，故在系中火箭的加速度為即有故在系中火箭從加速到所需時(shí)間為而在火箭內(nèi)的參考系中，故同樣的加速過程，火箭內(nèi)的時(shí)鐘記錄的時(shí)間為610一平面鏡以速度自左向右運(yùn)動(dòng)，一束頻率為與水平成夾角的平面光波自右向左入射到鏡面上，求反射光波的頻率與反射角，垂直入射情況如何？解：這是光在運(yùn)動(dòng)鏡面上的反射問題。令鏡子沿系的x軸正向運(yùn)動(dòng)，鏡面垂直于運(yùn)動(dòng)方向。如圖6.2，設(shè)鏡子靜止的參考系中，入射波頻率為，入射角為，由反射定律有，故

8、入射波矢的反射波矢的x分量分別為 （1）在系中，觀察到入射波頻率為，入射角為，反射波頻率為，反射角為，即入射波矢和反射波矢的x分量分別為 （2）從系到系，入射波的四維波矢變換為 （3）從系到系，反射波的四維波矢變換為 （4）由（1）式，有，以及（3）的第一，第三式，和（2）式的第一式，從（4）的第三式得系中反射波的頻率為 （5）其中，因?yàn)?，可知總有；僅當(dāng)，才有。再由（2）的第二式，（3）的第一、三式，以及（5）式，從（4）的第一式得 （6） （7）可見，一般情況下，反射擊角，即靜止條件下的反射定律對(duì)于運(yùn)動(dòng)物體不成立，僅當(dāng)，才有。當(dāng)入射角即垂直入射情形，由（5）式和（7）式，有 （8）（6）式也

9、可以由速度變換得到。在鏡子靜止的參考系中，入射波和反射波速度c的x分量分別是；而在系中，入射波和反射波速度的x分量分別是，由速度變換 （9）對(duì)于入射波，得 （10）對(duì)于反射波，有 （11）將（10）式的第二式代入（11）式，即可得（6）式。611在洛倫茲變換中，若定義快度y為。證明（1）洛倫茲變換矩陣可寫為（2） 對(duì)應(yīng)的速度合成公式可用快度表為證明：由雙曲函數(shù)的定義以及，若定義快度y為，便有于是，當(dāng)以速度沿的x軸運(yùn)動(dòng)，且相應(yīng)的坐標(biāo)軸平行時(shí)，洛倫茲變換矩陣在系與系中速度的x分量分別為，和，令，,，則速度變換可寫成：即612電偶極子以速度作勻速運(yùn)動(dòng)，求它產(chǎn)生的電磁勢(shì)，和電磁場(chǎng)，。解：在靜止的參考系

10、中，僅觀察到它的標(biāo)勢(shì)，或電場(chǎng)： （1） （2）其中，和分別是從到場(chǎng)點(diǎn)的距離與矢徑： （3）令沿系的x軸運(yùn)動(dòng)，由四維勢(shì)變換，得系中的電磁勢(shì)為 （4）下標(biāo)表示與運(yùn)動(dòng)方向平行的分量，表示垂直分量。又由電磁場(chǎng)量的變換，即 （5）則在系觀察到的電磁場(chǎng)為 （6）設(shè)t=0時(shí)剛好經(jīng)過系的原點(diǎn)，此時(shí)場(chǎng)點(diǎn)從標(biāo)的變換為，因此在將（1）式代入（4）式，（2）式代入（6）式時(shí)，其中的和應(yīng)當(dāng)換成 （7）613設(shè)在參考系內(nèi)，系沿的方向運(yùn)動(dòng)，問系應(yīng)以什么樣的速度相對(duì)于運(yùn)動(dòng)才能使其中只有電場(chǎng)或只有磁場(chǎng)？解：令沿系的x軸正向運(yùn)動(dòng),按題意,在系中 （1）由電磁場(chǎng)變換關(guān)系 （2）得系中 （3）若在系中只觀察到電場(chǎng),磁場(chǎng),由(3)的第

11、三式,要求系的速度為 （4）由于總有,故系中應(yīng)滿足.若在系中只觀察到磁場(chǎng)，電場(chǎng)，則從（）的第二式，要求系的速度為 （5）而且系中應(yīng)滿足6.14作勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)在運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生壓縮，這時(shí)在運(yùn)動(dòng)方向上電場(chǎng)與庫侖場(chǎng)相比較會(huì)發(fā)生減弱，如何理解這一減弱與變換公式的關(guān)系？解：設(shè)點(diǎn)電荷沿系軸以速度運(yùn)動(dòng)在電荷靜止的系中，任意時(shí)刻都觀察到球?qū)ΨQ的庫侖場(chǎng)，它在運(yùn)動(dòng)方向上的分量為 （1）(是系中場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)變換到系中，雖然有 （2）但在系中場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)為，而場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)是按 （3）變換的設(shè)時(shí)電荷剛好經(jīng)過系的原點(diǎn)，此時(shí)對(duì)同一個(gè)場(chǎng)點(diǎn)，因，故，因而必有，即對(duì)于同一個(gè)場(chǎng)點(diǎn)，在系中觀察到的分量實(shí)際上被壓縮了；按（）式，對(duì)同

