高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(理)人教通用版6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和名師精編學(xué)案

1、名校名師推薦§6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和取新考明考情考向分析1 .理解等差數(shù)列的概念.2 .掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3 .能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.4 .了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算、基本性質(zhì)，等差數(shù)列的證明也是考查的熱點(diǎn).本節(jié)內(nèi)容在局考中既可以以選擇、填空的形式進(jìn)行考查，也可以以解答題的形式進(jìn)行考查.解答題往往與數(shù)列的計(jì)算、證明、等比數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等問題綜合考查.難度中低檔.基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)一回扣其礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練基址題目一r知識(shí)梳理1 .等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，

2、每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.2 .等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,那么它的通項(xiàng)公式是an=a+(n1)d.3 .等差中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)x,A,y組成等差數(shù)列.那么A叫做x與y的等差中項(xiàng).4 .等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(n-m)d(n,mCN+).(2)若an為等差數(shù)列，且k+l=m+n(k,l,m,nCN+),則迂可=am+an.若an是等差數(shù)列，公差為d,則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an,bn是等差數(shù)列，則pan+qbn也是等差數(shù)列.(5)若an

3、是等差數(shù)列，公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,也，mCN+)是公差為md的等差數(shù)列(6)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,構(gòu)成等差數(shù)列.Sn,一1若an是等差數(shù)列，則“n也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與an的首項(xiàng)相同，公差為2d.155.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,其前n項(xiàng)和Sn=na1an氏Sn=nai+nn1k2-2一6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn=2n2+g數(shù)列an是等差數(shù)列？Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)）.7.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中，a1>0,d<0,則Sn存在最大值；若a1<0,d>0,則Sn存在最小值【

4、概念方法微思考】a+b1.“a,A,b是等差數(shù)列”是“A=2-的什么條件?提示充要條件.2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù)嗎?提示不一定.當(dāng)公差d=0時(shí)，Sn=na1,不是關(guān)于n的二次函數(shù).3.如何推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式?提示利用倒序相加法.u基礎(chǔ)自測(cè)題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打或“X”）（1）若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.（x）（2）等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的.（V）（3）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).（x）（4）已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=3-2n,則它的公差為一2.（V）數(shù)列a

5、n為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nCN+,者B有2an+1=an+an+2.（V）（6）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=pn+q（其中p,q為常數(shù)），則數(shù)列an一定3列.（，）題組二教材改編等差數(shù)2.設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,若a6=2且S5=30,則S8等于（）A.31B.32C.33D.34答案B解析由已知可得a1+5d=2,I5a1+10d=30,解得41d=3.cc8X7.0=8%H2d=32.3.在等差數(shù)列an中，若a3+a4+as+ae+a7=450,則a2+a8=.答案180解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,，a5=90,a2+a8=

6、2a5=180.題組三易錯(cuò)自糾14.一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為金,從第10項(xiàng)起開始比1大，則這個(gè)等差數(shù)列的公差d的取值范圍是（）83c.7rd<258-3D.75<d<25答案D解析由題意可得a10>1,為w1,T-1a+9d>1,25即1t+8d<1,25所以暴"25.故選D.5 .若等差數(shù)列an滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=時(shí)，an的前n項(xiàng)和最大.答案8解析因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a0=ag+a9<0,所以為<0.故當(dāng)n=8時(shí)，其前n項(xiàng)和最

7、大.6 .一物體從1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m,以后每秒比前一秒多降落9.80m,那么經(jīng)過秒落到地面.答案20解析設(shè)物體經(jīng)過t秒降落到地面.物體在降落過程中，每一秒降落的距離構(gòu)成首項(xiàng)為4.90,公差為9.80的等差數(shù)列.1所以4.90t+2t(t-1)X9.80=1960,即4.90t2=1960,解得t=20.題型分類深度剖析真題照款深度剖析重點(diǎn)難點(diǎn)零維探究題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算一一一自主演練1.(2018全國I)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3s3=&+$4,a1=2,則a5等于()A.-12B.-10C.10D.12答案B解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由

8、3s3=S2+S4,得33a+3><(211dL2a1+2><gi)xd+4a+竺今二1)xd,將a=2代入上式，解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4X(-3)=-10.故選B.2.(2018阜新*II擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若6a3+2a43a?=5,則S7等于()A.28B.21C.14D.7答案D解析由6a3+2a4-3a2=5,得6(a1+2d)+2(a1+3d)-3(a1+d)=5a1+15d=5(a1+3d)=5,即5a4=5,所以a4=1,所以S7=7=24=7a4=7.故選D.思維升華(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及

