不可壓縮粘性流體流動(dòng)§1粘性流體中應(yīng)力

1、第七章不可壓縮粘性流體的流動(dòng)1 粘性流體中的應(yīng)力2 不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本方程4 邊界層的概念5 邊界層微分方程6 邊界層動(dòng)量積分式7 平板邊界層的近似計(jì)算8 曲面邊界層的流動(dòng)分離9 繞流物體的阻力1 粘性流體中的應(yīng)力（簡(jiǎn)介）應(yīng)力的表示法：ijp 第一個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力作用面的法線方向；第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力作用方向。iip理想流體沒(méi)有切向力，只有法向力實(shí)際流體既有法向力，也有切向力，如圖，由于應(yīng)力的對(duì)稱性，應(yīng)力中只有6個(gè)分量是獨(dú)立的。它們是：主應(yīng)力：xxyyzzppp切應(yīng)力：xyyxxzzxzyyzpppppp 2xxuppx對(duì)不可壓流體，主應(yīng)力可表示為： 2zzwppz 2yyvppy一般情況

2、下，三個(gè)法向應(yīng)力不相等，其關(guān)系是：1()3xxyyzzpppp 對(duì)理想流體：xxyyzzpppp()()()xyyxyzzyzxxzvuppxywvppyzuwppzx切應(yīng)力可表示為：這說(shuō)明粘性流體中三個(gè)互相垂直的法向應(yīng)力的平均值的負(fù)值等于該點(diǎn)的動(dòng)壓強(qiáng)。7-2 不可壓粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本方程簡(jiǎn)介 將微元體所受的慣性力、質(zhì)量力和表面力代入牛頓第二定理Fma222222()xxpuuuafxxyz可得不可壓粘流的運(yùn)動(dòng)微分方程：N-S方程222222()yypvvvafyxyz222222()zzpwwwafzxyz21DVfpVDt此式稱為NS方程222222222222222222()()()xy

3、zuuuupuuuuvwftxyzxxyzvvvvpvvvuvwftxyzyxyzwwwwpwwwuvwftxyzzxyz矢量表達(dá)：將加速度展開(kāi)有: N-S方程與連續(xù)性方程聯(lián)立，四個(gè)方程四個(gè)未知數(shù)u、v、w和p，方程為封閉的方程組。 加上初始條件，邊界條件，就可以解該方程。實(shí)際上N-S方程是非線性偏微分方程，很難求解。它的解有以下幾種處理方法：精確解： N-S方程中的加速度對(duì)流項(xiàng)是非線性項(xiàng)，這使得方程的求解非常困難。對(duì)于某些簡(jiǎn)單的流動(dòng)，非線性對(duì)流項(xiàng)消失，N-S方程變?yōu)榫€性的方程，用解析的方法求出其解，這類解稱為精確解。 在文獻(xiàn)中能查到的精確解至今為止只有幾十個(gè)，而且其中的大部分不能夠直接應(yīng)用到

4、實(shí)際問(wèn)題中去。近似解： 小雷諾數(shù)Re情況，此時(shí)粘性力較慣性力大得多?？梢匀炕虿糠值睾雎詰T性力得到簡(jiǎn)化的線性方程。 大雷諾數(shù)Re情況，若將粘性力全部略去，只在貼近物面很薄的一層“邊界層”中考慮粘性的影響，且根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，略去粘性力中的某些項(xiàng)，從而得到簡(jiǎn)化的邊界層方程（仍是非線性的）。 對(duì)于中等雷諾數(shù)Re的情況，慣性力和粘性力都必須保留，此時(shí)只能通過(guò)其它途徑簡(jiǎn)化問(wèn)題，或者利用數(shù)值計(jì)算方法求N-S方程的數(shù)值解。 7-4 邊界層的概念 1、邊界層的形成：當(dāng)流體繞流物體時(shí)，物面情況如圖邊界層外邊界線當(dāng)Re很小時(shí)，沿y軸方向，速度緩慢增加，直至無(wú)窮遠(yuǎn)才達(dá)到 。V當(dāng)Re很大時(shí)，整個(gè)流場(chǎng)可以明顯地分成性質(zhì)

