聲與振動基礎1

1、120132013年年3 3月月2主要內(nèi)容主要內(nèi)容第一章第一章 緒論緒論第二章第二章 聲波的基本性質(zhì)及傳播特性聲波的基本性質(zhì)及傳播特性3第一章第一章 緒論緒論 聲學是物理學的一個分支，是自然科學中最古老的學科之一; 聲學是一門發(fā)展的、具有廣泛應用性的學科，涉及到人類生產(chǎn)、生活及社會活動的各個方面，具有很大的“外延性”，即邊緣學科的特點。 聲學是一門研究聲波的產(chǎn)生、傳播、接收以及與物質(zhì)相互作用的科學。 聲是一種機械擾動在氣態(tài)、液態(tài)、固態(tài)物質(zhì)中傳播的現(xiàn)象。4聲學研究的范疇非常廣，分支很多：圖圖1-1 聲學分支與其他學科的關系聲學分支與其他學科的關系520Hz20kHz20kHz0,d0;而膨脹時壓

2、強和密度都降低，即dP0,d0 ，則說明波沿正x方向移動了x距離；如果x 0 ，這就說明（2-4-6）是表征了沿x方向行進的波。71（2）任一時刻t0 時，具有相同相位0 的質(zhì)點軌跡是一個平面，這只要令 t0-kx= 0 ，即可解得：consttx00這就是說，這種聲波傳播過程中，等相位面是平面，所以通常稱為平面波。（3）由（2-4-7）式可得：txC0可見C0 代表單位時間內(nèi)波陣面?zhèn)鞑サ木嚯x，也就是聲傳播速度。72 總之，以（2-4-5）式及（2-4-6）式描述的聲場是一個波陣面為平面，沿正x方向以速度C0 傳播的平面行波，同時容易看出，平面聲波在均勻的理想媒質(zhì)中傳播時，聲壓幅值Pa 、質(zhì)點

3、速度振幅va 都是不隨距離改變的常數(shù)，也即說明聲波在傳播過程中不會有任何衰減。 此外，應指出，平面聲場中任何位置處，聲壓和質(zhì)點速度都是同相位的。73二、聲波傳播速度 對理想氣體中的小振幅聲波，我們已經(jīng)求得其聲速為：0020PC例如，對于空氣：=1.402 ，在標準大氣壓P0 ，溫度為0 時， 0 = 1.293kg/m3 ，則C0 =331.6 m/s 因為聲速C0 與媒質(zhì)平衡狀態(tài)的參數(shù)有關，所以溫度的變化必然引起聲速的變化。若考慮溫度因素時，對理想氣體由卡拉伯龍公式：RTMPV氣體摩爾量 ， R 氣體常數(shù)74 因此聲速的定義式可改寫為0000RTPC(2-4-8)由此可見，聲速與無聲擾動時媒

4、質(zhì)平衡狀態(tài)的絕對溫度 T0的平方根成正比，若采用攝氏溫標t ，因為 T0 =273+t，則溫度為t 的聲速為：tCCCCtRCtCooo227300273000(2-4-9)式中smCCo6 .33100將此值代入上式得：tCtCo6 .06 .3310(m/s) (2-4-10)由此算得 20 時的聲速為344m/s。75三、聲阻抗率與媒質(zhì)特性阻抗聲阻抗率與媒質(zhì)特性阻抗 聲阻抗率的定義：聲場中某位置的聲壓與該位置的質(zhì)點速度的比值為該位置的聲阻抗率，即：vPZS聲場中某位置的聲阻抗率ZS 一般來說可能是復數(shù)，像電阻抗一樣，其實數(shù)部分反映了能量的損耗。(2-4-11)根據(jù)聲阻抗率的定義（2-4-

5、11）式，對平面聲波情況，應用（2-4-5）與（2-4-6）式，可求得平面前進聲波的聲阻抗率為：00CZS(2-4-12)76 對沿負x方向傳播的反射波情形，通過類似的討論可求得:00CZS(2-4-13)由此可見，在平面聲場中，各位置的聲阻抗率數(shù)值上都相同，且為一實數(shù)。這反映了在平面聲場中各位置上都無能量的貯存，在前一個位置上的能量可以完全地傳播到后一個位置上去。77第五節(jié)第五節(jié) 聲場中的能量關系聲場中的能量關系 聲波傳到原先靜止的媒質(zhì)中，一方面使媒質(zhì)質(zhì)點在平衡位置附近來回振動，同時在媒質(zhì)中產(chǎn)生了壓縮和膨脹的過程。前者使媒質(zhì)具有了振動能量，后者使媒質(zhì)具有了形變位能，兩部分之和就是由于聲擾動使

