電磁場(chǎng)與電磁波第三章

1、本章內(nèi)容本章內(nèi)容 3.1 靜電場(chǎng)分析靜電場(chǎng)分析 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析 3.3 恒定磁場(chǎng)分析恒定磁場(chǎng)分析 3.4 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題及解的惟一性定理靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法鏡像法 3.6 分離變量法分離變量法 靜態(tài)電磁場(chǎng)：靜態(tài)電磁場(chǎng)：場(chǎng)量不隨時(shí)間變化，包括：場(chǎng)量不隨時(shí)間變化，包括： 靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng) 時(shí)變情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)時(shí)變情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng) 靜態(tài)情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立靜態(tài)情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立 3.1 靜

2、電場(chǎng)分析靜電場(chǎng)分析 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.1.1 靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù) 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場(chǎng)的能量靜電場(chǎng)的能量 3.1.5 靜電力靜電力2. 邊界條件邊界條件微分形式：微分形式：本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：1. 基本方程基本方程積分形式：積分形式：或或或或3.1.1 靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即 ，則，則DE0 D dSE dl0SCq DE n12n12(DD )(EE )0See 1n2n1t2t0SD

3、DEE 0S n12n12(DD )0(EE )0ee 1n2n1t2tDDEE 介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1 121212E1Ene 在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)為在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)為0，則導(dǎo)體表面的，則導(dǎo)體表面的邊界條件為邊界條件為 或或 場(chǎng)矢量的折射關(guān)系場(chǎng)矢量的折射關(guān)系 導(dǎo)體表面的邊界條件導(dǎo)體表面的邊界條件1t1n111n122t2n22n2/tan/tan/EEDEEDnnDE0See nt0SDE 即即靜電場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示，靜電場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示，標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) 稱為靜稱為靜電場(chǎng)的標(biāo)量電位或簡(jiǎn)稱電位。電場(chǎng)的標(biāo)量電位或簡(jiǎn)稱電位。由由1.

4、 電位函數(shù)的定義電位函數(shù)的定義3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù)0E E 31( )11( )d( ) ()d4411( )()d4VVVr RE rVrVRRrVR 2. 電位的表達(dá)式電位的表達(dá)式對(duì)于連續(xù)的體分布電荷，由對(duì)于連續(xù)的體分布電荷，由同理得，面電荷的電位：同理得，面電荷的電位： 故得故得點(diǎn)電荷的電位：點(diǎn)電荷的電位：線電荷的電位：線電荷的電位：Rrr 31()RRR 1( )( )d4VrrVCR 3( )1( )d4SSrrSCR ( )1( )d4lCrrlCR ( )4qrCR 3. 電位差電位差兩端點(diǎn)乘兩端點(diǎn)乘 ，則有，則有將將上式兩邊從點(diǎn)上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分

5、，得沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說(shuō)明關(guān)于電位差的說(shuō)明 P、Q 兩點(diǎn)間的電位差等于電場(chǎng)力將單位正電荷從兩點(diǎn)間的電位差等于電場(chǎng)力將單位正電荷從P點(diǎn)移至點(diǎn)移至Q 點(diǎn)點(diǎn) 所做的功，電場(chǎng)力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。所做的功，電場(chǎng)力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。 電位差也稱為電壓，可用電位差也稱為電壓，可用U 表示。表示。 電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無(wú)關(guān)。電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無(wú)關(guān)。P、Q 兩點(diǎn)間的電位差兩點(diǎn)間的電位差電場(chǎng)力做電場(chǎng)力做的功的功E dl dd(ddd )dEllxyyxyy dd( )( )QQPPElPQ 選擇電位參考點(diǎn)

6、的原則選擇電位參考點(diǎn)的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義。應(yīng)使電位表達(dá)式有意義。 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡(jiǎn)單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無(wú)應(yīng)使電位表達(dá)式最簡(jiǎn)單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無(wú) 限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)。限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)。 同一個(gè)問(wèn)題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。同一個(gè)問(wèn)題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。 靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即選參考點(diǎn)選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零令參考點(diǎn)電位為零電位確定值電位確定值( (電位差電位差) )兩點(diǎn)間電位差有定值兩點(diǎn)間電位差有定值4. 電位參考點(diǎn)電位參考點(diǎn) 為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)

7、作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即()CC 例例 3.1.1 求電偶極子的電位求電偶極子的電位. . 解解 在球坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中用二項(xiàng)式展開(kāi)，由于，得用二項(xiàng)式展開(kāi)，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。+q電偶極子電偶極子zodq1r2rr),(rP2101201 211( )()44rrqqrrrr r 221222(/ 2)cos(/ 2)cosrrd

8、rdrrdrd rd1cos ,2drr 2cos2drr 223000p ecosp( )444rqdrrrrr pqd 將將 和和 代入上式，代入上式，解得解得E 線方程為線方程為 由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度等位線等位線電場(chǎng)線電場(chǎng)線電偶極子的場(chǎng)圖電偶極子的場(chǎng)圖電場(chǎng)線微分方程電場(chǎng)線微分方程：等位線方程等位線方程：11E( )(eee)sinrrrrr 30(e 2cose sin )4rqr 20cos4pCr 2cosrC ddrrrEE E Er21sinrC 解解 選定均勻電場(chǎng)空間中的一點(diǎn)選定均勻電場(chǎng)空間中的

