高中數(shù)學第二章空間向量與立體幾何25夾角的計算課后演練提升北師大版選修2

1、精品教案可編輯2016-2017學年高中數(shù)學第二章空間向量與立體幾何2.5夾角的計算課后演練提升北師大版選修2-1一、選擇題(每小題5分，共20分)1.設(shè)ABCD,ABEF都是邊長為1的正方形，F(xiàn)A，面ABCD,則異面直線AC與BF所成角等于(A.45B.30C.90D.60解析：作出圖形，建立如右圖所示的空間直角坐標系Oxyz,則:A(0,0,0),C(1,1,0),F(0,0,1),B(0,1,0),.AC=(1,1,0),B'F=(0,-1,1),.|AC|=S，出節(jié)|=,AcbF=1,cosaE,b/12O<AC,BP=120又異面直線所成角的取值范圍為AC與BF所成角為

2、60°.故選答案：D(0,90a的法向量為U,直線的方向向量為v,直線l與平面a的夾角為0,則下列關(guān)系式成立的是()解析:答案:u v9=|u|v|u v9=|u| v|l|u v|B. cos 0=|u| v|l|u v|D. sin 9=u與v的夾角的余角才是直線 l與平面|u| v|la所成的角，因此選D.BCi和平面DBBiDiB.2一 10 D.103.已知長方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=BC=4,CCi=2,則直線夾角的正弦值為()A二3八.2'.10C.5解析：以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系,則A(4,0,0),C(0,4,0),B(4,4,0)

3、,Ci(0,4,2),.AC=(4,4,0),BCi=(4,0,2),a,易知AC為平面DBBiDi的一個法向量，設(shè)BCi與平面DBBiDi的夾角為貝U sin a= |cos<AC, BC1> | =164224一 105答案：C4.平面a的一個法向量為ni=(4,3,0),平面§的一個法向量為n2=(0,3,4),則平面a與平面B夾角的余弦值為()9259B.一25C.D,以上都不對25nin29解析：cosni,n2>=,|ni|n2|259，平面a與平面B夾角的余弦值為金丁故選B.答案：B二、填空題(每小題5分，共10分)5 .已知正方體ABCDA1B1C1

4、D1,E,F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,則EF和CD所成的角是解析：以D為原點，分別以射線DA,DC,DDi為x軸，y軸，z軸的非負半軸建立空間直角坐標系Dxyz ,設(shè)正方體的棱長為1 ,則E-,1,F1,0,1,E-F=22220,一2,DC = (0,1,0),所以 cosEDC>E辛DCI由 |DC|所以E-F,DC=135所以異面直線EF和CD所成的角是45答案：45°6 .已知平面a過定點A(1,2,1),且法向量為n=(1,1,1).已知平面外一點P(1,5,1),求PA與平面a所成角的正弦值19解析：PA=(2,7,2),貝U cos PA

5、,設(shè)PA與平面2X1+7X1+2X1-33/34+49+43/wa所成角為0,則sin0=|cosPA,n|=19答案:,1919三、解答題(每小題10分，共20分)7 .如圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求異面直線BAi和AC的夾角.解析：方法一：因為BAi=BA+BBi,一一一一AC=AB+BC,所以BAiA4=(BA+Bbi)A(B+BC)=BAAB+BABC+BB1AB+BBiBC.因為ABXBC,BBi±AB,BBi±BC,所以BABC=0,BBiaB=0,BBiBC=0,BAA=-a2,所以bAiAC=-a2.一bAiAC-a2i又cosBAi

6、,AC>=r=廣=，|bAi|ACIy2axM2a2所以BAi,aC=i20°,所以異面直線BAi和AC的夾角為60方法二：分別以DA、DC、DDi所在的直線為x軸、y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ai(a,0,a).-BAi=(0,a,a),AC=(a,a,0).cos <bAi , aCBAi aS|BAi| AC|-a2i/a/Za22.<bAi,AC>=i20.，異面直線BAi和AC的夾角為608.在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，/ABC=90,SA，面ABCD,SA=AB=BC=1

7、,AD=1-,求平面SCD與平面SBA夾角的正切值.解析：建立如圖所示空間直角坐標系，則A(0,0,0)、D1,0,0、C(1,1,0)、S(0,0,1),易知平面SAB的一個法向量是AD=2，0,0.設(shè)n=(x,y,z)是平面SCD的法向量，則n±DC,n!DS,12, 0， 1 ，即nDC=0,nDS=0,-1又DC=一，1,02.,一x+y=0,且一-x+z=0.22 .y=-x,且z=-x.22.n=x,x,-.2212一ADn .cosAD,n>=lADIInl1設(shè)兩平面夾角為e,即 cos M3 .tan 9=2尖子生題庫9.(10分)如圖，在三棱錐 V ABC中，

8、VC，底面ABC, AC± BC,兀D 是 AB 的中點，且 AC = BC=a, ZVDC = 0 0 V 0<- .(1)求證：平面 VABL平面 VCD;(2)試確定角0的值，使得直線兀BC與平面VAB的夾角為-.解析： (1)證明：以C為原點.CA, CB,CV所在的直線分別為建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0,0,0)''2V 0, 0,atan 02VD =a2'a2'一atan 2x軸、y軸、，A(a,0,0) ， B(0 , a,0) , DCD= ( 2，0,AB = (-a, a,0).z軸,從而 ABCD=( a,aa,0) 2"，-a2+-a2+0=0,即ABXCD.22同理 ABVD = ( a, a,0)2' 2'也atan 0 = - 1a2 + 1a2 + 0 = 0 , IP ABXVD. 222又 CD nVD = D , .AB,平面 VCD又AB?平面VAB.平面VABL平面 VCD.(2)設(shè)平面VAB的一個法向量為n=(x, y, z),ax + ay = 0則由n AB