概率論第3講ppt課件

1、概率論第3講第三章隨機事件的概率本文件可從網(wǎng)址math.shekou上下載隨機事件雖然有偶爾性的一面, 即它在一次實驗中, 能夠發(fā)生, 也能夠不發(fā)生; 但是在大量反復實驗中, 人們還是可以發(fā)現(xiàn)它是有內(nèi)在規(guī)律性的, 即它出現(xiàn)的能夠性的大小是可以度量的. 隨機事件的概率就是用來計量隨機事件出現(xiàn)的能夠性大小的一個數(shù)字, 它是概率論中最根本的概念之一.第一節(jié) 古典概型 概率的古典定義討論一類簡單的隨機實驗, 其特征是:(1) 能夠的實驗結(jié)果的個數(shù)是有限的. 把這些實驗結(jié)果記作e1,e2,.,en, 其全體記作U=e1,e2,.,en;(2) 兩兩互斥的諸根身手件e1,e2,.,en出現(xiàn)的能夠性相等.這

2、時, 稱所討論的問題是古典概型的.例如, 在一個口袋中含有編號依次為1,2,.,n的n個球, 從這袋中任取一球, 以ei表示實驗結(jié)果獲得號數(shù)為i的球 (i=1,2,.,n), 那么U=e1,e2,.,en. 這里, 由于取球是恣意的, 所以兩兩互斥的根身手件ei(i=1,2,.,n)出現(xiàn)的能夠性相等. 因此, 這問題屬于古典概型.對于古典概型的情形, 設(shè)一切能夠的實驗結(jié)果的全體為U=e1,e2,.,en,事件12,rkkkAeee其中k1,k2,.,kr為1,2,.,n中指定的r個不同的數(shù), 那么定義事件A的概率為總的試驗結(jié)果的個數(shù)數(shù)中包含的試驗結(jié)果的個AnrAP)(概率的這種定義, 稱為概率

3、的古典定義例1 從一批由90件正品, 3件次品組成的產(chǎn)品中, 任取一件產(chǎn)品, 求獲得正品的概率.解 想象把這些產(chǎn)品進展編號. 比如, 把90件正品編為1#,2#,.,90#, 把3件次品依次編成91#,92#,93#. 那么一切能夠的實驗結(jié)果的全體為U=1,2,.,93, 其中i表示獲得編號為i的一件產(chǎn)品(i=1,2,.,93), 是兩兩互斥的, 出現(xiàn)的能夠性相等. 獲得正品就是事件A=1,2,.,90出現(xiàn), 所以獲得正品的概率為9030( )0.9689331P A 例2 從例1的這批產(chǎn)品中, 接連抽取兩件產(chǎn)品, 第一次抽出后的產(chǎn)品并不放回去, 求第一次獲得次品且第二次獲得正品的概率.解 想

4、象將這些產(chǎn)品按例1的方法編號, 抽到的結(jié)果可用一對有序數(shù)組(i,j)表示, i,j表示第一,第二次獲得的產(chǎn)品的號數(shù). 一切實驗結(jié)果可由一切這種數(shù)組的全體表示, 共有9392種. 事件A表示第一次獲得次品且第二次獲得正品, 可由i取91到93且j取1到90的數(shù)組表示, 共有390種. 因此3 9045( )0.031693 921426P A 為了計算各種復雜事件的概率, 同時為了揭露概率的本質(zhì), 在古典概型的情形下, 證明如下定理.定理 兩個互斥事件A與B的和事件的概率, 等于事件A與事件B的概率之和, 即P(A+B)=P(A)+P(B)證 設(shè)U=e1,e2,.,en,1212,rskkkll

5、lAeeeBe ee因此( ),( ).rsP AP Bnn按互斥性, A與B沒有共同元素, 所以1212,rskkklllABeeee ee從而()( )( )rsrsP ABP AP Bnnn例3 對于例2中的實驗, 求獲得兩件產(chǎn)品為一件正品, 一件次品的概率.解 設(shè)事件A為獲得兩件產(chǎn)品為一件正品, 一件次品; 事件A1為第一次獲得正品, 而且第二次獲得次品, 事件A2為第一次獲得次品且第二次獲得正品. 那么A1,A2互斥, 且A=A1+A2. 因此12121290 33 90()()93 9293 92( )()()90 33 904593 9293 92713P AP AP AP AA

6、P AP A例4 從0,1,2,3這四個數(shù)字中任取三個進展陳列. 求獲得的三個數(shù)是三位數(shù)且是偶數(shù)的概率.解 事件A表示排成的數(shù)是三位數(shù)且是偶數(shù); 事件A0表示排成的數(shù)是末位為0的三位數(shù); 事件A2表示排成的數(shù)是末位為2的三位數(shù). 由于三位數(shù)的首位數(shù)不能為零, 所以023 2 12 2 1()()4 3 24 3 2P AP A 顯然, A0, A2互斥. 由上述定理得02025( )()()()12P AP AAP AP A第二節(jié) 幾何概率對于實驗的能夠結(jié)果有無窮多個的情形,概率的古典定義顯然是不適用了. 為了抑制這個局限性, 我們?nèi)砸缘饶軌蛐詾楦装堰@個定義作必要的推行, 使得推行后的定義能

7、適用于有無窮多個不同實驗結(jié)果且各個根身手件具有等能夠性的情形.例如, 在一個均勻陀螺的圓周上均勻地刻上區(qū)間0,3)上的諸數(shù)字, 旋轉(zhuǎn)這陀螺. 要合理地規(guī)定陀螺停下時其圓周與桌的概上間面接觸點的刻度位于區(qū)2 ,21率, 由于陀螺及刻度的均勻性, 它停下時其圓周上各點與桌面接觸的能夠性相等, 即接觸點的刻度位于在0,3)內(nèi)的一個區(qū)間上的能夠性與這區(qū)間的長度成比例.于是, 所要的概率可規(guī)定為2103212)3 , 02 ,21的長度區(qū)間的長度區(qū)間又如, 設(shè)一個粒子位于容積為V的容器內(nèi)各點處的能夠性相等, 即位于容器內(nèi)的任何部分的能夠性與這部分的容積成比例. 于是, 這粒子位于這容器內(nèi)體積為v的一個部

