數(shù)學歸納法證題中歸納假設(shè)的使用方法技巧

1、. 衿肅膂莃羈袆蒁莂蟻肁莇莁螃襖芃蒀裊聿腿葿薅袂肅蒈蚇肈蒃蒈袀羈荿蕆羂膆芅蒆螞罿膁蒅螄膄肇蒄袆羇莆薃薆膃節(jié)薂蚈羅膈薂袀膁膄薁羃肄蒂薀螞袆莈蕿螅肂芄薈袇裊膀薇薇肀肆蚆蠆袃蒞蚆螁聿芁蚅羄袁芇蚄蚃膇膃蚃螆羀蒁螞袈膅莇蟻羀羈芃螀蝕膃腿莇螂羆肅莆襖膂莄蒞薄羅莀莄螆芀芆莄衿肅膂莃羈袆蒁莂蟻肁莇莁螃襖芃蒀裊聿腿葿薅袂肅蒈蚇肈蒃蒈袀羈荿蕆羂膆芅蒆螞罿膁蒅螄膄肇蒄袆羇莆薃薆膃節(jié)薂蚈羅膈薂袀膁膄薁羃肄蒂薀螞袆莈蕿螅肂芄薈袇裊膀薇薇肀肆蚆蠆袃蒞蚆螁聿芁蚅羄袁芇蚄蚃膇膃蚃螆羀蒁螞袈膅莇蟻羀羈芃螀蝕膃腿莇螂羆肅莆襖膂莄蒞薄羅莀莄螆芀芆莄衿肅膂莃羈袆蒁莂蟻肁莇莁螃襖芃蒀裊聿腿葿薅袂肅蒈蚇肈蒃蒈袀羈荿蕆羂膆芅蒆螞罿膁蒅螄膄

2、肇蒄袆羇莆薃薆膃節(jié)薂蚈羅膈薂袀膁膄薁羃肄蒂薀螞袆莈蕿螅肂芄薈袇裊膀薇薇肀肆蚆蠆袃蒞蚆螁聿芁蚅羄袁芇蚄蚃膇膃蚃螆羀蒁螞袈膅莇蟻羀羈芃螀蝕膃腿莇螂羆肅莆襖膂莄蒞薄羅莀莄螆芀芆莄衿肅膂莃羈袆蒁莂蟻肁莇莁螃襖芃 數(shù)學歸納法證題中“歸納假設(shè)”的使用方法技巧陜西洋縣中學（723300） 劉大鳴 : 為證明與自然數(shù)有關(guān)的某些數(shù)學命題，引入數(shù)學歸納法.數(shù)學歸納法是先驗證遞推基礎(chǔ)，再證明遞推依據(jù)的方法，其中歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用，在“k+1”步中一定要用它，否則就不是數(shù)學歸納法.證明第二步的關(guān)鍵是“認清命題的結(jié)構(gòu)特征，由目標意識，一湊假設(shè)，二湊結(jié)論,”.本文就數(shù)學歸納法證明遞推依據(jù)中“歸納假設(shè)”使用的方

3、法和技巧探究之1 證明數(shù)列問題關(guān)鍵是“從數(shù)列本身的特征（遞推關(guān)系，項與和關(guān)系ak+1=Sk+1-Sk）入手湊用假設(shè)”。例1已知數(shù)列an的項滿足a1=b,且an+1=can+d，其中c.證明這個數(shù)列的通項公式是簡析：從已知的線性遞推關(guān)系入手湊用歸納假設(shè). n=1時，通項公式顯然成立； 假設(shè)當 n=k時，通項公式成立.即由題設(shè)有且ak+1=cak+d,用歸納假設(shè)，則ak+1=cak+d=.這就是說，當n=k+1時通項公式也成立.由此，所求數(shù)列的通項公式是2 證明等式問題（數(shù)列和）關(guān)鍵是“數(shù)清項數(shù)，認識等式的結(jié)構(gòu)特征，從一端入手代入使用歸納假設(shè)”例2（89高考）是否存在數(shù)列，使對于任意的自然數(shù)，等式

