第四講關(guān)于線性擬合法的進(jìn)一步討論

1、關(guān)于線性擬合法的進(jìn)一步討論有擾動(dòng)項(xiàng)l一、建立模型l一元線性回歸：l殘差項(xiàng)或稱隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)二、估計(jì)參數(shù)二、估計(jì)參數(shù)l用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到的估計(jì)表達(dá)式為：三、進(jìn)行檢驗(yàn)l標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差：估計(jì)值與應(yīng)變量值間的平均平方誤差。三、進(jìn)行檢驗(yàn)l可決系數(shù)可決系數(shù):衡量自變量與因變量關(guān)系密切程度的指標(biāo)，表示自變量解釋了因變量變動(dòng)的百分比?？梢姡蓻Q系數(shù)取值于0與1之間，并取決于回歸模型所解釋的Y方差的百分比。三、進(jìn)行檢驗(yàn)l相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)l由公式可見，可決系數(shù)是相關(guān)系數(shù)的平方。相關(guān)系數(shù)越接近+1或-1，因變量與自變量的擬合程度就越好。三、進(jìn)行檢驗(yàn)l相關(guān)系數(shù)與可決系數(shù)的主要區(qū)別：l相關(guān)系數(shù)測(cè)定變量之間的密

2、切程度，可決系數(shù)測(cè)定自變量對(duì)因變量的解釋程度。相關(guān)系數(shù)有正負(fù)，可決系數(shù)只有正號(hào)。l正相關(guān)系數(shù)意味著因變量與自變量以相同的方向增減。l如果直線從左至右上升，則相關(guān)系數(shù)為正l如果直線從左至右下降，則相關(guān)系數(shù)為負(fù)三、進(jìn)行檢驗(yàn)l回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)l檢驗(yàn)回歸系數(shù)檢驗(yàn)回歸系數(shù)b在顯著性水平在顯著性水平上是否為零，進(jìn)而判斷上是否為零，進(jìn)而判斷自變量的變化能否解釋因變量的變化自變量的變化能否解釋因變量的變化三、進(jìn)行檢驗(yàn)l回歸模型的顯著性檢驗(yàn)回歸模型的顯著性檢驗(yàn)三、進(jìn)行檢驗(yàn)l德賓德賓沃森統(tǒng)計(jì)量（沃森統(tǒng)計(jì)量（DW）三、進(jìn)行檢驗(yàn)l檢驗(yàn)法則：l在DW小于等于2時(shí)，DW檢驗(yàn)法則規(guī)定：l在DW大于2時(shí),

3、 DW檢驗(yàn)法則規(guī)定:四、進(jìn)行預(yù)測(cè)l小樣本情況下,近似的置信區(qū)間的常用公式為：例題分析l已知身高與體重的資料如下表：l試計(jì)算：l（1）擬合適當(dāng)?shù)幕貧w方程；l（2）判斷擬合優(yōu)度情況；l（3）對(duì)模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；（=0.05）l（4）當(dāng)體重為75公斤時(shí)，求其身高平均值的95%的置信區(qū)間。身高（米）1.55 1.60 1.65 1.67 1.7 1.75 1.80 1.82體重（公斤）5052575660656270例題分析l解答：（1）n=8，經(jīng)計(jì)算得：因此：例題分析l因此，建立的一元線性回歸方程為：l回歸直線的擬合優(yōu)度不是很理想。例題分析認(rèn)為所建立的線性回歸模型是顯著的。例題分析預(yù)測(cè)思路一、模型

4、的基本類型和特征一、模型的基本類型和特征l1. 線性曲線線性曲線l特征：l若增長(zhǎng)曲線為一次曲線，則其一階差分為常數(shù)。若增長(zhǎng)曲線為一次曲線，則其一階差分為常數(shù)。l適用于時(shí)間序列數(shù)據(jù)呈直線趨勢(shì)的上升（或下降）變化。一、模型的基本類型和特征一、模型的基本類型和特征l2.多項(xiàng)式非線性曲線多項(xiàng)式非線性曲線l特征：l若增長(zhǎng)曲線為二次拋物線，則其二階差分為常若增長(zhǎng)曲線為二次拋物線，則其二階差分為常數(shù)。數(shù)。適用于時(shí)間序列觀察值數(shù)據(jù)隨時(shí)間變動(dòng)呈現(xiàn)一種由高到低適用于時(shí)間序列觀察值數(shù)據(jù)隨時(shí)間變動(dòng)呈現(xiàn)一種由高到低再到高（或由低到高再到低）趨勢(shì)變化再到高（或由低到高再到低）趨勢(shì)變化一、模型的基本類型和特征一、模型的基本

