高考數(shù)學(xué)(理)總復(fù)習(xí)講義：有關(guān)數(shù)列的4大難點(diǎn)問(wèn)題突破

1、第五節(jié)/有關(guān)數(shù)列的4大難點(diǎn)問(wèn)題突破難點(diǎn)一數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用典例(1)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作?算法統(tǒng)宗?中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見(jiàn)次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還.其大意為：“有一個(gè)人走了378里路,第一天健步行走,從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地.那么此人第4天和第5天共走了()A.60里B.48里C.36里D.24里(2)(2021北京東城區(qū)模擬)為了觀(guān)看2022年的冬奧會(huì),小明打算從2021年起,每年的1月1日到銀行存入a元的一年期定期儲(chǔ)蓄,假設(shè)年利率為p,且保持不變,并約定每年到期存款本息均自

2、動(dòng)轉(zhuǎn)為新一年的定期.到2022年的1月1日不再存錢(qián)而是將所有的存款和利息全部取出,那么可取回元.1,解析(1)由題意知,此人每天走的里數(shù)構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列an,1a1.126設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,那么1=378,1-211解得a1=192,所以a4=1921=24,a5=24X：=12,82那么a4+a5=24+12=36,即此人第4天和第5天共走了36里.(2)2022年1月1日可取出錢(qián)的總數(shù)為a(1+p)4+a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p)41 +p11+p=a,1- 1+p=加+P)5-(1+P)=加+p)5t-PL答案(1)C(2)*(1+p)51Pp解題技法解答數(shù)列

3、應(yīng)用題需過(guò)好“四關(guān)求解關(guān)求解該數(shù)列問(wèn)題復(fù)原關(guān)將所求的結(jié)果復(fù)原到實(shí)際問(wèn)題中過(guò)關(guān)練習(xí)1. (2021江西金溪一中月考)據(jù)統(tǒng)計(jì)測(cè)量,某養(yǎng)魚(yú)場(chǎng),第一年魚(yú)的質(zhì)量增長(zhǎng)率為200%,以后每年的增長(zhǎng)率為前一年的一半.假設(shè)飼養(yǎng)5年后,魚(yú)的質(zhì)量預(yù)計(jì)為原來(lái)的t倍.下列選項(xiàng)中,與t值最接近的是()A.11B.13C.15D.17解析：選B設(shè)魚(yú)原來(lái)的質(zhì)量為a,飼養(yǎng)n年后魚(yú)的質(zhì)量為an,q=200%=2,那么a=a(1+q),a2=a11+q尸a(1+q)1+q,a5=a(1+2)x(1+1)x,+；x1+Rj+p/=405a12.7a,即5年后,魚(yú)的質(zhì)量預(yù)計(jì)為原來(lái)的12.7倍,應(yīng)選B.322.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著?九章算術(shù)

4、?中有如下問(wèn)題：“今有蒲生一日,長(zhǎng)三尺.莞生一日,長(zhǎng)一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.問(wèn)幾何日而長(zhǎng)等意思是：“今有蒲草第一天長(zhǎng)高3尺,莞草第一天長(zhǎng)高1尺.以后,蒲草每天長(zhǎng)高前一天的一半,莞草每天長(zhǎng)高前一天的2倍.問(wèn)第幾天蒲草和莞草的高度相同根據(jù)上述的條件,可求得第天時(shí),蒲草和莞草的高度相同(結(jié)果采取“只入不舍的原那么取整數(shù),相關(guān)數(shù)據(jù)：lg3=0.4771,lg2=0.3010).1解析：由題意得,蒲草的高度組成首項(xiàng)為a1=3,公比為彳的等比數(shù)列an,設(shè)其前n項(xiàng)和為An；莞草的高度組成首項(xiàng)為4=1,公比為2的等比數(shù)列bn,設(shè)其前n項(xiàng)和為Bn.那么11川2n,°2n1A3(2n,2n-1n6

