組合數(shù)的性質(zhì)

1、1組合的性質(zhì)組合的性質(zhì)1 1、組合定義、組合定義: : 一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素）個元素并成一并成一組組，叫做從，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的一個個元素的一個組合組合從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素的所有組合的個數(shù)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的個元素的組合數(shù)組合數(shù)，用符號，用符號 表示表示. .mnC2 2、組合數(shù)、組合數(shù): :3、組合數(shù)公式、組合數(shù)公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm01.nC我們規(guī)定： 1

2、: mn mnnCC定理組合數(shù)公式組合數(shù)公式 排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系系 一般地，求從一般地，求從 個不同元素中取出個不同元素中取出 個元素的排列數(shù)，個元素的排列數(shù)，可以分為以下可以分為以下2步：步： nm 第第1步，先求出從這步，先求出從這 個不同元素中取出個不同元素中取出 個元素個元素的組合數(shù)的組合數(shù) mnCnm第第2步，求每一個組合中步，求每一個組合中 個元素的全排列數(shù)個元素的全排列數(shù) mmAm根據(jù)分步計數(shù)原理，得到：根據(jù)分步計數(shù)原理，得到：mmmnmnACA因此：因此： !121mmnnnnAACmmmnmn 這里 ，且 ，這個公式叫做 *

3、Nnm、nm 組合數(shù)公式組合數(shù)公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm 從從 n 個不同元中取出個不同元中取出m個元素的排列數(shù)個元素的排列數(shù) : mmmnmnCAA!()!mnnCm nm01.nC我們規(guī)定：0nmn+1nnmn+1= =.注：C1 CCC例例1 1計算：計算： 47C 710C32(3) , nnnCA已知求例例2.2.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球隊舉行單循環(huán)賽，支足球隊舉行單循環(huán)賽，(1)(1)列出所有各場比賽的雙方；列出所有各場比賽的雙方；（2)2)列出所有冠亞軍的可能情況列出所有冠亞軍的可能情況. .（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、

4、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙(1) (1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解：(4)(4)求求38-n3n3n21+nC+C的值.(3)n=8(4)n=10.答：； 例311:.mmnnmnmCC求證 , ! !: mnnmnmC?。ǎ┖喿C)!1()!1(! 111mnmnmnmmnmCmn)!1)(! )!1(1mnmnnmm.! )( !Cmnmnmn 引例引例一個口袋內(nèi)裝有大小相同的一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和個白球和1個黑球個黑球從口袋里取出從口袋里取出3個球，共有多

5、少種取法？個球，共有多少種取法？從口袋里取出從口袋里取出3個球，使其中含有一個黑球，個球，使其中含有一個黑球，有多少種取法？有多少種取法？從口袋里取出從口袋里取出3個球，使其中不含黑球，有個球，使其中不含黑球，有多少種取法？多少種取法？372738CCC從引例中可以發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：從引例中可以發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：對上面的發(fā)現(xiàn)對上面的發(fā)現(xiàn)(等式等式)作怎樣解釋？作怎樣解釋？5638C2127C3537C 我們可以這樣解釋：我們可以這樣解釋：從口袋內(nèi)的從口袋內(nèi)的8個球中所取出的個球中所取出的3個球，可以分為個球，可以分為兩類：一類兩類：一類含有含有1個個黑球，一類不含黑球，一類不含有黑球因此根據(jù)分類計數(shù)原

6、理，有黑球因此根據(jù)分類計數(shù)原理，上述等式成立上述等式成立38C27C37C1211,1nmna aanmC 一一般般地地，從從這這個個不不同同的的元元素素中中取取出出 個個元元素素的的組組合合數(shù)數(shù)是是， 11aa這這些些組組合合可可分分成成兩兩類類：一一類類含含有有 ，一一類類不不含含有有 ，1231,nmnaaaanmC 不不含含的的組組合合是是從從這這 個個元元素素中中取取出出個個元元素素組組成成的的，共共有有個個 123111,1nmnaaaanmaC 含含有有的的組組合合是是從從這這 個個元元素素中中取取出出個個元元素素與與組組成成的的，共共有有個個； 由由分分類類計計數(shù)數(shù)原原理理，得

