2015-2016年天津市南開中學(xué)高三(下)第五次月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版)_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、2015-2016學(xué)年天津市南開中學(xué)高三(下)第五次月考數(shù)學(xué)試卷(文科)一.選擇題:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1(5分)復(fù)數(shù)等于()AiBiC1D12(5分)已知命題p:若ab,則a2b2;q:“x1”是“x2+2x30”的必要不充分條件則下列命題是真命題的是()ApqBpqCpqDpq3(5分)記集合A=(x,y)|x2+y216,集合B=(x,y)|x+y40,(x,y)A表示的平面區(qū)域分別為1,2若在區(qū)域1內(nèi)任取一點(diǎn)P(x,y),則點(diǎn)P落在區(qū)域2中的概率為()ABCD4(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為()A7B9C10D115(5分)一個(gè)幾何體的三

2、視圖如圖所示,則該幾何體的體積(單位:cm3)為()A+B2C2D6(5分)已知函數(shù)y=sin2xcos2x,下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()圖象關(guān)于x=對(duì)稱;函數(shù)在0,上的最大值為2函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后為奇函數(shù)A0B1C2D37(5分)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=1|1(xm)2|關(guān)于y軸對(duì)稱,記a=f(m+2),b=f(log5),c=f(e),則a,b,c的大小關(guān)系是()AcabBbacCacbDabc8(5分)已知函數(shù)f(x)=,如果關(guān)于x的方程f(x)=kx2有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則k的取值范圍是()Ak1Bk1C0k1D0k1二.填空題:本大題共6小題,每題5分,共30分.9(5分)已

3、知集合A=1,a,B=2a,b,若AB=1,則AB=10(5分)為了抗震救災(zāi),現(xiàn)要在學(xué)生人數(shù)比例為2:3:5的A、B、C三所高校中,用分層抽樣方法抽取n名志愿者,若在A高校恰好抽出了6名志愿者,那么n=11(5分)如圖,AB是O的直徑,且AB=3,CDAB于D,E為AD的中點(diǎn),連接CE并延長(zhǎng)交O于F,若CD=,則EF=12(5分)已知雙曲線=1(a0,b0)的左頂點(diǎn)與拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),則雙曲線的方程為13(5分)已知四邊形ABCD,AC是BD的垂直平分線,垂足為E,O為四邊形ABCD外一點(diǎn),設(shè)|=5,|=3,則

4、(+)()=14(5分)設(shè)a0,b0,且不等式+0恒成立,則實(shí)數(shù)k的最小值等于三.解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或驗(yàn)算步驟.15(13分)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c已知ABC的面積為3sinA,周長(zhǎng)為4(+1),且sinB+sinC=sinA(1)求a及cosA的值;(2)求cos(2A)的值16(13分)某賣場(chǎng)同時(shí)銷售變頻冷暖空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī),這兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量大,有多少賣多少今年五一假期該賣場(chǎng)要根據(jù)實(shí)際情況確定產(chǎn)品的進(jìn)貨數(shù)量,以達(dá)到總利潤(rùn)最大已知兩種產(chǎn)品直接受資金和勞動(dòng)力的限制根據(jù)過去銷售情況,得到兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表:(表中單位

5、:百元)試問:怎樣確定兩種貨物的進(jìn)貨量,才能使五一期間的總利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?資金單位產(chǎn)品所需資金資金供應(yīng)量空調(diào)機(jī)洗衣機(jī)成本3020440勞動(dòng)力:工資710156單位利潤(rùn)10817(13分)己知三棱柱ABCA1B1C1,A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D,BCA=90°,AC=BC=2,又知BA1AC1()求證:AC1平面A1BC;()求點(diǎn)C到平面A1AB的距離;()求二面角AA1BC余弦值的大小18(13分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn、an、成等差數(shù)列()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;()若,設(shè),求數(shù)列Cn的前項(xiàng)和Tn19(14分)如圖,設(shè)橢圓C:+=1