5、很不相同的兩個(gè)區(qū)域。 1） 緊貼物面非常薄的一層區(qū)域稱為邊界層。 在該區(qū)域內(nèi)，速度分量u 沿物面的法向變化非常迅速，即 很大。雖然在大Re數(shù)情形，但因 很大，故粘性應(yīng)力uyuyuy仍然可以達(dá)到很高的數(shù)值。它所起的作用與慣性力同等重要。因此在邊界層內(nèi)不能全部忽略粘性力。 我們將這種在大雷諾數(shù)下緊靠物面處流速?gòu)牧慵眲≡黾拥脚c來(lái)流同量級(jí)大小的薄層稱為邊界層。uy2） 邊界層外的整個(gè)流動(dòng)區(qū)域稱為外部流動(dòng)區(qū)域。 在該區(qū)域內(nèi)， 很小，因此粘性應(yīng)力在大Re數(shù)情形下比慣性力小得多可以將粘性力全部略去，因而把流體近似地看成是理想的。對(duì)于均勻來(lái)流繞過(guò)物體的流動(dòng)而言，在整個(gè)外部流動(dòng)區(qū)域中不僅可把流體視為理想的，而且

6、運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋的。 邊界層的內(nèi)外邊界是沒(méi)有 明顯的分界線，一般在實(shí)際應(yīng)用中，把邊界層厚度規(guī)定為：0.99V當(dāng)物面法向速度達(dá)到 時(shí)的法向距離定義為邊界層厚度，用來(lái)表示。流體在前駐點(diǎn)處速度為零，0，沿流動(dòng)方向增加。附面層外邊界線與流線不重合，流線可深入到邊界層內(nèi)。邊界層具有以下特點(diǎn)： 0py uy1.與物體的長(zhǎng)度相比，附面層的厚度很小2.在內(nèi)， 很大。3.沿流動(dòng)方向增大。4.由于很小，可以近似認(rèn)為附面層內(nèi)外同一截面上的壓力相等，即 對(duì)于平板還有 全流場(chǎng)壓力不變。0px證明：如圖，在11截面上有 則0py111ppVV 112222pVpVgggg1 V1220在22截面上有 則0py222ppVV由于

7、1和2同屬邊界層外邊界上，可看成無(wú)旋流，由勢(shì)流的伯努利方程：12VVV而1212pppp即0pxyx 層流邊界層 5.邊界層內(nèi)的流動(dòng)也可分為層流和紊流，當(dāng)兩種狀態(tài)都存在，稱混合邊界層。如圖混合邊界層 V0 V0 xc U UU粘性底層層流邊界層層流邊界層紊流邊界層紊流邊界層過(guò)渡過(guò)渡區(qū)區(qū)邊界層界限邊界層界限xcrxyUxUxx 56R510310exexcRxV *由層流轉(zhuǎn)化成紊流的雷諾數(shù)為：轉(zhuǎn)捩點(diǎn)：二、排移厚度 、動(dòng)量損失厚度*0(1)udyU定義：邊界層內(nèi)的速度為 ，外部勢(shì)流的速度為 。對(duì)于平板( , )u x y( )U x( )U xV排移厚度 由于流速受到壁面的阻滯而降低，使得邊界層內(nèi)

8、通過(guò)的流量與理想流體時(shí)通過(guò)的流量減少，相當(dāng)于邊界層的固體邊界向流動(dòng)內(nèi)區(qū)域移動(dòng)了 。* 的物理意義：*0(1)udyU *00(1)uUUdyUUudy由第一項(xiàng) 表示當(dāng)流體是理想流體，通過(guò)面積1時(shí)的質(zhì)量流量，圖中矩形面積abcd。U 第二項(xiàng) 表示由于粘性有邊界層存在，通過(guò)面積1時(shí)的質(zhì)量流量，圖中面積acda。0udy*U 為理想流體和實(shí)際流體通過(guò)同一面積的質(zhì)量流量的差 ，圖中面積abca，也可看成以速度U通過(guò)面積 時(shí)的質(zhì)量流量。*1稱為動(dòng)量損失厚度。*0(1)uudyUU 邊界層內(nèi)流速的降低不僅使通過(guò)的流體質(zhì)量減少，而且也使通過(guò)的流體的動(dòng)量減少。兩者相差相當(dāng)于將固體壁面向流動(dòng)內(nèi)部移動(dòng)一個(gè)的 距離

