八下數(shù)學第一章三角形的證明講義

1、第一章 三角形的證明1.1等腰三角形（一）一、問題引入：列舉我們已知道的公理：.（1）公理：同位角 ，兩直線平行.（2）公理：兩直線 ，同位角 . （3）公理： 的兩個三角形全等.（4）公理： 的兩個三角形全等. （5）公理： 的兩個三角形全等.（6）公理：全等三角形的對應邊 ，對應角 .注：等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看作公理.二、基礎訓練：1. 利用已有的公理和定理證明：“兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等.”2. 議一議：（1）還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎？（2)等邊對等角 三線合一三、例題展示：在ABC中，AD是角平分線,DEAB, DFAC，試猜想EF與A

2、D之間有什么關(guān)系?并證明你的猜想.四、課堂檢測：1. 如圖，已知：，AB=CD，若要使ABECDF,仍需添加一個條件，下列條件中，哪一個不能使ABECDF的是（ ）A.A=B ; B . BF=CE; C. AEDF; D. AE=DF.2. 如果等腰三角形的一個內(nèi)角等于500則其余兩角的度數(shù)為 .3.（1）如果等腰三角形的一條邊長為3，另一邊長為5，則它的周長為 .（2）等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的腰長為 .4. ABC中， AB=AC, 且BD=BC=AD，求A的度數(shù).5. 如圖，已知D.E在ABC的邊BC上,AB=AC,AD=AE,求證:BD=CE 中

3、考真題：已知：如圖，ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE, DGCE,G是垂足，求證：（1）G是CE中點.（2）B=2BCE.1.1 等腰三角形（二）一、問題引入：1. 在等腰三角形中作出一些相等的線段（角平分線.中線.高），你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？2.等腰三角形的兩底的角平分線相等嗎？怎樣證明.已知：求證：證明：得出定理： .問題：等腰三角形兩條腰上的中線相等嗎？高呢？還有其他的結(jié)論嗎？請你證明二、基礎訓練；1. 請同學們閱讀P6的問題（1）.（2），由此得到什么結(jié)論？2. 我們知道等腰三角形的兩個底角相等，反過來此命題成立嗎？并與同伴交流，由此得到什么結(jié)論？

4、得出定理： ；簡稱： .三、例題展示：如圖，ABC中，D.E分別是AC.AB上的點，BD與CE相交于點O，給出下列四個條件EBO=DCO； BEO=CDO；BE=CD;OB=OC,上述四個條件中，哪兩個條件可判定是等腰三角形，請你寫出一種情形，并加以證明.四、課堂檢測：1. 已知：如圖，在直角ABC中，角C為45度，AD垂直于BC,DE垂直于AB,則圖中等腰直角三角形共有（ ）A.3個 B.4個 C.5個 D.6個第3題第2題第4題第1題2. 已知：如圖，在ABC中，AB=AC, BAC=1200, D.E是BC上兩點，且AD=BD，AE=CE，猜想ADE是 三角形.3. 如圖，在ABC中，A

5、BC與ACB的平分線交與點O，若AB=12，AC=18，BC=24，則ABC的周長為（ ）A.30 B.36 C.39 D.424. 在ABC中，AB=AC, A=360,BD.CE是三角形的平分線且交于點O，則圖中共有 個等腰三角形.5. 如圖：下午14：00時，一條船從處出發(fā)，以28海里/小時的速度，向正北航行，16：00時，輪船到達B處,從A處測得燈塔C在北偏西280,從B處測得燈塔C在北偏西560,求B處到燈塔C的距離. 1.1 等腰三角形（三）一、問題引入：1. 已知ABC中，AB=AC=5cm，請增加一個條件 使它變?yōu)榈冗吶切?2. 有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形嗎？試

6、著證明你的結(jié)論. 得出定理：有一個角是 的 三角形是等邊三角形.二、基礎訓練：做一做：用兩個含300角的三角板，你能拼出一個怎樣的三角形？能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由.根據(jù)操作，思考：在直角三角形中，300角所對直角邊與斜邊有什么關(guān)系？并試著證明.得出定理：在直角三角形中，300角所對直角邊等于斜邊的 .三、例題展示：1. 等腰三角形的底角為150，腰長為2a，求腰上的高.2. 判斷：（1）在直角三角形中，直角邊是斜邊的一半.（ ）（2）有一個角是600的三角形是等邊三角形.（ ）3. 證明三個角都相等的三角形是等邊三角形.四、課堂檢測1. 等腰三角形的底邊等于150，腰長為20，則這