6、媒質(zhì)得到的聲能量。擾動的傳播，聲能量也就跟著轉(zhuǎn)移，因此可以說聲波的過程實質(zhì)上就是聲振動能量的傳播過程78一、聲能量與聲能量密度聲能量與聲能量密度 設想在聲場中取一足夠小的體積元，其原先的體積為V0，壓強為p0，密度為 0 ，由于聲擾動使該體積元得到的動能為20021vVEk（2-5-1）此外，由于聲擾動，該體積元壓強從P0升高P0 +P到 ，于是該體積元具有了位能。（2-5-2）pppdvE0式中負號表示在體積元內(nèi)壓強和體積的變化方向相反，壓強增加時體積將縮小，此時外力對體積元作功，使它的位能增加，即壓縮過程使系統(tǒng)貯存能量，反之，當體積元對外作功時，體積元的位能就會減小，也即膨脹過程使系統(tǒng)釋放

7、能量。79因為媒質(zhì)體積的變化與壓強的變化是互相聯(lián)系的，這由狀態(tài)方程（2-3-3a）式所描述，對其微分可得考慮到體積元在壓縮和膨脹過程中質(zhì)量保持一定，則體積元體積的變化和密度的變化之間存在著關系dcdp20（2-5-3）0VdVd對小振幅聲波，則可簡化成00VdVd將其帶入（2-5-3）式，dVVcdp020080由此解出dV并帶入（2-5-2）式，再對p積分得20000200022pcVpdpcVEpp體積元的總能量為動能與位能之和，即2202020012pcvVEEEpK（2-5-4）單位體積的聲能量稱為聲能量密度，即22020201210pcvVE（2-5-5）盡管上式是以平面波為例而導出

8、的，但因推導過程并未對聲場作任何特殊限制，因而該式即適用于平面聲波，也適用于球面波及其他類型聲波的普遍表達式。81將平面行波的聲壓（2-4-5）式及（2-4-6）式取實部后帶入（2-5-4）式，即可得到kxtcpVkxtcpkxtcpVEaaa220020202022020200coscoscos2（2-5-6）由此可看出，平面聲場中任何位置上動能與位能的變化是同相位的，動能達到最大值時位能也達到最大值。（2-5-6）式代表體積元內(nèi)聲能量的瞬時值，如果將 它對一個周期取平均，則得到聲能量的時間平均值。200200211cpVEdtTEaT82單位體積中的平均聲能量稱為平均聲能量密度，即2002

9、200202cpcpVEea式中 為有效聲壓。因為在理想媒質(zhì)平面聲場中，聲壓幅值是不隨距離改變的常數(shù)，所以平均聲能量密度處處相等，這是理想媒質(zhì)中平面聲場的又一特征。2aepp(2-5-7)83二、聲功率與聲強聲功率與聲強平均聲能量流的單位為W（瓦）單位時間內(nèi)通過垂直于聲傳播方向的面積S的平均聲能量就稱為平均聲能量流或稱為平均聲功率。因為聲能量是以聲速C0傳播的，因此平均聲能量流應等于聲場中面積為S、高度為C0的柱體內(nèi)所包括的平均聲能量。即ScW0(2-5-8)通過垂直于聲傳播方向的單位面積上的平均聲能流就稱為平均聲能量流密度或稱為聲強，即20cSWI(2-5-9)84根據(jù)聲強的定義，它還可用單

10、位時間內(nèi)、單位面積的聲波向前進方向毗鄰媒質(zhì)所作的功來表示，因此也可寫成式中Re表示取實部，聲強的單位為W/m2。對沿正x方向傳播的平面聲波，無論將（2-5-7）式代入（2-5-9）式或是將（2-4-6）式代入（2-5-10）式，都可以得到 dtvRpRTIeTe01(2-5-10)eeaaeaeavpvpvcvccpcpI212122002000202002(2-5-11)85對沿負x方向傳播的反射波情形，可求得這時聲強是負值，它表明聲能量向負x方向傳遞。由此可見，聲強是有方向的量，它的指向就是聲傳播的方向。由（由（2-5-11）及（）及（2-5-12）式可見，）式可見，聲強與聲壓幅值或質(zhì)聲強

