檢測與估計習題ppt課件

1、(a)4.3題題似然比為: 1204,0131pyL yypyy第四章第四章01000011111BPHCCCCPH根據(jù)貝葉斯準那么，得門限貝葉斯檢測器為： 1024131HHL yy因此，判決區(qū)域為：1:01/3Dy0:1/31Dy與最小貝葉斯風險：1000001010001011111001001011131201313112420.4519DDrP CP CP CP CCp y HdyCp y H dyydydy根據(jù)極大極小準那么，需求找到一個門限 ，使得兩種條件代價相等，即(b)0000101001011111P CP CP CP C120314ydydy由題得：0.54793解得：附

2、：求解過程120314ydydy此等式轉(zhuǎn)化為三次方方程3740兩個根為虛數(shù)，舍去，我們定義三次方方程模型為30ab實根可以寫成A B 其中，1 323,24.27bbaA132324.27bbaB平均風險：100112011213112421220.45207rPPydydydy(c) 根據(jù)NP準那么，必需找到一個門限 ，滿足10fafPP D H20314fydy即方程解:A B1 32241,ffA其中，1 32241ffB因此，檢測概率為110.dPP D Hdy4.6題題下 的pdf為：1Hy 1211p yy s0H下 的pdf為：y 0211pyy s似然比：由題得 2211ysL

3、 yys(a)01000011111BPHCCCCPH根據(jù)貝葉斯準那么，得門限貝葉斯檢測器： 1,00,0Bifyyify1022111HHysys化簡得：貝葉斯風險：02201111122111tan2rdydyy sy ss(b)根據(jù)極大極小準那么，需求找到一個門限 ，使得兩種條件代價相等. 由a可以得到02201111dydyysys(c)虛警概率由門限決議：211fdyys經(jīng)過變量交換tanys得：121tan111tan2fsds 由反函數(shù)可逆性：tan2fs因此檢測概率為：211dPdyys經(jīng)過一個類似的變量交換，可得：111tantan222dfPs4.11題題a01000101

4、11()0.3(10)0.214()0.7(20)BCCCCb010.30.4290.7MAPc0100000111()0.3(1 0)0.214(1)()0.7(2 0)mmCCCCd21exp()0.122NPfyPdy1()0.822(0.8)NPNPerferf所以：第五章第五章5.1題題1kkiiyxk 20221()exp()22kkypykk 21221()()exp()22kkykp ykk 設 ，根據(jù)中心極限定律，當 ，有，a由NP準那么，得虛警概率：0()fkkapydy運用變量交換 ，2/2ktyk得到222/ 211exp()()22fkatdterfck 由此得到：1

5、2(2) 2ferfcakb 由檢測概率定義得21221()()exp()22kdkkkykPp y dydykk 運用變量交換2() /2ktykk可得：21()22dkPerfck代入a中求得的，可得最終表達式： 11(2)22dfkPerfc erfc由于 ，分母為正數(shù)，且定值，為使5.3題題22|( )|( )| w TsnrEN T最大，即使分子最大。把 代入分子中，并且根據(jù)Schwartz不等式，snr( )w T2202200| ( )|( ) ()| ( )| ()|TTTw Tuh Tdudh Td可得：即222max00|( )| ( )| ()|TTw Tudh Td*(

6、 )()h tu Tt*()( )h Ttu t當 時 ，進展簡單的變換得到即*( )()uh T 因此滿足Schwartz不等式等號成立條件snr*( )( )x tAy t分子獲得最大值，故而 獲得最大值。5.8題題01011(|)PP uuH定義：01v=uu ，010111(|)= (v 0 |)PP uuHPH那么有： 01v=uu由于 為高斯隨機變量，并且v1r0 10 12v1001r0 1= v/H 2-= v/H 2(2)EVN 011+2220v201r0 10= (v 0|)1()=exp221()2221()24vvvvPPHvdverfcerfcN 所以：5.12題題

