穩(wěn)定性與李雅普諾夫

1、第四章第四章 穩(wěn)定性穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法與李雅普諾夫方法2022年3月21日4.穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法l4.1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義 l4.2 李雅普諾夫第一法l4.3 李雅普諾夫第二法l4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用l4.5 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用穩(wěn)定性的幾個(gè)問(wèn)題穩(wěn)定性的幾個(gè)問(wèn)題l什么是系統(tǒng)的穩(wěn)定性？l為什么要研究穩(wěn)定性？l經(jīng)典控制理論中穩(wěn)定性的判別方法？l對(duì)于狀態(tài)空間表達(dá)式如何判斷穩(wěn)定性？4.1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義l系統(tǒng)的平衡狀態(tài)l所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為lx為n維狀態(tài)矢量；f為與x同維的矢量函數(shù)，并且

2、是x與時(shí)間t的函數(shù)，一般為時(shí)變的非線性函數(shù)，如果不顯函t，則為定常非線性系統(tǒng)。l若存在狀態(tài)矢量xe，對(duì)所有時(shí)間t都能使f (xe,t) 0 ，稱xe為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。l線性定常系統(tǒng)的平衡狀態(tài)l平衡狀態(tài)需要滿足Axe 0l當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)存在唯一的平衡狀態(tài)xe0；l當(dāng)A為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)將存在無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。l非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)l可以有一個(gè)或者多個(gè) ),(txfx Axxfx),(t平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性的基本概念經(jīng)典理論中的穩(wěn)定性李雅普諾夫的穩(wěn)定性系統(tǒng)形式定義如果系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下偏離的原來(lái)的平衡狀態(tài)，在擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)來(lái)

3、的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定。如果系統(tǒng)從平衡狀態(tài)臨近的任一點(diǎn)出發(fā)的軌線總保持在保持在該該平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)的臨近的臨近，則稱平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定。判別方法代數(shù)判據(jù)、奈氏判據(jù)、對(duì)數(shù)判據(jù)、特征根判據(jù)李雅普諾夫第一法（間接法）第二法（直接法）適用范圍線性定常系統(tǒng)多變量、非線性、時(shí)變穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身固有的，與輸入無(wú)關(guān)。)(xfx Axx 穩(wěn)定性的幾個(gè)定義穩(wěn)定性的幾個(gè)定義l李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定l漸進(jìn)穩(wěn)定l大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定l不穩(wěn)定李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性說(shuō)明：lS() -定義一個(gè)以平衡狀態(tài)為中心半徑為的鄰域，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)保持在該鄰域內(nèi)；lS( ) -定義一個(gè)以平衡

4、狀態(tài)為中心半徑為的鄰域，為了滿足系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)保持在S() 內(nèi)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)應(yīng)該在S( ) 內(nèi)。如果系統(tǒng)對(duì)于任意選定的實(shí)數(shù) 0，都存在另一個(gè)實(shí)數(shù)(,t0)，使得， 當(dāng)| x0 - xe | (, t0) 時(shí)，從任意 x0 出發(fā)的解都滿足 | (t; x0, t0) | ，t0t 則稱平衡狀態(tài) xe為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。 如果 與 無(wú)關(guān)，則稱這種平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。 漸進(jìn)穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定 漸進(jìn)穩(wěn)定 不穩(wěn)定分析下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性表面有摩擦李雅普諾夫穩(wěn)定性判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性判別方法l第一法（間接法）第一法（間接法）：先求解系統(tǒng)的微分方程，然后根據(jù)解的

5、性質(zhì)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。l第二法（直接法）：構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，根據(jù)這第二法（直接法）：構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，根據(jù)這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。適用與任何個(gè)函數(shù)的性質(zhì)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。適用與任何復(fù)雜系統(tǒng)復(fù)雜系統(tǒng)4.2 李雅普諾夫第一法（間接法）李雅普諾夫第一法（間接法）l線性定常系統(tǒng)提問(wèn)：有沒(méi)有可能出現(xiàn)狀態(tài)不穩(wěn)定而輸出穩(wěn)定的情況？提問(wèn)：有沒(méi)有可能出現(xiàn)狀態(tài)不穩(wěn)定而輸出穩(wěn)定的情況？有沒(méi)有可能出現(xiàn)輸出不穩(wěn)定而狀態(tài)穩(wěn)定的情況？有沒(méi)有可能出現(xiàn)輸出不穩(wěn)定而狀態(tài)穩(wěn)定的情況？)(xfx )()(xeRxxxfxl非線性系統(tǒng)xe為平衡狀態(tài)，f(x,t)為與x同維的矢量函數(shù)，且對(duì)x具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。將非線性矢量函

