曲面積分的面積

1、第五節(jié)第五節(jié) 對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分二、對(duì)面積曲面積分的計(jì)算法二、對(duì)面積曲面積分的計(jì)算法一、曲面面積一、曲面面積（第十章（第十章 第四節(jié)）第四節(jié)）G 表示的幾種表示的幾種幾何形體以及其上的積分幾何形體以及其上的積分：D閉區(qū)間閉區(qū)間a,bL(平面有界平面有界 閉區(qū)域閉區(qū)域)（平面有限平面有限 曲線段）曲線段）（有限曲（有限曲 面片）面片）(空間有界空間有界 閉區(qū)域閉區(qū)域)(空間有限空間有限 曲線段曲線段)二重積分三重積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分幾何形體上的積分幾何形體上的積分 GfP dg ,;Dfx y d , ,fx y z dv ,;Lfx y ds , ,fx y z

2、ds 重積分重積分對(duì)弧長(zhǎng)的（第一型）曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的（第一型）曲線積分對(duì)面積的（第一型）曲面積分對(duì)面積的（第一型）曲面積分( , , )f x y z dS 當(dāng)幾何形體當(dāng)幾何形體G為一光滑曲面為一光滑曲面 時(shí)時(shí),相應(yīng)的相應(yīng)的積分積分 ( , , )f x y z dS 曲面面積元素曲面面積元素積分曲面積分曲面 , ,fx y z 就就是是函函數(shù)數(shù)在在曲曲面面 上上的的對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分( (或或第一型曲面積分第一型曲面積分) )若積分曲面是封閉的，則相應(yīng)的曲面積分若積分曲面是封閉的，則相應(yīng)的曲面積分記為記為( , , )f x y z dS ( , , )f x y z dS 計(jì)

3、算對(duì)面積的曲面積分計(jì)算對(duì)面積的曲面積分 化為二重積分化為二重積分 , ,x y z 在在 上上變變化化？曲面曲面面積元素面積元素 :,xyzz x yx yD設(shè)設(shè)曲曲面面，用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)xyD 是是有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域， ,xyz x yD在在上上偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)，任取一個(gè)小矩形任取一個(gè)小矩形d ,dS 相相應(yīng)應(yīng)地地 上上有有小小曲曲面面塊塊Mxyz oxyDdS將將 分割為若干小區(qū)域分割為若干小區(qū)域，xyD一、曲面的面積一、曲面的面積 d),(yx( , , ( , ).TM x y z x y 為為 上上過(guò)過(guò)的的切切平平面面dz 以以邊邊界界為為準(zhǔn)準(zhǔn)線線，

4、母母線線平平行行于于 軸軸的的小小柱柱面面，( , )zz x y d),(yxMdSxyz To TdA截截切切平平面面為為，.dSdA 則則有有曲面塊曲面塊切平面塊切平面塊dS 截截曲曲面面 為為；dA,dSdAxoyd 與與在在面面上上的的投投影影均均為為 的的面積元素面積元素： ,面面上上的的投投影影在在為為xoydAd ,cos dAd221cos,1xyzz 221xydSzz d 曲面的面積公式為：曲面的面積公式為：221xyxyDAdSzzd ddAn z221xydAzz d 計(jì)算對(duì)面積的曲面積分計(jì)算對(duì)面積的曲面積分 化為二重積分化為二重積分 , ,x y z 在在 上上變變

5、化化( , , )f x y z dS ？ ,zz x y 221xydSzz d xyxoyD 向向面面投投影影曲面積分元素為曲面積分元素為對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算公式為對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算公式為化為二重積分化為二重積分 22, , ,1xyxyDfx y z dSfx y z x yzz d 221,xydSzx yzx y d :,zz x y 如果曲面如果曲面 的方程由的方程由 x=x(y,z) 或或 y=y(x,z)給出，也可類似地把對(duì)面積的曲面積分化給出，也可類似地把對(duì)面積的曲面積分化為為yoz面或面或xoz面上的二重積分面上的二重積分。 22, , ,1yzyzDfx y z d

6、sfx y zy zxx d 22, ,1xzxzDf x y z dsfx y x zzyy d :,xx y z :,yy x z22221dSxyzaz 計(jì)計(jì)算算，其其中中 ：hOxyzaaaxyD例例1 1被平面被平面 截出的頂部。截出的頂部。 , 0zhha曲面面積元素曲面面積元素它在它在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域222zaxy的的方方程程為為解解2222:xyDxyah222221xyadSzz ddaxyOxyzaaahxyD222adSdaxy 的的面面積積元元素素= =22222211xyDadSdzaxyaxy 22222xyrDDaadxdyrdrdaxyar 2

7、2222002lnahraaddraarh 222zaxy的的方方程程為為xyz111OxyD,xyzdS 計(jì)計(jì)算算其其中中 是是三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面和和1xyz平平面面圍圍成成的的四四面面體體的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界曲曲面面. .例2解解 邊界曲面邊界曲面 由四塊組成：由四塊組成：1234 它們的表達(dá)式分別是它們的表達(dá)式分別是0001,xyzxyz1 3 2 4 于是于是1234xyzdSxyzdS 由于在由于在 , ,0fx y zxyz所以所以30:z 上上, ,1230 xyzdS 10:,x20:,yxyz111OxyD1 3 2 4 圍成的三角形圍成的三角形.41,zxy在在上上：22

8、13xydSzz dd4又又 在在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域xyD001,xyxy是由是由xyz111OxyD4 1xy10 ,10: xxyDxy4xyzdSxyzdS 110031xxdxyxy dy 1231003123xyyxxdx 3101336120 xxdx 2213xydSzz dd41,zxy在在上上：0101:,xyDyxx 13xyDxyxyd 例例3 3 計(jì)算計(jì)算 ，其中，其中 為圓為圓柱面柱面 介于平面介于平面 z =0 和和yzD222dSxyz 這樣就需投影到這樣就需投影到y(tǒng)oz面上面上，解解 由于由于 不能表示成不能表示成 z=z(x,y) 的形式的形式

9、z =H(H0)且在第一卦限的部分且在第一卦限的部分. 22xRy現(xiàn)寫(xiě)成現(xiàn)寫(xiě)成xyzOHR投影區(qū)域投影區(qū)域 為矩形為矩形yzDHzRy 0 ,0222Ryx 又又有有于是于是0,22 zyxyRyx22221yzRdSxx ddydzRy 22xRy22222221yzDdSRdydzxyzRzRy 2222001RHRdydzRzRy 02201arctanRHRzdyRRRy 2201arctanRHdyRRy 而而所以所以2201RdyRy 2arcsinlim11 RRRR222arctan.2dSHxyzR 瑕積分瑕積分1112201lim()RRRdy RRRy 小小 結(jié)結(jié)計(jì)算對(duì)面

10、積的曲面積分計(jì)算對(duì)面積的曲面積分 化為二重積分化為二重積分1.把積分曲面把積分曲面 代入被積函數(shù)；代入被積函數(shù)； 2.根據(jù)積分曲面根據(jù)積分曲面 的不同的表示形式，的不同的表示形式，求出曲面面積元素求出曲面面積元素. 3. 將將 向相應(yīng)的坐標(biāo)面投影，得到二重向相應(yīng)的坐標(biāo)面投影，得到二重積分的積分區(qū)域積分的積分區(qū)域. ( , , )f x y z dS ,zz x y 代代入入221xydSzz d xyxoyD 向向面面投投影影 :,zz x y若若 22, , ,1xyxyDf x y z dSf x y z x yzz d 22, , ,1yzyzDf x y z dSf x y zy zxx d