9、。*定義：物理意義：例：已知二元平板層流邊界層的速度分布可用如下函數(shù)近似：sin()uU abyc其中U為無(wú)窮遠(yuǎn)處來(lái)流，a.b.c 為待定常數(shù),試用邊條及外部勢(shì)流的銜接條件確定 a.b.c，并求出 , 。*y7-5 邊界層微分方程（簡(jiǎn)介）流體繞物體的流動(dòng)勢(shì)流區(qū)邊界層區(qū)勢(shì)流理論邊界層方程直接解N-S方程推導(dǎo)邊界層方程是簡(jiǎn)化的N-S方程基本思想： N-S描述了流體所受的慣性力、壓力、質(zhì)量力和粘性力之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。如果某種力與其它力相比是小量，則這個(gè)力就可以忽略不計(jì)。 在邊界層中，邊界層厚度與物體的長(zhǎng)度的比值 是一個(gè)小量。/L記為1L 引入特征量:將N-S方程中的各物理量無(wú)量綱化。,xyuvpxyu

10、vpLUVP這些無(wú)量綱化的物理量與1具有相同的量級(jí)N-S方程的無(wú)量綱化222222()()( )uVLuPpuLuuvxUyxULUxy 1111121211222222222()()()( )()()VvV LvPLpVvVLvuvUxyyULUUUxUy 121111121211連續(xù)性方程()0uVLvxUy111分析各量綱略去小量得：2200uupuuvxyxypyuvxy 第二個(gè)方程得到重要得結(jié)論： 邊界層的壓強(qiáng)沿y方向是不變的由伯努利方程得1dpdUUdxdx邊界層微分方程組可改寫(xiě)為：2200uudUuuvUxydxypyuvxy邊界條件為00yuv()U(x)yu或簡(jiǎn)化的邊界層微分

11、方程仍是非線性的，在個(gè)別情況可用相似性法求解，一般情況要用級(jí)數(shù)展開(kāi)法和數(shù)值計(jì)算法。工程上大量應(yīng)用一種近似解的方法即邊界層動(dòng)量積分式。7-6 邊界層動(dòng)量積分關(guān)系式 取一控制體，其邊界由壁面、邊界層外緣和相距為dx的兩個(gè)橫截面構(gòu)成。討論控制體內(nèi)質(zhì)量和動(dòng)量的變化經(jīng)AB流入的質(zhì)量和動(dòng)量：20u dy經(jīng)CD流出的質(zhì)量和動(dòng)量2200()du dyu dy dxdx0udy000()()dududx dyudyudy dxdxdx經(jīng)邊界層外緣AC流入控制體的質(zhì)量應(yīng)等于CD面上流出減AB面上流入0()dudy dxdx故由AC流入的動(dòng)量流量為0()dUudy dxdx規(guī)定流出為正，流入為負(fù)，控制體內(nèi)流體動(dòng)量變

12、化量為200)ddu dyUudy dxdxdx再討論受力情況AB面上受力：pCD面上受力：()()dppdxddx由于AC處于邊界層外()sin2dp dxpACpddx壁面BD上的受力：0dxAC面上受力：邊界上，可看成理想流體，粘性切應(yīng)力可忽略，只有受壓力21()xxxFQ VVx方向總的受力為：00()()ddppppdxdxdxpddxdxdpdxdx由動(dòng)量方程有0()dpdxdx200)ddu dyUudy dxdxdx化簡(jiǎn)：2000)dddpu dyUudydxdxdx 注意到dpdUUdxdx00000dddUUudyUudyudydxdxdxddUuUdyudydxdx可將方