7、令：1( ,.,),nvvv為一組獨立同分布的隨機變量，它的概率密度分布函數(shù)為： 1( )( )niip vp v即：11111exp()1,:( )0nniiievvinHp v當，其它00100exp()1,:( )0nniiievvinHp v當，其它貝葉斯準那么1010(v)v =(v)HBHpLp（ ）由題得01000011111BP HCCCCP H似然比為10()11,( )0nievinL v 當，其它分情況進展討論：1當一切的 大于等于 時，iv110()( )nL ve()1 010()0( )1nnL ve 所以 判決為檢測到目的。 ( )BL v2當任一 小于 時，iv

8、1( )0L v 所以 判決為沒有檢測到目的。 ( )BL v 10010000001010001011111001001011()121(1)2iDDnvinnrP CP CP CP CCpv dvCpv dvedvee最小貝葉斯風險：由題得： ，110(|)()1(|)iiip yHL yp yH5.13題題a貝葉斯檢測器可以寫為：1iy ()1iL y 1D當 ，判決為 。 否那么， ，0iy 1()12iL y，判決為 。0Db最小風險：010 10101011110224C PC Pc 由于一切變量相互獨立，111010(|)(|)( )(|)(|)NiiiNiiip yHp yHL

9、 yp yHp yH Log似然比為：1101ln(|)ln ( )ln(|)NiiNiip yHL yp yH 假設0H為真，一切 等于0。 iy所以011ln (|)0NNiiiip yHy因此，設計一個判決變量： 。1Niiuy假設 ，0u 判決為 ；0H 假設 ，0u 判決為 。1H最小代價為：1010 10101 011110( )( )222NNC PC Pd 根本代價為 ，112N對N個采樣，將存在額外代價 。15N因此，N個采樣的總代價為 。(1)215NN使得總代價取最小值的N為2.6.8題題a不引入性能損失時，我們假設相位 ，0相關接納機寫為：0u=Tcdtr(t)sin(

10、2 ft)( )sin(2)( )cr tAf tn t其中，第六章第六章那么，u符合高斯分布，且 1 |2ATE u H均值：方差：21 |nV u H理想檢測概率：2221(/ 2)exp()22nnuATPddu引入性能損失時，相位 ，0此時，( )sin(2)( )cr tAf tn tu依然符合高斯分布，且 均值：方差：21 |nV u H1 |cos2ATE u H所以：2221(cos/ 2)exp()22nnuATPddub在0H假設下， 0 |0E u H所以：2221exp()22fannuPducos0當 時，dfaPP6.9題題假設 時， ，根據(jù)等式5.66，它的似然函

11、數(shù)為：0H( )( )y tn t200 01( |)exp( )Tp y HKy t dtN假設 時， ，1H( )sin(2)( )cy taf tn t根據(jù)等式5.66， 知的條件概率密度函數(shù)為：20 01( | )exp( )sin(2)Tcp yKy taf tdtN此時的平均似然函數(shù)為：12022000( |)( | ) ( )1exp( )sin(2)( )Tcp y Hp ypdKy taf tdt pdN上式可以展開成：220002222000220000001exp( )sin(2)( )1exp( ) 2 sin(2) ( )sin (2)( )1exp( )exp22e

12、xpsin(2) ( )TcTccTTcKy taf tdt pdNKy taf ty taf tdt pdNaTKy t dtNNaf ty t dtN 2( )pd 將 與 下的似然函數(shù)相除，可得到似然比： 0H1H10220000( )( |)( |)2expexpsin(2) ( )( )2TcL yp y Hp y Ha Taf ty t dt pdNN 其中指數(shù)項內(nèi)的積分可以展開成：0 00 000002( )sin(2)2( ) cos sin2sin cos222cos( )sin2sin( )cos2TcTccTTccay tf tdtNay tf tf t dtNaay t

13、f tdty tf tdtNN令0000( )sin2cos( )cos2sinTcsTccy tf tdtqqy tf tdtqq其中22scqqq0arctancsqq把 和 帶入可以得到：q00 00000000002( )sin(2)22cos( )sin2sin( )cos(2)2cos cossin sin2cos()TcTTccay tf tdtNaay tf tdty tf tdtNNaqqNaqN因此似然比的公式可以變成：220000220000( )2expexpsin(2) ( )( )22expexpcos()( )2TcL ya Taf ty t dt pdNNa T