12、一個(gè)場(chǎng)點(diǎn)任何時(shí)刻都有而變換式則是描寫在兩個(gè)參考系中，當(dāng),，亦即不同場(chǎng)點(diǎn)上的平行分量相等6.15有一沿軸方向螺旋進(jìn)動(dòng)的靜磁場(chǎng)，其中,為磁場(chǎng)周期長(zhǎng)度現(xiàn)有一沿z軸以速度運(yùn)動(dòng)的慣性系，求在該慣性系中觀察到的電磁場(chǎng)證明當(dāng)時(shí)，電磁場(chǎng)類似于一列頻率為的圓偏振電磁波解：在系中，且，故在運(yùn)動(dòng)參考系中觀察到地電磁場(chǎng)為由，有，而，因此將這電磁場(chǎng)寫成復(fù)數(shù)形式其中可見當(dāng)，即系的速度時(shí)，這電磁場(chǎng)類似于一列頻率為，沿著負(fù)z軸方向傳播的圓偏振波6.16 有一無限長(zhǎng)均勻帶電直線，在其靜止參考系中線電荷密度為該線電荷以速度沿自身長(zhǎng)度勻速運(yùn)動(dòng)在與直線相距為的地方有一同樣速度平行于直線運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷e則分別用下列兩種方法求出作用在電荷

13、上的力：（）在直線靜止系中確定力，然后用四維力變換公式；（）直接計(jì)算線電荷和線電流作用在運(yùn)動(dòng)電荷上的電磁力；解：設(shè)帶電直線沿系的軸運(yùn)動(dòng)在該系統(tǒng)靜止的系中，帶電線的電磁場(chǎng)為故電荷受到的作用力為由于系中的電荷速度，故四維力為即而在系中，其中，由四維力變換，得系中電荷受到的力為若直接在系觀察，則帶電線的電磁場(chǎng)為故電荷受到的作用力為6.17質(zhì)量為M的靜止粒子衰變?yōu)閮蓚€(gè)粒子和,求粒子的動(dòng)量和能量.解:沒衰變后產(chǎn)生的兩個(gè)粒子動(dòng)量為和,則兩粒子的能量為,由衰變前后系統(tǒng)的能量和動(dòng)量守恒解出6.18 己知某一粒子衰變成質(zhì)量為和,動(dòng)量為和(兩者方向間的夾角為)的兩個(gè)粒子,求該粒子的質(zhì)量.解:設(shè)衰變前粒子的動(dòng)量為,

14、由衰變前后能量和動(dòng)量守恒,即解出6.19 (1)設(shè)和是粒子體系在實(shí)驗(yàn)室參考系中的總能量和總動(dòng)量(與x軸方向夾角為).證明在另一參考系(相對(duì)于以速度v沿x軸方向運(yùn)動(dòng))中粒子體系的總能量和總動(dòng)量滿足(2)某光源發(fā)出的光束在兩個(gè)慣性系中與x軸的夾角分加別為和,證明(3)考慮在系中立體角為的光束,證明當(dāng)變換到另一慣性系時(shí),立體角變?yōu)榻?1)設(shè)粒子體系在系中的四維動(dòng)量為由四維動(dòng)量變換,得系中動(dòng)量方向由下式描述(2)設(shè)光束在系中的角頻率為,輻射方向與x軸的夾角為,四維波矢量為設(shè)在系中角頻率為,輻射方向與軸x的夾角為,四維波矢量為由四維波矢量變換,得最后一式為相對(duì)論多普勒效應(yīng).由上述諸式,可解出這就是相對(duì)論

15、光行差公式.用速度變換,更能快捷地得到這結(jié)果.在系中光速c的兩個(gè)分量為,在系中有,由立得(3)由于角與運(yùn)動(dòng)方向垂直,故,對(duì)上面第一式兩邊求微分,可得6.20 考慮一個(gè)質(zhì)量為,能量為的粒子射向一個(gè)質(zhì)量為的靜止粒子的體系.通常在高能物理中,選擇動(dòng)量中心參考系有許多方便之處,在該參考系中,系統(tǒng)的總動(dòng)量為零.(1)求動(dòng)量中心參考系相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室系的速度;(2)求動(dòng)量中心參考系中每個(gè)粒子的動(dòng)量、能量及總能量;(3)己知電子靜止質(zhì)量.北京正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)(BEPC)的設(shè)計(jì)能量為.估計(jì)一下若用單束電子入射靜止靶,要用多大的能量才能達(dá)到與對(duì)撞機(jī)相同的相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量?解:在實(shí)驗(yàn)室參考系中,粒子的能量與動(dòng)量為(1)粒子

