初二幾何中常用輔助線的添加

1、初二幾何中常用輔助線的添加一.教學(xué)內(nèi)容：寒假專題一一初二幾何中常用輔助線的添加【典型例題】（一）添加輔助線構(gòu)造全等三角形例 1.已知：AB II CD, AD II BCO求證：AB=CD分析：證明線段相等的方法有：（1）中線的定義；（2） 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；（3）等式的性質(zhì)。在本題中，我們可通過連結(jié) AC,構(gòu)造全等三角形來證明 線段相等。證明：連結(jié)AC,. AB II CD, AD II BC ./ 1 = / 3, / 2=/4在AABC和ACDA中rzi= z?，AC = ACZ4 = Z2/. AABCACDA （ASA） .AB = CD（二）截長(zhǎng)補(bǔ)短法引輔助線當(dāng)已知或求證中涉

2、及到線段 a、b、c有下列情況時(shí)：土心 如直接證不出來，可采用截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線 段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等，這 兩種方法放在一起叫截長(zhǎng)補(bǔ)短法。通過線段的截長(zhǎng)補(bǔ)短，構(gòu)造全等把分散的條件集中起來 例2.如圖，A ABC 中，/ACB=2/B, /1 = /2。求證：AB=AC + CD證法一：（補(bǔ)短法）在4ABD和4AFD中小二加1，Zl= Z2AD= AD/.AABDAAFD (SAS) / B=/ F . /ACB=2/B ./ACB=2/F而/ ACB = / F+Z FDC / F=/ FDC .CD = CF而 AF=AC+CF，AF=AC + C

3、D .AB=AC +CD證法二：(截長(zhǎng)法)在AB上截取AE = AC ,連結(jié)DEAD在4AED和4ACD中工£ 二 AC，Zl= Z24口二 AD/.AAEDAACD (SAS)：,DE=DCf ZAED = ZC,/ ZAED=BXEDB, ZACB = 2Z5,'.2Z5= /S 十乙必8：.EBSDDC：-AB = AE2B = ACDC例 3.如圖，在 RtAABC 中，AB=AC, /BAC = 90°證明：BD = 2CE=/2, CEX分析：這是一道證明一條線段等于另一條線段的 2倍的問題，可構(gòu)造線段2CE,轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題，分別延長(zhǎng)BA, C

4、E交于 ABDAACF ,_、人 /1=t CE= FE-CF再證F, BEFABEC ,得 ?, 得 BD = CFO證明：分別延長(zhǎng)BA、CE交于點(diǎn)FVBEXCF./ BEF = / BEC = 90°在ABEF和ABEC中ZUZ2* BE=BEN8EF = ZBSC/.ABEFABEC (ASA) . /BAC=90° , BEXCF /BAC = /CAF=90° ) /1 + /BDA = 90° , /1 + / BFC = 90° ./ BDA = / BFC在AABD和AACF中$ Z3DA = AFCABAC/. AABDAAC

5、F (AAS) .BD = CF .BD = 2CE(三)加倍法和折半法證明一條線段是另一條線段的兩倍，常用如下方法：將較 短線段延長(zhǎng)一倍，然后證明它和較長(zhǎng)線段相等，或?qū)⑤^長(zhǎng)線段 折半，然后證明它和較短線段相等，這種方法稱為加倍法和折 半法。例4,已知：如圖，AD是4ABC的中線，AE是4ABD的中 線，AB = DC, /BAD = /BDA。求證：AC = 2AEA分析：欲證AC = 2AE,只要取AC的中點(diǎn)，證其一半與 AE相等，或延長(zhǎng)AE至等長(zhǎng)，證其與AC相等，由于AE是ABD的中線，故考慮延長(zhǎng) AE至F,使EF = AE,證AF = AC。（此種方法我們又稱為中線倍長(zhǎng)法）只要證 AB

6、FZXADC ,觀察圖形發(fā)現(xiàn)，可以證明 ADE 組ZXFBE,則可得出BF = AD,尚需條件/ ADC = / FBA ,而 這可由外角的性質(zhì)推出。證明：延長(zhǎng)AE至F,使EF = AE ,連結(jié)BF.AE是4ABD的中線 .BE = ED在4BEF和4DEA中羽胃二EALBEF = /LDEABE = DE/. ABEFADEA ./ EBF = / BDA, BF = DA , / BAD = / BDA . / EBF = / BAD2ADC = £ABD 4-乙BADZFBA = / AB口 + £ 巨8sJ 乙ADC 二在AADC和AFBA中A£ = DC

7、 乙而A = £ADCBF 二口區(qū)/. AADCAFBA .AC=AF又, AF=2AE .AC=2AE（四）利用角平分線的性質(zhì)來添加輔助線有角平分線（或證明是角平分線）時(shí)，常過角平分線上的 點(diǎn)向角兩邊作垂線段，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相 等證題。例5,已知： ABC的/ B、/ C的外角平分線交于點(diǎn) Po求證：AP平分/ BAC點(diǎn)，PE證明：過P點(diǎn)作PDLAC于D點(diǎn)，PFLAB于F±BC于E點(diǎn),PC, BP為AABC的/B、/C的外角平分線PDLAC, PEXBC.PD=PE （角平分線性質(zhì)）同理：PF=PE.pd=pf （等量代換），AP平分/BAC （角平分線

8、性質(zhì)逆定理）例6,已知：如圖，/ 1 = / 2, P為BN上一點(diǎn)，且 PDXBC于 D, AB + BC = 2BDO求證：/ BAP +分析：要證/ BAP + Z BCP= 180° ,而由圖可知/ BAP + /EAP = 180° ,故只要證/ EAP = /BCP 即可。由/1 = /2, PD±BC,想到過P點(diǎn)向BA作垂線PE,有PE=PD, BE = BD,又由上u 得 AE = CD,APEACPD,從而有/ EAP = / BCP,問題得證。證明：過點(diǎn)P作PEL BA于E PD±BC, / 1 = /2，PE=PD (角平分線的性質(zhì))

9、在 RtABPE 和 RtABPD 中BP=BPfe =也/. RtABPERtABPD (HL) .BE = BD'：AB ¥BC=2BDdC= CD-BDA= BE-AE：.AECD'：PEL BE, PDBC ./ PEB = / PDC = 90°在APEA和APDC中產(chǎn)=總，£peb = ZfdcAECD/. APEAAPDC ./ PCB = / EAP / BAP + Z EAP = 180° / BAP + Z BCP = 180°【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）1 .已知，如圖，AB=AE, BC=ED,=4山口，垂足為九 求證：CF = DF2 .在四邊形 ABCD中，BC>BA, AD = DC, BD平分/超c ,求證：_4-_? =：:3.已知 AD >AABCAB,=