5蒙特卡洛方法模擬期權(quán)定價(jià)

1、材料五：蒙特卡洛方法模擬期權(quán)定價(jià)1.蒙特卡洛方法模擬歐式期權(quán)定價(jià)利用風(fēng)險(xiǎn)中性的方法計(jì)算期權(quán)定價(jià)：f=/口(左)其中，f是期權(quán)價(jià)格，fT是到期日T的現(xiàn)金流，E?是風(fēng)險(xiǎn)中性測度如果標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)：dS=Sdt二sdW則在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下，標(biāo)的資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)方程為：_2_Sr=S0exp(r-)T二；2對(duì)于歐式看漲期權(quán)，到期日歐式看漲期權(quán)現(xiàn)金流如下：max0,S(0)e(r看T"取K其中，K是執(zhí)行價(jià)，r是無風(fēng)險(xiǎn)利率，。是標(biāo)準(zhǔn)差，8是正態(tài)分布的隨機(jī)變量。對(duì)到期日的現(xiàn)金流用無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，就可知道期權(quán)價(jià)格。例1假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，股票現(xiàn)在價(jià)格為50,歐式期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為52,無風(fēng)險(xiǎn)利

2、率為0.1,股票波動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差為0.4,期權(quán)的到期日為5個(gè)月，試用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算該期權(quán)價(jià)格。下面用MATLAB編寫一個(gè)子程序進(jìn)行計(jì)算：functioneucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu)%I特卡洛方法計(jì)算歐式看漲期權(quán)的價(jià)格力輸入?yún)?shù)%s0股票價(jià)格%K執(zhí)行價(jià)%r無風(fēng)險(xiǎn)利率%T期權(quán)的到期日%sigma股票波動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差%Nu模擬的次數(shù)力輸出參數(shù)%eucall歐式看漲期權(quán)價(jià)格%varprice模擬期權(quán)價(jià)格的方差%ci95%概率保證的期權(quán)價(jià)格區(qū)間randn('seed',0);%定義隨機(jī)數(shù)發(fā)生器種子是0,%這樣保證每次模擬的結(jié)果相同nuT=(r-0,5*sigm

3、aA2)*Tsit=sigma*sqrt(T)discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1)-K)%期權(quán)到期時(shí)的現(xiàn)金流eucall,varprice,ci=normfit(discpayoff)%命令窗口輸入：blsmc(50,52,0.1,12/5,0.4,1000)2.蒙特卡洛方法模擬障礙期權(quán)定價(jià)障礙期權(quán)，就是確定一個(gè)障礙值Sb,在期權(quán)的存續(xù)期內(nèi)有可能超過該價(jià)格，也可能低于該價(jià)格，對(duì)于敲出期權(quán)而言，如果在期權(quán)的存續(xù)期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格觸及障礙值時(shí)，期權(quán)合同可以提前終止執(zhí)行；相反，對(duì)于敲入價(jià)格，如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格觸及障礙值時(shí)，期權(quán)合同開始

4、生效。當(dāng)障礙值Sb高于現(xiàn)在資產(chǎn)價(jià)格稱上漲期權(quán)，反之稱下跌期權(quán)。對(duì)于下跌敲出看跌期權(quán)，該期權(quán)首先是看跌期權(quán)，股票價(jià)格是S0,執(zhí)行價(jià)格是K,買入看跌期權(quán)就首先彳證以執(zhí)行價(jià)K賣掉股票，下跌敲出障礙期權(quán)相當(dāng)于在看跌期權(quán)的基礎(chǔ)上附加提前終止執(zhí)行的條款，內(nèi)容是當(dāng)股票價(jià)格觸及障礙值Sb時(shí)看跌期權(quán)就提前終止執(zhí)行。因?yàn)樵撈跈?quán)對(duì)于賣方有利，所以其價(jià)格應(yīng)低于看跌期權(quán)的價(jià)格。對(duì)于下跌敲出看跌期權(quán)，該期權(quán)首先是看跌期權(quán)，股票價(jià)格是S0,執(zhí)行價(jià)格是K,買入看跌期權(quán)就首先彳證以執(zhí)行價(jià)K賣掉股票，下跌敲出障礙期權(quán)相當(dāng)于在看跌期權(quán)的基礎(chǔ)上附加提前終止執(zhí)行的條款，內(nèi)容是當(dāng)股票價(jià)格觸及障礙值Sb時(shí)看跌期權(quán)就提前終止執(zhí)行。因?yàn)樵撈跈?quán)

5、對(duì)于賣方有利，所以其價(jià)格應(yīng)低于看跌期權(quán)的價(jià)格。對(duì)于下跌敲入看跌期權(quán)，該期權(quán)首先是看跌期權(quán)，下跌敲出障礙期權(quán)相當(dāng)于在看跌期權(quán)的基礎(chǔ)上附加提前何時(shí)生效的條款，內(nèi)容是當(dāng)股票價(jià)格觸及障礙值Sb時(shí)看跌期權(quán)開始生效。當(dāng)障礙值Sb確定時(shí)，障礙期權(quán)存在解：P=Ke=TN(d4)-N(d2)-aN(d7)-N&)-S0N(d3)-N(d1)-bN(d8)-N(d6)其中a=(&)b=(&產(chǎn)S0S0ln(S0/K)(r；12/2)Ta:-二、Td22ln(S0/K)(r一二2/2)T二,Tdaln(1/Sb)(r二2/2)T二“Td42ln(So/Sb)(r-c2/2)T二、Tds2ln(