5、*_n.“An=Bn=,令丁=,Z7,化間得2+1=7(neN),解得2=6,所11一1 212以門(mén)=.6=1+巴=3,即第3天時(shí)蒲草和莞草高度相同.lg2lg2答案：3難點(diǎn)二數(shù)列中的新定義問(wèn)題典例假設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足工：=d(nCN*,d為常數(shù)),那么稱(chēng)數(shù)列an為“調(diào)和數(shù)列,an+1an11-,正項(xiàng)數(shù)列*b0倜和數(shù)列,J1m+b?+b2019=20190,那么b2b2018的取大值解析由于數(shù)列遑“調(diào)和數(shù)列,所以bn+1bn=d,即數(shù)列bn是等差數(shù)列,所以bi+b2+與019=20嗎+b019L2019(b；+b2018)=20190,所以b2+b2021=20.-1又1>0,所以b2>

6、;0,b2021>0,bn所以%+b2018=20口2yb2b2018,即b2b2018100(當(dāng)且僅當(dāng)b2=b2018時(shí)等號(hào)成立),因此b2b2018的最大值為100.答案100解題技法1 .新定義數(shù)列問(wèn)題的特點(diǎn)通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的概念,或約定一種新運(yùn)算,或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景,要求考生在閱讀理解的根底上,依據(jù)題目提供的信息,聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法,實(shí)現(xiàn)信息的遷移,到達(dá)靈活解題的目的.2 .新定義問(wèn)題的解題思路遇到新定義問(wèn)題,應(yīng)耐心讀題,分析新定義的特點(diǎn),弄清新定義的性質(zhì),按新定義的要求,“照章辦事,逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證,使問(wèn)題得以解決.過(guò)關(guān)練習(xí)1,定義一種運(yùn)算“：對(duì)于任

7、意nCN*均滿(mǎn)足以下運(yùn)算性質(zhì)：(1)2X2019=1;(2)(2n+2怦2019=(2n)X2019+3,那么2018X2019=.解析：設(shè)為=(2n)X2019,那么由運(yùn)算性質(zhì)(1)知a1=1,由運(yùn)算性質(zhì)(2)知為+=4+3,即an+1an=3.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列,故2018X2019=(2X1009)X2019=a1009=1+1008X3=3025.答案：30252.定義各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列pn的“美數(shù)為pi+p2_n.+pn(nN*).假設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的1一an+1111數(shù)列an的“美數(shù)為T(mén)-1-,且bn=T,那么六+之+h卜=.2n+14b1b2b2b3b2018b

8、20191解析：由于各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列an的“美數(shù)為,2n+11n1所以n:一=-.a+a2+an2n+1設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,那么Sn=n(2n+1),SnI=(n-1)2(n-1)+1=2n2-3n+1(n>2),所以an=SnSni=4n1(n>2).11又一=,所以a1=3,滿(mǎn)足式子an=4n1,a13所以an=4n1(nCN).又bn=an：1,所以bn=n,4111111111'b1b2+b2b3+b2018b2019-12+23+201820192+23+2018201920192019.答案:20182019難點(diǎn)三數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題典例(2021撫順*

9、II擬)函數(shù)f(x)=ax2+bx的圖象經(jīng)過(guò)(一1,0)點(diǎn),且在x=-1處的切線(xiàn)斜率為1.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=f(n)(nCN*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列q1湎n項(xiàng)的和Tn.解(1)函數(shù)f(x)=ax2+bx的圖象經(jīng)過(guò)(1,0)點(diǎn),那么ab=0,即a=b.由于f'(x)=2ax+b,函數(shù)f(x)=ax2+bx在x=1處的切線(xiàn)斜率為一1,所以一2a+b=-1.由得a=1,b=1,所以數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=f(n)=n2+n.當(dāng)n>2時(shí),Sn1=(n-1)2+(n-1),所以an=SnSn1=2n.當(dāng)n=1時(shí),a1=2符合上式,那么an=2n.(2)由于an

10、=2n,anan+12n(2n+2)4nn+1/那么Tn=4111111c+c+-/223nn+1解題技法數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題的類(lèi)型及注意點(diǎn)類(lèi)型(1)函數(shù)條件,解決數(shù)列問(wèn)題,此類(lèi)問(wèn)題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題；(2)數(shù)列條件,解決函數(shù)問(wèn)題,解決此類(lèi)問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形迂后點(diǎn)解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解,在問(wèn)題的求解過(guò)程中往往會(huì)遇到遞推數(shù)列,因此掌握遞推數(shù)列的常用解法有助于該典問(wèn)題的解決過(guò)關(guān)練習(xí)1 .函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)1,2,數(shù)列M滿(mǎn)足xni=xn-f7xMe2d設(shè)2n小'