11、與聲壓幅值或質(zhì)點速度幅值的平方成正比。此外在相同質(zhì)點速度幅值的點速度幅值的平方成正比。此外在相同質(zhì)點速度幅值的情況下，聲強還與媒質(zhì)的特性阻抗成正比。情況下，聲強還與媒質(zhì)的特性阻抗成正比。例如在空氣例如在空氣和水中有兩列相同頻率、相同速度幅值的平面聲波，這和水中有兩列相同頻率、相同速度幅值的平面聲波，這時水中的聲強要比空氣中的聲強約大時水中的聲強要比空氣中的聲強約大3600倍。倍?？梢姡诳梢?，在特性阻抗較大的媒質(zhì)中，聲源只需用較小的振動速度就特性阻抗較大的媒質(zhì)中，聲源只需用較小的振動速度就可以發(fā)射出較大的能量，從聲輻射的角度看這是很有利可以發(fā)射出較大的能量，從聲輻射的角度看這是很有利的。的。2

12、000020212aavccpcI(2-5-12)86第六節(jié)第六節(jié) 聲波的反射、折射與透射聲波的反射、折射與透射前面討論了平面聲波在無限空間中自由傳播的規(guī)律，然而聲波在傳播路徑上常會遷到各種各樣的“障礙物”。例如，聲波從一種媒質(zhì)進入另一種媒質(zhì)時，后者對前一種媒質(zhì)所傳播的聲波就是一種障礙物。當聲波在前進過程中遇到障礙物將會產(chǎn)生反射、折射與透射等現(xiàn)象。87一、聲學邊界條件聲學邊界條件聲波的反射、折射及透射都是在兩種媒質(zhì)的分界面處發(fā)生的。因此首先要討論在分界面存在些什么聲學特性和規(guī)律，即聲學的邊界條件是什么。設有兩種都延伸到無限遠的理想流體，其特性阻抗分別為1c1和2c2，如下圖所示那樣互相接觸1c

13、12c2P（1）P（2）圖2-388設想在分界面上割出一塊面積為s，厚度足夠薄的質(zhì)量元，其左右兩個界面分別位于兩種媒質(zhì)里，其質(zhì)量設為M ，如果在分界面附近兩種媒質(zhì)里的壓強分別為P(1)和P(2) ，它們的壓強差就引起質(zhì)量元的運動，按牛頓第二定律，其運動方程為dtdvMSPP)2() 1 (因為分界面是無限薄的，即這個質(zhì)量元的厚度乃至質(zhì)量 是趨近于零的，而質(zhì)量元的加速度不可能趨于無窮大，所以要上式成立就必須存在0) 2 () 1 (PP(2-6-1)89(2-6-1)式對有無聲波的情況都成立，當無聲波存在時，該式給出兩媒質(zhì)中的靜壓強在分界面處是連續(xù)的。當有聲波存在時，考慮到)2() 1 (00P

14、P10) 1 () 1 (pPP202) 2 () 2 (pPP， 則有21pp (2-6-3)(2-6-2)即兩種媒質(zhì)中的聲壓在分界面處是連續(xù)的。90此外，如果分界面兩邊的媒質(zhì)由于聲擾動得到的法向速度（垂直于分界面的速度）分別為 和 ，因為兩種媒質(zhì)保持恒定接觸，所以兩種媒質(zhì)在分界面處的法向速度相等，即21vv (2-6-4)（2-6-3）式與（2-6-4）式就是媒質(zhì)分界面處的聲學邊界條件。91二、平面聲波垂直入射時的反射和透射平面聲波垂直入射時的反射和透射kxtjiaiepp1c12c2PiPiPr0 x下面分別求解媒質(zhì)和媒質(zhì)中的聲場。在媒質(zhì)中求解一維聲波方程（2-3-7）式得聲壓P1 的形