6、數(shù)f(x,t)在xe鄰域內(nèi)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)其中R(x)為級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的髙階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。若令 則可以得到系統(tǒng)的線性化方程xAxexxxexxxfA在線性近似的基礎(chǔ)上，用線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別定理。A的所有特征值都有負(fù)實(shí)部系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定A的特征根中至少有一個(gè)具有正實(shí)部系統(tǒng)不穩(wěn)定A的特征值都有非正實(shí)部l需要根據(jù)舍棄的髙階項(xiàng)再分析l采用李雅普諾夫第二法舉例：用李雅普諾夫第一法判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性21222111xxxxxxxx0, 021xx第一步：令求得系統(tǒng)的平衡狀態(tài)T1T1) 1 , 1 (,)0 , 0(eexx第二步：將系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x1e附近線性化1001T10022122111xxxxfAxfxfx

7、fxfe 求近似線性系統(tǒng)的特征根：1，+1， 所以系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x1e不穩(wěn)定第三步：將系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x2e附近線性化01102exxxfA 求近似線性系統(tǒng)的特征根：j，+j，實(shí)部為0；所以系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x2e的穩(wěn)定性用線性化方程無(wú)法判斷。課堂練習(xí)：用李雅普諾夫第一法判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性4122222112xxxxxxx0, 021xx第一步：令求得系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)0, 021xx第二步：將系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近線性化201124211TT003120022122111xxxxxfAxxxfxfxfxfe第三步：求近似線性系統(tǒng)的特征根：1，2 所以系統(tǒng)在平衡點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定。4.3 李雅普諾夫第二法（直

8、接法）李雅普諾夫第二法（直接法）基本思路：一個(gè)系統(tǒng)被激勵(lì)后，其儲(chǔ)存的能量隨著時(shí)間的推移逐漸衰減，當(dāng)能量最小時(shí)，達(dá)到平衡狀態(tài)，那么這個(gè)平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。反之，如果系統(tǒng)不斷從外界吸收能量，存儲(chǔ)能量的能量越來(lái)越大，那么這個(gè)平衡狀態(tài)就是不穩(wěn)定的。李雅普諾夫函數(shù)：一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)V(x)虛擬的廣義能量函數(shù)根據(jù)dV(x)/dt的符號(hào)（能量的變換規(guī)律）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)1.標(biāo)量函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)標(biāo)量函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)l設(shè)V(x)為n維矢量x所定義的標(biāo)量函數(shù)， ，且在x=0處，恒有V(x)=0。對(duì)于所有在域 中的任何非零矢量x，如果：l1）V(x) 0，則稱V(x)為正定正定。例如V(x)=x1

9、2 +x22；l2）V(x) 0，則稱V(x)為半正定（或非負(fù)定）半正定（或非負(fù)定）。例如V(x)=(x1 +x2)2；l3）V(x) 0，則稱V(x)為負(fù)定負(fù)定。例如V(x)=(x12 +2x22)；l4）V(x) 0，則稱V(x)為半負(fù)定（或非正定）半負(fù)定（或非正定）。例如 V(x)= -(x1 +x2)2；l5）V(x) 0或者V(x) 0，則稱V(x)為不定的為不定的。例如V(x)=x1 +x2； x2二次型標(biāo)量函數(shù)二次型標(biāo)量函數(shù) 設(shè)x1，x2， ，xn為n個(gè)變量，定義二次型標(biāo)量函數(shù)為nnnnnnnnxxxpppppppppxxxV2121222211121121T)(Pxxx如果pi

