處理好猜測(cè)與證明的關(guān)系（方程組加）

1、數(shù)學(xué)課程對(duì)學(xué)生推理能力和創(chuàng)新意識(shí)的關(guān)注耿騰岳【扶余市教師進(jìn)修學(xué)?！空?學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力的培養(yǎng)是時(shí)代和社會(huì)發(fā)展的需要。在以往的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，我們對(duì)演繹推理給與了充分的關(guān)注，而對(duì)歸納、類比等合情推理強(qiáng)調(diào)的不夠。數(shù)學(xué)課程改革中培養(yǎng)合情推理能力的明確提出反映了對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力培養(yǎng)的關(guān)注，是數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)亮點(diǎn)。目前數(shù)學(xué)課程的實(shí)施已經(jīng)在發(fā)展發(fā)展學(xué)生合情推理能力方面有很多有意義的嘗試，但還存在一些問題，設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}情境對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)是十分重要的，值得分析與研究。關(guān)鍵詞創(chuàng)新意識(shí)；合情推理；演繹推理；問題情境一、推理能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識(shí)和能力的人才是時(shí)代和社會(huì)發(fā)展

2、的需要，也是國(guó)家強(qiáng)盛的需要。各門學(xué)科都應(yīng)將學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力的培養(yǎng)放在重要的、核心的位置，這也是此次課程改革的一個(gè)重要目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)課程改革中有很多的變化，其中關(guān)于合情推理的明確要求反映了對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力培養(yǎng)的關(guān)注，是數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)亮點(diǎn)。培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一，推理既包括以三段論為主要形式的演繹推理，又包括以歸納、類比為主要途徑的合情推理。這兩種推理形式無(wú)論是在數(shù)學(xué)的研究中還是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中都是十分重要的。合情推理是獲得猜測(cè)提出猜想的有效途徑，在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)中扮演著不可或缺的角色。演繹推理是確認(rèn)數(shù)學(xué)命題為真的推理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)。但演繹推理所論證的對(duì)象往往是由合

3、情推理得來的，同時(shí)，由合情推理所得到的猜測(cè)必須經(jīng)過證明（即演繹推理）才能確定其正確性，因此，在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中二者是相輔相成、缺一不可的。關(guān)于合情推理和演繹推理在人的發(fā)展和日常工作中的重要意義，著名的美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞（GPolya）曾經(jīng)說過波利亞數(shù)學(xué)與猜想科學(xué)出版社, 1984, P-，一個(gè)認(rèn)真想把數(shù)學(xué)作為他終身事業(yè)的學(xué)生必須學(xué)好論證推理這里所說的論證推理，即演繹推理，作者注。；這是他的專業(yè)也是他那門科學(xué)的特殊標(biāo)志。然而為了取得真正的成就他還必須學(xué)習(xí)合情推理；這是他的創(chuàng)造性工作所賴以進(jìn)行的那種推理。一般的或者對(duì)數(shù)學(xué)友業(yè)余愛好的學(xué)生也應(yīng)該體驗(yàn)一下論證推理：雖然它不會(huì)有機(jī)會(huì)去直接接觸它

4、，但是他應(yīng)該獲得一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，依此他能把現(xiàn)代生活中所碰到的各種所謂證據(jù)進(jìn)行比較。然而在他所有的工作之中他必將需要合情推理?？傊?，一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)有抱負(fù)的學(xué)生，不管他的興趣如何，他應(yīng)該力求學(xué)習(xí)兩種推理：論證推理和合情推理。在以往的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，我們對(duì)演繹推理給予了充分的關(guān)注，在我們強(qiáng)調(diào)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能中，都表現(xiàn)出對(duì)邏輯的強(qiáng)調(diào)，即給出已知條件，求證一個(gè)結(jié)論，這是演繹的方法。從歷史發(fā)展的角度來看，自從西學(xué)引入我國(guó)以后，我國(guó)的數(shù)學(xué)教育主要關(guān)注的是演繹能力的培養(yǎng)。關(guān)于這一點(diǎn)，楊振寧曾說過“我有幸能夠在兩個(gè)具有不同文化背景的國(guó)度里學(xué)習(xí)和工作，我在中國(guó)學(xué)到了演繹能力，我在美國(guó)學(xué)到了歸納能力”。我國(guó)之所以重視演繹