6、(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為A,在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B,滿足=,且=0(1)若過A、B、F2三點(diǎn)的圓恰好與直線l1:xy3=0相切,求橢圓C的方程;(2)在(1)的條件下,過右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)P(m,0)使得以PM、PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出m的取值范圍,如果不存在,說明理由20(14分)已知函數(shù)(a0)(1)若函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2,x3,且x1+x2+x3=3,x1x2=9,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若,3a2c2b,證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)一定有極值點(diǎn);(3)在(2

7、)的條件下,若函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)之間的距離不小于,求的取值范圍2015-2016學(xué)年天津市南開中學(xué)高三(下)第五次月考數(shù)學(xué)試卷(文科)參考答案與試題解析一.選擇題:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1(5分)(2016春天津校級(jí)月考)復(fù)數(shù)等于()AiBiC1D1【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可【解答】解:復(fù)數(shù)=i故選:A【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算,考查計(jì)算能力2(5分)(2015萬(wàn)州區(qū)校級(jí)二模)已知命題p:若ab,則a2b2;q:“x1”是“x2+2x30”的必要不充分條件則下列命題是真命題的是()ApqBpqCpqDpq【分析】先判斷命題p

8、,q的真假,再利用復(fù)合真假的判定方法即可判斷出正誤【解答】解:命題p:若ab,則a2b2,不正確,舉反例:取a=1,b=2,不成立;q:由x2+2x30,解得3x1,因此“x1”是“x2+2x30”的必要不充分條件,是真命題pq,pq,pq,是假命題,pq是真命題故選:B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)合真假的判定方法,屬于基礎(chǔ)題3(5分)(2016煙臺(tái)一模)記集合A=(x,y)|x2+y216,集合B=(x,y)|x+y40,(x,y)A表示的平面區(qū)域分別為1,2若在區(qū)域1內(nèi)任取一點(diǎn)P(x,y),則點(diǎn)P落在區(qū)域2中的概率為()ABCD【分析】由題意,根據(jù)幾何概型的公式,只要求出平面區(qū)域1,2的面積,利用

9、面積比求值【解答】解:由題意,兩個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的圖形如圖,其中,由幾何概型的公式可得點(diǎn)P落在區(qū)域2中的概率為;故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概型的概率求法,解答本題的關(guān)鍵是分別求出平面區(qū)域1,2的面積,利用幾何概型公式求值4(5分)(2016宜春校級(jí)模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為()A7B9C10D11【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程,該程序是累加求和的應(yīng)用問題,當(dāng)S1時(shí)輸出i的值即可【解答】解:模擬程序框圖的運(yùn)行過程,如下;,否;,否;,否;,否;,是,輸出i=9故選:B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目5(5分)(2014太原二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所

10、示,則該幾何體的體積(單位:cm3)為()A+B2C2D【分析】由三視圖可以看出,該幾何體下部是一個(gè)圓柱,上部是一三棱錐,圓柱半徑為1高也是1,三棱錐底面是一等腰直角三角形,過斜邊的側(cè)面與多方面垂直且該側(cè)面是一等邊三角形,邊長(zhǎng)是2,由于該幾何體是一組合體故其體積為圓柱的體積與棱錐體積的和【解答】解:由三視圖,該組合體上部是一三棱錐,下部是一圓柱由圖中數(shù)據(jù)知 V圓柱=×12×1= 三棱錐垂直于底面的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且邊長(zhǎng)是2,故其高即為三棱錐的高,高為 故棱錐高為 由于棱錐底面為一等腰直角三角形,且斜邊長(zhǎng)為2,故兩直角邊長(zhǎng)度都是 底面三角形的面積是=1 故= 故該

11、幾何體的體積是+故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是由三視圖還原實(shí)物圖,考查由在視圖給出幾何體的度量,由公式求體積,本題是三視圖考查中常出現(xiàn)的題型,關(guān)鍵是正確地還原出幾何體的特征6(5分)(2016春天津校級(jí)月考)已知函數(shù)y=sin2xcos2x,下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()圖象關(guān)于x=對(duì)稱;函數(shù)在0,上的最大值為2函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后為奇函數(shù)A0B1C2D3【分析】利用兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性,判斷圖象關(guān)于x=對(duì)稱是否正確;求出函數(shù)在0,上的最大值是否為2,判斷正誤即可利用函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后,求出函數(shù)的解析式,判斷是否為奇函數(shù)【解答】解:函數(shù)y=sin2xcos2x=