11、;右a1=2,32,那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=.解析：由函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)1,2,可得f(x)=a(x1)(x2),那么f'(x)=a(2x-3),2ffxna(xn-1(xn2)xn2xn+1=xn-k=xn-.fxna2xn32xn3由a1=2,xn>2,xxn+1-2xn_2fxn-2得an1=In-=ln；-2=2ln；=2an,xn1-1(xn-1)xn1,數(shù)列an是以;為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,an=1><2nT=2n2.答案：2n21252 .(2021大慶*II擬)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,Sn)在曲線(xiàn)

12、y=£x+-x±,數(shù)列bn滿(mǎn)足bn+bn2=2味+1,b4=11,m的前5項(xiàng)和為45.(1)求an,bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Cn=務(wù)一£I,數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求使不等式幾下三恒成立的最(2an-3j2bn-8)54大正整數(shù)k的值.解：(1)由得Sn=；n2+5n,一15當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2+2=3,當(dāng)n>2時(shí),an=Sn-Sn1125125=2n+2n2(n1)-2(n-1)=n+2,當(dāng)n=1時(shí),符合上式.所以an=n+2.由于數(shù)列bn滿(mǎn)足bn+bn2=2bn1,所以數(shù)列bn為等差數(shù)列.設(shè)其公差為d,bi+3d=11,那么V5b1+10d=45

13、,b1=5,解得,d=2,所以bn=2n+3.1(2)由得,酬=(2an-3j2bn-8)=_J1_、n12n+1/12n14n22(2n+1j2n-1)111所以Tn=413+31,1一一+_|_52n12n+1J2nh.由于TnL=4(222(2n+1；2n+3)>"1所以Tn是遞增數(shù)列,所以Tn>T,故要使Tn恒成立,只要=1>魯恒成立,54654解得kv9,所以使不等式成立的最大正整數(shù)k的值為8.難點(diǎn)四數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題典例(2021洛陽(yáng)第一次統(tǒng)考)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿(mǎn)足a1=4,an1=3Sn+4(nCN).(1)求數(shù)列an的通

14、項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn滿(mǎn)足anbn=log2an,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求證：Tn<8.9解(1)an+1=3Sn+4,an=3Sn1+4(n>2),兩式相減,得an+1an=3an,即an+1=4an.又a2=3al+4=16=4al,數(shù)列an是首項(xiàng)為4,公比為4的等比數(shù)歹U,an=4.(2)證實(shí)：.anbn=log2an,bn=4?,2,46,2nTn-41+42+43+4n514Tn2n=42+43+44+L兩式相減得,3222222n4Tn=4+1+不+1+不廠(chǎng)V111=24+42+43+4412n+十建廠(chǎng)41m,上11-41屋2nn+142233X4n一2n4m26

15、n+83-3X4n+)Tn=|6n+8894n<l-解題技法數(shù)列中不等式證實(shí)問(wèn)題的解題策略數(shù)列型不等式的證實(shí)常用到“放縮法,一是在求和中將通項(xiàng)“放縮為“可求和數(shù)列；二是求和后再“放縮.放縮法常見(jiàn)的放縮技巧有：*總=1土一方.11111叫-k+1<k2<k-1k,(3)2(n+1-Vn)<<2(5胃-1).過(guò)關(guān)練習(xí)在數(shù)列an中,a1=2,an+1=112nlan(nCN).證實(shí)：數(shù)列年思等比數(shù)列,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=7曲一,假設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和是Tn,求證：Tn<2.4nan證實(shí)：(1)由題設(shè)得言1=2an又：=2,所以數(shù)列七是首項(xiàng)為2,公

