第2章貝齊爾曲線和B

1、第二章貝齊爾曲線和第二章貝齊爾曲線和B樣條曲線樣條曲線 隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，人們希望通過(guò)計(jì)算機(jī)對(duì)飛隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，人們希望通過(guò)計(jì)算機(jī)對(duì)飛機(jī)、船體和汽車的外形進(jìn)行設(shè)計(jì)。機(jī)、船體和汽車的外形進(jìn)行設(shè)計(jì)。 2020世紀(jì)世紀(jì)6060年代，人們已經(jīng)研究出三次樣條函數(shù)，年代，人們已經(jīng)研究出三次樣條函數(shù)，并將其作為描述飛機(jī)等幾何行體的數(shù)學(xué)模型。并將其作為描述飛機(jī)等幾何行體的數(shù)學(xué)模型。 到了到了7070年代，法國(guó)雷諾汽車公司的工程師貝齊年代，法國(guó)雷諾汽車公司的工程師貝齊爾（爾（BezierBezier）創(chuàng)造出一種適用于幾何體外形設(shè)）創(chuàng)造出一種適用于幾何體外形設(shè)計(jì)的新的曲線表示法。計(jì)的新的曲線表示法。 這種方法的

2、優(yōu)越性在于：對(duì)于在平面上隨手勾這種方法的優(yōu)越性在于：對(duì)于在平面上隨手勾畫(huà)出的一個(gè)多邊形（稱為特征多邊形），只要畫(huà)出的一個(gè)多邊形（稱為特征多邊形），只要把其頂點(diǎn)的坐標(biāo)輸入計(jì)算機(jī)，經(jīng)過(guò)計(jì)算，繪圖把其頂點(diǎn)的坐標(biāo)輸入計(jì)算機(jī)，經(jīng)過(guò)計(jì)算，繪圖機(jī)就會(huì)自動(dòng)畫(huà)出同這個(gè)多邊形很相象，又十分機(jī)就會(huì)自動(dòng)畫(huà)出同這個(gè)多邊形很相象，又十分光滑的一條曲線，這種方法稱為貝齊爾光滑的一條曲線，這種方法稱為貝齊爾(Bezier)(Bezier)方法。方法。 貝齊爾貝齊爾(Bezier)(Bezier)方法的實(shí)際是把復(fù)雜曲線的描方法的實(shí)際是把復(fù)雜曲線的描繪轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的多邊形描繪。繪轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的多邊形描繪。2.1 2.1 貝齊爾曲線貝

3、齊爾曲線 貝齊爾曲線的形狀是通過(guò)一組多邊形（也稱為貝齊爾貝齊爾曲線的形狀是通過(guò)一組多邊形（也稱為貝齊爾控制多邊形）的各頂點(diǎn)唯一地定義出來(lái)的。控制多邊形）的各頂點(diǎn)唯一地定義出來(lái)的。 在該多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)中，只有第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)在在該多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)中，只有第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)在曲線上，其余的頂點(diǎn)則用來(lái)定義曲線的形狀。曲線上，其余的頂點(diǎn)則用來(lái)定義曲線的形狀。 第一條邊和最后一條邊則表示出了曲線在起點(diǎn)處和終第一條邊和最后一條邊則表示出了曲線在起點(diǎn)處和終點(diǎn)處的切線方向。即第一條邊和最后一條邊分別和曲點(diǎn)處的切線方向。即第一條邊和最后一條邊分別和曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)處相切，曲線的形狀趨向于多邊形折線在起點(diǎn)和終點(diǎn)處