9、一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P 的的位置矢量為位置矢量為r ，則，則若選擇點(diǎn)若選擇點(diǎn)O為電位參考點(diǎn)，即為電位參考點(diǎn)，即 ，則，則 在球坐標(biāo)系中，取極軸與在球坐標(biāo)系中，取極軸與 的方向的方向一致，即一致，即 ，則有，則有 在圓柱坐標(biāo)系中，取在圓柱坐標(biāo)系中，取 與與x 軸方向一致，即軸方向一致，即 ，而，而 ，故，故 0ExzOPr 例例3.1.2 求均勻電場(chǎng)的電位分布。求均勻電場(chǎng)的電位分布。000( )( )ddPPoOPOElErEr ( )0O 0( )PEr 0E00zEe E 000( )coszPErer EE r 0E 00 xEe E 000( )()cosxzP

10、EreE ee zE zree z xyzL-L( , , ) z zddlzR 解解 采用圓柱坐標(biāo)系，令線電荷與采用圓柱坐標(biāo)系，令線電荷與 z 軸相重合，中點(diǎn)位于坐軸相重合，中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對(duì)稱性，電位與標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對(duì)稱性，電位與 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。在帶電線上位于在帶電線上位于 處的線元處的線元 ，它，它到點(diǎn)到點(diǎn) 的距離的距離 ，則則 例例3.1.3 求長(zhǎng)度為求長(zhǎng)度為2L、電荷線密度為、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。的均勻帶電線的電位。0l ddlz ( , , )Pz 22()Rzz z 02201()d4()LlLrzzz 2200ln() 4LlLzzzz 220220()()

11、ln4()()lzLzLzLzL 在上式中若令在上式中若令 ，則可得到無(wú)限長(zhǎng)直線電荷的電位。當(dāng)，則可得到無(wú)限長(zhǎng)直線電荷的電位。當(dāng) 時(shí)，上式可寫(xiě)為時(shí)，上式可寫(xiě)為 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上式變?yōu)闊o(wú)窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)時(shí)，上式變?yōu)闊o(wú)窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時(shí)可在上式中加上域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時(shí)可在上式中加上一個(gè)任意常數(shù)，則有一個(gè)任意常數(shù)，則有并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。例如，選擇并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。例如，選擇= a 的點(diǎn)為電位參的點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則有考點(diǎn)，則有L LR2222000220002( )lnlnln422ll

12、lLLLLLrLL L 002( )ln2lLrC 002ln2lLCa 00( )ln2lar 在均勻介質(zhì)中，有在均勻介質(zhì)中，有5. 電位的微分方程電位的微分方程在無(wú)源區(qū)域，在無(wú)源區(qū)域，標(biāo)量泊松方程標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程DEE 2 0 20 6. 靜電位的邊界條件靜電位的邊界條件 設(shè)設(shè)P1和和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為別為1和和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離當(dāng)兩點(diǎn)間距離l0時(shí)時(shí) 導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：由由 和和12媒質(zhì)媒質(zhì)2媒質(zhì)媒質(zhì)121l2P1P 若介質(zhì)分界面上無(wú)自由電荷，即若介質(zhì)分界面上無(wú)

13、自由電荷，即常數(shù)，常數(shù)，21120limdl0PPlE 12 D n12(DD )Se 2121Snn0S 2121nn Sn 例例3.1.4 兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板分別置于兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板分別置于 x = 0 和和 x = a 處，處，在兩板之間的在兩板之間的 x = b 處有一面密度為處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場(chǎng)。示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場(chǎng)。 解解 在兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板之間，除在兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板之間，除 x = b 處有均勻面電處有均勻面電荷分布外，其余空間均無(wú)電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉荷分布外，

14、其余空間均無(wú)電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程斯方程方程的解為方程的解為obaxy兩塊無(wú)限大平行板兩塊無(wú)限大平行板0S1( )x2( ) x212d( )0 ,(0)dxxbx 222d( )0 ,()dxbxax 0S 111222( )( )xC xDxC xD 利用邊界條件，有利用邊界條件，有 處，處，最后得最后得 處，處， 處，處，所以所以由此解得由此解得0 x xa xb 1(0)0 2( )0a 12( )( ),bb 0110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 0022000210,( )( )SSSx bbbCDaxxxx 010020()( ),(0)(

15、 )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabExxea 0220( )( )SxbExxea 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中：電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中： 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 在電子電路中，利用電容器來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁在電子電路中，利用電容器來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用。路、選頻等作用。 通過(guò)電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜通過(guò)電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜 電路。電路。 在電力系統(tǒng)中，可利用電容

16、器來(lái)改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來(lái)改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。 電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng) 儲(chǔ)存電荷儲(chǔ)存電荷能力的物理量。能力的物理量。 孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位與其電位 的比值，即的比值，即1. 電容電容 孤立導(dǎo)體的電容孤立導(dǎo)體的電容 兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷（兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷（ q）的的 導(dǎo)體組成的電容器，其電容為導(dǎo)體組成的電容器，其電容為 電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)電容的大

