離散隨機(jī)變量方差

1、離散隨機(jī)變量方差一、離散型隨機(jī)變量的均值一、離散型隨機(jī)變量的均值nniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpX二、離散型隨機(jī)變量均值的線性性質(zhì)二、離散型隨機(jī)變量均值的線性性質(zhì)baEXbaXE )(三、兩點分布與二項分布的均值三、兩點分布與二項分布的均值XX服從兩點分布服從兩點分布XB（n,p）E(X)pnp要從兩名同學(xué)中挑選出一名，代表班級參加射擊比賽要從兩名同學(xué)中挑選出一名，代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，第一名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)根據(jù)以往的成績記錄，第一名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù) 的分布列為的分布列為1X1XP56789100.030.090.200.31

2、0.270.10第二名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)第二名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù) 的分布列為的分布列為2X2XP567890.010.050.200.410.33請問應(yīng)該派哪名同學(xué)參賽？請問應(yīng)該派哪名同學(xué)參賽？1,EX 2EX 88發(fā)現(xiàn)兩個均值相等發(fā)現(xiàn)兩個均值相等因此只根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平因此只根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.（1）分別畫出分別畫出 的分布列圖的分布列圖.12,XXO5 6 71098P1X0.10.20.30.40.5O5 6 798P2X0.10.20.30.40.5（2）比較兩個分布列圖形，哪一名同學(xué)的成績更穩(wěn)定？比較兩個分布列圖形，哪一名同學(xué)的成績更穩(wěn)定？除平

3、均中靶環(huán)數(shù)以外，還有其他刻畫兩名同學(xué)各自除平均中靶環(huán)數(shù)以外，還有其他刻畫兩名同學(xué)各自射擊特點的指標(biāo)嗎？射擊特點的指標(biāo)嗎？第二名同學(xué)的成績更穩(wěn)定第二名同學(xué)的成績更穩(wěn)定. .1、定性分析、定性分析2、定量分析、定量分析怎樣定量刻畫隨機(jī)變量的穩(wěn)定性？怎樣定量刻畫隨機(jī)變量的穩(wěn)定性？（1）樣本的穩(wěn)定性是用哪個量刻畫的？樣本的穩(wěn)定性是用哪個量刻畫的？方差方差（2）能否用一個與樣本方差類似的量來刻畫隨機(jī)變量能否用一個與樣本方差類似的量來刻畫隨機(jī)變量 的穩(wěn)定性呢？的穩(wěn)定性呢？離散型隨機(jī)變量取值的方差離散型隨機(jī)變量取值的方差一般地，若離散型隨機(jī)變量一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：的概率分布為：nniip

4、EXxpEXxpEXxDX22121)()()( 則稱則稱為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的方差。的方差。 niiipEXx12)(P1xix2x1p2pipnxnpX稱稱DXX 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。的標(biāo)準(zhǔn)差。3、對方差的幾點說明、對方差的幾點說明（1）隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值 偏離于均值的平均程度偏離于均值的平均程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨 機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小.說明：隨機(jī)變量集中的位置是隨機(jī)變量的均值；方差或說明：隨機(jī)變量集中的位置是隨機(jī)變量的均值；方差或標(biāo)準(zhǔn)差這種度

5、量指標(biāo)是一種加權(quán)平均的度量指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差這種度量指標(biāo)是一種加權(quán)平均的度量指標(biāo).（2）隨機(jī)變量的方差與樣本的方差有何聯(lián)系與區(qū)別？隨機(jī)變量的方差與樣本的方差有何聯(lián)系與區(qū)別？ 隨機(jī)變量的方差是常數(shù)，而樣本的方差是隨著樣本隨機(jī)變量的方差是常數(shù)，而樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此樣本的方差是隨機(jī)變量的不同而變化的，因此樣本的方差是隨機(jī)變量. 對于簡單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方對于簡單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方差越來越接近總體方差，因此常用樣本方差來估計總體差越來越接近總體方差，因此常用樣本方差來估計總體方差方差.（二）、公式運用（二）、公式運用1、請分別計算探究中兩名同學(xué)各自的射

