高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：第10章《計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布》[1]

1、u第一節(jié) 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(理)u主干知識梳理u一、分類加法計數(shù)原理u 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法那么完成這件事共有N 種不同方法 mnu二、分步乘法計數(shù)原理 u完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N 種不同的方法mnu 基礎(chǔ)自測自評u1(教材習(xí)題改編)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有u()uA50個B45個uC36個 D38個uC利用分類加法計數(shù)原理，共有8765432136個u2(教材習(xí)題改編)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙

2、所選的課程中恰有1門相同的選法有u()uA6種B12種uC24種 D30種uC分步完成，u甲、乙兩人從4門課程中選1門有4種方法；u甲從剩下的3門中選1門有3種方法；u乙從剩下的2門中選1門有2種方法，u故共有43224.u3有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有u()uA8種 B9種uC10種 D11種uB分四步完成，共有33119種u4由0，1，2，3這四個數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有_u解析由0，1，2，3可組成的四位數(shù)共有343192個，其中無重復(fù)的數(shù)字的四位數(shù)共有3A18個，故有19218174個u答案17

3、4u5(教材習(xí)題改編)5名畢業(yè)生報考三所中學(xué)任教，每人僅報一所學(xué)校，則不同的報名方法的種數(shù)是_u解析共有3333335243.u答案243u 關(guān)鍵要點點撥u1兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別：u兩個原理都是對完成一件事的方法種數(shù)而言的區(qū)別在于：(1)分類加法計數(shù)原理是“分類”，分步乘法計數(shù)原理是“分步”；(2)分類加法計數(shù)原理中每類方法中的每一種方法都能獨立完成這件事，分步乘法計數(shù)原理中每步中每種方法都只能做這件事的一步，不能獨立完成這件事u2對于較復(fù)雜的問題有時要兩個原理綜合使用，即先分類再分步或先分步再分類u典題導(dǎo)入u (2014江西六校聯(lián)考)若自然數(shù)n使得作豎式加法n(n1)(n2)均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象

4、，則稱n為“良數(shù)”例如：32是“良數(shù)”，因為323334不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“良數(shù)”，因為232425產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象那么小于1 000的“良數(shù)”的個數(shù)為u()分類加法計數(shù)原理 uA27B36uC39 D48uu 聽課記錄一位“良數(shù)”有0，1，2，共3個；兩位數(shù)的“良數(shù)”十位數(shù)可以是1，2，3，兩位數(shù)的“良數(shù)”有10，11，12，20，21，22，30，31，32，共9個；三位數(shù)的“良數(shù)”有百位為1，2，3，十位數(shù)為0的，個位可以是0，1，2，共339個，百位為1，2，3，十位不是零時，十位個位可以是兩位“良數(shù)”，共有3927個根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有48個小于1 000的“良數(shù)”u答案Du

5、 規(guī)律方法u利用分類加法計數(shù)原理解題時，應(yīng)注意：u(1)根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏u(2)分類時，注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，且不能重復(fù)u(3)對于分類問題所含類型較多時也可考慮使用間接法u跟蹤訓(xùn)練u1(2012孝感統(tǒng)考)如圖所示，在A、B間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通今發(fā)現(xiàn)A、B之間電路不通，則焊接點脫落的不同情況有u()uA9種 B11種uC13種 D15種uC按照焊接點脫落的個數(shù)進(jìn)行分類u若脫落1個，則有(1)，(4)共2種；u若脫落2個，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(

6、4，3)共6種；u若脫落3個，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)共4種；u若脫落4個，有(1，2，3，4)共1種u綜上共有264113種焊接點脫落的情況u典題導(dǎo)入u (1)用1，2，3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有u()uA6個B9個uC18個 D36個分步乘法計數(shù)原理 u 聽課記錄由題意知，1，2，3中必有某一個數(shù)字重復(fù)使用2次第一步確定誰被使用2次，有3種方法；第二步把這2個相等的數(shù)放在四位數(shù)不相鄰的兩個位置上，也有3種方法；第三步將余下的2個數(shù)放在四位數(shù)余下的2個位置上，有2種方法故共可組成33218