4、相切，曲線的形狀趨向于多邊形折線的形狀。線的形狀。 改變多邊形折線的頂點(diǎn)位置和曲線形狀的變化有著直改變多邊形折線的頂點(diǎn)位置和曲線形狀的變化有著直觀的聯(lián)系。觀的聯(lián)系。多項(xiàng)式次的為）（，我們稱是二項(xiàng)式系數(shù)其中：）（將它寫(xiě)成假定）（）（）（恒等式：Bernsteinnf(t)1)t(0 (t)Bnkf( t1)t)(nkf(fBk)!-(nk!n!)( t1)tf(t)(f(t)c0,1,ft1tt1t1 n0knk,knkn0knknnkknkn0knkknkn0knkn 稱為稱為n n次次BernsteinBernstein多項(xiàng)式的基函數(shù)，貝齊多項(xiàng)式的基函數(shù)，貝齊爾曲線是以爾曲線是以Bernst

5、einBernstein多項(xiàng)式的基函數(shù)構(gòu)造多項(xiàng)式的基函數(shù)構(gòu)造而成的。而成的。knknknktttB)1( )(,其中 在 外 形 設(shè) 計(jì) 中 ， 給 出 一 組 初 始 型 值 點(diǎn)在 外 形 設(shè) 計(jì) 中 ， 給 出 一 組 初 始 型 值 點(diǎn)P Pk k(k(k=0,1,=0,1,n),n),將它們按順序連接為一個(gè)多將它們按順序連接為一個(gè)多邊形，稱為邊形，稱為控制多邊形控制多邊形。型值點(diǎn)與。型值點(diǎn)與BernsteinBernstein多項(xiàng)式的基函數(shù)的線性組合：多項(xiàng)式的基函數(shù)的線性組合： 稱為稱為n n次次貝齊爾曲線貝齊爾曲線。)(),(,010tBPtPPPBnknkknn) 10 (t多邊形

6、的起點(diǎn)和終點(diǎn)?？梢钥闯銮€通過(guò)控制時(shí)當(dāng)時(shí)，那么，當(dāng)如果我們規(guī)定nn0nn0knk,kn1000n0n0knk,kn100pp1)-(11n!0!n! (1)BP,1),.pp,Bn(p1tpp0)-(10n!0!n! (0)BP,0),.pp,Bn(p0t1,0!01)-1,2,.n(k )()( )1 ()()!1( !)!1( )1 ()!()!1()!1( )1 ()()1 ()!()!1()!1( )1 ()()1 ()!( !)(1,1, 1111111,tBtBnttknknknttknknnttkntktknkknnttkntktknkntBnknkknkknkknkknkknk

7、knknk兩端點(diǎn)處的切矢情況來(lái)分析一下曲線在我們通過(guò)對(duì)基函數(shù)求導(dǎo)p) )()(pp)1 (- )(p(t)Bp)(p (t)Bpt),p,.,p,(pB )()()1 ()1()(1)-1,2,.n(k )()()(1n1,1, 11 -n1kk01,nn1 -n1knk,k, 00n0knk,kn10n1,1, 01,1, 1,nnknknnnnnnnnnnnknknkttBtBtntBtBntttBtnttBtBtBntB于是得到)p-n(p 0p) )()(pp)01 (- ,0)p,.,p,(pB0tp) )()(pp)1 (- t),p,.,p,(pB011n1,1, 11 -n1k

8、k01n10n1n1,1, 11 -n1kk01n10nnnknknnnknkntBtBnttBtBtn在起始點(diǎn)00)-(10k)!-1-(nk!1)!-(n)( 10)-(101)!-(n0!1)!-(n)( 1kt)-(1tk)!-(nk!n!)(k- 1 -nk1 -,0-n01 -, 1 -k-nk,tBtBtBnknknk時(shí)當(dāng)因：)p-n(p,1)p,.,p,(pB1 tp) )()(pp)1 (- t),p,.,p,(pB1 -nnn10n1n1,1, 11 -n1kk01n10n在終點(diǎn)nnknknttBtBtn11)-(11k)!-1-(nk!1)!-(n)( 01)-(111)