4、恒成立？若存在，求出，并加以證明；若不存在，說明理由.簡析：特殊賦值猜通項,數(shù)學歸納法證明解決.易求,a1=3,a2=5,a3=7,猜an=2n+1.當n=1時, a1=3易證;假設(shè)n=k時成立,即成立.則當n=k+1時, .由歸納假設(shè)得，由此解得， ak+1=(k+1)3(k+3)-k(k+2)3=2(k+1)+1,即等式也成立.故存在數(shù)列且an=2n+1,使等式成立.3 證明整除問題關(guān)鍵是“認識命題的結(jié)構(gòu)特征，增添項湊用歸納假設(shè)”(例題見教材例習題略) 4 證明幾何問題關(guān)鍵是“挖掘題設(shè)和幾何本身所隱含的遞推關(guān)系，使用歸納假設(shè)完成遞推依據(jù)的證明”（見教材略）5證明不等式問題關(guān)鍵是“從一端入手

5、用假設(shè)，對照另一端，用不等式證明方法完成遞推依據(jù)的證明”例3 （98高考）已知是等差數(shù)列， 求數(shù)列的通項公式； 設(shè)數(shù)列的通項，記是數(shù)列的前項和，試比較和的大小.簡析：單調(diào)性轉(zhuǎn)化為數(shù)學歸納法證明不等式.由等差數(shù)列求和易知，；=，只需比較和的大小.，猜測.用數(shù)學歸納法證明.時已證假設(shè)時猜測成立,即有，當，不等式左端=，右端=，用分析法證明時猜測成立.要使時猜測成立顯然成立.故猜測成立.于是，；6 數(shù)列探索與創(chuàng)新問題的求解往往是“觀察 歸納 猜想 數(shù)學歸納納法證明”例4 （02高考）數(shù)列滿足 . 當時， 求數(shù)列的通項公式； 當時，證明對所有的ann+2.簡析：本題以數(shù)列為載體，與不等式證明相綜合，在

6、考查演繹推理的同時，突出考查一般歸納法和數(shù)學歸納法. 由所給的遞推式，特殊賦值可求前四項，研究前四項的特點并發(fā)現(xiàn)規(guī)律可歸納其通項公式.這是“一般-特殊-一般”的數(shù)學思維過程.a1=2,a2=3,a3=4,a4=5, 猜an=n+1用用數(shù)學歸納法證題，即從題設(shè)遞推關(guān)系入手，代入歸納假可得到遞推依據(jù)的證明，ak+1=（k+1）2-k（k+1）+1=k+2； 實質(zhì)是數(shù)學歸納法證明不等式，利用題設(shè)遞推關(guān)系,通項公式和歸納假設(shè)易證，ak+1=ak（ak-k）+1 n（k+1）（k+1-k）+1=k+2;【高考真題演練】1 （03新高考）2（高考題改變）已知x的函數(shù)fn(x)(n=1,2,3,).定義如下

7、：f1(x)=2,fn+1(x)=xfn(x)+1,求fn（x）3（89高考）是否存在常數(shù)a,b,c使得等式 對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論.4 （94高考）設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn,若對一切正整數(shù)n,都有Sn=n（a1+an）/2,證明an為等差數(shù)列。. 5（02高考）已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，bR，都滿足f（ab）=af（b）+bf（a）. 6（02北京高考） 已知點的序列An（xn,0）,nN,其中x1=0,x2=a（a>0）,A3是線段A1A2的中點, A4是線段A2A3的中點, An是線段An-2An-1的中點,若an=xn+1-xn,計算