7、個三角形腰上的高是 .2. 在RtABC中，ACB=900，A =300，CDAB，BD=1，則AB= .3. 在ABC中，AB=AC,BAC=1200,D是BC的中點， DEAC,則AE:EC= .4. 如圖，在RtABC中，C=900,沿B點的一條直線BE折疊ABC，使點C恰好落在AB的中點D處，則A= .5. 在RtABC中，C=300，ADBC，你能看出BD與BC的大小關(guān)系嗎？中考真題：已知：如圖，ABC中，BDAC，DEAC，點D是AB的中點，A=300，DE=1.8，求AB的長.1.3 線段的垂直平分線（一）一、問題引入： “線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等”你

8、能證明這一結(jié)論嗎？二、基礎訓練：議一議：寫出“線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等”這一命題的逆命題？它是真命題嗎？如果是，請證明，并與同伴交流.三、例題展示：例：如圖在ABC中，AD是BAC平分線,AD的垂直平分線分別交AB.BC延長線于F.E求證：（1）EAD=EDA ;（2）DFAC（3）EAC=B四、課堂檢測:1. 已知：線段AB及一點P，PA=PB，則點P在 上.2. 已知：如圖，BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分線交BC于D則ADC= .第5題第4題第1題3. ABC中，A=500，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于D則DBC的度數(shù) .4. ABC中，D

9、E.FG分別是邊AB.AC垂直平分線，則B BAE，C GAF ，若BAC=1260，則EAG= .5. 如圖，ABC中，AB=AC=17，BC=16，DE垂直平分AB，則BCD的周長是 .6. 有特大城市A及兩個小城市B.C，這三個城市共建一個污水處理廠，使得該廠到B.C兩城市的距離相等，且使A市到廠的管線最短，試確定污水處理廠的位置.中考真題：已知：如圖，DE是ABC的AB邊的垂直平分線，分別交AB.BC于D.E，AE平分BAC，若B=300，求C1.3 線段的垂直平分線（二）一、問題引入：1. 等腰三角形的頂點一定在 上.2. 在ABC中，AB.AC的垂直平分線相交于點P，則PA.PB.

10、PC的大小關(guān)系是 .3. 在ABC中，AB=AC，B=580，AB的垂直平分線交AC于N，則NBC= .4. 已知線段AB，請你用尺規(guī)作出它的垂直平分線. A B二、基礎訓練：1. 三角形的三邊的垂直平分線是否相交于一點，這一點到三個頂點的距離是否相等？上面的問題如何證明？定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于 ，這一點到三個頂點的距離 . 三、例題展示：（1） 如圖，在ABC中，A=400,O是AB.AC的垂直平分線的交點，求OCB的度數(shù)；（2） 如果將（1）中的的A度數(shù)改為700，其余的條件不變，再求OCB的度數(shù)；（3） 如果將（1）中的的A度數(shù)改為銳角a，其余的條件不變，再求OCB的度數(shù).

11、你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請證明；（4） 如果將（1）中的的A度數(shù)改為鈍角a，其余的條件不變，是否還存在同樣的規(guī)律？你又發(fā)現(xiàn)了什么？四、課堂檢測：1. 在三角形內(nèi)部，有一點P到三角形三個頂點的距離相等，則點P一定是（ ）A. 三角形三條角平分線的交點； B. 三角形三條垂直平分線的交點；C. 三角形三條中線的交點； D. 三角形三條高的交點.2. 已知ABC的三邊的垂直平分線交點在ABC的邊上，則ABC的形狀為（ ）A. 銳角三角形； B. 直角三角形； C. 鈍角三角形； D. 不能確定3. 等腰 RtABC中，AB=AC，BC=a,其斜邊上的中線與一腰的垂直平分線交于點O，則點O到三角形三個頂點的

12、距離是 .4. 已知線段a.b，求作以a為底，以b為高的等腰三角形. a b 中考真題：已知：如圖，RtABC中，ACB=900, BAC=600，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點E，點F在DE的延長線上，且AF=CE，試探究圖中相等的線段.1.4角平分線（一）一、提出問題：1. 角平分線的定義：_2. 問題1：還記得角平分線上的點有什么性質(zhì)嗎？你是怎樣得到的？你能證明它嗎？定理歸納： 問題2：你能寫出這個定理的逆命題？它是真命題嗎？如果是，你能證明它？定理歸納： 二、基礎訓練：用尺規(guī)怎樣做已知角的平分線呢？并對自己的做法加以證明.三、例題解釋：例：如圖，已知AD為ABC的角平分線，AB

13、C=90，EFAC，交BC于點D，垂足為F，DE=DC，求證：BE=CF.四、課堂檢測1. OM平分BOA，P是OM上的任意一點，PDOA，PEOB，垂足分別為D.E，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）A：PD=PE B：OD=OE C：DPO=EPO D：PD=OD2、 如圖所示，AD平分BAC，DEAB，垂足為E，DFAC，垂足為F，則下列結(jié)論不正確的是（ ）A:AEGAFG B:AEDAFD C:DEGDFG D:BDECDF3. ABC中, ABC.ACB的平分線交于點O，連結(jié)AO，若OBC=25，OCB=30，則OAC=_4. 與相交的兩直線距離相等的點在（ ）A：一條直線上 B：一條射線上

