微分方程12-2_可分離變量的微分方程

1、第二節(jié)第二節(jié) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分一、可分離變量的微分 方程的求解方程的求解二、小結(jié)二、小結(jié) 習(xí)題習(xí)題一、可分離變量的微分方程的求解一、可分離變量的微分方程的求解dxxfdyyg)()( 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yg和和)(xf是是連連續(xù)續(xù)的的, dxxfdyyg)()(設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù),CxFyG )()(為微分方程的解為微分方程的解.分離變量法分離變量法1 分離變量法分離變量法例例1

2、1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12lnCxy .2為所求通解為所求通解xCey 2 2 典型例題典型例題 .0)()(通解通解求方程求方程 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 則則, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解為通解為解解例例2 2例例 3 3 衰衰變變問問題題:衰衰變變速速度度與與未未衰衰變變?cè)幼雍苛縈成成正正比比,

3、已已知知00MMt ,求求衰衰變變過過程程中中鈾鈾含含量量)(tM隨隨時(shí)時(shí)間間 t變變化化的的規(guī)規(guī)律律. 解解,dtdM衰變速度衰變速度由題設(shè)條件由題設(shè)條件)0(衰變系數(shù)衰變系數(shù) MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,lnlnCtM ,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰變規(guī)律衰變規(guī)律例例 4 有高為有高為1米的半球形容器米的半球形容器, 水從它的底部小孔流水從它的底部小孔流出出, 小孔橫截面積為小孔橫截面積為1平方厘米平方厘米(如圖如圖). 開始時(shí)容器內(nèi)開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器里水面的高度求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h

4、(水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間隨時(shí)間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律.解解 由力學(xué)知識(shí)得由力學(xué)知識(shí)得,水從孔口流水從孔口流出的流量為出的流量為,262. 0ghSdtdVQ 流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 設(shè)在微小的時(shí)間間隔設(shè)在微小的時(shí)間間隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,dhh ,2dhrdV 則則,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比較比較(1)和和(2)得得,262. 0)200(2dtghdhhh 1 S,2cm可分離變量可分離變

5、量即為未知函數(shù)的微分方程即為未知函數(shù)的微分方程.,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC ).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為解解例例5 5 某車間體積為某車間體積為12000立方米立方米, 開始時(shí)空氣中開始時(shí)空氣中含有含有 的的 , 為了降低車間內(nèi)空氣中為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量的含量, 用一臺(tái)風(fēng)量為每秒用一臺(tái)風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含通入含 的的 的新鮮空氣的新鮮空氣, 同時(shí)以同樣的同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出風(fēng)量將混合均勻

6、的空氣排出, 問鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)問鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)6分分鐘后鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后 時(shí)刻時(shí)刻 的含量為的含量為2CO)%(txt,dttt 在在 內(nèi)內(nèi),2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改變量的改變量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 06

7、1tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分鐘后分鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO分離變量法步驟分離變量法步驟1 分離變量分離變量;2 兩端積分兩端積分-隱式通解隱式通解.二、小結(jié)二、小結(jié) 習(xí)題習(xí)題習(xí)題習(xí)題12-212-2:1 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解);()1(2yyayxy 0)1()2(32 xdxdyy:2給初始條件的特解給初始條件的特解求下列微分方程滿足所求下列微分方程滿足所;,lnsin)1(2eyyyxyx 4, 0sin)1(cos)2(0 xxyydyeydx解答解答解答解答解答解答解答解答.,5 .