17、小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無(wú)關(guān)。的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無(wú)關(guān)。E02U1qqqC 12qqCU (6) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。 (5) 由由 ，求出導(dǎo)體的電荷，求出導(dǎo)體的電荷q ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。 (3) 由由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；，求出兩導(dǎo)體間的電位差； (1) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q 和和q ； 計(jì)算電容的方法一計(jì)算電容的方法一： (2) 計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度E；

18、計(jì)算電容的方法二計(jì)算電容的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U ； (4) 由由 得到得到 ; (2) 計(jì)算兩電極間的電位分布計(jì)算兩電極間的電位分布 ；21dUEl Cq U E nSE S dSSqS Cq U 解解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為電荷為q ，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場(chǎng)的電場(chǎng)同心導(dǎo)體間的電壓同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容球形電容器的電容當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 例例3.1.4 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體半徑為、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。的均勻介

19、質(zhì)。求此球形電容器的電容。求此球形電容器的電容。孤立導(dǎo)體球的電容孤立導(dǎo)體球的電容abo44rr22qqDe,Eerr 0011d()44baqqbaUE rabab 04abqCUba b 04Ca 解解 設(shè)兩導(dǎo)線單位長(zhǎng)度帶電量分別為設(shè)兩導(dǎo)線單位長(zhǎng)度帶電量分別為 和和 。由于。由于 ，故故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P 的電場(chǎng)強(qiáng)度為的電場(chǎng)強(qiáng)度為 例例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，

20、導(dǎo)線半徑為a ，兩導(dǎo)線，兩導(dǎo)線的軸線距離為的軸線距離為D ，且，且D a ，求傳輸線單位長(zhǎng)度的電容。，求傳輸線單位長(zhǎng)度的電容。兩導(dǎo)線間的電位差兩導(dǎo)線間的電位差故單位長(zhǎng)度的電容為故單位長(zhǎng)度的電容為xyzxDa011( )()2lxE xexDx 210011d()dln2D allaDaUElxxDxa 001(F/m)ln()ln()lCUDaaD a l l Da 例例3.1.6 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a ，外導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體半徑為b ，內(nèi)外導(dǎo)體，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長(zhǎng)度的電容。求同軸線單位長(zhǎng)度的電容。內(nèi)外導(dǎo)體間的

21、電位差內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差ll 解解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量分別為設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量分別為 和和 ，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為故得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為故得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為ab同軸線同軸線( )2lEe 1( )dd2bblaaUEe ln( / )2lb a 12(F/m)ln( / )lCUb a 2. 部份電容部份電容在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個(gè)導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個(gè)導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體 上的電荷的影響。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時(shí)，必須把電容的上的電荷的影響。因

22、此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時(shí)，必須把電容的 概念加以推廣，引入部分電容的概念。概念加以推廣，引入部分電容的概念。 在由在由N個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導(dǎo)體所帶的電荷個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導(dǎo)體所帶的電荷之間成線性關(guān)系，所以，各導(dǎo)體的電位為之間成線性關(guān)系，所以，各導(dǎo)體的電位為式中：式中： 自電位系數(shù)自電位系數(shù) 互電位系數(shù)互電位系數(shù)（1） 電位系數(shù)電位系數(shù)1(1, 2 ,)Nii jjjqiN (1 , 2 ,)iiiN ()i jij i j 在數(shù)值上等于第在數(shù)值上等于第i 個(gè)導(dǎo)體上的總電量為一個(gè)單位、而其余個(gè)導(dǎo)體上的總電量為一個(gè)單位、而其余 導(dǎo)體上的總電量都為零時(shí)，第導(dǎo)體上的總電量都為零

23、時(shí)，第 j 個(gè)導(dǎo)體上的電位，即個(gè)導(dǎo)體上的電位，即i j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無(wú)關(guān)；參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無(wú)關(guān)；具有對(duì)稱性，即具有對(duì)稱性，即i j = j i 。i j 0 ； 電位系數(shù)的特點(diǎn)電位系數(shù)的特點(diǎn)：1110( ,1 , 2 ,)jjNii jjqqqqi jNq 若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為 式中：式中： 自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù)自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù) 互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù)互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù) （2）

24、電容系數(shù)電容系數(shù)1(1, 2 ,)Nii jjjqiN (1 , 2 ,)iiiN ()i jij i j 在數(shù)值上等于第在數(shù)值上等于第 j個(gè)導(dǎo)體上的個(gè)導(dǎo)體上的電位為一個(gè)單位、而其余導(dǎo)電位為一個(gè)單位、而其余導(dǎo) 體接地時(shí)，體接地時(shí)，第第 i 個(gè)導(dǎo)體上的電量，即個(gè)導(dǎo)體上的電量，即 i j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無(wú)關(guān)；參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無(wú)關(guān)；具有對(duì)稱性，即具有對(duì)稱性，即i j = j i 。i i 0 、 ； 電容系數(shù)的特點(diǎn)：電容系數(shù)的特點(diǎn)：1110( ,1 , 2 ,)