15、式為xktjxktjBeAep111(2-6-5)圖2-492式(2-6-5)第一項代表沿x方向前進的波，也就是原來已知的入射波pi ，所以這里的常數(shù)A就是入射波的幅值 pia ；第二項代表向負x方向行進的波，它實際代表了入射波遇到分界面以后在媒質(zhì)中產(chǎn)生的反射波，記為 pr ，即有xktjrarepp1因此（2-6-5）式可改寫為xktjraxktjiariepepppp111(2-6-6)即媒質(zhì)中的聲場為入射波與反射波之和。93媒質(zhì)中的聲場 的一般解形式上仍為（2-6-5）式，但由于媒質(zhì)無限延伸，不會出現(xiàn)負x方向傳播的波，所以這里只需保留（2-6-5）式中的第一項，它實際上代表了透入媒質(zhì)的透

16、射波，記為 ，即得運用速度方程可求出兩種媒質(zhì)中質(zhì)點速度v1及v2分別為xktjtateppp22(2-6-7)xktjraxktjiaevevv111（2-6-8）xktjtaevv22式中，111cpvaia11cpvrara22cpvtata94下面通過聲學邊界條件來確定反射、透射的大小。據(jù)聲學邊界條件知，在x=0的分界面處應有聲壓連續(xù)及法向質(zhì)點速度連續(xù) 0201xxpp 0201xxvv（2-6-9）將式（2-6-6）、（2-6-7）式代入（2-6-9）式得到taraiappptaraiavvv（2-6-10）95聯(lián)合（2-6-8）式及（2-6-10）式即可求得在分界面上反射波聲壓與入射

17、波聲壓之比 rp ，反射波質(zhì)點速度與入射波質(zhì)點速度之比 tv 分別為：1112121212RRRRRRppvtarap1212212111RRRRRRvviavvra1212121222RRRRRpptiatap12211122RRRRvvtiatav（2-6-11）式中111cpR222cpR1212RRR2121RRR96由此可見，聲波在分界面上反射與透射的大小僅決定于媒質(zhì)的特性阻抗，這再次說明媒質(zhì)的特性阻抗對聲傳播有著重要的影響。下面分幾種情況討論：1、R1=R2（R12=1）由（2-6-1）式代入得rp=rv=0 tp=tv=1這表明聲波沒有反射，即全部透射，也就是說即使存在著兩種不同

18、媒質(zhì)的分界面，但只要兩種媒質(zhì)的特性阻抗相等，那么對聲的傳播來說分界面就好像不存在一樣。972、R2=R1（R12 1）由（2-6-11）式得rp0,rv0,tv0因為R2R1，媒質(zhì)比媒質(zhì)在聲學性質(zhì)上更“硬”。這種邊界稱為硬邊界，在硬邊界附近，當入射波質(zhì)點速度 指向邊界面使這里的媒質(zhì)呈壓縮相時，入射波的質(zhì)點速度在碰到分界面時好像彈性碰撞一樣，變成一個反向的速度，結(jié)果反射波的質(zhì)點速度 也使這里的媒質(zhì)呈現(xiàn)壓縮相，所以在硬邊界面上，反射波質(zhì)點速度與入射波質(zhì)點速度相位改變180，反射波聲壓與入射波聲壓同相位。983、R2R1（R12 1）由（2-6-11）式代入得rp0 tp0,tv0因為R2R1（R1

19、2 1）由（2-6-11）式得rp1 , rv -1 tp 2 , tv 0因為R2R1，媒質(zhì)比媒質(zhì)說來十分“堅硬”，入射質(zhì)點速度v i碰到分界面以后完全彈回媒質(zhì)，所以反射波的質(zhì)點速度v r 與入射波的質(zhì)點速度v i大小相等，相位相反，結(jié)果在分界面上合成質(zhì)點速度為零，而反射波聲壓與入射波聲壓大小相等，相位相同，所以在分界面上的合成聲壓為入射聲壓得兩倍。實際上這時發(fā)生的是全反射，在媒質(zhì)中入射波與反射波疊加形成了駐波，分界面處恰是速度波節(jié)和聲壓波腹。至于在媒質(zhì)中，這時并沒有聲波傳播，媒質(zhì)的質(zhì)點并未因媒質(zhì)質(zhì)點的沖擊而運動(tv = 0 )，媒質(zhì)中存在的壓強也只是分界面處的壓強pt=2pi 的靜態(tài)傳遞