10、j=pji，則稱P為實(shí)對(duì)稱陣。 PxxxT)(VxTx xPTTxxPTTxxPTxTPxxx)()()(TTTTTTVPTTPTxxxnV00)(21Ti對(duì)于二次型函數(shù)， 若P為實(shí)對(duì)稱陣，則必存在正交矩陣T，通過(guò)變換，使之化成上式，為二次型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型二次型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型。它只包含變量的平方項(xiàng)，其中為對(duì)稱陣P的互異特征值，且均為實(shí)數(shù)。 二次型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形正定的充要條件式對(duì)稱陣二次型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形正定的充要條件式對(duì)稱陣P的所有特征值的所有特征值i均大于零。均大于零。矩陣矩陣P的符號(hào)性質(zhì)的符號(hào)性質(zhì)l設(shè)P為nn的實(shí)對(duì)稱陣，V(x)=xTPx為由P所決定的二次型函數(shù)。l1）若V(x)正定，則P正定，記做

11、P 0；l2）若V(x)負(fù)定，則P負(fù)定，記做P 0；l3）若V(x)半正定（非負(fù)定），則P半正定（非負(fù)定），記做P 0；l4）若V(x)半負(fù)定（非正定），則P半負(fù)定（非正定），記做P 0；l矩陣矩陣P的符號(hào)性質(zhì)與它所定義的二次型函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)與它所定義的二次型函數(shù)V(x)的符號(hào)性質(zhì)的符號(hào)性質(zhì)完全一致。因此判斷完全一致。因此判斷V(x)的符號(hào)只要判斷的符號(hào)只要判斷P的符號(hào)即可（希的符號(hào)即可（希爾維斯特判據(jù)，爾維斯特判據(jù)，Sylvester）。）。 3希爾維斯特判據(jù)希爾維斯特判據(jù) 穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為)(xfx ，平衡狀態(tài)為0ex，滿足0)(exf。 如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù))(xV

12、，它滿足： 1）)(xV對(duì)所有x都具有連續(xù)的一階偏倒數(shù)； 2）)(xV是正定的，即當(dāng)0 x時(shí)，0)(xV；當(dāng)0 x時(shí)，0)(xV； 李雅普諾夫第二法根據(jù) 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性tVVd)(d)(xx 對(duì)李雅普諾夫函數(shù)的討論對(duì)李雅普諾夫函數(shù)的討論4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用l線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定判據(jù)nnRAC)(A0P0T PAPA命題命題4.1 矩陣的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部，即，等價(jià)于存在對(duì)稱矩陣，使得證明證明 必要性證明 設(shè)對(duì)稱矩陣 令 顯然0Qtttdee0TAAQP0P00TTdeedeeTTttttttAQQAPAPAAAAAtttttd)ee

13、ee(TT0TAQQAAAAA0)ed(eTttAAQ0eeTttAAQ李氏第一法,如何判斷？P.61 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)五：微分 C)(A0elimelimTttttAA根據(jù)，則因此 0TQPAPA充分性證明： 因?yàn)锳的特征根有可能是復(fù)數(shù)，不妨在復(fù)數(shù)域上討論，在Cn中定義新的內(nèi)積yPxyxT,)(A0 xxAx為A的對(duì)應(yīng)的特征向量，即則xAPxxPAxAxxxAxTTT,xPAPAx)(TT0)(TxQx又存在xxxxAxxxAx,xPxxPxTTxPxT)(xPxT)Re(2由于 0)()Re(2TTxQxxPx，所以 0)Re(C即 。證畢。 PAPAT0eeTttAAQ00)()(ee

14、eeTTAAAAQQ線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù) l線性定常連續(xù)系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe = 0全局漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件：對(duì)于任意給定的正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q，若存在正定的實(shí)對(duì)稱矩陣P，滿足李雅普諾夫方程李雅普諾夫方程： 則可取為 ，為系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。 QPAPATPxxxT)(VxPAPAxPxAxPAxxx)()()(TTTTV欲使系統(tǒng)在原點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定，則要求 必須為負(fù)定 )(xVQxxxT)(V)(TPAPAQ則，要求為正定的。判據(jù)應(yīng)用注意事項(xiàng)判據(jù)應(yīng)用注意事項(xiàng) l（1）判別過(guò)程判據(jù)應(yīng)用注意事項(xiàng)判據(jù)應(yīng)用注意事項(xiàng) l（2）Q的選?。罕M量簡(jiǎn)單，常取Q=I；l（3）若 沿任一軌跡不