25、jjNiijjqi jN 0()ijij 將各導(dǎo)體的電量表示為將各導(dǎo)體的電量表示為 式中：式中：（3） 部分電容部分電容 導(dǎo)體導(dǎo)體 i 與導(dǎo)體與導(dǎo)體 j 之間的部分電容之間的部分電容 導(dǎo)體導(dǎo)體 i 與地之間的部分電容與地之間的部分電容 111()()NNNNii jjijjijiijiijijijijjj ijq ()Nijiji iij iCC (1, 2 ,)iN ()ijijCij 1Ni ii jjC Ci i 在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個(gè)單位時(shí)，在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個(gè)單位時(shí)，第第 i 個(gè)導(dǎo)個(gè)導(dǎo) 體上的電量；體上的電量； Ci j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及

26、導(dǎo)體周圍的介質(zhì)只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無(wú)關(guān)；參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無(wú)關(guān)；具有對(duì)稱性，即具有對(duì)稱性，即Ci j = Cj i 。Ci j 0 ； Ci j 在數(shù)值上等于第在數(shù)值上等于第 j 個(gè)導(dǎo)體的電位為一個(gè)單位、其余個(gè)導(dǎo)體的電位為一個(gè)單位、其余 導(dǎo)體都接地時(shí)，導(dǎo)體都接地時(shí)，第第 i 個(gè)導(dǎo)體上的電量；個(gè)導(dǎo)體上的電量； 部分電容的特點(diǎn)部分電容的特點(diǎn)：()ij 在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，把其中任意兩在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，把其中任意兩個(gè)導(dǎo)體作為電容器的兩個(gè)電極，設(shè)在個(gè)導(dǎo)體作為電容器的兩個(gè)電極，設(shè)在這兩個(gè)電極間加上電壓這兩個(gè)電極間加上電壓U，極板

27、上所，極板上所帶電荷分別為帶電荷分別為 ，則比值，則比值 稱為稱為這兩個(gè)導(dǎo)體間的等效電容。這兩個(gè)導(dǎo)體間的等效電容。（4）等效電容等效電容如圖所示，有三個(gè)部分電容如圖所示，有三個(gè)部分電容導(dǎo)線導(dǎo)線 1 和和 2 間的等效電容為間的等效電容為導(dǎo)線導(dǎo)線 1 和大地間的等效電容為和大地間的等效電容為導(dǎo)線導(dǎo)線 2 和大地間的等效電容為和大地間的等效電容為1 12 212C22C11C大地大地大地上空的平行雙導(dǎo)線大地上空的平行雙導(dǎo)線q /q U112212CCC、11221121122C CCCCC 12222111222C CCCCC 12113221211C CCCCC 如果充電過(guò)程進(jìn)行得足夠緩慢，就不

28、會(huì)有能量輻射，充電過(guò)如果充電過(guò)程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會(huì)有能量輻射，充電過(guò)程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能量，或者說(shuō)電場(chǎng)能程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能量，或者說(shuō)電場(chǎng)能量就等于外加電源在此電場(chǎng)建立過(guò)程中所做的總功。量就等于外加電源在此電場(chǎng)建立過(guò)程中所做的總功。靜電場(chǎng)能量來(lái)源于建立電荷系統(tǒng)的過(guò)程中外源提供的能量。靜電場(chǎng)能量來(lái)源于建立電荷系統(tǒng)的過(guò)程中外源提供的能量。靜電場(chǎng)最基本的特征是對(duì)電荷有作用力，這表明靜電場(chǎng)具有靜電場(chǎng)最基本的特征是對(duì)電荷有作用力，這表明靜電場(chǎng)具有 能量。能量。 任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過(guò)從沒(méi)有電荷分布到某個(gè)最終任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過(guò)從沒(méi)有電荷分布到某個(gè)

29、最終電荷分布的建立電荷分布的建立(或充電或充電)過(guò)程。在此過(guò)程中，外加電源必須克服過(guò)程。在此過(guò)程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。電荷之間的相互作用力而做功。3.1.4 靜電場(chǎng)的能量靜電場(chǎng)的能量 1. 靜電場(chǎng)的能量靜電場(chǎng)的能量 設(shè)系統(tǒng)從零開(kāi)始充電，最終帶電量為設(shè)系統(tǒng)從零開(kāi)始充電，最終帶電量為 q 、電位為、電位為 。 充電過(guò)程中某一時(shí)刻的電荷量為充電過(guò)程中某一時(shí)刻的電荷量為q 、電位為、電位為 。(01) 當(dāng)當(dāng)增加為增加為(+ d)時(shí)，外電源做功為時(shí)，外電源做功為: (q d)。 對(duì)對(duì)從從0 到到 1 積分，即得到外電源所做的總功為積分，即得到外電源所做的總功為 根據(jù)能量守恒定律