5、類型和特征l3. 簡(jiǎn)單指數(shù)曲線簡(jiǎn)單指數(shù)曲線若對(duì)象增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，其趨勢(shì)近似指數(shù)函數(shù)曲線，且判斷他在預(yù)測(cè)期若對(duì)象增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，其趨勢(shì)近似指數(shù)函數(shù)曲線，且判斷他在預(yù)測(cè)期限內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)突然變化，可考慮采用。限內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)突然變化，可考慮采用。一、模型的基本類型和特征一、模型的基本類型和特征l4. 修正指數(shù)型增長(zhǎng)曲線修正指數(shù)型增長(zhǎng)曲線l描述對(duì)象在發(fā)展的初期和中期增長(zhǎng)速度較快，隨后增長(zhǎng)速度逐漸下降，其圖形接近于漸近線。其中k為飽和值。一、模型的基本類型和特征一、模型的基本類型和特征y=k是一、模型的基本類型和特征一、模型的基本類型和特征l5. 雙指數(shù)曲線模型雙指數(shù)曲線模型一、模型的基本類型和特征一、模

6、型的基本類型和特征l6. 龔帕茲（龔帕茲（Compertz）模型）模型一、模型的基本類型和特征一、模型的基本類型和特征一、模型的基本類型和特征一、模型的基本類型和特征l7. 邏輯（邏輯（Logistic）增長(zhǎng)型曲線模型）增長(zhǎng)型曲線模型l企業(yè)集團(tuán)形l成發(fā)展行為，l技術(shù)創(chuàng)新擴(kuò)l散的基本規(guī)l律，手機(jī)普l(shuí)及率等。二、模型識(shí)別二、模型識(shí)別l繪制坐標(biāo)數(shù)據(jù)點(diǎn)，觀察、選擇模型。l 選擇樣本序列的變化規(guī)律與增長(zhǎng)曲線的變化規(guī)律在理論上最接近的一種曲線。三、參數(shù)估計(jì)三、參數(shù)估計(jì)l1. 對(duì)于線性模型，用最小二乘法處理。l2. 一些非線性模型，可化為線性模型處理。l3. 其他類型，有一些特殊方法處理。線性化方法l簡(jiǎn)單指

7、數(shù)曲線、雙指數(shù)曲線等等，可化為線性曲線，從而應(yīng)用擬合曲線法擬合。線性化方法線性化方法l以上求解方法稱為對(duì)數(shù)趨勢(shì)法（又稱指數(shù)趨勢(shì)法）。它是指時(shí)間序列觀察值的長(zhǎng)期趨勢(shì)呈指數(shù)曲線變化時(shí)，運(yùn)用觀察值的對(duì)數(shù)與最小二乘法原理求得預(yù)測(cè)模型的方法。l對(duì)數(shù)趨勢(shì)法用于時(shí)間序列數(shù)據(jù)按指數(shù)曲線規(guī)律增減變化的場(chǎng)合。二次曲線趨勢(shì)外推法二次曲線趨勢(shì)外推法l假設(shè)曲線趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)模型為二次曲線趨勢(shì)外推法二次曲線趨勢(shì)外推法l選取參數(shù)的準(zhǔn)則：選取參數(shù)的準(zhǔn)則：使離差的平方和最小。l對(duì)三個(gè)參量求偏導(dǎo)，令其為0，可得方程組二次曲線趨勢(shì)外推法二次曲線趨勢(shì)外推法l若采用正負(fù)對(duì)稱編號(hào)法需計(jì)算l可求出參數(shù)算例l例例：某公司19952003年的商

8、品銷售收入如下表所示，試預(yù)測(cè)該公司2004年的銷售收入為多少萬(wàn)元？解：解：1）繪制散點(diǎn)圖。（采用正負(fù)對(duì)稱編號(hào)法）算例l2）根據(jù)散點(diǎn)圖確定其變化趨勢(shì)（二次曲線），計(jì)算所需數(shù)據(jù)。l3）計(jì)算待定參數(shù)，建立預(yù)測(cè)模型，并計(jì)算預(yù)測(cè)值。l（三元非齊線性方程組）算例l二次曲線的趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)模型為：算例其他一些模型的處理其他一些模型的處理l雙指數(shù)曲線模型雙指數(shù)曲線模型l取對(duì)數(shù)，可化為二次曲線模型修正指數(shù)型增長(zhǎng)曲線可化為簡(jiǎn)單指數(shù)曲線其他一些模型的處理其他一些模型的處理l龔帕茲（龔帕茲（B.Gompertz）模型）模型l三和法l取對(duì)數(shù)，可化為修正指數(shù)型增長(zhǎng)曲線。l邏輯（邏輯（Logistic）增長(zhǎng)型曲線模型）增長(zhǎng)型