14、aqpdNN 把 的概率密度函數(shù)代入上式得：220000022000002000000( )21expexpcos()exp( cos )22( )12expexpcos()cos22( )1exp22( )2cos2sinexp ()cos( )sinL ya TaqvdNNI va TaqvdNI vNa TNI vaqaqvNN202200000122expexp ()cos( )sin22( )scda TaqaqvdNI vNN 上式又可以寫成： 22000001 222200000( )122expexp ()cos( )sin22( )122exp2( )scscL ya Taq

15、aqvdNI vNNa TaqaqIvNI vNN其中 為修正的零階第一類貝塞爾函數(shù)。0()I 統(tǒng)計量可以寫為：10220022HscHaqaqvNN 進一步簡化為為：102220042HsHvaqaqvNN接納機框圖為：6.10題題a由于相位是均勻分布的，根據(jù)課本上講述的有：200022( | )exp()()2a qaqp y aKINN 因此，絕對密度函數(shù)為：00200000( )( |0) (0)( |) ()22(1)exp()()2p yp y ap ap y aap aaa Ta qKpKpINN 檢測概率是對基于幅度的條件檢測概率進展平均：b0(1)(0)()dddPp P a

16、pP aa經(jīng)過定義可知(0)dfaP aP 可以證明所需的結(jié)果0(1)()dfadPp PpP a6.12題題假設 時， ，0H2( )cos(2)( )y tbf tn t2020 01( | ,)exp( )cos(2)Tp yHKy tbf tdtN假設 時， 1H12( )cos2cos(2)( )y taf tbf tn t根據(jù)等式5.66，它的條件似然函數(shù)為：12120 0( | ,)1exp( )cos2cos(2)Tp yHKy taf tbf tdtN根據(jù)等式5.66，它的條件似然函數(shù)為：此時的條件似然比為：10220 02120 0()( | ,)( | ,)1exp( )

17、cos(2)1( )cos2cos(2)TTL yp yHp yHy tbf tdtNy taft bf tdtN220 02210 0221210 0221100000()1exp( )cos(2)1( )cos(2)cos21exp2 cos2( )cos(2)cos 211exp2( )cos2cos 212 cos2TTTTTL yy tbf tdtNy tbf taft dtNafty tbf taftdtNay tftdtaftdtNNaN120cos(2)Tft bf tdt220 02210 0221210 0221100000()1exp( )cos(2)1( )cos(2)

18、cos21exp2 cos2( )cos(2)cos 211exp2( )cos2cos 212 cos2TTTTTL yy tbf tdtNy tbf taft dtNafty tbf taftdtNay tftdtaftdtNNaN120cos(2)Tft bf tdt對指數(shù)項內(nèi)的第三個積分式行化簡：120121201212002 cos2cos(2)2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos2cos22sincos2sin20TTTTaft bf tdtabftf tftf tdtabftf tdtabftf tdt所以條件似然比化簡為：22110000120 0221

19、10000()11exp2( )cos2cos 212 cos2cos(2)11exp2( )cos2cos 2TTTTTL yay tftdtaftdtNNaft bf tdtNay tftdtaftdtNN由于條件似然比與 無關，所以似然比也是以上方式。檢測器可以寫為：102211000011exp2( )cos2cos 2HTTHay tftdtaftdtNN進一步化簡為：10100( )2ln24THNaTy t cosf tdtaH假設先驗概率相等，似然比的MAP門限為零，因此，檢測器構(gòu)造為：1102( )24TDaTy t cosf tdtD第十章第十章10.11題題由題可知(ln ),ln()(ln )0,yneyp yp y其它因此+-1(ln )0(ln )0( )() ( ),02,02yyyyeyp yp ypdeedyeedya 根據(jù)定義() ( )() ( )MSp ypdp ypd分母項曾經(jīng)求得，分子項為：+-1(ln )02(ln )0() ( ),03,03yyyyeyp ypdeedyeedy將分子與分母項分別代入，得到：2,032,03MSyyeyb 為了求MAPE，需求先求()py2() ( )()( )2 ,