30、，此功也就是電量為根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電的帶電體具有的電場(chǎng)能量場(chǎng)能量We ，即，即 對(duì)于電荷體密度為對(duì)于電荷體密度為的體分布電荷，體積元的體分布電荷，體積元dV中的電荷中的電荷dV具具有的電場(chǎng)能量為有的電場(chǎng)能量為101d2qq e12Wq e1dd2WV 故體分布電荷的電場(chǎng)能量為故體分布電荷的電場(chǎng)能量為對(duì)于面分布電荷，對(duì)于面分布電荷，電場(chǎng)能量為電場(chǎng)能量為對(duì)于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有對(duì)于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有 第第i 個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷 第第i 個(gè)導(dǎo)體的電位個(gè)導(dǎo)體的電位式中：式中：e1d2VWV e1d2SSWS e111dd222iiiiS

31、iiSiiSSiiiWSSq iqi 2. 電場(chǎng)能量密度電場(chǎng)能量密度 從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，靜電場(chǎng)的能量分布于電場(chǎng)所在的整個(gè)空間。從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，靜電場(chǎng)的能量分布于電場(chǎng)所在的整個(gè)空間。電場(chǎng)能量密度：電場(chǎng)能量密度：電場(chǎng)的總能量：電場(chǎng)的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶?chǎng)積分區(qū)域?yàn)殡妶?chǎng)所在的整個(gè)空間所在的整個(gè)空間對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有e12wD Ee1d2VWD E V 2e111222wD EE EE2e111ddd222VVVWD E VE E VEV由于體積由于體積V 外的電荷密度外的電荷密度0，若將上，若將上式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)場(chǎng)空間，結(jié)式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)場(chǎng)空間，結(jié)

32、果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面內(nèi)，當(dāng)閉合面S 無(wú)限擴(kuò)大時(shí)，則有無(wú)限擴(kuò)大時(shí)，則有故故 推證推證：R0Se11dd22VVWVDV ()DDD D 1()d2VDDV 11dd22SVDSE D V ()ddVSDVDS E 211 O( O()DRR )、)、21 11d O(d ) O()0SSDSSR RR 例例3.1.7 半徑為半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電的電荷，試求靜電場(chǎng)能量。荷，試求靜電場(chǎng)能量。 解：解： 方法一方法一，利用利用 計(jì)算計(jì)算 根據(jù)高斯定理求得電場(chǎng)強(qiáng)度根據(jù)高斯定理求得電場(chǎng)

33、強(qiáng)度 故故e1d2VWD E V 10()3rrEera 3220()3raEerar 1222e0102111ddd222VVVWD E VEVEV222622250224000014(4d4d )29915aararrrrar 方法二方法二：利用利用 計(jì)算計(jì)算 先求出電位分布先求出電位分布 故故e1d2VWV 3112200220dddd33()()23aarararaErErrrrrara 222225e1000114d()4d22 2315aVrWVarra 已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫(kù)侖定律可以計(jì)算帶電已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫(kù)侖定律可以計(jì)算帶電體電荷之間的電場(chǎng)力。

34、但對(duì)于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫(kù)體電荷之間的電場(chǎng)力。但對(duì)于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫(kù)侖定律計(jì)算電場(chǎng)力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來(lái)侖定律計(jì)算電場(chǎng)力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來(lái)計(jì)算靜電力。計(jì)算靜電力。 虛位移法：虛位移法：假設(shè)第假設(shè)第i 個(gè)帶電個(gè)帶電導(dǎo)體在電場(chǎng)力導(dǎo)體在電場(chǎng)力Fi 的作用下發(fā)生位移的作用下發(fā)生位移dgi，則電場(chǎng)力做功，則電場(chǎng)力做功dAFi dgi ，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)?，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We 。根據(jù)根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為其中其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。是與各帶電體相連接的外電源所

35、提供的能量。 具體計(jì)算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電具體計(jì)算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變。導(dǎo)體的電荷不變。3.1.5 靜電力靜電力edddSiiWF gW1. 各帶電導(dǎo)體的電位不變各帶電導(dǎo)體的電位不變 此時(shí)，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)此時(shí)，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量提供的能量系統(tǒng)所改變的靜電能量系統(tǒng)所改變的靜電能量即即此時(shí)，所有帶電體都不和外電源相連接，則此時(shí)，所有帶電體都不和外電源相連接，則 dWS0，因此，因此2. 各帶電導(dǎo)體的電荷不變各帶電導(dǎo)體的電荷不變式中的式中的“”號(hào)表示電場(chǎng)力做功是靠減少系

36、統(tǒng)的靜電能量來(lái)實(shí)現(xiàn)的。號(hào)表示電場(chǎng)力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來(lái)實(shí)現(xiàn)的。 不變不變q不變不變11dd()dNNSiiiiiiWqqe1111dd()d22NNiiiiiiWqqed2dSWW eddiiF gW eiiWFg eddiiF gW eiiWFg 所以電容器內(nèi)的電場(chǎng)能量為所以電容器內(nèi)的電場(chǎng)能量為由由 可求得介質(zhì)片受到的靜電力為可求得介質(zhì)片受到的靜電力為 解解 平行板電容器的電容為平行板電容器的電容為部分填充介質(zhì)的平行板電容器部分填充介質(zhì)的平行板電容器dbU0lx 例例3.1.8 有一平行金屬板電容器，極有一平行金屬板電容器，極板面積為板面積為lb，板間距離為，板間距離為d ，用一塊介