8、0,60,10,32規(guī)規(guī)律律及及流流完完所所需需的的時(shí)時(shí)間間求求水水面面高高度度變變化化的的的的孔孔漏漏斗斗下下面面有有面面積積為為頂頂角角為為高高為為漏漏斗斗有有一一盛盛滿滿了了水水的的圓圓錐錐形形cmcm?,/4,/50,10,)(142多少多少過了一分鐘后的速度是過了一分鐘后的速度是問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)外力為外力為速度等于速度等于時(shí)時(shí)比在比在和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度成反和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度成反和時(shí)間成正比和時(shí)間成正比這外力這外力線運(yùn)動(dòng)線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受外力作用做直的質(zhì)點(diǎn)受外力作用做直克克質(zhì)量為質(zhì)量為scmgscmstg 解答解答解答解答習(xí)題解答習(xí)題解答:1 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通

9、解);()1(2yyayxy 解解,2ayyayxy ,)1(2ayyax ,分離變量分離變量,12dxxaaydy 得得,兩邊積分兩邊積分.1ln1Cxaay 得得返回習(xí)題返回習(xí)題習(xí)題解答習(xí)題解答:1 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解0)1()2(32 xdxdyy解解, 0)1(32 dxxdyy,兩邊積分兩邊積分.41)1(3143Cxy 得得返回習(xí)題返回習(xí)題習(xí)題解答習(xí)題解答:2給初始條件的特解給初始條件的特解求下列微分方程滿足所求下列微分方程滿足所;,lnsin)1(2eyyyxyx 解解分離變量，分離變量，,sinlnxdxyydy 得得兩邊積分，兩邊積分，),cot(csc

10、lnln)cotln(csclnlnxxCyCxxy 或或得得,2eyx 再由再由, 1 C得得.cotcsclnxxy 故所求解是故所求解是返回習(xí)題返回習(xí)題習(xí)題解答習(xí)題解答:2給初始條件的特解給初始條件的特解求下列微分方程滿足所求下列微分方程滿足所4, 0sin)1(cos)2(0 xxyydyeydx解解,分離變量分離變量, 01cossin xedxdyyy得得兩邊積分，兩邊積分，,cos1ln)1ln(coslnyCeCeyxx 或或得得,40 xy再由再由, 22 C得得.cos221yex 即即返回習(xí)題返回習(xí)題習(xí)題解答習(xí)題解答解解可用下面的公式計(jì)算可用下面的公式計(jì)算流量流量流出的流

11、出的由水力學(xué)知，水從孔口由水力學(xué)知，水從孔口QdtdvQ .262. 0ghS .力加速度力加速度為重為重為孔口橫截面積，為孔口橫截面積，其中其中g(shù)S時(shí)，水的體積為時(shí)，水的體積為當(dāng)水面高度為當(dāng)水面高度為h,93hV .,5 . 0,60,10,32規(guī)規(guī)律律及及流流完完所所需需的的時(shí)時(shí)間間求求水水面面高高度度變變化化的的的的孔孔漏漏斗斗下下面面有有面面積積為為頂頂角角為為高高為為漏漏斗斗有有一一盛盛滿滿了了水水的的圓圓錐錐形形cmcm習(xí)題解答習(xí)題解答的定解問題是的定解問題是于是關(guān)于于是關(guān)于h)1(10231. 0302 thghdtdhh ,)1( 是變量可分離的方程是變量可分離的方程方程方程,

12、2331. 023dtgdhh ,兩邊積分兩邊積分.293. 05225Ctgh 得得,100 th由由,105225 C得得.1052293. 0522525 tgh 故故)293. 0(105225gt 則則).(10 秒秒 , 0 h令令返回習(xí)題返回習(xí)題習(xí)題解答習(xí)題解答?,/4,/50,10,)(142多少多少過了一分鐘后的速度是過了一分鐘后的速度是問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)外力為外力為速度等于速度等于時(shí)時(shí)比在比在和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度成反和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度成反和時(shí)間成正比和時(shí)間成正比這外力這外力線運(yùn)動(dòng)線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受外力作用做直的質(zhì)點(diǎn)受外力作用做直克克質(zhì)量為質(zhì)量為scmgscmstg 解解),(tvt時(shí)刻的速度是時(shí)刻的速度是設(shè)質(zhì)點(diǎn)在設(shè)質(zhì)點(diǎn)在.vtkft 時(shí)刻受到的外力是時(shí)刻受到的外力是則質(zhì)點(diǎn)在則質(zhì)點(diǎn)在,50,10時(shí)時(shí)因因 vt, 4 ftfvk 故故10504 .2