6、擊成績的方差、請分別計算探究中兩名同學(xué)各自的射擊成績的方差.1XP56789100.030.090.200.310.270.102XP567890.010.050.200.410.33102115(8)()iDXiP Xi92225(8)()iDXiP Xi1.50,0.82因此第一名同學(xué)的射擊成績穩(wěn)定性較差，第二名同學(xué)的射擊因此第一名同學(xué)的射擊成績穩(wěn)定性較差，第二名同學(xué)的射擊成績穩(wěn)定性較好，穩(wěn)定于成績穩(wěn)定性較好，穩(wěn)定于8環(huán)左右環(huán)左右.如果其他班級參賽選手的射擊成績都在如果其他班級參賽選手的射擊成績都在9環(huán)左右，本班環(huán)左右，本班應(yīng)該派哪一名選手參賽？如果其他班級參賽選手的成績應(yīng)該派哪一名選手參

7、賽？如果其他班級參賽選手的成績在在7環(huán)左右，又應(yīng)該派哪一名選手參賽？環(huán)左右，又應(yīng)該派哪一名選手參賽？應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例例例1隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求向上一面的點求向上一面的點數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.解：拋擲散子所得點數(shù)解：拋擲散子所得點數(shù)X 的分布列為的分布列為161616161616P6 65 54 43 32 21 1X1111111234563.5666666EX 2222221111(1 3.5)(23.5)(33.5)(43.5)666611(53.5)(63.5)2.9266DX 從而從而;1.71XDX.小結(jié)小結(jié)求離散型隨機(jī)變量

8、求離散型隨機(jī)變量X的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的一般步的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的一般步驟：驟： X根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出 、DX理解理解X 的意義，寫出的意義，寫出X 可能取的全部值；可能取的全部值；求求X取各個值的概率，寫出分布列；取各個值的概率，寫出分布列；根據(jù)分布列，由期望的定義求出根據(jù)分布列，由期望的定義求出 EX； 例例2 2有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工資甲單位不同職位月工資X1/ /元元12001200140014001600160018001800獲得相應(yīng)職位的概率獲得相應(yīng)職位的概率P P

9、10.40.40.30.30.20.20.10.1乙乙單位不同職位月工資單位不同職位月工資X2/ /元元10001000140014001800180022002200獲得相應(yīng)職位的概率獲得相應(yīng)職位的概率P P20.40.40.30.30.20.20.10.1根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？（2）決策問題決策問題解：根據(jù)月工資的分布列，利用計算器可算得解：根據(jù)月工資的分布列，利用計算器可算得11200 0.4 + 1 400 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 =1400EX 2 221 (1200-1400) 0. 4

10、(1400-1400 )0.3 (1600 -1400 )0.2DX 2(1800-1400) 0. 1 40 000 因為因為 ，所以兩家單位的工資均值相等，所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，相對分散這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位就選擇乙單位1212,EXEXDXDX21 000 0.4 1 400 0.3 1 800 0.

11、2 2200 0.1 1400 EX 2222 (1000-1400)0. 4(1 400-1400)0.3 (1800-1400)0.2 DX2+ (2200-1400 )0.l = 160000 .幾個常用公式：幾個常用公式：DXabaXD2)( )1(ppDXX 服服從從兩兩點點分分布布，則則若若)1(),(pnpDXpnBX ，則則若若相關(guān)練習(xí)：相關(guān)練習(xí)： DD則則，且且、已已知知,138131 ppnBX,n1.6,DX8,EX),(2則則，、已已知知3、有一批數(shù)量很大的商品，其中次品占、有一批數(shù)量很大的商品，其中次品占1，現(xiàn)從中任意地連續(xù)取出，現(xiàn)從中任意地連續(xù)取出200件商品，件商

12、品，設(shè)其次品數(shù)為設(shè)其次品數(shù)為X，求，求EX和和DX。117102，課堂小結(jié)課堂小結(jié)1、離散型隨機(jī)變量取值的方差、標(biāo)準(zhǔn)差及意義、離散型隨機(jī)變量取值的方差、標(biāo)準(zhǔn)差及意義2、記住幾個常見公式、記住幾個常見公式DXabaXD2)( )1(ppDXX 服服從從兩兩點點分分布布，則則若若)1(),(pnpDXpnBX ，則則若若（三）、練習(xí)（三）、練習(xí) 1 .1 .已知已知 ，則，則 的值分別是（的值分別是（ ）,8,1.6B n pED, n pA B C. D.1000.08和200.4和100.2和100.8和D 3. 一盒中裝有零件一盒中裝有零件12個，其中有個，其中有9個正品，個正品，3個次品，