7、得 11mnmnmnCCC組合數(shù)性質(zhì)組合數(shù)性質(zhì)2CCmnmn1 :證明)!1()!1(!)!( !mnmnmnmn)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn!) 1(!)!1(mnmn.1Cmncccmnmnmn11性質(zhì)性質(zhì)2組合數(shù)性質(zhì)組合數(shù)性質(zhì)2：說明：說明：1、公式特征：公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個組合的兩個組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與原組合而上標(biāo)與原組合數(shù)上標(biāo)較大的相同的一個組合數(shù)數(shù)上標(biāo)較大的相同的一個組合數(shù) 2、此性質(zhì)的作用：此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運(yùn)算在今恒等變形，簡化運(yùn)算在今后學(xué)習(xí)后學(xué)習(xí)“

8、二項式定理二項式定理”時，我們會看到它的主時，我們會看到它的主要應(yīng)用要應(yīng)用 11mnmnmnCCC例(1)有多少種不同的抽法?100個不同元素中取3個元素的組合數(shù)種1617002398991003100C(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?從2件次品中抽出1件次品的抽法有12C從98件合格品中抽出2件的抽法有298C950629812CC例(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?法1含1件次品或含2件次品例種96041982229812CCCC法2100件中抽3件減98件合格品中抽3件種96043983100CC例例 計算計算198200( 1 ) ;C329999(

9、2 ) ;CC 332898( 3 ) .2CCC 22002001991990021 C 31001009998161700321 C 3322388888562()CCCCC 例例計算：計算： 69584737CCCC解：解：原式原式 34567789()CCCC568489CCC568489()CCC6959CC610C410C10 9 8 72104! D 190 鞏固練習(xí)3有3張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數(shù)是 10 46人同時被邀請參加一項活動，必須有人去，去幾人自行決定，共有多少種不同的去法？32555 4102!CC123456666666CCCCCC解：有6

10、類辦法，第1類去1人，第2類去2人，第3類去3人，第4類去4人，第5類去5人，第6類去6人，所以共有不同的去法63鞏固練習(xí)2、求 的值 例、例、（1）求證：）求證：Cn+1 = Cn + Cn-1+Cn-1mm-1mm-14、求C2+C3+C4+C5+C6+C100的值 2 2 2222(2)求求C2+C3+C4+C5+C6+C7的值的值 222222練習(xí)：1、 C100C99 90 893、已知 , 求x的值C12 = C11 + C11 7 7 x9598969897982CCC=（ ）A、 C10011B、 C 99 9D、 C10012C、 C9910小結(jié)2.組合數(shù)性質(zhì): mn mnn

11、CC11 mmmnnnCCC1.組合數(shù)公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm 排列排列組合組合組合的概念組合的概念組合數(shù)的概念組合數(shù)的概念組合是選擇的組合是選擇的結(jié)果，排列是結(jié)果，排列是選擇后再排序選擇后再排序的結(jié)果的結(jié)果聯(lián)系聯(lián)系課堂小結(jié)課堂小結(jié)排列、組合的應(yīng)用排列、組合的應(yīng)用課后作業(yè)：課后作業(yè)： 1、課本、課本P27頁頁 A組組9、10、11、12 2、三維相關(guān)練習(xí)。、三維相關(guān)練習(xí)。課下：課下：P25P25探究探究 本講到此結(jié)束，請同學(xué)們課后再做好復(fù)習(xí). 謝謝！再見！作業(yè)：習(xí)題作業(yè)：習(xí)題 10.39，11(B本本)例例 證明證明111111mmmm

12、nnnnCCCC 、1112nnnnnnn mn mCCCC 、0129456131CCCC（）計算 ；1121.nnnnnnnnn mn mCCCCC （3）求證：補(bǔ)充例題：補(bǔ)充例題：2222234102CCCC（）計算 ；例計算：例計算：329999( 1 ) ;CC332898( 2) .2CCC16170012398991003100 C563828283838)(2CCCCC;11111)1( CCCCmnmnmnmn.21211)2( CCCCmnmnmnmn例例2 求證求證:.111111)1(CCCCCCmnmnmnmnmnmn .)()(2121111111)2( CCCCC