9、五個(gè)量a1，n,d,an,知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè).(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量，即首項(xiàng)a1和公差d.題型二等差數(shù)列的判定與證明”師生共研例1在數(shù)列an中，a1=2,an是1與anan+1的等差中項(xiàng).(1)求證：數(shù)列11乙是等差數(shù)列，并求九的通項(xiàng)公式；1(2)求數(shù)列：/流田勺前n項(xiàng)和Sn.解(1).an是1與anan+1的等差中項(xiàng)，2an-1l-2an=1+anan+1,an+1=,an.an+1-1=3-1=上,anan1_an_1+1an+11an1an1'=1,a1一1數(shù)列:1an 1首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,1= 1 + (n-1)=nn+ 1an =

10、-n-(2)由(1)得n an n(n+ 1)n n+ 1'一產(chǎn)心!(34+1_，、工 n n+ 1)1n+1 n+1 .思維升華等差數(shù)列的四個(gè)判定方法(1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an+1an等于同一個(gè)常數(shù).(2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2.(3)通項(xiàng)公式法：得出an=pn+q后，再根據(jù)定義判定數(shù)列an為等差數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn=An2+Bn后，再使用定義法證明數(shù)列an為等差數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練1數(shù)列an滿足an+1=,1、(1)證明：數(shù)列=£I是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列1,前n項(xiàng)和并證明:77 + + ->.SiS2S

11、n n+1一一an證明,an+1=2a+1，an+ 12an+ 1an 'an故數(shù)列,2為公差的等差數(shù)列.an+1即工-=2,an+1an-,1c(2)解由(1)知廠=2n1,an所以 s1 = nt1 + 2n-1Ln2Sn n2>n(n+ 1 ) n n + 1.n n+ 1證明：=+士+1=N>S1S2Sn12n1x22x3n+1=1,n+1n+T題型三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用多維探究命題點(diǎn)1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)例2(2018本溪模擬)已知an為等差數(shù)列，a2+a8=18,則為的前9項(xiàng)和&等于()A.9B.17C.72D.81答案D解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，aI+a9=

12、a2+a8=18,則%的前9項(xiàng)和S9=9*a9L9X128=81.故選D.命題點(diǎn)2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例3(1)(2019錦州質(zhì)檢)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S5=7,So=21,則S15等于()A.35B.42C.49D.63答案B解析在等差數(shù)列an中，S5,S10S5,S15S10成等差數(shù)列，即7,14,S1521成等差數(shù)列,所以7+(&521)=2X14,解得§5=42.已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1=2018,舞9黑段=6,則$020=答案2020解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可得燃也為等差數(shù)列設(shè)其公差為d,則S2 0192 019S2 0132 013=

13、6d= 6d= 1.S2020Si故2020'=彳+2019d=2018+2019=1,.S2020=1X2020=2020.思維升華等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，m+n=p+q(m,n,p,qCN+),則am+an=ap+aq.(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則S2n=n(ai+a2n)=n(an+an+i)；S2n-1=(2n1)an.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知等差數(shù)列an,a2=2,a3+as+a7=15,則數(shù)列an的公差d等于()A.0B.1C.-1D.2答案B解析,a3+a5+a7=3a5=15,.a§5).a5a233d,可得d=1

14、,故選B.(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S13>0,S14<0,則Sn取最大值時(shí)n的值為()A.6B.7C.8D.13答案B解析根據(jù)S3>0,S14<0,可以確定a+a3=2a7>0,a+a4=a7+a8<0,所以可以得到a7>0,a8<0,所以Sn取最大值時(shí)n的值為7,故選B.課時(shí)作業(yè)基礎(chǔ)保分練1 .若an為等差數(shù)列，且a7-2a4=-1,a3=0,則公差d等于()11A.-2B.-2C.2D.2答案B解析由于a72a4=a1+6d2(a1+3d)=a1=1,1則a1=1.又由a3=a1+2d=1+2d=0,斛得d=.故選B.2 .在

15、等差數(shù)列an中，已知a1=2,az+a3+a4=24,則a4+as+a6等于()A.38B.39C.41D.42答案D解析由a=2,a2+a3+a4=24,可得，3a1+6d=24,解得d=3,'''a4+a5+a6=3a1+12d=42.故選D.3 .已知等差數(shù)列an中，a1012=3,S2017=2017,則S2020等于()A.2020B.-2020C.-4040D.4040答案D解析由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，S2017=a/：2017X2017=2a209X2017=2017a1009=2017,則a1009=1,據(jù)此可得，a1+a2020S

16、2020=2X2020=1010（a1009+a1012）=1010x4=4040.4 .程大位算法統(tǒng)宗里有詩云“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏.次第每人多十七，要將第八數(shù)來言.務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳.”意為：996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)開始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止.分配時(shí)一定要等級(jí)分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為（）A.65B.176C.183D.184答案D解析根據(jù)題意可得每個(gè)孩子所得棉花的斤數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列an,其中d=17,n=8,S8=996.由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得8為+81上X17=996,解得a1=65.由等差