16、比為1的等比數(shù)列,所以"2/“,5n22n=引(2)由(1)知bh=an4n2n4nan.4n21'4n2n由于對(duì)任意nCN*,2n1>2nT恒成立,1所以Tn<1+2+22+2+2=2(一12n尸2.nCN*)課時(shí)跟檢測(cè)1. (2021深圳模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=xm+ax的導(dǎo)函數(shù)f(x)=2x+1,那么數(shù)列,nAn+1的前n項(xiàng)和是()n+2B-n+1n+1D.F解析：選Afz(x)=mxm1+a=2x+1,.a=1,m=2,一1111一.一,一11111.f(x)=x(x+1),那么而=ni)=nn,用裂項(xiàng)法求和得&=1a+2w+%n+1n+12. (2

17、021柳州模擬股函數(shù)f(x)定義為如下數(shù)表,且對(duì)任意自然數(shù)n均有xn+1=f(xn),假設(shè)Xo=6,那么x2019的值為()x123456f(x)513264A.1B.2C.4D.5解析：選D.數(shù)列xn滿(mǎn)足x0=6,且對(duì)任意自然數(shù)n均有xn+1=f(xn),.利用表格可得Xi=f(x0)=f(6)=4,x2=f(x1)=f(4)=2,x3=f(x2)=f(2)=1,x4=f(x3)=f(1)=5,x5=f%)=f(5)=6,x6=f(x5)=f(6)=4,Xn+5=xn,x2019=x403x5+4=x4=5.3. (2021安徽知名示范高中聯(lián)考)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著?九章算術(shù)?中有這樣一個(gè)問(wèn)題:

18、今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗.羊主日：“我羊食半馬.馬主日：“我馬食半牛.今欲衰償之,問(wèn)各出幾何此問(wèn)題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說(shuō)：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.馬主人說(shuō):“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.打算按此比率歸還,他們各應(yīng)歸還多少牛、馬、羊的主人各應(yīng)歸還粟a升,b升,c升,1斗為10升,那么以下判斷正確的選項(xiàng)是50A. a,b,c成公比為2的等比數(shù)列,且a=50B. a,b,c成公比為2的等比數(shù)列,且c=C. a,b,c成公比為2的等比數(shù)列,且a=50D. a,b,c成公比為2的等比數(shù)列,且c=50111斛析：選D由題息可得,a,b

19、,c成公比為2的等比數(shù)列,b=.a,c=-b,故4c+2c+c=50,解得c=與.應(yīng)選d.4,數(shù)列an滿(mǎn)足an=£?+1n<6>假設(shè)對(duì)于任意的nCN*都有an>an+1,、n5入n>6那么實(shí)數(shù)入的取值范圍是d.*,1a.,2C11C.2,1、c-K0,解析：選B由于an>an+1,所以數(shù)列an是遞減數(shù)列,所以0vK1,解I入VI1-入jx5+1,得1V入V12,應(yīng)選B.5. 2021南昌模擬數(shù)列an=,1,其前n項(xiàng)之和為熹,那么在平面直角坐標(biāo)系中,nn+110直線(xiàn)n+1x+y+n=0在y軸上的截距為A.-10B.-9C.10D.9111解析：選B:數(shù)列a

20、n的通項(xiàng)公式為an=/,且其刖n項(xiàng)和為二十：；7二十nn+11X22X3+=1_,=q=*nn+1n+1n+110,n=9,.直線(xiàn)方程為10x+y+9=0.令x=0,得丫=9,該直線(xiàn)在y軸上的截距為一9.6. 2021鄭州質(zhì)檢數(shù)列an滿(mǎn)足a1a2a3an=2n2nCN*,且對(duì)任意nCN*都有?十a(chǎn)111+<t,那么實(shí)數(shù)t的取值范圍為(a2an叼,十°JD.-2+OO、3)解析：選D依題意得,當(dāng)n>2時(shí),2aa2a3a.2nana1a2a3Oi12(n12=2n2(n1)2=22n1,比的等比數(shù)列,等比數(shù)列an=22n1,11V1na；=產(chǎn)=2X(4；T,即數(shù)列n項(xiàng)和等于釜