13、程改寫(xiě)為000()ddUdUu uU dyUudydxdxdx均質(zhì)不可壓縮流體常數(shù)，有2000(1)(1)duudUuUdyUdydxUUdxU將 代入*0(1)uudyUU*0(1)udyU方程是以x為變量的一階常微分方程，它有三個(gè)未知量，因此方程不封閉，需要補(bǔ)充兩個(gè)關(guān)系式才能求解。*00u、 、或*021(2)ddUdxU dxU各項(xiàng)除以 得卡門動(dòng)量積分關(guān)系式2U7-7 平板邊界層的近似計(jì)算*021(2)ddUdxU dxU對(duì)于平板問(wèn)題：*02ddxU三個(gè)未知數(shù)，需要補(bǔ)充兩個(gè)方程，一般是給定u和 ，u和 的近似表達(dá)式越接近實(shí)際，求出的 就越精確。*0(1)uudyUU00( )x由UVco

14、nst一、層流平板邊界層1、假設(shè)速度分布為一多項(xiàng)式：23401234ucc yc yc yc y2、多項(xiàng)式系數(shù)的確定，條件00 ,0c0yu有已知板長(zhǎng)為L(zhǎng)板寬為B,求平板上的摩擦阻力和邊界層的厚度。步驟：a),yuUV有2341234Uccccb)c)d),0uyy2312340234cccc0 ,0yuv222002c0yuy得234202c0yucy得可解得5個(gè)系數(shù) 13434022,2,0UUUccccc,0 ,0uUyuUvxxe)002yuUy故速度分布為：342( )2( )( )uyyyU3、 的補(bǔ)充式04、求*037(1)315uudyUU5、將 和 代入動(dòng)量積分式：0*02d

15、dxU有：372315ddxU是常微分方程372315ddxU積分2126137xcU當(dāng)0,00 xc故25.845.845.84exxxxxRUUeR 隨 x 而 ，隨 而 ，即邊界層厚度隨流動(dòng)方向增厚且雷諾數(shù)越大，邊界層越薄。注意：邊界層厚度表達(dá)式不止一個(gè)，但與x 和 的規(guī)律不變。eR6、求摩擦阻力0由20210.343exUUReLVLALbRLb沿板長(zhǎng)積分2000.686DeLLdFRbxU A式中用摩擦阻力系數(shù)表示阻力：令 有212DfFcU A1.732feLcR二、平板湍流邊界層簡(jiǎn)介 層流邊界層限于臨界雷諾數(shù)以下的區(qū)域，對(duì)于大多數(shù)工程問(wèn)題，都是大于臨界雷諾數(shù)的湍流邊界層問(wèn)題。為了

16、計(jì)算簡(jiǎn)單，一般認(rèn)為湍流邊界層從前緣點(diǎn)開(kāi)始，其計(jì)算方法與層流邊界層相同，只不過(guò)速度分布 借用圓管紊流 次方規(guī)律：1/ 71/ 7max0max()( )uyuyuru17 208V切應(yīng)力分布也借用圓管紊流規(guī)律：由此解出 和 。結(jié)果比較：fc1） 的比較：層流： 5.84exxR紊流：與 正比 12x50.381exxR45x與 正比2） 的比較：1.732feLcRfc層流：紊流：50.074feLcR對(duì)一定的 ，紊流的摩阻系數(shù)大于層流的摩阻系數(shù)。eLR紊流邊界層的厚度比層流邊界層的厚度隨 x 增加而增加得快。三、平板混合邊界層簡(jiǎn)介 當(dāng)流體繞流平板時(shí)，在前端出現(xiàn)的是層流邊界層，只有超過(guò)一定的位置

17、后，邊界層才會(huì)完全變成湍流。 0ABxc 從層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯狞c(diǎn)稱為轉(zhuǎn)捩點(diǎn)，此時(shí)的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)。56Re510310ccxV x計(jì)算思路：計(jì)算oA段層流的摩阻系數(shù)計(jì)算oB整板上的摩阻系數(shù)計(jì)算oA段紊流的摩阻系數(shù)foAc層foBc紊foAc紊混合邊界層的摩阻系數(shù)：fc （ ）foAc層foBc紊foAc紊7-8 曲面邊界層的流動(dòng)分離 在正常情況下，邊界層中的流動(dòng)方向與主流方向一致，但是對(duì)非流線型物體，往往會(huì)發(fā)生下列現(xiàn)象： 物面上的邊界層在某個(gè)位置上與物面分離，所謂分離是指在物面附近出現(xiàn)與主流方向相反的回流。 邊界層分離又稱為邊界層的脫體，分離點(diǎn)又稱為脫體點(diǎn)。流線型物體在非正常情況下也能產(chǎn)生