17、數(shù)列通項(xiàng)公式得a8=65+（81）X17=184.5 .已知數(shù)列an是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn,滿足a+5a3=&,給出下列結(jié)論：a10=0;S10最小；&=&2；S20=0.其中一定正確的結(jié)論是（）A.B.C.D.答案C解析a+5（a+2d）=8a1+28d,所以a=9d,a0=a+9d=0,正確；由于d的符號(hào)未知，所以Sio不一定最大，錯(cuò)誤；S7=7a+21d=42d,&2=12a+66d=42d,所以S=S2,正確；S20=20al+190d=10d,錯(cuò)誤.所以正確的是，故選C.6 .在等差數(shù)列an中，若嗎一1,且它的前n項(xiàng)和Sn有最小值，則當(dāng)Sn>

18、0時(shí)，n的最小值為（）a8A.14B.15C.16D.17答案C解析二.數(shù)列an是等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和Sn有最小值，公差d>0,首項(xiàng)a1<0,an為遞增數(shù)列.,.強(qiáng)1a8a8a9<0,a8+ag>0由等差數(shù)列的性質(zhì)知,2a8=a+a5<0,a8+a9=a+a6>0.，當(dāng)5>0時(shí)，n的最小值為16.7 .（2018北京）設(shè)an是等差數(shù)列，且ai=3,az+a5=36,則an的通項(xiàng)公式為.答案an=6n3（nCN+）解析方法一設(shè)公差為d.a2+a5=36,.（a+d）+（a1+4d）=36,1-2ai+5d=36.1ai=3,d=6,.,通項(xiàng)公式an=a

19、+（n1）d=6n3（nCN+）.方法二設(shè)公差為d,a2+a§=a1+%=36,a1=3,a6a1a6=33,d=6.51=3,.通項(xiàng)公式an=6n3（nCN+）.8 .（2019包頭質(zhì)檢）在等差數(shù)列an中，若a7=2，則sin2a+cosa+sin2a13+cosa13=.答案0解析根據(jù)題意可得a+a13=2a7=兀，2a1+2a13=4a7=27t,所以有sin2al+cosa1+sin2a13+cosa13=sin2a1+sin（2兀一2a1）+cosa1+cos（兀一a1）=0.9 .等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且供=|三，則肥=.In2n十3b10答案56

20、41解析在等差數(shù)列中，S19=19a10,119=1930,因此如=強(qiáng)=3><19T=56b10T192X19+341.10 .已知數(shù)列>/an+1a是公差為2的等差數(shù)列，且a=1,a3=9,則an=.答案（n23n+3）2解析數(shù)列逝二一國是公差為2的等差數(shù)列，JUa1=1,ag=9,0an+i-0?i=(02-1)+2(n1),afa3102=GTa-1)+2, 30202=(la2-1)+2,.1.a2=1. Man+1-'7an=2n-2,M=2(n1)2+2(n2)2+2-2+1=2x6-21J_2(n-1)+1=n2-3n+3.，an=(n23n+3)2)n

21、=1時(shí)也成立.,22 .an=(n3n+3).111.已知數(shù)列an滿足(an+11)(an1)=3(anan+1),a1=2,令*=an1(1)證明:數(shù)列bn是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式證明1_ 1an+11an 1anan+11(an+111an1)3'-bn=3,，bn是等差數(shù)列.,一11(2)解由(1)及出=彳4=匚1=1.知bn=Tn+|,33an-1=,an=n-5nn+2nn+2.12 .(2018全國H)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a=7,0=15.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn,并求Sn的最小值.解(1)設(shè)an的公差為d,由題意得3a1+3d=1

22、5.由a1=7得d=2.所以an的通項(xiàng)公式為an=a+(n1)d=2n9(nCN).(2)由(1)得SnMan=n2-8n=(n-4)2-16.所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為一16.力技能提升練13 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,bn=2an且bi+b3=17,bz+b4=68,則S10等于()A.90B.100C.110D.120答案A解析設(shè)an公差為d,b2+b4_2a2+2a4=2-+d+2a3+d=2d=68=4bi+b32ai+2a32ai+2a317一，.d=2,b1+b3=2a1+2a3=2a1+2a1+2d=17,2、=1,a1=0,.S10=10a1+1029d=1029X2=90,故選A.14 .設(shè)等差數(shù)列an的公差為9前8項(xiàng)和為6兀，記tan9=k,則數(shù)列tanantanan+1的前799項(xiàng)和是()7k2337k2117k27k211A.k2-1B.k2-1C.k2-1D.k2-1答案C解析等差數(shù)列an的公差d為9,前8項(xiàng)和為6國可得附+78*7*尹6兀,解得吩口tan antan an+1 =tan an+1 tan antan an +1 an )tanan+1tanantand則數(shù)列tanantanan+1的前7項(xiàng)和為1(tana8tana7+tana7t