14、C：兩條互相垂直的直線上 D：以上都不對5. AOB的平分線上一點M，M到OA的距離為2CM，則M到OB的距離為_.6. 在RTABC中，C=90，AD是BAC的平分線，若BC=16，BD=10，則D到AB的距離是_.7. 如圖在兩條交叉的公路L1與L2之間有兩家工廠A.B，現(xiàn)在要修一個貨物中轉(zhuǎn)站，使它到兩條公路的距離相等，以及到兩個工廠距離相等，你能幫助確定中轉(zhuǎn)站的地址嗎？請試試.中考真題：如圖，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD.BC的延長線相交于G，CEAG于E，CFAB于F，（1）請寫出圖中4組相等的線段（已知的相等線段除外）（2）選擇（1）中你所寫的一組相等的線段，說說它

15、們相等的理由.1.4 角平分線（二）基礎訓練：1. 如圖：設ABC的角平分線BM.CN交于P，求證：P點在BAC的平分線上定理：三角形的三條角平分線交于 點，并且這一點到三條邊的距離 .引申：三角形的三條角平分線交于一點，若設這一點到其中一邊的距離為m，三邊長分別為a.b.c，則三角形的面積S= .2. 已知：ABC中，BP.CP分別是ABC和ACB的角平分線，且交于P,若P到邊AB的距離為3cm，ABC的周長為18cm，則ABC的面積為 .3. 到三角形三邊距離相等的點是（ ）A.三條中線的交點； B.三條高的交點； C.三條角平分線的交點 D.不能確定三、例題展示：例：ABC中，AC=BC

16、, C=900,AD是ABC的角平分線，DEAB于E.（1） 已知：CD=4cm,求AC長（2） 求證：AB=AC+CD 四、課堂檢測：1. 到一個角的兩邊距離相等的點在 .2. ABC中，C=900, A的平分線交BC于D，BC=21cm，BD:DC=4:3，則D到AB的距離為 .3. RtABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBC于E，AB=8cm，則DE+DC= cm.4. ABC中，ABC和BCA的平分線交于O，則BAO和CAO的大小關(guān)系為 .5.RtABC中，C=900，BD平分ABC，CD=n，AB=m，則ABD的面積是 .6.已知：OP是MON內(nèi)的一條射線，ACOM，ADON

17、，BEOM，BFON，垂足分別為C.D.E.F，且AC=AD求證：BE=BF中考真題：三條公路圍成了一個三角形區(qū)域，今要在這個三角形區(qū)域內(nèi)建一果品批發(fā)市場到這三條公路的距離相等，試找出批發(fā)市場的位置. 第一章 單元檢測第1題 一、填空題（每小題3分）：1如圖，修建抽水站時，沿著傾斜角為300的斜坡鋪設管道，若量得水管AB的長度為80米，那么點B離水平面的高度BC的長為 米.2. 如果一個三角形的一條角平分線恰好是對邊上的高，那么這個三角形是 三角形.3. 如圖，已知AC=DB，要使ABCDCB，只需增加的一個條件是第5題 或 . 4. 命題：“全等三角形的對應角相等”的逆命題是_ _.這條逆命

18、題是_命題（填“真”或“假”）5. 如圖，一個頂角為40的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個四邊形，則_ ；6. 在ABC中，已知ABAC，AD是中線，B70，BC15cm， 則BAC ，DAC ，BD cm；7. 已知，如圖，O是ABC的ABC.ACB的角平分線的交點，ODAB交BC于D，OEAC交BC于E，若BC = 10，則ODE的周長為 .8. 如圖，在RtABC中，B=90，A=40，AC的垂直平分線MN與AB相交于D點，則BCD的度數(shù)是 .9. ABC中，C=90，AD平分BAC，交BC于點D.若DC=7，則D到AB的距離是 .10. 如圖，AOP=BOP=15，PCOA，PDOA，若PC=4，則PD的長為 .二、選擇題（每小題3分）1.等腰三角形底邊上的高與底邊的比是12，則它的頂角等于（ ）A.90 B.60 C.120 D.1502.下列兩個三角形中，一定全等的是 （ ） A.有一個角是40，腰相等的兩個等腰三角形 B.兩個等邊三角形C.有一個角是100，底相等的兩個等腰三角形D.有一條邊相等，有一個內(nèi)角相等的兩個等腰三角形3. 到ABC的三個頂點距離相等的點是ABC的（ ）A.三邊中線的交點 B.三條角平分線的交點 C.三邊上高的交點 D.三