卡爾曼濾波的MATLAB實現(xiàn)

1、卡爾曼濾波的MATLAB 實現(xiàn)一、實驗內容一個系統(tǒng)模型為 ( ( 1(, 1, 0, ( ( ( 1(22211k w k x k x k k w k x k x k x +=+=+=+同時有下列條件：（1） 初始條件已知且有T x 0, 0 0(=。（2） (k w 是一個標量零均值白高斯序列，且自相關函數(shù)已知為jkk w j w E =( (。另外，我們有下列觀測模型，即 1( 1( 1(, 1, 0, 1( 1( 1(222111+=+=+=+k v k x k y k k v k x k y且有下列條件：（3） 1(1+k v 和 1(2+k v 是獨立的零均值白高斯序列，且有 , 2

2、, 1, 0, 2( (,( (2211=k k v j v E k v j v E jkjk（4） 對于所有的j 和k ， (k w 與觀測噪聲過程 1(1+k v 和 1(2+k v 是不相關的，即, 2, 1, 0, , 2, 1, 0, 0( (,0( (21=k j k v j w E k v j w E我們希望得到由觀測矢量 1(+k y ，即T k y k y k y 1(, 1( 1(21+=+估計狀態(tài)矢量T k x k x k x 1(, 1( 1(21+=+的卡爾曼濾波器的公式表示形式，并求解以下問題：（a ） 求出卡爾曼增益矩陣，并得出最優(yōu)估計 1(+k x 和觀測矢量1

3、(,., 2(, 1(+k y y y 之間的遞歸關系。（b ） 通過一個標量框圖（不是矢量框圖）表示出狀態(tài)矢量 1(+k x 中元素1(1+k x 和 1(2+k x 估計值的計算過程。（c ） 用模擬數(shù)據(jù)確定狀態(tài)矢量 (k x 的估計值, 10,., 1, 0, (=k k k x 并畫出當k 0，1，10時 (1k k x 和 (2k k x 的圖。（d ） 通常，狀態(tài)矢量的真實值是得不到得。但為了用作圖來說明問題，表P8.1和P8.2給出來狀態(tài)矢量元素得值。對于k 0，1，10，在同一幅圖中畫出真實值和在（c ）中確定的 (1k x 的估計值。對 (2k x 重復這樣過程。當k 從1變

4、到10時，對每一個元素i 1，2，計算并畫出各自的誤差圖，即 ( (k k x k x i i -。（e ） 當k 從1變到10時，通過用卡爾曼濾波器的狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣畫出(21k k E 和(22k k E ，而( ( (111k k x k x k k -=，( ( (222k k x k x k k -=。（f ） 討論一下（d ）中你計算的誤差與（e ）中方差之間的關系。表P8.1 題8.1到題8.3中的觀測值時間下標k 觀測值 (1k y (2k y 觀測值1 23456789103.296919693.387365157.028306419.7121252111.42018315

5、15.9787058322.0693428528.3021278130.4468383138.758755952.101342940.475407973.176888982.498111402.919924246.173076165.425192743.053657415.980511414.51016361表P8.2 題8.1到題8.3中的由模擬得到的實際狀態(tài)值時間下標k實際狀態(tài)值(1k x 實際狀態(tài)值(1k x 0123456789100.00000000001.654287143.503007025.9978529249.1504074012.5087391016.9219259421.

6、3448335225.8933514431.5413533036.936056700.0000000001.654287141.848719882.475522223.171878163.358331704.413186844.422907584.548517925.648001865.394470340二、實驗原理1、卡爾曼濾波簡介卡爾曼濾波是解決以均方誤差最小為準則的最佳線性濾波問題，它根據(jù)前一個估計值和最近一個觀察數(shù)據(jù)來估計信號的當前值。它是用狀態(tài)方程和遞推方法進行估計的，而它的解是以估計值（常常是狀態(tài)變量的估計值）的形式給出其信號模型是從狀態(tài)方程和量測方程得到的?？柭^濾中信號和噪聲

7、是用狀態(tài)方程和測量方程來表示的。因此設計卡爾曼濾波器要求已知狀態(tài)方程和測量方程。它不需要知道全部過去的數(shù)據(jù)，采用遞推的方法計算，它既可以用于平穩(wěn)和不平穩(wěn)的隨機過程，同時也可以應用解決非時變和時變系統(tǒng)，因而它比維納過濾有更廣泛的應用。2、卡爾曼濾波的遞推公式(11-+=k k k k k k k k x A C y H x A x (11(-+''=k k k k k k k R C P C C P H (211-+='k k k k k Q A P A P (3k k k k P C H I P '-= (43、遞推過程的實現(xiàn) 如果初始狀態(tài)x 的統(tǒng)計特性0x E