9、!0!-(n1)!-(n)( 1kt)-(1tk)!-(nk!n!)(1)-(n- 1 -n1 -n1 -,1)-(n-n1 -n1 -, 1 -k-nk,tBtBntBnknknk時(shí)當(dāng)因：說(shuō)明說(shuō)明,Bezier,Bezier曲線在曲線在兩端點(diǎn)處的切矢方兩端點(diǎn)處的切矢方向與控制多邊形的向與控制多邊形的第一條邊和最后一第一條邊和最后一條邊一致的條邊一致的1)t(0 tpt)p-(1t),p,(pBPPtt)-(1)t(t)Bt -1t)-(1)t(t)B1n1-nn,10101101 - 11111,10- 10100,1兩點(diǎn)的直線段，即，是連接時(shí)當(dāng)?shù)痛蔚呢慅R爾曲線，下面我們來(lái)討論一下較次的貝齊

10、爾曲線?？梢远x一條個(gè)型值點(diǎn)，給定知道由貝齊爾曲線公式我們是二次參數(shù)曲線時(shí)當(dāng)t),p,p,(pBy1)t(0 ptt)p-t(12pt)-(1t),p,p,(pBtt)-(1t)!22( ! 2! 2t)-(1)t(t)Bt)-(12t)-(1t)!12( ! 1! 2t)-(1)t(t)Bt)-(1t)-(1t! 2 ! 0! 2t)-(1)t(t)B2n210222102210222-222-22222,21 -211 -21211,220-200-20200,2t是三次參數(shù)曲線時(shí)當(dāng)t),p,p,p,B3(p1)t(0 ptt)p-(1t 3pt)-t(13pt)-(1t),p,p,p,B

11、3(ptt)-(1t)!33( ! 3! 3t)-(1)t(t)Bt)-(13t)-(1t)!23( ! 2! 3t)-(1)t(t)Bt)-(13t)-(1t)!13( ! 1! 3t)-(1)t(t)Bt)-(1t)-(1t! 3 ! 0! 3t)-(1)t(t)B3n321033221203321033-333-33333,322-322-32322,321 -311 -31311,330-300-30300,3tt13t-2tt)-t(13t)-(1 0t0t)-(1t 31t)-t(131t)-(1 ytt)y-(1t 3yt)-t(13yt)-(1y(t)13t6t-5t 3tt)

12、-(1t 32t)-t(13t)-(1 xtt)x-(1t 3xt)-t(13xt)-(1x(t)1)t(0 ptt)p-(1t 3pt)-t(13pt)-(1t),p,p,p,B3(p3n(3,0)(1,0),(2,1),(1,1),:232332233322120323322333221203332212033210 時(shí)的貝齊爾曲線繪制過(guò)點(diǎn)例1)t(0 13t-2ty(t) 13t6t-5t x(t)2323計(jì)算曲線上的點(diǎn)計(jì)算曲線上的點(diǎn)t 0 0.25 0.5 0.75 1X 1 1.45 1.63 1.98 3Y 1 0.84 0.5 0.16 0繪制曲線繪制曲線P0P1P2P3繪制貝齊

13、爾曲線的算法：繪制貝齊爾曲線的算法：Input x(k),y(k) (k=0,1,2,Input x(k),y(k) (k=0,1,2,n),n)畫(huà)出控制多邊形畫(huà)出控制多邊形定義變量定義變量 m,x1(m),y1(m)m,x1(m),y1(m)For j =0 to mFor j =0 to m t=j/m, x1(j)=0, y1(j)=0 t=j/m, x1(j)=0, y1(j)=0 For k=0 to n For k=0 to n bk bk= =jc(n)jc(n)/(jc(k)/(jc(k)* *jc(n-k)jc(n-k)* *t(kt(k) )* *(1-t)(n-k)(1-