13、從中個次品，從中 任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個 零件直到取得正品為止求在取得正品之前已取出次品零件直到取得正品為止求在取得正品之前已取出次品 數(shù)的期望與方差數(shù)的期望與方差EX=0.3 ；DX=351/11002. 有一批數(shù)量很大的商品的次品率為有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%1%，從中任意地連續(xù)取出，從中任意地連續(xù)取出200200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為件商品，設(shè)其中次品數(shù)為X，求，求E EX，D DXEX=2 ; DX=首頁首頁上頁上頁下頁下頁例 4A、B 兩臺機(jī)床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表

14、所示： A 機(jī)床 B 機(jī)床 0 1 2 3 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 P 0.8 0.06 0.04 0.10 問哪一臺機(jī)床加工質(zhì)量較好 E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44. 解：解： E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, D1 D2 故故A機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好. 2、兩個特殊分布的方差、兩個特殊分布的方差（1）若若 X 服從兩點分布，則服從兩點分布，則(1)DXpp（2）若若 ，則，則( , )XB n p(1)DXnpp（2）證明提示：）證明提示：2(1)n npnp222n p20

15、(1)nkkn knkk C pp第一步求第一步求02(1)nkkn knknpkC pp220(1)nkkn knkn pC pp22n p第二步得第二步得(1)DXnpp3、方差的性質(zhì)、方差的性質(zhì)2()D aXba DX（1）線性變化線性變化平移變化不改變方差，但是伸縮變化改變方差平移變化不改變方差，但是伸縮變化改變方差（2）方差的幾個恒等變形）方差的幾個恒等變形21()niiiDXxEXp2()E XEX22()EXEX注：要求方差則先求均值注：要求方差則先求均值5 5、對于兩個隨機(jī)變量、對于兩個隨機(jī)變量 和和 在在 與與 相等或等或很接近時，比較很接近時，比較 和和 ，可以確定哪個隨機(jī)

16、變量，可以確定哪個隨機(jī)變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實際，適合人們的需要的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實際，適合人們的需要.1X2X1EX2EX1DX2DX4、掌握方差的、掌握方差的線性變化線性變化性質(zhì)性質(zhì)2()D aXba DX3、能熟練地直接運用兩個特殊分布的方差公式、能熟練地直接運用兩個特殊分布的方差公式（1）若若 X 服從兩點分布，則服從兩點分布，則(1)DXpp（2）若若 ，則，則( , )XB n p(1)DXnpp知 識 回 顧知 識 回 顧求離散型隨機(jī)變量的期望、方差通常有哪些步驟？求離散型隨機(jī)變量的期望、方差通常有哪些步驟？在解決上述問題中經(jīng)常要用到哪些性質(zhì)、公式？在解決上述問題中經(jīng)常要用到

17、哪些性質(zhì)、公式？2112 () () ()( , ),(1)nniiiiiiEx pDxEpE abaEbD aba DB n pEnp Dnpp；若若 則則求分布列求分布列求期望求期望求方差求方差101 1niiipp 分布列性質(zhì)分布列性質(zhì) 問問題題2 2：( (0 07 7浙浙江江. .1 15 5) )隨隨機(jī)機(jī)變變量量 的的分分布布列列如如下下：cba10-1 P1.,_3abcED 其其中中 、 、 成成等等差差數(shù)數(shù)列列 若若則則探 究 與 嘗 試探 究 與 嘗 試592221111614( 1)(0)(1)33399911331115 2,63291 DabcabcEacabcbac