12、2sin(2x),因?yàn)?x=k,kZ,當(dāng)k=1時(shí),x=是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,所以圖象關(guān)于x=對(duì)稱正確;x0,則2x,所以函數(shù)y=2sin(2x)的最大值為2,正確;函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后可得:函數(shù)y=2sin(2x+)=sin2x,函數(shù)為奇函數(shù)正確;故選:D【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的三角函數(shù),三角函數(shù)的對(duì)稱性,函數(shù)的最值以及函數(shù)的圖形的平移,考查計(jì)算能力7(5分)(2016春天津校級(jí)月考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=1|1(xm)2|關(guān)于y軸對(duì)稱,記a=f(m+2),b=f(log5),c=f(e),則a,b,c的大小關(guān)系是()AcabBbacCacbDabc【分析】先由偶函數(shù)的性質(zhì)求出f

13、(x)=1|1x2|,由此利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)能求出a,b,c的大小關(guān)系【解答】解:定義在R上的函數(shù)f(x)=1|1(xm)2|關(guān)于y軸對(duì)稱,m=0,f(x)=1|1x2|,a=f(m+2)=f(2)=1|122|=2,b=f(log5)=1|1()2|=(log5)2(0,1),c=f(e)=1|1()2|=1|1e|=2e0.71828,acb【點(diǎn)評(píng)】本題考查三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用8(5分)(2015秋赤峰校級(jí)期末)已知函數(shù)f(x)=,如果關(guān)于x的方程f(x)=kx2有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則k的取值范圍是()Ak1Bk1C0k1D0

14、k1【分析】根據(jù)方程的特點(diǎn),相當(dāng)于只需有三個(gè)不等于零的不同實(shí)數(shù)根,把方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)問題,通過數(shù)形結(jié)合得出k的范圍【解答】解:f(x)=kx2有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,顯然當(dāng)x=0時(shí),無(wú)論k為何值,都成立,當(dāng)只需有三個(gè)不等于零的不同實(shí)數(shù)根,方程可化=|x|(x+2),只需y=和y=|x|(x+2)有三個(gè)不等于零的交點(diǎn)即可,畫出函數(shù)y=|x|(x+2)的圖象如圖:有圖象可知只需01,k1,故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程的解和函數(shù)的交點(diǎn)問題的轉(zhuǎn)換,難點(diǎn)是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題二.填空題:本大題共6小題,每題5分,共30分.9(5分)(2012張家港市校級(jí)一模)已知集合A=1,a,B=2a

15、,b,若AB=1,則AB=1,1,2【分析】由AB=1,可得1A且1B,進(jìn)而可得a=1,b=1,求出集合A,B后,根據(jù)集合并集運(yùn)算規(guī)則可得答案【解答】解:集合A=1,a,B=2a,b,又AB=1,a=1,2a=2,則b=1故A=1,1,B=1,2AB=故答案為1,1,2【點(diǎn)評(píng)】本題以集合交集及并集運(yùn)算為載體考查了集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題,解答是要注意集合元素的互異性10(5分)(2011江蘇模擬)為了抗震救災(zāi),現(xiàn)要在學(xué)生人數(shù)比例為2:3:5的A、B、C三所高校中,用分層抽樣方法抽取n名志愿者,若在A高校恰好抽出了6名志愿者,那么n=30【分析】學(xué)生人數(shù)比例為2:3:5,用分層抽樣方法抽取n名志