7、個不同的四位數(shù)u答案Cu (2)(2014湖南長郡中學(xué)、衡陽八中等十二校一聯(lián))用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號為1、2、9的9個小正方形(如圖)，使得任意相鄰(有公共邊)的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號為1、5、9的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有_種.u聽課記錄把區(qū)域分為三部分，第一部分1、5、9，有3種涂法第二部分4、7、8，當(dāng)5、7同色時，4、8各有2種涂法，共4種涂法；當(dāng)5、7異色時，7有2種涂法，4、8均只有1種涂法，故第二部分共426種涂法第三部分與第二部分一樣，共6種涂法由分步計數(shù)原理，可得共有366108種涂法u答案108u 規(guī)律方法u解決此類問題，首先將完成這

8、件事的過程分步，然后再找出每一步中的方法多少種，求其積u注意各步之間相互聯(lián)系，依次完成后，才能做完這件事，即步與步之間的方法相互獨立，逐步完成 u跟蹤訓(xùn)練u2有0、1、2、8這9個數(shù)字u(1)用這9個數(shù)字組成四位數(shù)，共有多少個不同的四位數(shù)？u(2)用這9個數(shù)字組成四位密碼，共有多少個不同的四位密碼？u解析(1)未強(qiáng)調(diào)四位數(shù)的各位數(shù)字不重復(fù)，只需首位不為0，依次確定千、百、十、個位，各有8、9、9、9種方法，共能組成8935 832個不同的四位數(shù)u(2)每一位上的數(shù)字都有9種方法u共能組成946 561個不同的四位密碼u典題導(dǎo)入u (2012山東高考)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、

9、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為u()uA232B252C472D484兩個原理的綜合應(yīng)用 u 互動探究u本例條件變?yōu)椤坝?張卡片，它們的正、反面分別寫著0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)”，問不同的三位數(shù)有多少個？u解析分兩類：第一類，百位數(shù)字是1，有8648個三位數(shù)；第二類，百位數(shù)字不是1，有886384個三位數(shù)，根據(jù)分類計數(shù)原理共有48384432個三位數(shù)u規(guī)律方法u用兩個原理解決計數(shù)問題時，關(guān)鍵是明確需要分類還是分步u(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后

10、用分類加法計數(shù)原理求和得到總數(shù)；分步要做到“步驟完整”u(2)對于復(fù)雜問題，可同時運(yùn)用兩個計數(shù)原理或借助列表、畫圈的方法來幫助分析u 跟蹤訓(xùn)練u3已知集合M1，2，3，N4，5，6，7，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是u()uA18 B10uC16 D14uDM中的元素作點的橫坐標(biāo)，N中的元素作點的縱坐標(biāo)，在第一象限的點共有22個，在第二象限的點共有12個N中的元素作點的橫坐標(biāo)，M中的元素作點的縱坐標(biāo)，在第一象限的點共有22個，在第二象限的點共有22個所求不同的點的個數(shù)是2212222214(個)u【創(chuàng)新探究】分類討論思想在計

11、數(shù)原理中的應(yīng)用u (2012四川高考)方程ayb2x2c中的a，b，c 3，2，0，1，2，3，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有u()uA60條B62條uC71條 D80條u【高手支招】分類加法計數(shù)原理體現(xiàn)了分類討論思想在計數(shù)原理中的應(yīng)用解決此類問題的關(guān)鍵是確定分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重復(fù)、不遺漏. u 體驗高考u1(2013福建高考)滿足a，b1，0，1，2，且關(guān)于x的方程ax22xb0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為u()uA14 B13uC12 D10uB因為a，b1，0，1，2，可分為兩類：當(dāng)a0時，b可能為1或1或0或2，即b有4種不同的選法；當(dāng)a0時

12、，依題意得44ab0，所以ab1.當(dāng)a1時，b有4種不同的選法，當(dāng)a1時，b可能為1或0或1.即b有3種不同的選法，當(dāng)a2時，b可能為1或0，即b有2種不同的選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，(a，b)的個數(shù)共有443213.u2(2012安徽高考)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會活動中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈一份紀(jì)念品已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為u()uA1或3 B1或4uC2或3 D2或4uD設(shè)6位同學(xué)分別用a，b，c，d，e，f表示u若任意兩位同學(xué)之間都進(jìn)行交換共進(jìn)行C15(次)交換，現(xiàn)共進(jìn)行了13次交換，說明有兩次交換沒有發(fā)生，此時可能有兩種情況：u(1)由3人構(gòu)成的2次交換，