高考線性規(guī)劃題型歸納

1、線性規(guī)劃常見(jiàn)題型及解法一、已知線性約束條件，探求線性目標(biāo)關(guān)系最值問(wèn)題例1、設(shè)變量x、y滿足約束條件，則的最大值為。解析：如圖1，畫(huà)出可行域，得在直線2x-y=2與直線x-y=-1的交點(diǎn)A(3,4)處，目標(biāo)函數(shù)z最大值為18點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題,由線性約束條件畫(huà)出可行域,然后求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.，是一道較為簡(jiǎn)單的送分題。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的重要手段之一。習(xí)題1、若x、y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是（）xyO22x=2y =2x + y =2BAA、2,6B、2,5C、3,6D、（3,5解：如圖，作出可行域，作直線l：x+2y0，將l向右上方平移，過(guò)點(diǎn)A（2,0）時(shí)，有最小

2、值2，過(guò)點(diǎn)B（2,2）時(shí)，有最大值6，故選A二、已知線性約束條件，探求非線性目標(biāo)關(guān)系最值問(wèn)題圖2例2、已知?jiǎng)t的最小值是 .解析：如圖2，只要畫(huà)出滿足約束條件的可行域，而表示可行域內(nèi)一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方。由圖易知A（1，2）是滿足條件的最優(yōu)解。的最小值是為5。點(diǎn)評(píng)：本題屬非線性規(guī)劃最優(yōu)解問(wèn)題。求解關(guān)鍵是在挖掘目標(biāo)關(guān)系幾何意義的前提下，作出可行域，尋求最優(yōu)解。習(xí)題2、已知x、y滿足以下約束條件，則z=x2+y2的最大值和最小值分別是（）2x + y - 2= 0 = 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0OyxAA、13，1 B、13，2C、13， D、，解：如圖，作出可行域,x2+y2

3、是點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離的平方，故最大值為點(diǎn)A（2,3）到原點(diǎn)的距離的平方，即|AO|2=13，最小值為原點(diǎn)到直線2xy2=0的距離的平方，即為，選C練習(xí)2、已知x，y滿足，則的最大值為_(kāi)，最小值為_(kāi) 2，0三、設(shè)計(jì)線性規(guī)劃，探求平面區(qū)域的面積問(wèn)題例3、在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是（）(A) (B)4 (C) (D)2 解析：如圖，作出可行域，易知不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形。容易求三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面積為：從而選。點(diǎn)評(píng)：有關(guān)平面區(qū)域的面積問(wèn)題，首先作出可行域，探求平面區(qū)域圖形的性質(zhì)；其次利用面積公式整體或部分

4、求解是關(guān)鍵。2x + y 6= 0 = 5xy 3 = 0OyxABCMy =2習(xí)題3、不等式組表示的平面區(qū)域的面積為（）A、4B、1C、5D、無(wú)窮大解：如圖，作出可行域，ABC的面積即為所求，由梯形OMBC的面積減去梯形OMAC的面積即可，選B四、已知平面區(qū)域，逆向考查約束條件。例4、已知雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是（）(A) (B) (C) (D) 解析：雙曲線的兩條漸近線方程為，與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域（如圖4所示）時(shí)有。點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的漸近線方程以及線性規(guī)劃問(wèn)題。驗(yàn)證法或排除法是最效的方法。習(xí)題4、如圖所示，表示陰影部分的二元一次不等式組是（

5、 ）A B C DC五、約束條件設(shè)計(jì)參數(shù)形式，考查目標(biāo)函數(shù)最值范圍問(wèn)題。 例5、在約束條件下，當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)C的最大值的變化范圍是（）A. B. C. D. 解析：畫(huà)出可行域如圖3所示,當(dāng)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)在處取得最大值, 即;當(dāng)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值,即,故,從而選D;點(diǎn)評(píng)：本題設(shè)計(jì)有新意，作出可行域，尋求最優(yōu)解條件，然后轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)Z關(guān)于S的函數(shù)關(guān)系是求解的關(guān)鍵。六、求約束條件中參數(shù)的取值范圍O2x y = 0y2x y + 3 = 0例6、已知|2xym|3表示的平面區(qū)域包含點(diǎn)（0,0）和（1,1），則m的取值范圍是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解

6、：|2xym|3等價(jià)于由右圖可知 ,故0m3，選C習(xí)題6、不等式表示的平面區(qū)域包含點(diǎn)和點(diǎn)則的取值范圍是（ ）AB CDA七、已知最優(yōu)解成立條件，探求目標(biāo)函數(shù)參數(shù)范圍問(wèn)題。例7、已知變量，滿足約束條件。若目標(biāo)函數(shù)（其中）僅在點(diǎn)處取得最大值，則的取值范圍為 。解析：如圖5作出可行域，由其表示為斜率為，縱截距為的平行直線系, 要使目標(biāo)函數(shù)（其中）僅在點(diǎn)處取得最大值。則直線過(guò)點(diǎn)且在直線（不含界線）之間。即則的取值范圍為。點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)作出可行域，在挖掘的幾何意義的條件下，借助用數(shù)形結(jié)合利用各直線間的斜率變化關(guān)系，建立滿足題設(shè)條件的的不等式組即可求解。求解本題需要較強(qiáng)的基本功，同時(shí)對(duì)幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題的能力要

7、求較高。x + y = 5x y + 5 = 0Oyxx=3習(xí)題7、已知x、y滿足以下約束條件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則a的值為（）A、3B、3C、1D、1解：如圖，作出可行域，作直線l：x+ay0，要使目標(biāo)函數(shù)z=x+ay(a>0)取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則將l向右上方平移后與直線x+y5重合，故a=1，選D八、研究線性規(guī)劃中的整點(diǎn)最優(yōu)解問(wèn)題例8、某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y須滿足約束條件則的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95解析：如圖，作出可行域，由，它表示為斜率為，縱截距為的平行直線系,要使最得最大值。當(dāng)直線通過(guò)取得最大值。因?yàn)?，故點(diǎn)不是最優(yōu)整數(shù)解。于是考慮可行域內(nèi)點(diǎn)附近整點(diǎn)（，），（，），經(jīng)檢驗(yàn)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)評(píng)：在解決簡(jiǎn)單線性規(guī)劃中的最優(yōu)整數(shù)解時(shí)，可在去掉限制條件求得的最優(yōu)解的基礎(chǔ)上，調(diào)整優(yōu)解法，通過(guò)分類(lèi)討論獲得最優(yōu)整數(shù)解。九、求可行域中整點(diǎn)個(gè)數(shù)例9、滿足|x|y|2的點(diǎn)（x，y）中整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)）有（）