13、CCCCCmnmnmnmnmnmnmnmnmnmn例例3、6本不同的書，按下列條件，各有多少種不同的分法；本不同的書，按下列條件，各有多少種不同的分法；（1）分給甲、乙、丙三人，每人兩本；）分給甲、乙、丙三人，每人兩本；（2）分成三份，每份兩本；）分成三份，每份兩本；（3）分成三份，一份）分成三份，一份1本，一份本，一份2本，一份本，一份3本；本；（4）分給甲、乙、丙）分給甲、乙、丙3人，一人人，一人1本，一人本，一人2本，一人本，一人3本；本；（5）分給甲、乙、丙）分給甲、乙、丙3人，每人至少一本；人，每人至少一本；（6）分給）分給5個人，每人至少一本；個人，每人至少一本；（7）6本相同的書

14、，分給甲乙丙三人，每人至少一本。本相同的書，分給甲乙丙三人，每人至少一本。練習(xí)：練習(xí)：(1)今有今有10件不同獎品件不同獎品,從中選從中選6件分成三份件分成三份, 二份各二份各1件件,另一份另一份4件件, 有多少種分法有多少種分法?(2) 今有今有10件不同獎品件不同獎品,從中選從中選6件分給甲乙丙三人件分給甲乙丙三人,每每人二件有多少種分法人二件有多少種分法?解解: (1)(2)641111062123150CCCC62221064218900CCCC例例4、某城新建的一條道路上有、某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞省用電而不影響

15、正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（盞燈，可以熄滅的方法共有（ ）（A） 種（種（B） 種種 （C） 種種 （D） 種種38C38A39C311C三、混合問題，先三、混合問題，先“組組”后后“排排”例例5 對某種產(chǎn)品的對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品,一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第品恰好在第5次測試時全部發(fā)現(xiàn)次測試時全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試方法則這樣的測試方法有種可能？有種可能？解：由題意知前

16、解：由題意知前5次測試恰有次測試恰有4次測到次品，且第次測到次品，且第5次測試是次品。故有：次測試是次品。故有： 種可能。種可能。576441634ACC練習(xí)：練習(xí)：1、某學(xué)習(xí)小組有、某學(xué)習(xí)小組有5個男生個男生3個女生，從中選個女生，從中選3名名男生和男生和1名女生參加三項競賽活動，每項活動至少有名女生參加三項競賽活動，每項活動至少有1人參加，則有不同參賽方法人參加，則有不同參賽方法_種種.解：采用先組后排方法解：采用先組后排方法:312353431080CCCA2、3 名醫(yī)生和名醫(yī)生和 6 名護(hù)士被分配到名護(hù)士被分配到 3 所學(xué)校為學(xué)生所學(xué)校為學(xué)生體檢體檢,每校分配每校分配 1 名醫(yī)生和名醫(yī)

17、生和 2 名護(hù)士名護(hù)士,不同的分配方不同的分配方法共有多少種法共有多少種?解法一：先組隊后分校（先分堆后分配）解法一：先組隊后分校（先分堆后分配）223364540C C A解法二：依次確定到第一、第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)解法二：依次確定到第一、第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)生和護(hù)士生和護(hù)士.5401)()(24122613CCCC四、分類組合四、分類組合,隔板處理隔板處理例例6、 從從6個學(xué)校中選出個學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,每每校至少有校至少有1人人,這樣有幾種選法這樣有幾種選法?分析分析:問題相當(dāng)于把個問題相當(dāng)于把個30相同球放入相同球放入6個不同盒子個不同盒子(盒盒子不

18、能空的子不能空的)有幾種放法有幾種放法?這類問可用這類問可用“隔板法隔板法”處理處理.解解:采用采用“隔板法隔板法” 得得:5294095C練習(xí)：練習(xí)： 1、將、將8個學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給個學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給5個不同的班級，個不同的班級，每班至少分到每班至少分到1個名額，共有多少種不同的分配方法？個名額，共有多少種不同的分配方法？2、從一樓到二樓的樓梯有、從一樓到二樓的樓梯有17級，上樓時可以一步走級，上樓時可以一步走一級，也可以一步走兩級，若要求一級，也可以一步走兩級，若要求11步走完，則有步走完，則有多少種不同的走法？多少種不同的走法？2、從、從6位同學(xué)中選出位同學(xué)中選出4位參加一個