37、，用一塊介質(zhì)片（寬度為質(zhì)片（寬度為b、厚度為、厚度為d ，介電常數(shù)為，介電常數(shù)為）部分填充在兩極板之間，如圖所示。）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設(shè)極板間外加電壓為設(shè)極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應(yīng)，忽略邊緣效應(yīng)，求介質(zhì)片所受的靜電力。求介質(zhì)片所受的靜電力。由于由于0，所以介質(zhì)，所以介質(zhì)片所受到的力有將其片所受到的力有將其拉進(jìn)電容器的趨勢(shì)拉進(jìn)電容器的趨勢(shì)0()lx bbxCdd 220e001()22bUWCUlxxd 不變eiiWFg 02e00()2xUWbUFxd 不不 此題也可用式此題也可用式 來(lái)計(jì)算來(lái)計(jì)算q不變不變?cè)O(shè)極板上保持總電荷設(shè)極板上保持總電荷q 不變，則不變，則由此可得由

38、此可得由于由于同樣得到同樣得到eiiWFg 22e022 ()qdqWCblxx2e020()2 ()xqWdqFxblxx 不不000()bUqCUlxxd200()2xbUFd 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.2.1 恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件 3.2.2 恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬 3.2.3 漏電導(dǎo)漏電導(dǎo) 由由J J E E 可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場(chǎng)，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷作定向運(yùn)動(dòng)，但導(dǎo)體中的電的電場(chǎng)，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電

39、場(chǎng)的電荷作定向運(yùn)動(dòng)，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為恒定電場(chǎng)。的電場(chǎng)稱為恒定電場(chǎng)。 恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的重要區(qū)別：恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的重要區(qū)別： （1 1）恒定電場(chǎng)可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部。）恒定電場(chǎng)可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部。 （2 2）恒定電場(chǎng)中有電場(chǎng)能量的損耗）恒定電場(chǎng)中有電場(chǎng)能量的損耗, ,要維持導(dǎo)體中的恒定電要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來(lái)不斷補(bǔ)充被損耗的電場(chǎng)能量。流，就必須有外加電源來(lái)不斷補(bǔ)充被損耗的電場(chǎng)能量。 恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)都是有源無(wú)旋場(chǎng)，具有相同的性質(zhì)。恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)都是有源無(wú)旋場(chǎng)

40、，具有相同的性質(zhì)。 3.2.1 恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件 恒定電場(chǎng)的基本場(chǎng)矢量是電流密度恒定電場(chǎng)的基本場(chǎng)矢量是電流密度 和電場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度1. 基本方程基本方程 恒定電場(chǎng)的基本方程為恒定電場(chǎng)的基本方程為微分形式：微分形式：積分形式：積分形式： 線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系 恒定電場(chǎng)的電位函數(shù)恒定電場(chǎng)的電位函數(shù)由由若媒質(zhì)是均勻的，則若媒質(zhì)是均勻的，則 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒(méi)有體分布電荷沒(méi)有體分布電荷J0E0 J dS0E dl0 SC JE J()0 EE0E E0 E J0 ()0 20 J( )r ( )E r 2.

41、恒定電場(chǎng)的邊界條件恒定電場(chǎng)的邊界條件媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1Ene 場(chǎng)矢量的邊界條件場(chǎng)矢量的邊界條件即即即即 導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場(chǎng)矢量的折射關(guān)系場(chǎng)矢量的折射關(guān)系J dS0 S E dl0 Cn12(JJ )0e n12(EE )0e 1n2n JJ1t2t EE1t1n111n122t2n22n2/tan/tan/EEJEEJ1212n12n12n1212(DD )(JJ )() SeeJ 電位的邊界條件電位的邊界條件 恒定電場(chǎng)同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場(chǎng)恒定電場(chǎng)同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場(chǎng) 既有法向分量又

42、有切向分量，電場(chǎng)并不垂直于導(dǎo)體表面，因既有法向分量又有切向分量，電場(chǎng)并不垂直于導(dǎo)體表面，因 而導(dǎo)體表面不是等位面；而導(dǎo)體表面不是等位面； 說(shuō)明說(shuō)明：b11、a121212,nn媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12122E1E)(12媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12012Ene1E)0(1 如如2 1、且、且 290，則則 10， 即電場(chǎng)線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。即電場(chǎng)線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。 此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面；等位面； 若媒質(zhì)若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)為理想介質(zhì)，即即 10，則則 J1=0，故故J2n= 0 且且 E2n= 0，即導(dǎo)體，即導(dǎo)體 中的電流和電

43、場(chǎng)與分界面平行中的電流和電場(chǎng)與分界面平行。3.2.2 恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬 如果兩種場(chǎng)，在一定條件下，場(chǎng)方程有相同的形式，邊界如果兩種場(chǎng)，在一定條件下，場(chǎng)方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場(chǎng)分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。只需求出一種場(chǎng)的解，就兩種場(chǎng)分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。只需求出一種場(chǎng)的解，就可以用對(duì)應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場(chǎng)的解。這種求解場(chǎng)可以用對(duì)應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場(chǎng)的解。這種求解場(chǎng)的方法稱為比擬法。的方法稱為比擬法。D0U靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)J0U恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)