14、t)(n-k) x1(j) = x1(j) + bk x1(j) = x1(j) + bk * * x(k) x(k) y1(j) = y1(j) + bk y1(j) = y1(j) + bk * * y(k) y(k) Next k Next kNext jNext j繪制繪制(m+1)(m+1)個(gè)插值點(diǎn)個(gè)插值點(diǎn)繪出的圖形繪出的圖形自定義函數(shù)2.2 2.2 B B樣條曲線樣條曲線 B樣條曲線是以B樣條函數(shù)為基函數(shù)構(gòu)造而成的。為了定義B樣條曲線,首先給出n次截冪函數(shù)和n階B樣條函數(shù)的定義。 nknnkknnknxnxMxM01nnn)2)() 1()!1(1)(Bn)(0 x00 xx xn

15、x樣條函數(shù)，即階為稱次截冪函數(shù)，即為我們稱 00101111)21-(x-)21(x )21)() 1()!11 (1)(1nkkkkxxM時(shí)當(dāng) 101)21-(x-)21x()(21x011)21-(x-)21x()(21x001001xMxM時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) 000)21-(x-)21x()(21x101)21-(x-)21x()(21x21001001xMxM時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) 21)()(,21x21x 021x 1)(111我們規(guī)定具有對(duì)稱性，為了使時(shí)當(dāng)所以xMxMxM 1)-(x2x-1)(x )22)() 1()!12(1)( 1)!22( ! 2! 2)( 2)!12( ! 1! 2)( 1)!

16、02( ! 0! 2)(2n201222222120kkkkxxM時(shí)當(dāng) 1x x-11x 0)(000-0)( -1xx-1x100-1x)( 0 xx100-1x)( 0 x1-x-102x-1x)( 1x0 01-x2x-1)x()( 1x01-x2x-1)x()( 1x2222222xMxMxMxMxMxMxM時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) )23(x-)21(x3)213(x-)23(x21 )23)() 1()!13(1)( 1)!33( ! 3! 3)( 3)!23( ! 2! 3)( 3)!13( ! 1! 3)( 1)!03( ! 0! 3)( 3n22223013333332313

17、0kkkkxxM時(shí)當(dāng)0)21(x 41xx)21(x)21(x21-x 21-x0)23(x 493xx)23(x)23(x23-x 23-x22222222時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)0)23-(x 493x-x)23-(x)23-(x23x 23x0)21-(x 41x-x)21-(x)21-(x21x 21x22222222時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)00-) 41x-3(x )41x3(x- 493xx21(x)M 23x0)493x-(x-) 41x-3(x )41x3(x- 493xx21(x)M 23x222322223時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)0(x)M 23x 0(x)M 23-x0(x)M 23x333 49x3-

18、x21(x)M 2321) 493x(x210)00 )493x(x21(x)M 21-x23) 493x(x210-) 41x-3(x )41x3(x- 493xx21(x)M 23x212322322223時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)x 23x 21 )49x3-(x2121x 43x-23x 0(x)M43-x)23(-2x21 )41x3(x-) 493x(x21 00)41x3(x- )493x(x21(x)M 21 x 21x212232222223時(shí)即時(shí)當(dāng)初始型值點(diǎn)與初始型值點(diǎn)與B B樣條函數(shù)的線性組合：樣條函數(shù)的線性組合：)()(10kntMPtSmnkkm) 10 (t稱為稱為m m次次B

19、B樣條曲線樣條曲線。它是參數(shù)。它是參數(shù)t t具有具有m-1m-1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的分段的分段m m次多項(xiàng)式。次多項(xiàng)式。2.3 B2.3 B樣條曲線樣條曲線 當(dāng)m 1時(shí)，一次B樣條曲線 S1(t)是連接Pi (i=0,1，,n)的折線段（即初始型值點(diǎn)的控制多邊形）。1 -11 0)()()(2201kntkntkntkntMkntMPtSnkk) 10(t11-uk-Lu 11uk-Lu 1k-Lu,1LkL,k-12u)2(L-Luk-Lu2,Lk ,1Lk11u) 1(L-Luk-Lu1,-Lk,Lk 1u0 k,-Luk-nt,nL)(ut(t)sn1)(LtnL,1-n0,1,.,L