18、分離。 在某些特殊情況下，分離了的邊界層有可能再次附著在物面上，從而在物面附近形成封閉的回流區(qū)， 一、分離流動(dòng)的特點(diǎn) 對(duì)平板邊界層有 且在邊界層外邊界上各點(diǎn)的速度為常數(shù)。當(dāng)流體繞流曲面時(shí)，由于 固壁曲面使過(guò)流截面發(fā)生變化，因而邊界層外邊界上的速度 則各點(diǎn)的壓力 p 也不相等，即 這對(duì)流動(dòng)有很大影響。0,0ppxyUc0,0ppyx討論流體繞流曲面時(shí)壓力和速度的變化:00puxxoM oMAB在 段：流體降壓增速當(dāng)?shù)竭_(dá)曲面最高點(diǎn) M處，壓力降至最小，速度達(dá)到最大。0px MA 0dpdx0ux在 段，由于過(guò)流截面的變化，流體的動(dòng)能減小壓力要升高 此時(shí)，流體的動(dòng)能不僅要克服摩擦阻力，還要轉(zhuǎn)化成壓能

19、，使得流體速度急劇減小，邊界層厚度不斷增厚，到達(dá)曲面A點(diǎn)時(shí)邊界層內(nèi)流體的動(dòng)能被耗盡，這部分流體便停止不前。而此同時(shí)，主流的流體可伸入邊界層內(nèi)，使得A點(diǎn)后的流體壓力繼續(xù)升高，曲面附近的流體被迫反向倒流而使邊界層與壁面分開(kāi)，這種現(xiàn)象稱為邊界層分離。A點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。發(fā)生分離后，主流和回流碰撞產(chǎn)生漩渦，在物體后部形成尾渦區(qū)，漩渦的運(yùn)動(dòng)要消耗能量，使得物體后部的壓力不能恢復(fù)到物體前部的壓力，使得物體前后形成壓力差，產(chǎn)生阻力。這種阻力稱壓差阻力。 在分離點(diǎn)及其上下游作速度剖面圖，可以發(fā)現(xiàn)，在分離點(diǎn)A上滿足 00yuy 上式是普朗特首先作為分離判據(jù)提出來(lái)的，顯然在分離點(diǎn)上 。 0wA點(diǎn)之前：00yuyA點(diǎn)之

20、后：00yuyA點(diǎn)：二、分離機(jī)理 順壓梯度區(qū) ，由于順壓差引起邊界層區(qū)中流動(dòng)加速 ，動(dòng)能不斷增加，因而邊界層中流動(dòng)不會(huì)出現(xiàn)滯止。 逆壓梯度區(qū) ，逆壓差引起邊界層區(qū)中流動(dòng)減速 ，另一方面主流區(qū)提供給邊界區(qū)的動(dòng)能又有所減小。故在逆壓梯度作用下，可能首先產(chǎn)生滯止。 0dpdx 0dpdx00yuy00yuy 逆壓梯度越大，則越易產(chǎn)生分離。在逆壓梯度區(qū)足夠長(zhǎng)的區(qū)域中，最終將產(chǎn)生分離。由此可知：粘性流體在低壓增速區(qū)域不會(huì)發(fā)生邊界層分離，只有在增壓降速過(guò)程才有可能發(fā)生分離。分離條件：1）逆壓流動(dòng)2）粘性的滯止作用 0dpdx00yuy三、銳緣效應(yīng) 在自然界或在工程問(wèn)題中，我們發(fā)現(xiàn)，流體繞過(guò)任何物體的尖緣時(shí)