15、恒等于零，那么Q可取半正定。l（4）上述判據(jù)所確定的條件與矩陣A的特征值具有負(fù)實(shí)部的條件等價(jià)，因而判據(jù)是 充要條件。 )(xV李雅普諾夫方法判別線性系統(tǒng)穩(wěn)定性示例（1）已知系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，試分析系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。xx3210解解設(shè) 22211211ppppP，Q=I 帶入李雅普諾夫方程QPAPAT1001321031202221121122211211pppppppp將上式展開(kāi)，對(duì)應(yīng)元素相等，解得41414145P根據(jù)希爾維斯特判據(jù)041414145, 04521P是正定的，因而系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。李雅普諾夫方法判別線性系統(tǒng)穩(wěn)定性示例（2）已知系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，試確定系統(tǒng)增益K的

16、穩(wěn)定范圍。 xx10120010K解解 因detA0，故原點(diǎn)是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。100000000Q為了說(shuō)明Q選取的正確，需要證明 沿任意軌跡應(yīng)不恒等于零。)(xV23T)(xVQxxx顯然 的條件是 ，此時(shí) ， ，這表明只有在平衡狀態(tài) ，才能保證 ，而 沿任一軌線不會(huì)恒等于零。0)(xV03x01x02x0ex0)(xV)(xV取半正定的實(shí)對(duì)稱矩陣Q為求解李雅普諾夫方程1000100011012001011002100333231232221131211333231232221131211KppppppppppppppppppK解得KKKKKKKKKKKKKKK21262120212212

17、3212602126212122P為使P為正定矩陣的充要條件是：12 2K 0 和K 0即0 K 6綜合上述，當(dāng)0 K 6系統(tǒng)在平衡狀態(tài)原點(diǎn)大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。 4.5 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用l雅可比（Jacobian）矩陣法克拉索夫斯基（Krasovski）法 設(shè)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，x為n維狀態(tài)矢量；f為與x同維的非線性矢量函數(shù)。假設(shè)原點(diǎn)xe=0是平衡狀態(tài)，f(x)對(duì) 可微，系統(tǒng)的雅可比矩陣為：)(xfx ), 2 , 1(nixinnnnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111xf第一法如何判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

18、？則系統(tǒng)在原點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)于任意正定實(shí)對(duì)稱陣P，使下列矩陣)()()(TxPJPxJxQ為正定的；并且)()()(TTxPfxfxPxxV是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。如果當(dāng) 時(shí)，還有 ，則系統(tǒng)在xe=0是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。x)(xV證明：證明：選取二次型函數(shù))()()(TTxPfxfxPxxV為李雅普諾夫函數(shù)，其中P為對(duì)稱正定矩陣，因而 正定。)(xV考慮到 是x的顯函數(shù)，不是時(shí)間t的顯函數(shù)，因而有下列關(guān)系)(xf)()()()()(dd)()(d)(dxfJxfxxfxxxfxxxfxfxfxtt將 沿狀態(tài)軌跡對(duì)t求全導(dǎo)，可得)(xV)()()()()(TTxPfxfxfPxfxV

19、)()()()()()(TTxPfxfJxfPJxfxx)()()()()()(TTTxPfJxfxfPJxfxx)()()()()(TTxfPJxfPJxfxx)()()()(TxfQxfxxV)()()(TxxxPJPJQ上式表明，要使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定， 必須是負(fù)定的，因此 必須是正定的。 )(xV)(xQ若 時(shí)， ，則系統(tǒng)在原點(diǎn)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。x)(xV推論推論 對(duì)于線性定常系統(tǒng) ，若矩陣A非奇異，且矩陣（ATA）為負(fù)定，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。Axx )()()()(TxfQxfxxV李雅普諾夫方法判別非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性示例設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，用克拉索夫斯基法分析x

20、e=0出的穩(wěn)定性。322122113xxxxxxx解：解：計(jì)算雅可比矩陣2231113)(xxfxJ取P = I，得根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有表明對(duì)于x 0，Q(x)是正定的。平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的 。22T62226)()()(xxJxJxQ036862226, 06222221xx此外，當(dāng) 時(shí)，因此，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0為大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。x23221221T)()3()()()(xxxxxVxfxfxxx1031200101) 取 Q = I2) 令對(duì)稱矩陣332313232212131211pppppppppPQPAPAT3)將Q、P帶入李雅普諾夫方程I103120010110021300332313232212131211332313232212131211pppppppppppppppppp4) 解得851514251256561PP的特征值為1.12, 10.55, 75.33 P正定課堂練習(xí)：第二法判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性（課堂練習(xí)：