6、So/Sb)-(r-c2/2)T二斤de2ln(So/0)-(二2/2)T二dy22ln(SoK/Sb2)-(r-；/2)TTdsln(&K/Sb2)-(r；，/2)T二、T利用上述公式編寫下跌敲出障礙期權(quán)價(jià)格程序：functionP=DownOutPut(S0,K,r,T,sigma,Sb)a=(Sb/S0)A(-1+2*r/sigmaA2)b=(Sb/S0)A(1+2*r/sigmaA2)d1=(log(Sb/K)+(r+sigmaA2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d2=(log(Sb/K)+(r-sigmaA2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d3=(log(S0

7、/Sb)+(r-sigmaA2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d4=(log(S0/Sb)+(r+sigmaA2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d5=(log(S0/Sb)-(r-sigmaA2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d6=(log(S0/Sb)-(r+sigmaA2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d7=(log(S0*K/SbA2)-(r-sigmaA2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d8=(log(S0*K/SbA2)-(r+sigmaA2/2*T)/(sigma*sqrt(T)P=K*exp(-r*T)*(normcdf(d4)-normc

8、df(d2)-a*(normcdf(d7)-normcdf(d5)-S0*(normcdf(d3)-normcdf(d1)-b*(normcdf(d8)-normcdf(d6)例2同例1,運(yùn)行：P=DownOutPut(50,50,0.1,5/12,0.4,40)P=4.0936利用蒙特卡洛方法模擬下跌敲出障礙期權(quán)價(jià)格程序：在模擬中我們給出模擬次數(shù)Nrepl,每次模擬時(shí)間分為Nsteps，障礙值為&,其現(xiàn)金流如下：當(dāng)St小于S時(shí)，CashFlow=0我們可以先模擬路徑，然后讓大于Sb路徑的現(xiàn)金流為0,程序如下:functionP,aux,ci=DOPutMC(S0,K,r,T,sigm

9、a,Sb,NSteps,NRepl)NSteps每次離散時(shí)間數(shù)目NRepl模擬次數(shù)%模擬股價(jià)路徑dt=T/NStepsnudt=(r-0.5*sigmaA2)*dtsidt=sigma*sqrt(dt)randn('seed',0)rand=randn(NRepl,NSteps)rand1=nudt+sidt*randrand2=cumsum(rand1,2)path=S0*exp(rand2)利用路徑進(jìn)行定價(jià)payoff=zeros(NRepl,1)fori=1:NReplax=path(i,:)ifmin(ax)<Sbpayoff(i)=0elsepayoff(i)=

10、max(0,K-ax(NSteps)endendP,aux,ci=normfit(exp(-r*T)*payoff)運(yùn)行：P,aux,ci=DOPutMC(50,50,0.1,5/12,0.4,40,100,1000)P=0.8094aux=1.9714ci=0.68710.93183蒙特卡洛方法模擬亞式期權(quán)定價(jià)亞式期權(quán)是一種路徑依賴型期權(quán)，它的收益函數(shù)依賴于期權(quán)存續(xù)期內(nèi)的標(biāo)的資產(chǎn)的平均價(jià)格。(算術(shù)平均與幾何平均)亞式看漲期權(quán)到期現(xiàn)金流為1.NmaxS(ti)-K,0ti=it,t=T/NNy例3同例1,用蒙特卡洛方法計(jì)算該亞式期權(quán)價(jià)格。functionP,CI=AsianMC(s0,k,r,

11、T,sigma,NSteps,NRepl)dt=T/NSteps;nudt=(r-0.5*sigmaA2)*dt;sidt=sigma*sqrt(dt);randn('seed',0);rand=randn(NRepl,NSteps);rand1=nudt+sidt*rand;rand2=cumsum(rand1,2);path=s0*exp(rand2);payoff=zeros(NRepl,1);fori=1:NReplpayoff(i)=max(0,mean(path(i,:)-k);endP,aux,CI=normfit(exp(-r*T)*payoff)>>

12、;AsianMC(50,50,0.1,5/12,0.4,5,50000)P=3.9622aux=5.9669CI=3.90994.0145ans=3.96224.等價(jià)鞅測度(內(nèi)容參見247頁)functioneucall=blsmc(s0,kK,r,T,sigma,Nu)s0=50;K=52;r=0.1;T=5/12;sigma=0.4;Nu=1000;randn('seed',0);nuT=(r-0.5*sigmaA2)*T;sit=sigma*sqrt(T);discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1)-K);disp('蒙特卡洛模擬結(jié)果,)eucall,varprice,ci=normfit(discpayoff)SM=s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1);SM=s0*exp(r*T)*SM/mean(SM);S1=max(0,SM-K);disp('風(fēng)險(xiǎn)中性下歐式看漲期權(quán)結(jié)果,)Emscall,varprice,ci=normfit(S1)disp('歐式看漲期