特殊三角形的存在性問題

1、特殊三角形的存在性問題特殊三角形的存在性問題一、考試說明一、考試說明： C層 考試說明指出考試說明指出：等腰三角形與直角三角形的考試要求是“C層”：會(huì)運(yùn)用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識(shí)解決有關(guān)問題。 此要求屬于靈活運(yùn)用靈活運(yùn)用，即：“能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)對(duì)象的某些特征或與其他對(duì)象的區(qū)別和聯(lián)系；能綜合運(yùn)用知識(shí)，靈活、合理地選擇與運(yùn)用有關(guān)的方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)特定的數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題的分析與解決” 。二、設(shè)計(jì)本課題的目的：二、設(shè)計(jì)本課題的目的： 特殊三角形的存在性問題主要是“已知兩已知兩個(gè)點(diǎn)，然后按要求求出第三個(gè)點(diǎn)，使這三個(gè)點(diǎn)，然后按要求求出第三個(gè)點(diǎn)，使這三個(gè)點(diǎn)所組成的三角形是某種

2、特殊三角形個(gè)點(diǎn)所組成的三角形是某種特殊三角形?！?此類問題屬于等腰三角形與直角三角形的一個(gè)靈活應(yīng)用，主要出現(xiàn)在綜合題綜合題和較難較難填空題填空題中。題目類型有：求符合要求的點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo)，或者符合要求的三角形個(gè)數(shù)問題個(gè)數(shù)問題。 解決此類問題不僅要掌握特殊三角形的有關(guān)性質(zhì)，而且還需綜合運(yùn)用其他的知識(shí)，比如勾股定理、相似等內(nèi)容，以及分類討論、方程等思想方法來解決。 學(xué)生在處理“等腰三角形和直角三角形的存在性問題”時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)“考慮不全面考慮不全面”、“不會(huì)分類討論不會(huì)分類討論”等現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于這類問題比較“提心吊膽”。 本課例主要針對(duì)這類問題，通過例題講解，通過例題講解，總結(jié)規(guī)律，得出一些學(xué)

3、生總結(jié)規(guī)律，得出一些學(xué)生“容易抓手容易抓手”的方的方法，法，使學(xué)生在緊張的考試環(huán)境下“臨危不懼”，有條不紊的得出所有符合題意的答案，達(dá)到“化弱項(xiàng)為強(qiáng)項(xiàng)”的目的。三、與此相關(guān)的試題：三、與此相關(guān)的試題：（以近幾年北京市各區(qū)模擬題為例） 1、等腰三角形等腰三角形的存在性（的存在性（菱形菱形的存在性與此類的存在性與此類似）：似）： 2010石景山二模25題、2010朝陽二模12題、 2010宣武二模23題、 2007石景山一模24題； 2、直角三角形直角三角形的存在性（的存在性（矩形矩形的存在性與此類的存在性與此類似）：似）： 2010崇文二模24題、 2010豐臺(tái)一模25題、 2009崇文一模24

4、題、2007東城二模25題 、 2007石景山一模25題、2007崇文一模24題。類型一：探究等腰三角形的存在性類型一：探究等腰三角形的存在性?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-4?-2?2?4?6 B A O分析： 因?yàn)闆]有指明等腰三角形的哪兩條邊相等，因此此類問題要分三種情況進(jìn)行分類討論： （）以AB為底邊：即CA=CB， （）以AB為腰，且A點(diǎn)是等腰三角形頂角的頂點(diǎn)，即AB=AC。 （）以AB為腰，且B點(diǎn)是等腰三角形頂角的頂點(diǎn)，即BA=BC。 ?4?3?2?1?-1?-2?-3?-2?2?4 C1 C2 B A O?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-2?2?4 C4

5、C3 B A O?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-2?2?4 C5 C6 B A O小結(jié)：小結(jié)：一線兩圓一線兩圓 已知線段AB，若ABC為等腰三角形，那么C點(diǎn)的位置如何確定？ 結(jié)論是：點(diǎn)C在一線兩圓一線兩圓上。 A B C1 C2 C3練習(xí)練習(xí)1： 平面直角坐標(biāo)系中，已知A(-3,0)，B（2,5），點(diǎn)C是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，并且ABC為等腰三角形等腰三角形，請求出滿足要求的所有點(diǎn)C的坐標(biāo)。?12?10?8?6?4?2?-2?-4?-6?-8?-15?-10?-5?5?10?15 B A練習(xí)練習(xí)2： 等腰梯形ABCD，AB=CD=5，AD=2，BC=8。點(diǎn)P是BC的垂直平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

6、請找出所有的滿足PAB、PCD都是等腰三角形的點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P到BC的距離。 A B D C?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 B A分析：還是要分三種情況進(jìn)行討論?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 C1 B A?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 C3 C2 B A?8

7、?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 C5 C4 B A 此題中，符合要求的點(diǎn)容易找到，但求法稍復(fù)此題中，符合要求的點(diǎn)容易找到，但求法稍復(fù)雜，需要設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理或者相似來求解雜，需要設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理或者相似來求解?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 C3 C2 B A綜合綜合1：（10石景山二模第25題） 類型二：探究直角三角形的存在性類型二：探究直角三角形的存在性?5?

8、4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-4?-2?2?4?6 B A O分析： 因?yàn)闆]有指明直角三角形的哪個(gè)角是直角，因此此類問題要分三種情況進(jìn)行分類討論： （）以C為直角頂點(diǎn) （）以A為直角頂點(diǎn) （）以B為直角頂點(diǎn) ?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-6?-4?-2?2?4?6 C1 B A O?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-6?-4?-2?2?4?6 C2 B A O?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-6?-4?-2?2?4?6 C3 B A O小結(jié)：小結(jié)：一圓兩線一圓兩線 已知線段AB，若ABC為直角三角形，那么C點(diǎn)的位置如何確定？ 結(jié)論是：點(diǎn)C

9、在一圓兩線一圓兩線上。 A B C2 C3 C1練習(xí)練習(xí)3： 平面直角坐標(biāo)系中，已知A(-3,0)，B（2,5），點(diǎn)C是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，并且ABC為直角三角形直角三角形，請求出滿足要求的所有點(diǎn)C的坐標(biāo)。?12?10?8?6?4?2?-2?-4?-6?-8?-15?-10?-5?5?10?15 B A練習(xí)練習(xí)4： 等腰梯形ABCD，AB=CD=5，AD=2，BC=8。點(diǎn)P是BC的垂直平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。請找出所有的滿足PAB、PCD都是直角三角形直角三角形的點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P到BC的距離。 A B D C?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-

10、6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 B A分析：還是要分三種情況進(jìn)行討論?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 C1 B A?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 C2 B A?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 C4 C3 B A 此題中，符合要求的點(diǎn)容易找到，但求法稍復(fù)此題中，符