44、恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬基本方程基本方程靜電場(chǎng)（靜電場(chǎng)（ 區(qū)域）區(qū)域） 本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)位函數(shù)邊界條件邊界條件恒定電場(chǎng)（電源外）恒定電場(chǎng)（電源外）對(duì)應(yīng)物理量對(duì)應(yīng)物理量靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)0 D dS0,E dl0SC J dS0,E dl0SC 0,0DEJ0,E0DE JE E, 20 E, 20 1t2t1n2n EEDD1t2t1n2n EEJJ121212, nn121212, nnE E D J qI CG 例例3.2.1一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為 1、 1 和和 2、 2 ，外加電壓，外加電

45、壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。 解解：極板是理想導(dǎo)體，：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿為等位面，電流沿z 方向。方向。U1d2d11, 22, zo1n2nJJ 由由 12JJJ12121122,JJJJEE1212112212()ddUUUE dE dJ1212()ddJU1n2nSDD 由由121212, SSDJDJ上上下下21122121212112() SDDJUdd介介 例例3.2.2 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)，外導(dǎo)體半徑為體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常

46、數(shù)為。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為 1 和和 2 、電導(dǎo)率為、電導(dǎo)率為 1 和和 2 。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0 ，外導(dǎo)體接地。求：，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分布；（）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。上的自由電荷面密度。J1212I外導(dǎo)體外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1abc11、22、0U （1）設(shè)同軸電纜中單位長(zhǎng)度的徑向電流為）設(shè)同軸電纜中單位長(zhǎng)度的徑向電流為I ,則由則由 可得電流密度可得電流密度介質(zhì)中的電場(chǎng)介質(zhì)中的電場(chǎng) 解解 電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外

47、導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對(duì)稱分布?？上燃僭O(shè)電流為所以電流密度成軸對(duì)稱分布?？上燃僭O(shè)電流為I，由求出電流密度由求出電流密度 的表達(dá)式，然后求出的表達(dá)式，然后求出 和和 ，再由，再由 確定出電流確定出電流 I。1E 2E 012ddbcabUEEJ Sd, JSI ()2 IJeac 111()2 JIEeab 222()2 JIEebc 故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為由于由于于是得到于是得到01212ddln( )ln( )22bcabIbIcUEEab120212ln()ln() UIb ac b12021()ln()ln()

48、 UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b （2）由）由 可得，介質(zhì)可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)介質(zhì)2外表面的電荷面密度為外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為J2112I12011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b nSeD 工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之工程上，常

49、在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U 時(shí)，必定會(huì)有微小的漏電流時(shí)，必定會(huì)有微小的漏電流 J 存在。存在。 漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即3.2.3 漏電導(dǎo)漏電導(dǎo)IGU 1URGI(1) 假定兩電極間的電流為假定兩電極間的電流為I ；(2) 計(jì)算兩電極間的電流密度計(jì)算兩電極間的電流密度 矢量矢量J

50、；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出兩導(dǎo)，求出兩導(dǎo) 體間的電位差；體間的電位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求電導(dǎo)。所求電導(dǎo)。 計(jì)算電導(dǎo)的方法一計(jì)算電導(dǎo)的方法一： 計(jì)算電導(dǎo)的方法二計(jì)算電導(dǎo)的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U； (2) 計(jì)算兩電極間的電位分布計(jì)算兩電極間的電位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出兩導(dǎo)體，求出兩導(dǎo)體間電流；間電流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求電導(dǎo)。求電導(dǎo)。 計(jì)算電導(dǎo)的方法三計(jì)算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：靜電比擬

51、法：21E dlU /GI U E J dSSI /GI U GC GC 例例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a 、b，長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為l ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為、介電常數(shù)為。解解：直接用恒定電場(chǎng)的計(jì)算方法直接用恒定電場(chǎng)的計(jì)算方法電導(dǎo)電導(dǎo)絕緣電阻絕緣電阻lba則則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I 。2IJl 2JIEl IE dldln22baIIbUlla 2ln( / )IlGUb a 11ln2bRGla 方程通解為方程通解為例例3.2.4 在一塊厚度為在一塊厚度為h 的導(dǎo)電板

52、上，的導(dǎo)電板上， 由兩個(gè)半徑為由兩個(gè)半徑為r1 和和 r2 的圓的圓弧和夾角為弧和夾角為 0 的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。計(jì)算沿計(jì)算沿 方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為。解：解： 設(shè)在沿設(shè)在沿 方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿則電流沿 方向方向流動(dòng)，而且電流密度是隨流動(dòng)，而且電流密度是隨 變化的。但容易變化的。但容易判定電位判定電位 只是變量只是變量 的函數(shù)，因此電位函數(shù)的函數(shù)，因此電位函數(shù) 滿足一維滿足一維拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入邊界條件代入邊界條

53、件可以得到可以得到環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr2 0J10020/,CUCU 222210 12CC 000, 0U 電流密度電流密度兩電極之間的兩電極之間的電流電流故故沿沿 方向的兩電極之間的電阻方向的兩電極之間的電阻為為所以所以000UU 00UEee 00UJEe 21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr 0021()ln(/)URIhrr 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.3.1 恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件 3.3.2 恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位 3.3.3 電感電感 3.3.4 恒定磁場(chǎng)的能量恒定磁場(chǎng)的能量 3.