18、abcDabc 解解析析：由由、 、 成成等等差差數(shù)數(shù)列列由由分分布布列列性性質(zhì)質(zhì) 如果其他對手的射擊成如果其他對手的射擊成績都在績都在8環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？ 已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)數(shù) 1、 2的分布列如下：的分布列如下： 試比較兩名射手的射擊水平試比較兩名射手的射擊水平. 18910P0.2 0.6 0.2 28910P0.40.20.4 如果其他對手的如果其他對手的射擊成績都在射擊成績都在9環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？ 顯然兩名選顯然兩名選手的水平是不同手的水平是

19、不同的的,這里要進(jìn)一步這里要進(jìn)一步去分析他們的成去分析他們的成績的穩(wěn)定性績的穩(wěn)定性.一組數(shù)據(jù)的方差：一組數(shù)據(jù)的方差：方差反映了這組方差反映了這組數(shù)據(jù)的波動情況數(shù)據(jù)的波動情況 在一組數(shù)：在一組數(shù)：x1 1, ,x2 2 , , ,xn 中，各數(shù)據(jù)的平均數(shù)為中，各數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ，則這組數(shù)據(jù)的方差為：則這組數(shù)據(jù)的方差為：x2222121()()() nSxxxxxxn 類似于這個概念類似于這個概念, ,我們可以定義隨機(jī)變量的方差我們可以定義隨機(jī)變量的方差.離散型隨機(jī)變量取值的方差和標(biāo)準(zhǔn)差離散型隨機(jī)變量取值的方差和標(biāo)準(zhǔn)差: :22211()()()iinnDxEpxEpxEp 則稱則稱為隨機(jī)變量為隨

20、機(jī)變量 的方差的方差. .21()niiixEp 一般地一般地, ,若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量 的概率分布列為：的概率分布列為：P1xix2x1p2pipnxnp 稱稱D 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差. . 它們都是反映離散型隨機(jī)變量偏離于均值的平均程它們都是反映離散型隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度的量，它們的值越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均度的量，它們的值越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。程度越小，即越集中于均值。2()ED 即即22)(EED練習(xí)練習(xí)1.(課本第課本第69練習(xí)練習(xí))已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 的分布列的分布列 01234P0.10.20

21、.40.20.1求求D 和和 . 0 0.1 1 0.22 0.43 0.2 4 0.12E 解：解：22222(02)0.1 (1 2)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.11.2D 1.21.095D 2.若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 滿足滿足P（ c）1，其中，其中c為常為常數(shù)，求數(shù)，求E 和和D .E c1cD （cc）210結(jié)論結(jié)論1： 則則 ; ;,ab若若EaEb 結(jié)論結(jié)論2：若：若B(n，p)，則，則E= np.(1) 則則 ; ;,ab若若?D (2)若若B(n，p)，則，則 D= ?.可以證明可以證明,對于方差有下面兩個重要性質(zhì)：對于方差有下面兩個重要性質(zhì)：2()D ab

22、a D ( ,)(1)B n pDnpqqp 若若，其其中中則則1.1.已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 的分布列為則的分布列為則E E 與與D D 的值為的值為( ) ( ) 和和和和0.3 0.3 和和和和2.2.已知已知B(100,0.5),B(100,0.5),則則E E =_,D=_,D =_,=_,_._. E(2E(2 -1)=_, D(2-1)=_, D(2 -1)=_,-1)=_, (2(2 -1)=_-1)=_ 12P0.30.7D5025599100103、有一批數(shù)量很大的商品，其中次品占、有一批數(shù)量很大的商品，其中次品占1，現(xiàn)從中任意地連續(xù)取出現(xiàn)從中任意地連續(xù)取出200件商品，

23、設(shè)其次品數(shù)件商品，設(shè)其次品數(shù)為為X，求，求EX和和DX。2， 如果其他對手的射擊成如果其他對手的射擊成績都在績都在8環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？ 已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)數(shù) 1、 2的分布列如下：的分布列如下： 試比較兩名射手的射擊水平試比較兩名射手的射擊水平. 18910P0.2 0.6 0.2 28910P0.40.20.4 如果其他對手的如果其他對手的射擊成績都在射擊成績都在9環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？例題：甲乙兩人每天產(chǎn)量相同，它們的例題：甲乙兩人每天產(chǎn)量相同，它們的次品個數(shù)分別為次品個數(shù)分別為，其分布