20、,1LkLk時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)從而有令的表達(dá)式時(shí)分析可取事實(shí)上)(p)1 (p)11 (p)1 (p 1)-u(pu)(p )Lu()( )nL)(u()(u)(0,)x(1x )x(1LL1LL21L2L20201122uuuuMMkMPkntMPStSMMnkknkk于是時(shí)，的局部非零性，即當(dāng)由于的折線段。是連接則的直線段，令是連接時(shí)，即當(dāng)n)0,1,.,(iP(t)s1,t0 1,-n0,1,.,LP,P(t)s/ ) 1(t/Li11LL1nLn 當(dāng)m=2時(shí),二次B樣條曲線 S2(t)是以型值點(diǎn)Pi (i=0,1，,n)為控制多邊形的光滑曲線。 )()(302kntMPtSnkk) 10(t

21、事實(shí)上，可取L0，1，n-2分析(L+1/2)/n t(L+3/2)/n時(shí)S2(t)的表達(dá)式。令t=(u+L+1/2)/n，則有nt-k=u+L+1/2-k，(u1)。當(dāng)kL+2時(shí) kL+3，u+L+1/2-ku+L+1/2-(L+3)=u-5/2-3/2。由于M(x)的局部非零性，即當(dāng)|x|3/2時(shí)，M3(x)。于是， u2149|23|3)23(21)23(uM23|23|2121u-u43)21()21(uM21|21|21u-u2149|21|3)21(21)21(uM232121 1u0)23-(uMp)21-(uMp)21(uMp )21()/ )21()(22322322332L

22、31L3L3022uuuuuuuukLuMPnLuSutSnkn)(21)()2(2111212LLLLLLLppppupppu22L21L2L32L31L3L2up21)21u-u(p)21u-u21(p)23-(uMp)21-(uMp)21(uMp)(utS 可以看出，可以看出，S S在子區(qū)間在子區(qū)間u1u1上僅依賴于上僅依賴于位矢位矢P PL L，P PL+L+，P PL+2L+2。即改變。即改變P PL L，P PL+L+，P PL+2L+2僅僅影響影響B(tài) B樣條曲線的局部形狀，這是樣條曲線的局部形狀，這是B B樣條曲線樣條曲線的重要特征。的重要特征。)(21)( )2(21(u)S1

23、12122LLLLLLLppppupppu由式)(21 )(21)()2(21(1)S)(21(0)S)(21)( )2(21(u)S211121212112122LLLLLLLLLLLLLLLLLLpppppppppppppppupppu由)(1)S(0)S21(2121(1)S41(0)S41 2181818181 814381 81)212141(-)2121-81( )(21)(21 )2(4121)21(S1221221211212111212LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLpppppppppppppppppppp(0)S-(1)S 212121212121 )()2(21)

24、21(S )()2(1)S(0)S )()2(u)S2211221211212111212222LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLpppppppppppppppppppppppppu樣條曲線的繪制過(guò)點(diǎn)例B(3,0)(1,0),(2,1),(1,1),:)(21)()2(21)(112122LLLLLLLppppupppuuS二次二次B B樣條曲線樣條曲線S2(u)S2(u)可以分可以分n-2n-2段繪出，每段曲線段繪出，每段曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)為上任意點(diǎn)的坐標(biāo)為: :)(21)()2(21) u (11212lllllllxxxxuxxxux)(21)()2(21) u (112