54、3.5 磁場(chǎng)力磁場(chǎng)力 3.3 恒定磁場(chǎng)分析恒定磁場(chǎng)分析微分形式微分形式: :1. 基本方程基本方程2. 邊界條件邊界條件本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：或或若分界面上不存在面電流，即若分界面上不存在面電流，即JS0，則，則積分形式積分形式: :或或3.3.1 恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件0HJB HlJSBS CSSddd0BH n12n12()0()SeBBeHHJ 1n2n1t2t0SBBHHJ n12n12()0()0eBBeHH 1n2n1t2t00BBHH 矢量磁位的定義矢量磁位的定義 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)

55、與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量量 的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場(chǎng)，即的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場(chǎng)，即由由即恒定磁場(chǎng)可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來(lái)表示。即恒定磁場(chǎng)可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來(lái)表示。 磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒(méi)有規(guī)定其散度磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒(méi)有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的造成的。為了得到確定的A，可以對(duì)，可以對(duì)A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁場(chǎng)中通常規(guī)定，并稱為庫(kù)侖規(guī)范。場(chǎng)中通常規(guī)定，并稱為庫(kù)侖規(guī)范。1. 恒定磁場(chǎng)的矢量磁位恒定磁場(chǎng)的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位矢量磁位或稱磁矢位 3.3.2 恒定磁場(chǎng)的矢量磁

56、位和標(biāo)量磁位恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位0B BA AA ()AAA 0A 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在無(wú)源區(qū)：在無(wú)源區(qū)：矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表達(dá)式磁矢位的表達(dá)式BJ AJ 2()AAJ 0A 2AJ 0J 2A0 31()RRR 3( )1( )d( )()d44VVJ rRB rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR ( )111()( )()( )( )()J rJ rJ rJ rRRRR BA 磁矢位的邊界條件磁矢位的邊界條件（可以證明滿足（可以證明滿足 ） 對(duì)于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為對(duì)于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁

57、矢位分別為 利用磁矢位計(jì)算磁通量：利用磁矢位計(jì)算磁通量：細(xì)線電流細(xì)線電流：面電流面電流：由此可得出由此可得出( )( )d4VJ rA rVR 0A ( )( )d4SSJrA rSR d( )4CIlA rR dddSSCBSASAl ddCSAlBS 1t2tAA 12AA 0A d0SAS 1n2nAA n12()SeHHJ /HA n121211()SeAAJ 例例 3.3.1 求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場(chǎng)。小圓形回求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場(chǎng)。小圓形回路的半徑為路的半徑為a ，回路中的電流為，回路中的電流為I 。 解解 如圖所示，由于具有軸對(duì)稱性，如圖所示，由于具有軸

58、對(duì)稱性，矢量磁位和磁場(chǎng)均矢量磁位和磁場(chǎng)均與與 無(wú)關(guān)，計(jì)算無(wú)關(guān)，計(jì)算 xO z 平平面上的矢量磁位與磁場(chǎng)面上的矢量磁位與磁場(chǎng)將不失一般性將不失一般性。小圓環(huán)電流小圓環(huán)電流aIxzyrRdlrIPO(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar 對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)，有對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)，有r a ，所以，所以由于在由于在 = 0 面上面上 ，所以上式可寫(xiě)成，所以上式可寫(xiě)成于是得到于是得到21 21 2112121( )sincos1sincosaaar

59、rrrrrr 1(1sincos)arr 2001( )(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerr 202sin4yI aer yee 20022( )sinsin44I aISA reerr 式中式中S =a 2是小圓環(huán)的面積。是小圓環(huán)的面積。 載流小圓環(huán)可看作磁偶極子，載流小圓環(huán)可看作磁偶極子， 為磁偶極子的磁矩為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則（或磁偶極矩），則或或 11(sin)()sinrBAeAerArrr 03(2cossin )4rISeer mpIS 0m2( )sin4pA rer 0m3( )4A rprr 0m3( )(2cossin )4rpB r

60、eer 解解：先求長(zhǎng)度為先求長(zhǎng)度為2L 的直線電流的磁矢位。電流元的直線電流的磁矢位。電流元 到點(diǎn)到點(diǎn) 的距離的距離 。則。則 例例 3.3.2 求無(wú)限長(zhǎng)線電流求無(wú)限長(zhǎng)線電流 I 的磁矢位，設(shè)電流沿的磁矢位，設(shè)電流沿+z 方向流動(dòng)。方向流動(dòng)。與計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)線電荷的電位一樣，令與計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)線電荷的電位一樣，令 可得到無(wú)限長(zhǎng)線電流可得到無(wú)限長(zhǎng)線電流的磁矢位的磁矢位 xyzL-L( , , ) z zddzI le I zR( , , )Pz 22()Rzz 0221()d4()LzLIA rezzz 220ln() 4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 01(