21、1-=261.13V1-42一,2,因此實(shí)數(shù)t的取值范37.用x表示不超過(guò)x的最大整數(shù),例如3=3,1.2=1,1.3=2.數(shù)列an兩足a=1,an+1=an+an)那么aia2ai+1a2+1a2019十十Z7a2019+11解析：由于a1=1,an+1=a,+an>1,所以一an+1anan+11111二,即一二=一anan+1an+1an1,所以an+11111裝J+口最/+.+a20200a2020所以言+篇+3=2019-i1-a2020.J"所以a1,a2.a2019a1+1a2+1a2019+1=2018.答案：20188.數(shù)歹UIg1000,lg(1000cos

22、60),lg(1000cos260),lg(1000cosn160),的項(xiàng)和為最大.解析：依題意知,數(shù)列的通項(xiàng)an=lg(1000cosn160)=3+(n1)lg1公差d=lg2c0,數(shù)列單調(diào)遞減.1由于an=3+(n1)lg；>0時(shí),nW10,所以數(shù)列的刖10項(xiàng)均為正,從第11項(xiàng)開(kāi)始為負(fù),故可知數(shù)列前10項(xiàng)的和最大.答案：109.(2021濟(jì)寧模擬)假設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足：只要ap=aq(p,qCN*),必有ap+1=aq+1,那么就+a1+1a2+1a2019+13又扁=11,稱(chēng)數(shù)列an具有性質(zhì)P.數(shù)列an具有T質(zhì)P,且ai=1,a?=2,a=3,as=2,ae+a7+a8=21,貝Ua

23、2020=.解析：根據(jù)題意,數(shù)列an具有f質(zhì)P,且a2=as=2,那么有a?=ag=3,ad=a7,a§=a8=2.由a6+a7+a8=21,可得a?+a4+a§=21,那么a4=21-3-2=16,進(jìn)而分析可得a3=a6=a9=a3n=3,ad=a7=a1o=a3n+1=16,as=a8=3=a3n2=2(n>1),那么a2020=a3*673+1=16.答案：1610 .假設(shè)Sn=sin/sin學(xué)+sin苧nN*),那么在S1,S2,S2019中,正數(shù)的個(gè)數(shù)是.解析：由于sin->0,sin2->0,sin6->0,sin7-=0,sin勾=si

24、n"v0,7,77,7,77sin=-sin6<0,sin1=0,可得到9>0,52>0,S13=0,54=0,2019=14X144+3,S1,S2,S2019中,正數(shù)的個(gè)數(shù)是144X12+3=1731.答案：173111 .為了增強(qiáng)城市環(huán)保建設(shè),某市方案用假設(shè)干年時(shí)間更換5000輛燃油型公交車(chē),每更換一輛新車(chē),那么淘汰一輛舊車(chē),替換車(chē)為電力型和混合動(dòng)力型兩種車(chē)型.今年年初投入了電力型公交車(chē)128輛,混合動(dòng)力型公交車(chē)300輛；方案以后電力型車(chē)每年的投入量比上一年增加50%,混合動(dòng)力型車(chē)每年比上一年多投入a輛.市政府根據(jù)人大代表的建議,要求5年內(nèi)完成全部更換,那么a

25、的最小值為解析：依題意知,電力型公交車(chē)的數(shù)量組成首項(xiàng)為128,公比為1+50%=3的等比數(shù)那么5年后的數(shù)量和為列,混合動(dòng)力型公交車(chē)的數(shù)量組成首項(xiàng)為300,公差為a的等差數(shù)列,128X15x4+300X5+-a,那么128X1-5X4+300X5+a2a>5000,即10a>1812,解得a>181.2,由于5年內(nèi)更換公交車(chē)的總和不小于5000,所以a的最小值為182.答案：18212 .(2021遂寧模擬)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,向量a=(Sn,2),b=(1,12n)滿(mǎn)足條件a±b.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Cn=,求數(shù)列d的前n項(xiàng)和Tn.an解：(1)a±b,ab=Sn+2-2n1=0,.Sn=2n+1-2,當(dāng)n>2時(shí),an=Sn-Sni=2n,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2滿(mǎn)足上式,1 1an=2.nn2 2)Cn=-=產(chǎn)an2.一12n-1nTn=2+27+"21+產(chǎn)3 1兩邊同乘巧1_12n-1n信2Tn=27+27+-2L+2",1111n.n2兩式相減倚2Tn=2+下2=1-2n+1,n+2一一Tn=2-2n(nCN).13.(202