20、，并不是疏密交替的聲壓。100下面討論聲波通過分界面時的能量關系。因為反射波與透射波都仍是平面波，應用(2-5-11)式可求得反射波聲強與入射波聲強大小之比即聲強反射系數(shù)r1 及透射波強度與入射波聲強之比即聲強透射系數(shù) t1分別為21212212121121121122RRRRRRcpcpriaraI2121222121112222)1 (4)(4122RRRRRRrcpcpIItIiaraitI(2-6-12)(2-6-13)從(2-6-12)式可以看出，因為公式中 R2與R1 是對稱的，所以聲波不論從媒質(zhì)入射到媒質(zhì)或者相反，聲強反射系數(shù)都是相等的。101三、平面聲波斜入射時的反射與折射平面

21、聲波斜入射時的反射與折射為了處理方便，我們把分界面的坐標取為 x=0如左圖2-5所示。設有一入射平面波，其行進方向與分界面的法線即 x軸有一夾角 ，因為波的行進方向不再向前面一節(jié)那樣是恰好沿著 軸的，所以現(xiàn)在的入射平面也不能寫成像(2-4-5)式那樣簡單的形式。ty0 xri圖2-5102我們知道，當平面聲波的傳播方向也就是波陣面的法線方向與x 軸相一致時，平面波的表達式為)(kxtjnepp(2-6-14)這時同一波陣面上不同位置的點(x,y,z )因為有相同的x 坐標，因此聲壓的振幅和相位均相同，即這些位置上的聲壓都以上式描述，式中的 值實際上代表的是位置矢量 在波陣面法線方向(這里恰巧為

22、 軸)上的投影。如下頁2-6圖(a)。如果設想一列沿空間任意方向行進的平面波，也會發(fā)現(xiàn)，那時波陣面上的不同位置也因為位置矢量在波陣面法線方向上的投影相等而具有相同的聲壓。見下頁圖2-6 (b)。所以我們可以把上式中 一般化地理解為聲場某點的位置矢量 在波陣面法線上的投影，它等于波陣面法線的單位矢量n=cosi+cosj+cosk 與位置矢量 r=xi+yj+zk 標量積，即 x=n r ,103圖azz0 xr波振面波振面yxy(x ,y , z)nz0 xr波振面波振面yxy圖b(x ,y , z)圖2-6104,為波陣面法線與x,y,z三個坐標軸間的夾角，cos,cos,cos 為該法線的

23、方向余弦。只是在此情況下的法線方向與 x 軸重合，所以有 =0o,= =90o。于是可以將上式更一般地推廣到三維空間而寫成)(knrtjnepp如果令kn=K，它代表波陣面法線方向上長度為K的矢量，稱為波矢量(簡稱波矢)。則上式成為)(rtjaepp此式即為沿空間任意方向行進的平面波的表達式，其中 K為波矢， r為位置矢量。因為coscoscoskzkykxrknrK(2-6-15)105所以(2-6-15)式也可寫成)coscoscos(kzyxtjaepp根據(jù)上式，只要知道平面波傳播方向的方向余弦cos,cos,cos ，就可以計算空間一點(x ,y ,z) 的聲壓。由聲壓P ，應用速度式

24、即可求得空間任意一點(x ,y ,z )的質(zhì)點速度沿三個坐標的分量pcdtzppcdtyppcdtxpzyx000000000cos1cos1cos1（2-6-16）（2-6-17）106再回到斜入射問題（圖2-5）。當有一列行進方向仍在xy 平面內(nèi)，但與 x軸夾角為 i的平面聲波入射于分界面上時，根據(jù)剛才的討論，對該入射平面波有= i,=90o - i, =90o，所以按(2-6-16)式及(2-6-17)式，聲壓 及質(zhì)點速度沿 方向的分量分別為：iiixyxtjiaipceppii11)sincos(cos11(2-6-18)式中 ，反射波的行進方向仍在xy平面內(nèi)，但與x 軸有一夾角，設為