16、愿者,每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等,A高校恰好抽出了6名志愿者,則每份有3人,10份共有30人【解答】解:學(xué)生人數(shù)比例為2:3:5,A高校恰好抽出了6名志愿者,n=30,故答案為:30【點(diǎn)評(píng)】一般地,在抽樣時(shí),將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例,從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體,將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本這樣使得樣本更具有代表性11(5分)(2016春天津校級(jí)月考)如圖,AB是O的直徑,且AB=3,CDAB于D,E為AD的中點(diǎn),連接CE并延長(zhǎng)交O于F,若CD=,則EF=【分析】AB是圓O的直徑,可得ACB=90°利用射影定理可得CD2=ADDB已知AD=2DB,得DB=1,已

17、知E為AD的中點(diǎn),可得ED=1在RtCDE中,利用勾股定理可得CE利用ACEFBE可得:EAEB=ECEF,即可求得EF【解答】解:在RtABC中,CDAB于D,CD2=ADBD=2BD2=2,DB=1,E為AD的中點(diǎn),AE=ED=1,CE=BC=,又ACEFBE,EF=故答案為:【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)、射影定理、勾股定理、相交弦定理是解題的關(guān)鍵12(5分)(2016春天津校級(jí)月考)已知雙曲線=1(a0,b0)的左頂點(diǎn)與拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),則雙曲線的方程為【分析】根據(jù)題意,點(diǎn)(2,1)在拋物線的準(zhǔn)線上,結(jié)合拋物

18、線的性質(zhì),可得p=4,進(jìn)而可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),依據(jù)題意,可得雙曲線的左頂點(diǎn)的坐標(biāo),即可得a的值,由點(diǎn)(2,1)在雙曲線的漸近線上,可得漸近線方程,進(jìn)而可得b的值,即可求出雙曲線的方程【解答】解:根據(jù)題意,雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),即點(diǎn)(2,1)在拋物線的準(zhǔn)線上,又由拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=,則p=4,則拋物線的焦點(diǎn)為(2,0);則雙曲線的左頂點(diǎn)為(2,0),即a=2;點(diǎn)(2,1)在雙曲線的漸近線上,則其漸近線方程為y=±x,由雙曲線的性質(zhì),可得b=1;則雙曲線的方程為故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線與拋物線的性質(zhì),注意題目“雙曲線的一條漸近線與

19、拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)”這一條件的運(yùn)用,屬于中檔題13(5分)(2016春天津校級(jí)月考)已知四邊形ABCD,AC是BD的垂直平分線,垂足為E,O為四邊形ABCD外一點(diǎn),設(shè)|=5,|=3,則(+)()=16【分析】根據(jù)條件,AC垂直平分線段BD,從而得出,而,且,代入進(jìn)行向量加法和數(shù)量積的運(yùn)算便可求出答案【解答】解:AC是BD的垂直平分線;,;=259=16故答案為:16【點(diǎn)評(píng)】考查垂直平分線的概念,向量垂直的充要條件,向量加法的幾何意義,相反向量的概念,以及向量減法的幾何意義,向量數(shù)量積的運(yùn)算14(5分)(2016浙江模擬)設(shè)a0,b0,且不等式+0恒成立,則實(shí)數(shù)k的最小值等于4【

20、分析】把k看作參數(shù),將參數(shù)分離成k,再利用基本不等式求的最大值【解答】解:a0,b0,由+0,得k,只需kmax即可a+b,k4,從而實(shí)數(shù)k的最小值等于4故答案為:4【點(diǎn)評(píng)】本題屬于不等式恒成立問題,是高考??碱}型之一常規(guī)思路是先分離參數(shù),再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解三.解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或驗(yàn)算步驟.15(13分)(2016春天津校級(jí)月考)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c已知ABC的面積為3sinA,周長(zhǎng)為4(+1),且sinB+sinC=sinA(1)求a及cosA的值;(2)求cos(2A)的值【分析】(1)由已知及三角形面積公式可求b

21、c=6,進(jìn)而可求a,利用余弦定理即可得解cosA的值(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA,利用二倍角公式可求sin2A,cos2A的值,進(jìn)而利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解【解答】解:(1)ABC的面積為3sinA=bcsinA,可得:bc=6,sinB+sinC=sinA,可得:b+c=,由周長(zhǎng)為4(+1)=+a,解得:a=4,cosA=,(2)cosA=,sinA=,sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A1=,cos(2A)=cos2Acos+sin2Asin=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形面積公式,余弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角公式,兩角差的余弦函