5、，很可能與科舉考試有關(guān)，因?yàn)榭婆e考試強(qiáng)調(diào)的是基本功扎實(shí)，重視的是知識(shí)的記憶和八股文的寫作，而演繹方法與此有許多相似之處。特別是從評(píng)價(jià)的角度考慮，評(píng)價(jià)歸納能力要遠(yuǎn)比評(píng)價(jià)演繹推理困難得多 史寧中教育與數(shù)學(xué)教育東北師范大學(xué)出版社，200612，P193。因此，種種原因使得我們?cè)谶^去的數(shù)學(xué)教育中，對(duì)引導(dǎo)學(xué)生們嘗試著去推測(cè)、猜想等關(guān)注的不夠，也就是說歸納、類比等合情推理沒有受到充分的重視。然而，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程，掌握從事數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本方法是發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的有效途徑。在解決問題的過程中，合情推理的結(jié)論往往超越了前提所包容的范圍，具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，因此，歸納、類比等思

6、維與創(chuàng)新思維的聯(lián)系是非常密切的，不注重歸納等合情推理能力的培養(yǎng)，就不利于對(duì)學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，不利于創(chuàng)新型的人才的培養(yǎng)。在此次課程改革中，義務(wù)教育和普通高中的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都明確提出要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)的過程，要重視培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，并提出了具體的內(nèi)容要求。例如，高中的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中為不同興趣和選擇不同發(fā)展方向的學(xué)生都設(shè)立了“推理與證明”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，要求學(xué)生結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異 中華人民共和國(guó)教育部普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，20034，P48。課程

7、標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)推理能力的全面要求，推動(dòng)了課程實(shí)施中對(duì)合情推理的關(guān)注，新課程的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材以及當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，也都重視了學(xué)生探索、猜測(cè)的過程，為學(xué)生進(jìn)行合情推理提供機(jī)會(huì)。同時(shí)，由于評(píng)價(jià)（尤其是選拔性的考試）的導(dǎo)向作用，我們發(fā)現(xiàn)在各種類型的學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)中也增加了對(duì)學(xué)生觀察、探索、歸納、概括、猜測(cè)以及證明等能力的考察。但是，歸納、類比等推理與演繹推理不同，它們沒有固定的程序和具體的步驟，對(duì)它們的理解和把握以及運(yùn)用更多的是需要學(xué)生在學(xué)習(xí)、探索的過程中自己去感悟和體會(huì)。因此為學(xué)生提供必要的問題情景進(jìn)行和探索的機(jī)會(huì)，在解決問題的過程中，讓學(xué)生們親自去觀察、概括、抽象，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律并作出相應(yīng)的猜測(cè)，是十分必要的

8、。同樣，評(píng)價(jià)學(xué)生的推理能力也需要利用恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，以全面衡量學(xué)生的推理能力。二、提供恰當(dāng)?shù)膯栴}情境實(shí)現(xiàn)推理能力的培養(yǎng)1、問題情境應(yīng)有利于使學(xué)生感受和經(jīng)歷兩種推理的全過程正因?yàn)楹锨橥评淼呐囵B(yǎng)需要學(xué)生在分析、探索的過程中才能逐漸地體會(huì)和領(lǐng)悟，進(jìn)而加以運(yùn)用，所以研究和分析如何為學(xué)生提供充分的機(jī)會(huì)和供其探索的恰當(dāng)?shù)膯栴}就是十分必要的。目前，在有關(guān)合情推理的教學(xué)和評(píng)價(jià)方面，廣大數(shù)學(xué)教育工作者和數(shù)學(xué)教師通過自己的努力，營(yíng)造出學(xué)生觀察、思考和探索的氣氛，也編制出一些可供學(xué)生進(jìn)行這方面探索的問題以及考察學(xué)生推理能力的測(cè)試題。如下的一道中考試題從某種程度上來說能夠體現(xiàn)對(duì)學(xué)生歸納和演繹推理的要求。問題 老師在黑

9、板上寫出三個(gè)算式，52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王華接著又寫出了兩個(gè)具有同樣規(guī)律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22，（1） 請(qǐng)你再寫出兩個(gè)（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式； （2） 用文字寫出反映上述算式的規(guī)律；（3） 證明這個(gè)規(guī)律的正確性。事實(shí)上，上面問題的已知條件中，五個(gè)等式分兩次給出，按照美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞的觀點(diǎn)波利亞數(shù)學(xué)與猜想科學(xué)出版社, 1984, p2，可以將前三個(gè)等式稱之為啟發(fā)式聯(lián)想，因?yàn)閷?duì)這三個(gè)等式的觀察與分析，能夠啟發(fā)觀察者獲得對(duì)某種規(guī)律的初步認(rèn)識(shí)，但這樣的認(rèn)識(shí)是模糊

