泊松分布及其應(yīng)用研究

1、湖南科技大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院課程論文題 目： 泊松分布及其應(yīng)用研究 專 業(yè)： 通信工程 班 級： 13級3班 姓 名： 黃夏妮 學(xué) 號： 1304040322 目錄1、 摘要12、 泊松分布的概念23、 計數(shù)過程為廣義的泊松過程44、 泊松分布及泊松分布增量55、 泊松分布的特征56、 泊松分布的應(yīng)用67、 基于MATLAB的泊松過程仿真88、 參考文獻(xiàn)12摘要 作為一種常見的離散型隨機變量的分布,泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個分布之一。服從泊松分布的隨機變量是常見的,它常與時間單位的計數(shù)過程相聯(lián)系。在現(xiàn)實生活中應(yīng)用更為廣泛,如數(shù)學(xué)建模、管理科學(xué)、運籌學(xué)及自然科學(xué)、概率論

2、等等。并且在某些函數(shù)關(guān)系起著一種重要作用。例如線性的、指數(shù)的、三角函數(shù)的等等。同樣, 在為觀察現(xiàn)象構(gòu)造確定性模型時, 某些概率分布也經(jīng)常出現(xiàn)。泊松分布作為大量試驗中稀有事件出現(xiàn)的頻數(shù)的概率分布的數(shù)學(xué)模型, 它具有很多性質(zhì)。為此本文講述了泊松分布的一些性質(zhì), 并討論了這些性質(zhì)在實際生活中的重要作用。- 16 -二、泊松分布的概念：定義1 設(shè)隨機變量的可能取值為且為常數(shù)。則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X D() 。定義2設(shè)是任意一個隨機變量,稱是的特征函數(shù)。主要結(jié)論：定理1 如果X 是一個具有以為參數(shù)的泊松分布,則E( X) = 且D ( X) =。證明設(shè)X 是一隨機變量,若存在,則稱它為X的方

3、差,記作D( X) ,即。設(shè)X服從泊松分布D ( X) ,即有:則從而故定理2 設(shè)隨機變量服從二項分布,其分布律為。又設(shè)是常數(shù),則。證明由得:顯然,當(dāng)k = 0 時,故。當(dāng)k 1 且k 時,有從而，故。定理3 設(shè)是服從參數(shù)為的泊松分布的隨機向量,則:證明已知的特征函數(shù)為,故的特征函數(shù)為:對任意的t ,有。于是。從而對任意的點列,有。但是是N (0 ,1) 分布的特征函數(shù),由于分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)F( x)的充要條件是相應(yīng)的特征函數(shù)列n ( t) 收斂于F( x) 的特征函數(shù)( t)。所以成立;又因為是可以任意選取的,這就意味著成立。三、計數(shù)過程為廣義的泊松過程1.計數(shù)過程設(shè)為一隨機過程,

4、 如果是取非負(fù)整數(shù)值的隨機變量,且滿足s < t時,則稱為計數(shù)過程。將增量,它表示時間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)?！霸趦?nèi)出現(xiàn)k個質(zhì)點”,即是一隨機事件,其概率記為總之,對某種隨機事件的來到數(shù)都可以得到一個計數(shù)過程,而同一時刻只能至多發(fā)生一個來到的就是簡單計數(shù)過程。2.泊松過程計數(shù)過程稱為強度為的泊松過程,如果滿足條件:(1)在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨立性;(2);(3)對于充分小的其中常數(shù),稱為過程的強度。(4)對于充分小的t亦即對于充分小的,在或2個以上質(zhì)點的概率與出現(xiàn)一個質(zhì)點的概率相對可以忽略不計。了解泊松過程,就很容易去了解泊松分布的相關(guān)性質(zhì),其實泊松分布就是在泊松過程當(dāng)中每單位的時間

5、間隔內(nèi)出現(xiàn)質(zhì)點數(shù)目的計數(shù)。四、泊松分布及泊松分布增量1.泊松分布產(chǎn)生的一般條件在自然界和人們的現(xiàn)實生活中,經(jīng)常要遇到在隨機時刻出現(xiàn)的某種事件,我們把在隨機時刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列,叫做隨機事件流。若事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性,則稱該事件流為泊松事件流(泊松流) 。例如一放射性源放射出的粒子數(shù);某電話交換臺收到的電話呼叫數(shù);到某機場降落的飛機數(shù);一個售貨員接待的顧客數(shù); 一臺紡紗機的斷頭數(shù);等這些事件都可以看作泊松流。2.泊松分布及泊松分布增量的概率(1)泊松分布的概率:對泊松流,在任意時間間隔(0, t)內(nèi),事件出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為t的泊松分布,稱為泊松流的強度。設(shè)隨機變量X所有