8、a1,a2,a3,推測an并證明. 7 由下列各式，1>1/2,1+1/2+1/3>1,1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7>3/21+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/15>2,你你能得到什么結(jié)論？并證明。答案及提示：1 2注意其遞推關(guān)系和定義，可找到處理“相鄰項滿足一階線性遞推關(guān)系求通項的影子”.“歸納猜測解析式用數(shù)學歸納法證明.易知，f2(x)=xf1(x)+1=2x+1,f3(x)=xf2(x)+1=2x2+x+1,f4(x)=xf3(x)+1=2x3+x2+x+1,推測知fn(x)=2xn-1+xn-2+x2+x+1.用數(shù)學歸納

9、法證明. 當n=1時，顯然成立； 假設(shè)n=k時，命題成立.即，fk(x)= 2xk-1+xk-2+x2+x+1.當n=k+1時,由題fk+1(x)=xfk(x)+1=x(2xk-1+xk-2+x2+x+1)+1=2xk+xk-1+x2+x+1.這就是說，n=k+1時猜測也成立.故推測成立2 特殊賦值，用數(shù)學歸納法證明。3 只需證明 an=a1+（n-1）d,用數(shù)學歸納法證明。4 5 求f（0），f（1）的值； 判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論； 若f（2）=2，Un=f（2-n）/n（nN），求數(shù)列Un的前n項和Sn。令a=b=o，則f(0)=0.f(1)=f(1f(1)+f(1)=2f(

10、1),f(1)=0；f(x)為奇函數(shù)；f(1)=f(-1)2=-f(-1)-f(-1)=0,則f(_-1)=0,于是f(-x)=f(-1x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),即為奇函數(shù)； 易猜f(an)=nan-1f(a)，用數(shù)學歸納法可證Un=(-1/2)(1/2)n-1,用等比數(shù)列求和有Sn=(1/2)n-1.6 an=a（-0.5）n-1, 用數(shù)學歸納法證明,注意遞推關(guān)系ak+1=（xk+1+xk）/2,中點坐標公式和歸納假設(shè)的使用。7 數(shù)清項數(shù)，注意分母的特點有，1+1/2+1/3+1/（2n-1）>n/2;n=k+1,不等式的左端=1+1/2+1/3+1/ （2n-1）+

11、1/2k+1/（2k+1）+1/（2k+1-1）>k/2+1/2k+1/（2k+1）+1/（2k+1-1）>k/2+1/2k+1+1/2k+1+1/2k+1+1/2k+1>k/2+2k×(1/2k+1)=k/2+1/2=（k+1）/2，即遞推依據(jù)成立。注意從k到k+1增加了2k項，而不等式放縮是由項數(shù)和不等式右端的結(jié)構(gòu)的目標意識確定的.7 用數(shù)學歸納法證明解幾問題已知點滿足 （3）求點Pn的極限位置。 簡析：理解點集的橫、縱坐標構(gòu)成的數(shù)列它們之間的關(guān)系，從特殊入手確定L的方程，猜測一般結(jié)論，用數(shù)學歸納法完成點在直線的證明，為數(shù)學歸納法開辟了新的應(yīng)用天地。 電話 09168215676 QQ 294980047 蚃肈節(jié)莂螞袈肅莈蟻羀莁蚆蟻肅膃薂蝕膅荿蒈蠆裊膂莄蚈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆蒅螅羈膈蒁螅肅蒄莇螄膆芇蚅螃裊聿薁螂羈芅蕆袁肀肈莃袀螀芃艿衿袂肆薈衿肄節(jié)薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚄裊肁莈薀羄膃膁蒆羃袃莆莂薀羅腿羋蕿膇蒞蚇薈袇羋薃薇罿蒃葿薆肂芆蒞薆膄聿蚄薅襖芄薀蚄羆肇蒆蚃肈節(jié)莂螞袈肅莈蟻羀莁蚆蟻肅膃薂蝕膅荿蒈蠆裊膂莄蚈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆蒅螅羈膈蒁螅肅蒄莇螄膆芇蚅螃裊聿薁螂羈芅蕆袁肀肈莃袀螀芃艿衿袂肆薈衿肄節(jié)薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚄裊肁莈薀羄膃膁蒆羃袃莆莂