21、，總要出現(xiàn)分離。 迎流面為順壓梯度區(qū)，背流面為逆壓梯度區(qū)。當(dāng)流體繞過(guò)此物體時(shí)，由于流體離心作用，在2點(diǎn)附近壓力最低。曲率越大，則此點(diǎn)壓力越低，因此，對(duì)于曲率大的物體邊緣，在其背流面很容易產(chǎn)生分離。當(dāng)邊緣為尖角時(shí)，則必然產(chǎn)生分離。 分離點(diǎn)的位置與物體的形狀有關(guān)：鈍頭體，分離點(diǎn)靠前，后面的渦區(qū)大；流線形的物體分離點(diǎn)靠后，甚至可不分離。 沿汽車外表面在檔風(fēng)玻璃前和尾部都會(huì)發(fā)生附面層分離。 7-9 繞流物體的阻力 物體在粘性流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)受到阻力作用。平板的阻力計(jì)算已介紹，曲面受到的阻力一般需通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定。如圖將一翼形固定，讓氣流以 繞翼形流動(dòng)，這時(shí)，翼形受到的作用一、繞流阻力的計(jì)算：0u力為 F

22、,可將 F 分解成 FL 和 FDFFDFLu0p升力LLFVFDF繞流阻力 繞流阻力從機(jī)理上可分析是由兩部分組成：一是由粘性直接作用的結(jié)果,二是由粘性間接作用的結(jié)果，其物理表達(dá)式為：cossinDllFdLpdL 是作用在壁面上的切應(yīng)力，由它引起的阻力稱摩擦阻力。212DDFcV A p是作用在壁面上的壓應(yīng)力,由它引起的阻力稱壓差阻力。式中： 阻力系數(shù)雖然產(chǎn)生阻力的機(jī)理分析得很清楚，但要從量上求出各部分的大小卻很困難依靠實(shí)驗(yàn)和因次分析法可得到阻力計(jì)算式DcA迎流面積（與來(lái)流垂直）二、影響FD的因素：1、與粘性有關(guān)。 ，摩阻增大。2、與物體形狀有關(guān)，與物體的方位有關(guān)。在相同條件下，迎流面積越大

23、，尾部漩渦區(qū)越大，前后壓差越大，壓阻增大。與物體所放的方位有關(guān)，同是流線形的機(jī)翼，有攻角和無(wú)攻角的渦區(qū)不同。3、與物體的粗糙度有關(guān)。表面粗糙度越大，越易形成紊流邊界層使得摩阻增大，但紊流度越大，流體的動(dòng)能越大，分離點(diǎn)后移，壓阻減小?？赡芸傋枇p小。要綜合考慮。光滑柱面4、與來(lái)流 有關(guān)，即與 有關(guān)。VeR 越大越易形成紊流邊界層，摩阻增大但分離點(diǎn)后移壓阻減小eR粗糙柱面 大量試驗(yàn)表明，在不同雷諾數(shù)條件下，流動(dòng)現(xiàn)象的差異是明顯的。 以繞流小球流動(dòng)為例： 在Re1條件下其特點(diǎn)為：流動(dòng)上下，前后對(duì)稱，呈穩(wěn)定層流狀態(tài)。物體阻力來(lái)源于物面粘性切應(yīng)力的合力，即摩擦阻力。 在 35Re3040條件下，其特點(diǎn)為在背風(fēng)面出現(xiàn)對(duì)稱旋渦區(qū)。物體阻力由兩部分組成：摩擦阻力和壓差阻力（物面上壓力的合力在流動(dòng)方向的分量）。摩擦阻力與壓差阻力具有同等重要性。 在3040Re8090條件下，其特點(diǎn)為在背風(fēng)區(qū)的對(duì)渦區(qū)出現(xiàn)擺動(dòng)，但仍呈層流狀態(tài)。物體阻力由摩擦阻力和壓差阻力組成，它們具有同等重要性。 在8090Re150300條件下，其特點(diǎn)是在背風(fēng)面旋渦交替脫落，從而形成兩排向下游運(yùn)動(dòng)的渦列，通常稱它為卡門