25、12lllllllyyyyuyyyuy121-1)(1211)u(-10)2-(121 )yy(21)yy()yy2y(21) u( y23u-2)(1212)u(-11)4-(121 )(21)()2(21) u( B (1,0) (2,1), (1,1), , 022112122211212uuuuuuxxxxuxxxuxlllllllllllllll樣條曲線的過(guò)點(diǎn)時(shí)計(jì)算曲線上的點(diǎn)計(jì)算曲線上的點(diǎn)u 0 0.25 0.5 0.75 1X 1.5 1.69 1.75 1.69 1.5Y 1 0.97 0.875 0.72 0.5121-) u( y23u-) u(22uuxL=0L=0時(shí)，過(guò)點(diǎn)

26、時(shí)，過(guò)點(diǎn)(1,1),(2,1),(1,0)(1,1),(2,1),(1,0)的曲線方程的曲線方程繪制曲線繪制曲線P0P1P2P321u210)(1210)u(-10)0-(121 )yy(21)yy()yy2y(21) u( y23u231)(2211)u(-2) 32-(221 )(21)()2(21) u( B (3,0), (1,0) (2,1), , 122112122211212uuuuuuxxxxuxxxuxlllllllllllllll樣條曲線的過(guò)點(diǎn)時(shí)計(jì)算曲線上的點(diǎn)計(jì)算曲線上的點(diǎn)u 0 0.25 0.5 0.75 1X 1.5 1.34 1.38 1.59 2Y 0.5 0.28

27、 0.125 0.03 021u21) u( y23u23) u(22uuxL=1L=1時(shí)，過(guò)點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)(2,1),(1,0),(3,0)(2,1),(1,0),(3,0)的曲線方程的曲線方程繪制曲線繪制曲線P0P1P2P3繪制二次繪制二次B B樣條曲線的算法：樣條曲線的算法：Input x(k),y(k) (k=0,1,2,n)畫(huà)出控制多邊形畫(huà)出控制多邊形For l=0 to n-2for i=0 to m u= i /m x1(i)=u2(Xl2Xl+1+Xl+2)/2+u(- Xl)+Xl+1)+(Xl+Xl+1)/2 Y1(i)=u2(Yl2Yl+1+Yl+2)/2+u(-Yl)+Yl

28、+1)+(Yl+Yl+1)/2Next I繪制繪制(m+1)個(gè)插值點(diǎn)個(gè)插值點(diǎn)繪出的圖形繪出的圖形Next l2.4 2.4 自由曲線自由曲線v設(shè)計(jì)自由曲線要求出現(xiàn)直線段。只要適當(dāng)選取設(shè)計(jì)自由曲線要求出現(xiàn)直線段。只要適當(dāng)選取P Pl l，P Pl+1l+1，P Pl+2l+2并使它們共線即可。并使它們共線即可。v設(shè)計(jì)的曲線要求出現(xiàn)尖點(diǎn)，只需要在出現(xiàn)尖點(diǎn)設(shè)計(jì)的曲線要求出現(xiàn)尖點(diǎn)，只需要在出現(xiàn)尖點(diǎn)處將型值點(diǎn)的序號(hào)重復(fù)編號(hào)。處將型值點(diǎn)的序號(hào)重復(fù)編號(hào)。一、設(shè)計(jì)自由曲線要求出現(xiàn)直線段。只要適當(dāng)選一、設(shè)計(jì)自由曲線要求出現(xiàn)直線段。只要適當(dāng)選取取P Pl l，P Pl+1l+1，P Pl+2l+2并使它們共線即可。并使它們共線即可。2L2L222L1L11L11112L1LL1LL1LL2L1LL22(u)PP (u)S PP P1 P,P,P)P(P21)Pu(-P)P2P-(P2uSBn)23(Ltn)21(L將其帶入上式有使，數(shù)共線，故存在這樣的正由于樣條曲線二次時(shí)，這是因?yàn)楫?dāng)2L2L22L1112L11122L1L1L2L1L1L2L2L1L1L21LL1LL2L1LL22(u)PP (u) P21u)2-(12u )P(1211)-u()2-(12u )PP(P21)PP(u(-P )P)PP2(-(P2u )P(P21)Pu(-P)P2P-(P