9、曲線模型l取倒數(shù)，亦可化為線性曲線。l三點(diǎn)法三點(diǎn)法l假設(shè)曲線通過(guò)增長(zhǎng)曲線的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)，帶入曲線方程，得方程組，求出其三個(gè)參數(shù)值。l缺點(diǎn)：只用了三個(gè)值，一部分信息，難免有誤差。三和法l三和法又稱三段和值法：l確定待定參數(shù)的思路是，在二次曲線模型上選取遠(yuǎn)、中、近期三點(diǎn)坐標(biāo)作為預(yù)測(cè)模型待定參數(shù)a 、b、c的估計(jì)值。其具體作法為，使時(shí)間序列的總項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)（若為偶數(shù)，可刪去最初的一個(gè)觀察期數(shù)據(jù)）；如果n15時(shí)，則在時(shí)間序列的遠(yuǎn)、中、近三期各取5個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)，用權(quán)數(shù)w=1，2，3，4，5由遠(yuǎn)及近分別賦權(quán)并進(jìn)行加權(quán)平均；同理，如果9n 15時(shí)，則在時(shí)間序列的遠(yuǎn)、中、近三期各取3個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)，用權(quán)數(shù)w=1，

10、2，3由遠(yuǎn)及近分別賦權(quán)并進(jìn)行加權(quán)平均。 關(guān)于三點(diǎn)（和）法的幾點(diǎn)說(shuō)明l三點(diǎn)法的特點(diǎn)是不需要數(shù)列的全部數(shù)據(jù)，計(jì)算相對(duì)而言比較簡(jiǎn)單。l對(duì)選取的數(shù)據(jù)比較敏感，即便是取加權(quán)平均值，也會(huì)受到一定的影響。l一般而言，每一組里的數(shù)據(jù)相對(duì)較多時(shí)，則模型可能越接近于實(shí)際。l每一組的里數(shù)據(jù)要求是奇數(shù)，是從方便計(jì)算的角度而言的。三和法解龔帕茲模型三和法解龔帕茲模型l將整個(gè)序列分成三個(gè)相等的時(shí)間周期，并對(duì)每一個(gè)時(shí)間周期的數(shù)據(jù)求和以估計(jì)參數(shù)。l設(shè)數(shù)據(jù)來(lái)自Gompertz模型，即三和法解龔帕茲模型三和法解龔帕茲模型l得方程組l求解上述方程組，可得k, a, b.三和法解龔帕茲模型三和法解龔帕茲模型l解得參數(shù)l由 推導(dǎo)得練習(xí)

11、l某企業(yè)的產(chǎn)品銷售額，實(shí)績(jī)有如下記錄。假定數(shù)據(jù)滿足Gomperzt模型，用三和法估計(jì)參數(shù)。三和法解二次曲線 l假設(shè)遠(yuǎn)、中、近三期的坐標(biāo)分別為；l時(shí)間序列總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且中間項(xiàng)為d = ，則當(dāng)15時(shí)，取遠(yuǎn)期5個(gè)觀察值，其加權(quán)平均值為：lR= lS=lT= 112233( , ),( , ),( , )M t R Mt SM t T12n12,y y345,yyy， 1234523451 2345yyyyy 211223451 2345dddddyyyyy 4321234512345nnnnnyyyyy 三和法解二次曲線l注意：11 12 23 34 45 511123453x 2(2)2(1)3

12、4(1)5(2)21 23453dddddxd 12nd2376nx3(4)2(3)3(2)4(1)54123453nnnnnxn三和法解二次曲線將以上三點(diǎn)代入二次曲線預(yù)測(cè)模型中，有聯(lián)立方程組：聯(lián)立求解，則有： 2tttyabxcx2221111()333737()663434()33RabcnnSabcnnTabc2111213937532(2 )(5)aRbcTRnbcnRTScn三和法解二次曲線l依此類推，如果是用三項(xiàng)數(shù)進(jìn)行加權(quán)平均，且權(quán)數(shù)由遠(yuǎn)及近取1，2，3，那么，聯(lián)立求解，則有 27493935332(2 )(3)aRbcTRnbcnRTScn例題l例：例：某公司19952003年的

13、商品銷售收入如表所示，試按三點(diǎn)法預(yù)測(cè)該公司2004年銷售收入為多少萬(wàn)元？l某公司19952003年商品銷售收入數(shù)據(jù)表 (單位：萬(wàn)元)l解：l描繪散點(diǎn)圖。觀察其變化趨勢(shì)，選擇二次拋物線預(yù)測(cè)模型。l列表計(jì)算待定參數(shù)所需數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)。年份199519961997199819992000200120022003銷售收入54564176492311071322156818362140例題txtywtwyty 2)(ttyy 權(quán)重年份199515451545549.6821.901996264121282647.4441.471997376432292774.34106.921998492

14、31923930.3854.46199951107222141115.5673.27200061322339661329.8862.09200171568115681573.3428.52200281836236721845.9498.80200392140364202147.6858.98546.41銷售收入例題l推得：l用三點(diǎn)法建立的二次曲線預(yù)測(cè)模型為：545 12822292686.56923221439661183.86S1568367264201943.36TR = 22 (686.5 1943.32 1183.8)14.57(93)c 1943.3686.53 9514.5754.05933749