25、=-r ，如圖所示，顯然有=90o - r, =90o ，所以反射波聲壓及質(zhì)點速度沿x 方向的分量可表示為11/ c107rrrxyxtjrarpcepprr11)sincos(cos11（2-6-19）因此，媒質(zhì)中的聲場就為入射波與反射波之和)sincos(11)sincos(111)sincos()sincos(111111111coscosrriirriiyxtjraiyxtjiairxixxyxtjrayxtjiariepcepcepepppp（2-6-20）在媒質(zhì)中就簡單地只有一列折射波，設折射波前進方向與 x軸夾角為t ，則= t,=90o-t, =90 o ，所以折射波聲壓及質(zhì)點

26、速度沿 方向的分量分別可表示為tttxyxtjtatpcepptt22)sincos(cos22（2-6-21）108現(xiàn)在的問題就是應用x=0 處的聲學邊界條件確定反射波、折射波的大小及方向。根據(jù)(2-6-3)式及(2-6-4)式，在分界面處應滿足聲壓及法向質(zhì)點速度連續(xù)，即 x=0處有txrxixtrippp將(2-6-20)式及(2-6-21)式代入上式即得tritriyjtatyjraryjiaiyjtayjrayjiaepcepcepcepepepsin22sin11sin11sinsinsin211211coscoscos(2-6-22)要使(2-6-22)式對 x=0平面上任意y 值

27、都成立，必要條件是各項的指數(shù)因子相等，即trisinsinsin211109由此解得2112sinsincctiri(2-6-23)這就是著名的斯奈爾聲波反射與折射定律斯奈爾聲波反射與折射定律，它說明聲波遇到分界面時，反射角等于入射角，而折射角的大小與兩種媒質(zhì)中聲速之比有關，媒質(zhì)的聲速越大，則折射波偏離分界面法線的角度越大?？紤]到(2-6-23)式，則(2-6-22)式可簡化為tatraiiaitaraiapcpcpcppp221111coscoscos(2-6-24)由此解得分界面上反射波聲壓與入聲波聲壓之比rp ，以及透射波聲壓與入射波聲壓之比 分別為tp ：110itttiiiatapi

28、tittitiiarapccccccpptccccccccpprcoscoscos3coscoscos2coscoscoscoscoscoscoscos1122221122221122112211221122(2-6-25)設ttxtsiixiscpcpcoscos222111（2-6-26）這里的Zs1 和Zs2 分別為入射波及折射波的聲壓與相應質(zhì)點速度的法向分量的比值，稱為法向聲阻抗率，它即與媒質(zhì)特性阻抗有關，又與聲波傳播方向有關，那么(2-6-25)式可改寫為11112212122ssspssssptr(2-6-27)將斜入射時的結(jié)果(2-6-27)式與垂直入射時的結(jié)果(2-6-11)式

29、相比較，可見兩種情況下的 rp及 tp形式上都相似，只是斜入射時要用法向聲阻抗率 Zs代替垂直入射時聲阻率 R，實際上(2-6-11)式只是(2-6-27)式在 i =0時的特例，所以也可以把(2-6-11)式得 R1和R2 理解為聲波的法向聲阻抗率。只是此時i =t =0 ，所以垂直入射時的法向聲阻抗率恰等于媒質(zhì)的特性阻抗。關于媒質(zhì)特性阻抗對于聲波反射及透射的影響已作了詳細討論，下面主要考察聲波入射角對反射現(xiàn)象的影響，為方便書寫，引入符號112211212ccnm(2-6-28)m稱為密度比，n稱為媒質(zhì)對媒質(zhì)的折射率。于是(2-6-25)式可改寫成：inmnmviiip222sincossincos2iiipnmmt22sincoscos2(2-6-29)113分幾種情況討論1、全透射當聲波入射角 i滿足 ，也就是入射角為 0sincos22inmi1sin222mnmio(2-6-30)此時vp=0 ,tp=1，即聲波以 i0入射時不會出現(xiàn)反射，聲波全部透進媒質(zhì)，所以 i0稱為全透射角。當然并不是對任意兩種媒質(zhì)（即任意的m和n值）都可能出現(xiàn)全透射現(xiàn)象，這可由（2-6-30）式看出。只有從該式解得實數(shù)的 i0值時，才會發(fā)生全透射，即必須滿足條件 ,解此不等式得 當m1 時，mn1或當m1 時，mn c2 的情況；后者相當于 2 c2 1 c1 ，同時 c1 c1時恒有有t i