22、數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題16(13分)(2016春天津校級(jí)月考)某賣場(chǎng)同時(shí)銷售變頻冷暖空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī),這兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量大,有多少賣多少今年五一假期該賣場(chǎng)要根據(jù)實(shí)際情況確定產(chǎn)品的進(jìn)貨數(shù)量,以達(dá)到總利潤(rùn)最大已知兩種產(chǎn)品直接受資金和勞動(dòng)力的限制根據(jù)過去銷售情況,得到兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表:(表中單位:百元)試問:怎樣確定兩種貨物的進(jìn)貨量,才能使五一期間的總利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?資金單位產(chǎn)品所需資金資金供應(yīng)量空調(diào)機(jī)洗衣機(jī)成本3020440勞動(dòng)力:工資710156單位利潤(rùn)108【分析】利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實(shí)際問題屬于直線方程的一個(gè)應(yīng)用本題主要

23、考查找出約束條件與目標(biāo)函數(shù),準(zhǔn)確地描畫可行域,再利用圖形直線求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解【解答】解:設(shè)進(jìn)貨量分別為空調(diào)機(jī)x臺(tái),洗衣機(jī)y臺(tái),利潤(rùn)z百元,則,化簡(jiǎn)為目標(biāo)函數(shù)z=10x+8y即,做出可行域如圖所示:由可得A(8,10),平移經(jīng)過A(8,10)點(diǎn)時(shí)截距最大,即目標(biāo)函數(shù)z最大,此時(shí)z=10×8+8×10=160百元【點(diǎn)評(píng)】用圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí),分析題目的已知條件,找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵,可先將題目中的量分類、列出表格,理清頭緒,然后列出不等式組(方程組)尋求約束條件,并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入,最后比較,即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解17(1

24、3分)(2011東湖區(qū)校級(jí)三模)己知三棱柱ABCA1B1C1,A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D,BCA=90°,AC=BC=2,又知BA1AC1()求證:AC1平面A1BC;()求點(diǎn)C到平面A1AB的距離;()求二面角AA1BC余弦值的大小【分析】解法一幾何法:(I)根據(jù)已知中BCA=90°得BCAC,由A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D,可得A1DBC,結(jié)合線面垂直判定定理得BC面A1AC,所以BCAC1,又由BA1AC1,再由線面垂直的判定定理,可得AC1平面A1BC;()根據(jù)(I)的結(jié)論可得A1ACC1是菱形,進(jìn)而根據(jù)AC=BC=2,我們可以根據(jù),得到點(diǎn)

25、C到平面A1AB的距離;()令A(yù)C1A1C=O,作OEA1B于E,連AE,由(I)中結(jié)論可得A1BAE,故AEO為二面角平面角,解三角形AEO即可得到答案解法二向量法:(I)取AB的中點(diǎn)E,則DEBC,因?yàn)锽CAC,所以DEAC,又A1D平面ABC,以DE,DC,DA1為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系,求出各點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得到相應(yīng)向量的坐標(biāo),利用向量垂直數(shù)量積為0,可以判斷出AC1與平面A1BC內(nèi)兩條件相交直線都垂直,進(jìn)而得AC1平面A1BC;(II)C到平面A1AB的距離,其中平面A1AB的法向量,求出法向量的坐標(biāo),代入即可求出答案(III)分別求出平面AA1B與平面A1BC的法向量,代入向量夾角

26、公式,即可求出答案【解答】解法一幾何法:(I)BCA=90°得BCAC,因?yàn)锳1D底ABC,所以A1DBC,A1DAC=D,所以BC面A1AC,所以BCAC1因?yàn)锽A1AC1,BA1BC=B,所以AC1底A1BC(II)由(I)得AC1A1C,所以A1ACC1是菱形,所以AC=AA1=A1C=2,由,得(III)設(shè)AC1A1C=O,作OEA1B于E,連AE,由(1)所以A1BAE,所以AEO為二面角平面角,在RtA1BC中,所以,所以二面角余弦解法二向量法:(I)如圖,取AB的中點(diǎn)E,則DEBC,因?yàn)锽CAC,所以DEAC,又A1D平面ABC,以DE,DC,DA1為x,y,z軸建立空