6、可能取的值為0, 1, 2, ,且概率分布為:其中是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作XP ()。(2)泊過分布增量的概率:由上式易知增量的概率分布是參數(shù)=的泊松分布,且只與時間有關(guān)。3.泊松分布的期望和方差：由泊松分布知特別地,令,由于假設(shè)N (0) = 0,故可推知泊松過程的均值函數(shù)和方差函數(shù)分別為：泊松過程的強度(常數(shù))等于單位長時間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)目的期望值。即對泊松分布有:五、泊松分布的特征(1)泊松分布是一種描述和分析稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件,樣本含量n必須很大。(2) 是泊松分布所依賴的唯一參數(shù)。值愈小,分布愈偏倚,隨著的增大,分布趨于對稱。(3)當(dāng)= 20時分

7、布泊松分布接近于正態(tài)分布;當(dāng)= 50時,可以認(rèn)為泊松分布呈正態(tài)分布。在實際工作中,當(dāng)20時就可以用正態(tài)分布來近似地處理泊松分布的問題。六、泊松分布的應(yīng)用1) 二項分布的泊松近似常常被應(yīng)用于研究稀有事件,即每次試驗中事件出現(xiàn)的概率p很小,而貝努里試驗的次數(shù)n很大時,事件發(fā)生的概率。例1 通過某路口的每輛汽車發(fā)生事故的概率為p = 0.0001 ,假設(shè)在某路段時間內(nèi)有1000 輛汽車通過此路口,試求在此時間內(nèi)發(fā)生事故次數(shù)X的概率分布和發(fā)生2次以上事故的概率。分析首先在某時間段內(nèi)發(fā)生事故是屬于稀有事件,觀察通過路口的1000輛汽車發(fā)生事故與否,可視為是n = 1000次伯努里試驗,出現(xiàn)事故的概率為p

8、 = 0.0001 ,因此X是服從二項分布的,即。由于n = 1000很大,且p = 0.0001很小,上面的式子計算工作量很大,則可以用:求近似.注意到,故有.2) 泊松分布可以計算大量試驗中稀有事件出現(xiàn)頻數(shù)的概率。這里的頻數(shù)指在相同條件下, 進(jìn)行大量試驗,在這大量試驗中,稀有事件發(fā)生的次數(shù)。例2 已知患色盲者占0.25 %,試求: 為發(fā)現(xiàn)一例色盲者至少要檢查25人的概率; 為使發(fā)現(xiàn)色盲者的概率不小于0.9 ,至少要對多少人的辨色力進(jìn)行檢查?分析設(shè)X表示恰好發(fā)現(xiàn)一例患色盲者所需要檢查的人數(shù),則。解設(shè)至少對n 個人的辨色能力進(jìn)行檢查,于是p xn0.9。從而:由,得.因此至少要檢查920人。七

9、、基于MATLAB的泊松過程仿真1、首先我們建立一個poisson函數(shù)，即poisson.m:function poisson(m)%This function can help us to simulate poisson processes.%If you give m a integer like 1 2 3 and so on ,then you will get%a figure to illustrate the m sample traces of the process.%rand('state',0); %復(fù)位偽隨機序列發(fā)生器為0狀態(tài)K=10; %設(shè)置計數(shù)值為

10、10%m=6; %設(shè)置樣本個數(shù)color=char('r+','b+','g+','m+','y+','c+'); %不同的軌道采用不同的顏色表示lambda=1; %設(shè)置到達(dá)速率為1for n=1:mu=rand(1,K); %產(chǎn)生服從均勻分布的序列T=zeros(1,K+1); %長生K+1維隨機時間全零向量k=zeros(1,K+1); %產(chǎn)生K+1維隨機變量全零向量for j=1:Kk(j+1)=j;T(j+1)=T(j)-log(u(j)/lambda; %計算到達(dá)時間endfor i=1:Kplot(T(i):0.001:T(i+1),k(i):k(i),color(n,1,2); hold on;endend2、下面我們在命令窗口鍵入以下命令：clear；poisson(1);就可以得到一條樣本軌道，如下所示：鍵入poisson(2)，得到的圖如下：鍵入poisson(3),得到的圖如下：鍵入poisson(4),仿真結(jié)果：鍵入poisson(5)，仿真結(jié)果：鍵入poisson1(6),仿真結(jié)果：八