8、分區(qū)域D內(nèi)的概率可規(guī)定為VvD容器的容積的容積區(qū)域以上兩個例子中, 都以等能夠性為根底, 借助于幾何上的度量(長度,面積,體積或容積等)來合理地規(guī)定概率, 用這種方法規(guī)定的概率稱為幾何概率.例5 甲,乙兩人相約在0到T這段時間內(nèi), 在預定地點會面. 先到的人等候另一個人, 經(jīng)過時間t(tT)后離去. 設(shè)每人在0到T這段時間內(nèi)各時辰到達該地是等能夠的, 且兩人到達的時辰互不牽連. 求甲,乙兩人能會面的概率.解 以x,y分別表示甲乙兩人到達的時辰, 那末0 xT, 0yT.假設(shè)以x,y表示平面上點的坐標, 那么一切根身手件可以用一正方形內(nèi)一切點表示, 兩人能會面的條件是 |x-y|tyOtTxx-

9、y=ty-x=ttTA所以所求概率為OtTxx-y=ty-x=ttTA222211)(TtTtTTp正方形面積陰影部分面積第三節(jié) 隨機事件的頻率 概率的統(tǒng)計定義設(shè)隨機事件A在n次實驗中出現(xiàn)了r次, 那么稱比值r/n為這n次實驗中事件A出現(xiàn)的頻率, 記作W(A), 即rW An（ ）顯然, 任何隨機事件在n次實驗中出現(xiàn)的頻率總是介于0與1之間的一個數(shù):0W(A)1必然事件出現(xiàn)的頻率總等于1, 不能夠事件出現(xiàn)的頻率總等于0.下表是拋擲錢幣的實驗結(jié)果, n表示拋擲的次數(shù), r為徽花向上的次數(shù), W=r/n表示徽花向上的頻率實驗序號n=5n=50n=500rWrWrW120.4220.442510.5

10、02230.6250.502490.498310.2210.422560.512451.0250.502530.506510.2240.482510.502620.4210.422460.492740.8180.362440.488820.4240.482580.516930.6270.542620.5241030.6310.622470.494閱歷闡明, 只需實驗是在一樣條件下進展的, 那么隨機事件出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù)p, 這個數(shù)字p是事件本身的一種屬性. 這種屬性是可以對事件出現(xiàn)的能夠性大小進展度量的客觀根底. 因此, 在普通情形下, 引進下面的概率定義.假設(shè)隨著實驗次數(shù)的增大,

11、事件A出現(xiàn)的頻率r/n在區(qū)間0,1上的某個數(shù)字p附近擺動, 那么定義事件A的概率為P(A)=p.概率的這種定義, 稱為概率的統(tǒng)計定義.由概率的統(tǒng)計定義可以得到概率的以下性質(zhì).(1) 對任一事件A, 有0P(A)1.(2) P(U)=1, P()=0.(3) 對于兩兩互斥的有限個隨機事件A1,A2,.,An有P(A1+A2+.+An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An).第四節(jié) 概率的公理化體系公理1 對于任一隨機事件A, 有0P(A)1.公理2 P(U)=1, P()=0.公理3 對于兩兩互斥的可數(shù)多個隨機事件A1,A2,., 有 P(A1+A2+.)=P(A1)+P(A2)+.定義 設(shè)函

12、數(shù)P(A)的定義域為一切隨機事件組成的集合, 且滿足公理1,2,3, 那么稱函數(shù)P(A)為事件A的概率.性質(zhì)1 設(shè)有限多個事件A1,A2,.,An兩兩互斥, 那么 P(A1+A2+.+An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An)證 在公理3中, 令An+1=An+2=.=, 由P()=0得P(A1+A2+.+An)=P(A1+A2+.+An+An+1+.) =P(A1)+P(A2)+.+P(An)+0+. =P(A1)+P(A2)+.+P(An)習慣上, 統(tǒng)稱定理3及性質(zhì)1為加法定理.性質(zhì)2 設(shè)A為任一事件, 那么P(A )=1-P(A)證 由于A與A互斥, 由性質(zhì)1得P(A +A)=P(

13、A )+P(A )但 A +A =U, P(U)=1,所以 P( A )+P(A ) =1即 P(A )=1-P(A)性質(zhì)3 假設(shè)AB, 那么P(B-A)=P(B)-P(A).證 當AB時, A(B-A)=, 所以B=A+(B-A).由性質(zhì)1得P(B)=P(A)+P(B-A)即P(B-A)=P(B)-P(A).由于P(B-A)0, 所以由性質(zhì)3立刻推得當AB時, P(A)P(B)性質(zhì)4 設(shè)A,B為恣意兩個隨機事件, 那么P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)BA證 先把AB表達成兩個互斥事件A及(B-AB)的和(見上圖), 即 AB=A+(B-AB)由性質(zhì)1得P(AB)=P(A)+P(B-AB).而ABB, 由性質(zhì)3得P(B-AB)=P(B)-P(AB)從而 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)習慣上, 稱性質(zhì)4為廣義加法定理.由于P(AB)0, 所以由性質(zhì)4得 P(AB)P(A)+P(B)例6 設(shè)事件A,B的概率分別為1/3和1/2, 求在以下三種情況下P(BA)的值.(1)A與B互斥;(2)AB;(