27、間坐標(biāo)系,則A(0,1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t),由,知A1CCB,又BA1AC1,從而AC1平面A1BC;(II)由,得設(shè)平面A1AB的法向量為,所以,設(shè)z=1,則所以點(diǎn)C到平面A1AB的距離=(III)再設(shè)平面A1BC的法向量為,所以,設(shè)z=1,則,故=,根據(jù)法向量的方向可知二面角AA1BC的余弦值大小為【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定,點(diǎn)面之間距離的計(jì)算,二面角的平面角,解答立體幾何有幾何法和向量法兩種方法,前者要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理、性質(zhì)定理,要求有較強(qiáng)的邏輯性,后者可將空間問題轉(zhuǎn)化為向量問題,需要記憶大量公式和

28、較強(qiáng)的計(jì)算能力18(13分)(2008湖北校級(jí)模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn、an、成等差數(shù)列()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;()若,設(shè),求數(shù)列Cn的前項(xiàng)和Tn【分析】() Sn、an、成等差數(shù)列即,再利用1)根據(jù)Sn與an的固有關(guān)系an= 去解 ()(),bn=42n,=,可用錯(cuò)位相消法求和【解答】解:() 由題意知當(dāng)n=1時(shí),;當(dāng)兩式相減得an=2an2an1(n2),整理得:(n2)數(shù)列an是為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(),bn=42n=,得【點(diǎn)評(píng)】本題考查Sn與an關(guān)系的具體應(yīng)用,指數(shù)的運(yùn)算,數(shù)列錯(cuò)位相消法求和知識(shí)和方法要注意對(duì)n的值進(jìn)行討論19(14分)(201

29、4蒙山縣模擬)如圖,設(shè)橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為A,在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B,滿足=,且=0(1)若過A、B、F2三點(diǎn)的圓恰好與直線l1:xy3=0相切,求橢圓C的方程;(2)在(1)的條件下,過右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)P(m,0)使得以PM、PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出m的取值范圍,如果不存在,說明理由【分析】(1)設(shè)B(x0,0),由已知條件推導(dǎo)出,b2=3c2,從而得到a=2c,再由,能求出橢圓C的方程(2)由(1)知F2(1,0),l:y=k(x1),聯(lián)立,得(3+4k2)x28k2x+4k

30、212=0,由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出存在滿足題意的點(diǎn)P,且m的取值范圍是(0,)【解答】解:(1)設(shè)B(x0,0),F(xiàn)2(c,0),A(0,b),=0,=,F(xiàn)1為BF2中點(diǎn),b2=3c2,從而a2=4c2,a=2c,=0,ABF2的外接圓的圓心為F1(c,0),半徑r=|F2B|=2c,又直線:x3=0與ABF2的外接圓相切,解得c=1,a=2,b=,橢圓C的方程為(2)由(1)知F2(1,0),l:y=k(x1),聯(lián)立,得(3+4k2)x28k2x+4k212=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則,y1+y2=k(x1+x22),=(x1m,y1)+(x2m,y2)=(x1

31、+x22m,y1+y2),菱形的對(duì)角線互相垂直,()=0,(x1+x22m,y1+y2)(x2x1,y2y1)=0,(x1+x22m)(x2x1)+(y1+y2)(y2y1)=0,(x1+x22m)+k(y1+y2)=0,由題意知kR且k0,m=,0m,存在滿足題意的點(diǎn)P,且m的取值范圍是(0,)【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法,考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在的判斷與求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用20(14分)(2011藍(lán)山縣校級(jí)模擬)已知函數(shù)(a0)(1)若函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2,x3,且x1+x2+x3=3,x1x2=9,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若,3a2c2b,證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)一定有極值點(diǎn);(3)在(2)的條件下,若

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