16、的動(dòng)量.設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)量中心系相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室系的速度為,于是由(2)得(3)在動(dòng)量中心參考系中,系統(tǒng)的總動(dòng)量為零:(4)因此兩粒子的動(dòng)量數(shù)值和能量分別為(5)(6)(7)其中(8)若用質(zhì)量為的單束粒子射向靜止靶粒子,則要發(fā)生對(duì)撞機(jī)(兩束粒子反向加速實(shí)現(xiàn)對(duì)撞)相同的能量效果,就意味著單束運(yùn)動(dòng)粒子的能量和,于是從(6)式和(8)式.得,即(9)將,以及對(duì)撞機(jī)中單束粒子的能量代入(9)式,得靜止靶加速器中,對(duì)單束粒子加速的能量必須為這幾乎是對(duì)撞機(jī)中單束粒子能量的倍!6.21 電荷為e,靜止質(zhì)量為的粒子在均勻電場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng),初速度為零,試確定粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與時(shí)間的關(guān)系,并研究非相對(duì)信論的情況.解:令,由方程,有（

17、1）積分,并由時(shí),得粒子的運(yùn)動(dòng)速度(2)由,并設(shè)時(shí),對(duì)(2)式積分,得粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡(3)在非相對(duì)論情形下,由于,將(3)式中的根式展開,得(4)或者,由于非相對(duì)論情形下方程(1)變?yōu)?即積分,并由時(shí),亦得(4)式的結(jié)果.6.22 利用洛倫茲變換,試確定粒子在相互垂直的均勻電場(chǎng)和磁場(chǎng)()內(nèi)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,設(shè)粒子的初速度為而且沿著垂直于電場(chǎng)和磁場(chǎng)的軸正向.解:設(shè)和靜止的參考系為,因且,而粒子以初速沿z方向運(yùn)動(dòng),故由6.13題結(jié)果知,在粒子靜止的參考系中,只有電場(chǎng),磁場(chǎng).由相對(duì)論變換, 系中的電場(chǎng)為其中于是系中粒子運(yùn)動(dòng)方程為第一個(gè)方程與6.21題方程(1)相似.從上述方程可解出設(shè)時(shí)粒子位于系原點(diǎn),由洛

18、倫茲變換而,因此粒子在系中的運(yùn)動(dòng)軌跡為平面的拋射線,這是因?yàn)榍?粒子受到的電力比磁力大所致.6.23 己知t=0時(shí)點(diǎn)電荷位于原點(diǎn),靜止于y軸上, 以速度沿軸勻速運(yùn)動(dòng),試分別求出和各自所受的力,如何解釋兩力不是等值反向?解:由于時(shí)位于原點(diǎn),此時(shí)靜止電荷對(duì)的作用力為,運(yùn)動(dòng)電荷在其靜止的參考系中,于所在點(diǎn)產(chǎn)生的電磁場(chǎng)為,變換到靜止的參考系,并注意到,有其中.因靜止,故運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的電磁場(chǎng)中,只有電場(chǎng)對(duì)其施加作用力牛頓第三定律僅在條件下才成立,而在高速運(yùn)動(dòng)情形,因此6.24 試比較下列兩種情況下兩個(gè)電荷的相互作用力:(1)兩個(gè)靜止電荷位于軸上相距為(2)兩個(gè)電荷都以相同速度平行于軸勻速運(yùn)動(dòng).解:(1)

19、此情形下一個(gè)電荷對(duì)另一個(gè)電荷施加的靜電排斥力為(2)在兩個(gè)電荷靜止的參考系中,兩者的相互作用力仍如上式:是四維力的空間向量.變換到靜止參考系,由于力的方向與運(yùn)動(dòng)方向垂直,故有其中6.25 角頻率為的光子(能量,動(dòng)量)撞在靜止的電子上,試證明(1)電子不可能吸收這個(gè)光子,否則能量和動(dòng)量守恒定律不能滿足;(2)電子可以散射這個(gè)光子,散射后光子的頻率比散射前的頻率小(不同于經(jīng)典理論中散射光頻率不變的結(jié)論)證(1)在初態(tài)電子靜止的參考系觀察,該系統(tǒng)的能量和動(dòng)量為,為電子的靜止質(zhì)量,是入射光子運(yùn)動(dòng)方向的單位矢量.若電子吸收了這個(gè)光子,它將獲得動(dòng)量,為使動(dòng)量守恒滿足,應(yīng)有,于是末態(tài)電子的能量為顯然,因此電子不可能吸收這光子.(2)仍在初態(tài)電子靜子的參考系觀察散射前系