10、的；接下來的等式可以稱之為支持性聯(lián)想，也就是對(duì)前面得到的較為模糊的認(rèn)識(shí)的進(jìn)一步的清晰和認(rèn)可，這個(gè)過程實(shí)際上就是獲得了猜測(cè)的過程。繼續(xù)下去，對(duì)第一個(gè)問題的回答，我們可以看成是對(duì)前面的猜測(cè)進(jìn)行驗(yàn)證的過程，也可以看成是支持性聯(lián)想的一部分。而對(duì)于第二個(gè)問題的回答，就已經(jīng)是將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行一般化的表述，形成猜想了，上述整個(gè)過程是合情推理的過程。最后一個(gè)小問題則是要求對(duì)猜想給出形式化的數(shù)學(xué)證明，即通過演繹推理完成對(duì)結(jié)論的證明。在完成這個(gè)問題的解答過程中，既包含了對(duì)所給的算式的觀察、分析和類比，又要求在此基礎(chǔ)上歸納和探索出規(guī)律，并進(jìn)一步對(duì)規(guī)律進(jìn)行數(shù)學(xué)的表述，最后對(duì)此規(guī)律進(jìn)行推理證明。因此，筆者認(rèn)為這樣的一個(gè)

11、問題就為學(xué)生進(jìn)行合情推理和演繹推理提供了可能，作為試題也能比較全面地考察學(xué)生兩種推理能力的情況。當(dāng)然，我們還可以通過適當(dāng)?shù)母脑欤股鲜鰡栴}有更大的探索、歸納的空間。例如，我們可以讓學(xué)生自行計(jì)算52-32，92-72，152-32等運(yùn)算后的結(jié)果，并嘗試尋找這些結(jié)果具有的特點(diǎn)或規(guī)律（如果學(xué)生有困難，可以提示是否能夠被2或4等整除），這樣學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析抽象、歸納概括以及獲得猜測(cè)等一系列活動(dòng)，最后進(jìn)行演繹證明，使合情推理能力及演繹推理能力得到發(fā)展。上面這個(gè)例子中，無(wú)論是類比、歸納還是推理證明，都是學(xué)生們能夠完成的，因此，它既適合對(duì)學(xué)生相應(yīng)能力的培養(yǎng)，也適合考察學(xué)生相關(guān)的能力和水平。再看下面的例子:

12、問題 用計(jì)算器計(jì)算： 請(qǐng)你猜測(cè)的結(jié)果為多少？ 對(duì)于此問題，學(xué)生可以通過觀察和分析所給數(shù)字和計(jì)算結(jié)果的特征，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律并猜測(cè)出結(jié)果，然而，由于問題本身沒有要求思考和說明猜測(cè)的理由，因此，學(xué)生的猜測(cè)僅限于形式上的歸納，與前面的問題相比，還缺乏進(jìn)一步的驗(yàn)證。這樣的問題對(duì)學(xué)生來說容易形成固定的模式，也不利于學(xué)生理解和體會(huì)合情推理與演繹推理的關(guān)系，如果沒有正確的引導(dǎo)，甚至有可能誤導(dǎo)學(xué)生認(rèn)為歸納得到的結(jié)論即為正確的結(jié)論。2、問題的提出和呈現(xiàn)應(yīng)保證探究性和科學(xué)性在我們所看到的一些問題中，還有一些問題的本身是具有探究?jī)r(jià)值的，但由于問題的提法不當(dāng)，而使問題的可探究性大打折扣。例如，問題 某公園的側(cè)門口有九級(jí)

13、臺(tái)階，小明一步只能上1級(jí)臺(tái)階或2級(jí)臺(tái)階，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)臺(tái)階數(shù)分別為1級(jí)、2級(jí)、3級(jí)、4級(jí)、5級(jí)、6級(jí)、7級(jí)逐漸增加時(shí)，上臺(tái)階不同方法的種數(shù)依次為1、2、3、5、8、13、21、，這就是著名的菲波那契數(shù)列，那么小明上這九級(jí)臺(tái)階共有 種不同的方法。實(shí)際上，這是一個(gè)富有一定探索和推理空間的問題，但由于出題者“不打自招”地將問題的規(guī)律道了出來，而且是強(qiáng)加給學(xué)生，所以學(xué)生思考此問題時(shí)就只能是對(duì)幾個(gè)冰冷的數(shù)字進(jìn)行加減計(jì)算，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律了，而對(duì)規(guī)律的正確與否則不去考慮，因此將一個(gè)值得探索和推理證明的問題演化成了對(duì)數(shù)字的運(yùn)算，其中也同樣存在著容易使學(xué)生將歸納和推理證明混為一談的類似問題。下面兩個(gè)例子中的問題更加需要