8、 及var0x 已知，并令 000=x E x又 var (000000x x x x x E P =-=將P 代入式（3）可求得1P '，將1P '代入式（2）可求得1H ，將此1H 代入式（1）可求得在最小均方誤差條件下的1x ，同時將1P '代入式（4）又可求得1P ；由1P 又可求2P '，由2P '又可求得2H ，由2H 又可求得2x ，同時由2H 與2P '又可求得2P ；以此類推，這種遞推計算方法用計算機計算十分方便。三、MATLAB 程序%卡爾曼濾波實驗程序 clc;y1=3.29691969,3.38736515,7.02830

9、641,9.71212521,11.42018315,15.97870583,22.06934285,28.30212781,30.44683831,38.75875595; %觀測值y1(ky2=2.10134294,0.47540797,3.17688898,2.49811140,2.91992424,6.17307616,5.42519274,3.05365741,5.98051141,4.51016361; %觀測值y2(k p0=1,0;0,1;p=p0; %均方誤差陣賦初值 Ak=1,1;0,1; %轉移矩陣Qk=1,0;0,1; %系統(tǒng)噪聲矩陣 Ck=1,0;0,1; %量測矩陣

10、Rk=1,0;0,2; %測量噪聲矩陣 x0=0,0'xk=x0; %狀態(tài)矩陣賦初值 for k=1:10Pk=Ak*p*Ak'+Qk; %濾波方程3 Hk=Pk*Ck'*inv(Ck*Pk*Ck'+Rk; %濾波方程2 yk=y1(k;y2(k; %觀測值xk=Ak*xk+Hk*(yk-Ck*Ak*xk; %濾波方程1 x1(k=xk(1;x2(k=xk(2; %記錄估計值 p=(eye(2-Hk*Ck*Pk; %濾波方程4pk(:,k=p(1,1,p(2,2' %記錄狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣 endfigure %畫圖表示狀態(tài)矢量的估計值 subplot(

11、2,1,1 i=1:10;plot(i,x1(i,'k'h=legend('x1(k的估計值' set(h,'interpreter','none' subplot(2,1,2 i=1:10;plot(i,x2(i,'k'h=legend('x2(k的估計值' set(h,'interpreter','none'X1=0,1.65428714,3.50300702,5.997852924,9.15040740,12.50873910,16.92192594,21.34

12、483352,25.89335144,31.54135330,36.93605670; %由模擬得到的實際狀態(tài)值X1(kX2=0,1.65428714,1.84871988,2.47552222,3.17187816,3.35833170,4.41318684,4.42290758,4.54851792,5.64800186,5.394470340; %由模擬得到的實際狀態(tài)值X2(kfigure %在同一幅圖中畫出狀態(tài)矢量的估計值與真實值 subplot(2,1,1 i=1:10;plot(i,x1(i,'k',i,X1(i+1,'b'h=legend('

13、;x1(k的估計值','x1(k的真實值' set(h,'interpreter','none' subplot(2,1,2 i=1:10;plot(i,x2(i,'k',i,X2(i+1,'b'h=legend('x2(k的估計值','x2(k的真實值' set(h,'interpreter','none'for i=1:10 %計算x(k的誤差 e1(i=X1(i+1-x1(i; e2(i=X2(i+1-x2(i; endfigure %畫

14、出誤差圖 subplot(2,1,1 i=1:10;plot(i,e1(i,'r'h=legend('x1(k的誤差' set(h,'interpreter','none' subplot(2,1,2 i=1:10;plot(i,e2(i,'r'h=legend('x2(k的誤差' set(h,'interpreter','none'figure %通過用卡爾曼濾波器的狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣畫出E1(k/k2和E2(k/k2 i=1:10;subplot(2,1,1 pl

15、ot(i,pk(1,i,'r'h= legend('由狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣得到的E1(k/k2' set(h,'Interpreter','none' subplot(2,1,2 plot(i,pk(2,i,'r'h= legend('由狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣得到的E2(k/k2' set(h,'Interpreter','none'四、實驗結果分析（a ）卡爾曼增益矩陣：k k k T T 1H P C (CP C R -=+ 估計值與觀測值之間的遞歸關系為：k k-1k-1k k k k k X A X H (YC A X =+-（b ）狀態(tài)矢量估計值的計算框圖： xk +1 yk +1 + xk +1