14、給予關(guān)注，否則就會(huì)出現(xiàn)學(xué)科上的問題。例如：?jiǎn)栴} 小王利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下，輸入12345輸出25101726當(dāng)輸入數(shù)據(jù)為8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)為 。問題 觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：0，3，2，3，那么第10個(gè)數(shù)據(jù)是 。類似這樣的例子在目前的各種練習(xí)冊(cè)以及考試的試題中會(huì)經(jīng)常見到，而且通常從這類問題的表述上我們可以看出，它們所要求的答案似乎是唯一確定的，學(xué)生們通過觀察、試誤等的方法找出所給出的一組數(shù)的特征，并依此特征給出問題的答案。如，對(duì)于問題，答案是這樣給出的：因?yàn)?，所以輸入n時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)為，所以當(dāng)n=8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)為。類似的，問題給出的答案是：因?yàn)?=， ，所以第

15、n個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是，當(dāng)n=10時(shí)，所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是3。對(duì)于中學(xué)生來說，這樣的解答似乎是合理的。然而，事實(shí)上這些問題的答案不僅不是唯一的，而且可以是無(wú)窮多個(gè)。我們可以構(gòu)造出無(wú)窮多個(gè)類似于上述的及的所謂的通項(xiàng)公式，這些通項(xiàng)滿足題目中給出的前幾項(xiàng)的要求，而且依此通項(xiàng)我們可以使所求的項(xiàng)中的數(shù)值是任意的。例如，對(duì)于問題，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)8時(shí)，我們可以在滿足題目要求的條件下使輸出的數(shù)據(jù)為任意數(shù)k，具體做法如下：定義多項(xiàng)式函數(shù)y=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,并令其滿足：當(dāng)x=1，2，3，4，5,8時(shí)，y=2，5，10，17，26，k。由此我們能夠得到一個(gè)關(guān)于an(n=0,1,2,3,4,5) 的

16、方程組， a5+a4+a3+a2+a1+a0=2 25a5+24a4+ 23a3+ 22a2+ 2a1+a0=5 35a5+34a4+ 33a3+ 32a2+ 3a1+a0=10 45a5+44a4+ 43a3+ 42a2+ 4a1+a0=17 55a5+54a4+ 53a3+ 52a2+ 5a1+a0=2685a5+84a4+ 83a3+ 82a2+ 8a1+a0=k解這個(gè)方程組，求出an(n=0,1,2,3,4,5)，就得到了滿足條件要求的多項(xiàng)式函數(shù)，即按此規(guī)律（多項(xiàng)式函數(shù)），它不僅滿足原來題目已知的幾項(xiàng)的要求，也能夠使第8項(xiàng)有隨意選擇的余地，同樣地，問題的解答也是可以任意地選擇一個(gè)實(shí)數(shù)添

17、入空格內(nèi)，并能類似地寫出其滿足的規(guī)律。因此，從這個(gè)意義上講，很多類似的問題的提法上就顯得不那么嚴(yán)謹(jǐn)了，盡管這些還不至于使中學(xué)生產(chǎn)生懷疑。三、反思與建議數(shù)學(xué)課程及教學(xué)從過去的過于關(guān)注演繹推理到重視合情推理從而全面發(fā)展學(xué)生的推理能力，這樣的轉(zhuǎn)變應(yīng)該說是數(shù)學(xué)課程改革諸多變化中的一個(gè)十分重要的方面，受到了學(xué)科專家、數(shù)學(xué)教育專家和數(shù)學(xué)教育工作者的一致認(rèn)同。很多教師不僅認(rèn)識(shí)到了合情推理的重要性并且在積極地努力創(chuàng)造條件發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，但是，上面列舉的一些問題值得教師在教學(xué)中思考和注意。例如，類似于問題中提法不甚嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}是不是就無(wú)法提供給學(xué)生了？如何改進(jìn)這些問題情境呢？進(jìn)一步的，如何為學(xué)生提供可供探

18、究和思考、既包含合情推理又包含演繹證明的問題情境呢？ 其實(shí)，對(duì)于問題和問題這樣的一類問題，我們是希望學(xué)生能通過觀察、分析，發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律，而且整個(gè)的思考過程應(yīng)該有一定的理性基礎(chǔ)，即要么能證明之，要么能說明規(guī)律和理由，比如，我們的問題可以表述為，“觀察下面的幾個(gè)數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律在空格處添上適當(dāng)?shù)臄?shù)”，這樣的提問，既避免了問題的漏洞，更主要的是增加了使學(xué)生進(jìn)行理性思考意識(shí)和能力的要求。另外，應(yīng)多為學(xué)生提供一些像問題那樣的問題情境，給學(xué)生創(chuàng)造出既可以探究規(guī)律又能夠加以證明的機(jī)會(huì)，一方面，提高學(xué)生的歸納、類比的能力，同時(shí)也能體會(huì)到合情推理與演繹推理之間的相依關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的推理能力。事實(shí)上，前面提到的問題，如果經(jīng)過適當(dāng)?shù)?/p>