Matlab在固體物理中的應用

1、Matlab在固體物理中的應用編號:河南大學2014屆本科畢業(yè)論文Matlab在固體物理中的應用論文作者姓名：作者學號：1003618013所在學院：所學專業(yè)：電子信息科學與技術導師姓名職稱：論文完成時間：2014年04月23日目錄摘要：0前言21固體物理的發(fā)展21.1 關于固體物理的知識21.2 固體物理的新發(fā)展及應用32關于MATLAB32.1 MATLAB的基本知識32.2 MATLAB的實例52.3 MATLAB的優(yōu)勢63緊束縛模型73.1緊束縛模型中二維晶格等能面74倒格子84.1 二維晶格的倒格子84.2 體心立方倒格子84.3 面心立方倒格子94.3簡單六角晶系的倒格子95MAT

2、LAB對緊束縛模型及其倒格子的模擬仿真95.1 matlab對倒格子的模擬仿真115.2 緊束縛模型中二維晶格的模擬仿真176結論19參考文獻20MATLAB在固體物理中的應用摘要:固體物理是從不同角度描述固體的結構和性質，是比較抽象的。MATLAB,flash,Photoshop等可以用來模擬其物理過程，所以本文將matlab應用固體物理的倒格子和緊束縛模型中將結果可視化。關鍵詞:固體物理MATLAB仿真TheapplicationofmatlabinsolidphysicsSolidstatephysicsdescribesthestructureandpropertiesofsolidf

3、romdifferentangles,itisabstract.MATLAB,flash,photoshop,etc.Canbeusedtosimulatethephysicalprocess,sothispaperappliesMATLABtosolidstatephysicsandtight-bindingmodelwillbetheresultofgridvisualization.Keywords:Solidphysicsmatlabimitateo前言固體物理是從原子，分子，電子等不同角度來研究粒子的運動，及固體物理的性質和微觀結構。它與我們學習過的半導體物理學、量子力學、大學物理等

4、都有緊密聯(lián)系，而且是各學科間的橋梁。固體物理學很多都是建立在經典模型上的，因此它的內容是比較抽象的，而且也比較難理解的?，F(xiàn)在隨著可技術科學的飛速發(fā)展，許多計算機軟件都可以應用在固體物理的模擬及其仿真方面。其中，MATLAB的功能是非常強大的,因此，針對固體物理復雜的特點，我們可以用MATLAB軟件使其物理過程可視化，也是它的結論更加直觀的呈現(xiàn)。1固體物理的發(fā)展人們對固體物理的認識是逐步的。固體可以分為晶體和非晶體，現(xiàn)在人們主要研究的是晶體。1.1 關于固體物理的知識1850年布喇格導出了7大晶系14種布喇菲格子。1890年費奧多羅夫，1891年熊夫利，1895年巴洛他們建立了晶體對稱性的群理論

5、。這都為固體物理學得發(fā)展提供了深遠的影響。勞厄在1912年通過晶體X光衍射的實驗，確定了單晶體的對稱性，即晶體內原子的周期性排列的結構。但這個實驗沒有確定晶體的晶格常數(shù)，后來旋轉單晶法可具體測定晶體的晶格常數(shù)。.舒布尼科夫在20世紀50年代建立了磁有序晶體的對稱群理論。原子結合成晶體時，原子的外層電子要作重新分布。外層電子的不同分布產生了不同類型的結合力。不同類型的結合力，就會產生晶體結合的不同類型,主要有：共價結合，離子結合，金屬結合，分子結合，氫鍵結合。結合力的共性：庫侖力是原子間結合的動力，而且是長程力。晶格振動與晶體的熱學性質。一維復式格子的振動可以得到長聲學波和長光學波。晶格振動所形

6、成的波，而且這種波的能量量子稱為聲子。它對固體的比熱容和熱導等性質起重要作用。在1907年。愛因斯坦用量子理論處理固體中原子的振動，他假設晶體中所有原子都以相同的頻率做振動，他的這個假設非常簡單，但是他忽略了諧振子之間的差異；1912年德拜把格波作為彈性波來處理，在低溫時，德拜熱容模型與實驗相符。晶體的缺陷：原子絕對的按晶格的周期性排列的晶體是不存在的，實際的晶體都會存在一點缺陷，按缺陷的形態(tài)：有點缺陷，面缺陷，線缺陷。原子的熱運動會造成點缺陷。在平衡時，缺陷的數(shù)目是一定的。而且缺陷的擴散不僅受晶格周期性影響，它還會發(fā)生復合現(xiàn)象。晶體中電子的能帶理論。布洛赫和布里淵他們分別從不同角度研究了周期

7、場中電子運動的基本特點，為固體電子的能帶理論奠定了基礎。在一定能量范圍內準連續(xù)的能及組成的能帶稱為電子的本征能量。我們在學習一維晶格中的近自由電子模型的結論，我們可以得到電子在行進過程中受到起伏的勢場的散射作用。相鄰兩個能帶之間的能量范圍內是不能有能量，稱為禁帶。1931年，威爾遜利用能帶的特征以及泡利不相容原理提出來絕緣體與金屬能帶模型的區(qū)別，并說存在半導體，為以后半導體的發(fā)展提供了理論。電子是遵守費米統(tǒng)計的，價電子對金屬熱容量貢獻很小的原因就是因為費米統(tǒng)計的約束。人們對金屬的電導，熱導等電子的輸運特性的分析可以利用費米統(tǒng)計和能帶理論，而且從理論上解釋了純金屬電阻率的實驗規(guī)律。1.2 固體物

8、理的新發(fā)展及應用隨著現(xiàn)在科學技術的發(fā)展，為固體物理開拓出了新的研究領域。核物理技術，磁共振技術，材料制備的新技術等現(xiàn)代技術發(fā)展，都為固體物理提供了新的研究方向。固體物理學是微電子技術，能源技術，材料學，光電子技術等學科的基礎。而且固體物理學的成就對生物物理學，化學物理學等方面也有影響，并正在形成新的交叉領域。固體物理它比較難以理解，我們用MATLAB來模擬，可以使他更加直觀。接下來就介紹一下matlabo2關于MATLABMatlab是matrix和laboratory兩個單詞的組合，是矩陣實驗室。它運用非常廣泛，可以進行矩陣運算，創(chuàng)建用戶界面，還可以繪制函數(shù)等。它們主要運用于信號處理與檢測，

9、工程計算，信號檢測等領域。Matlab吸收了像maple等軟件的的優(yōu)勢，因此它是一個強大的數(shù)學軟件。因此本文將matlab應用于固體物理中的緊束縛模型中對其模擬及仿真。在模擬仿真之前我們應該先了解matlab的一些基本知識。2.1 matlab的基本知識MATLAB它是一種交互式的以矩陣為基礎的系統(tǒng)計算平臺。它主要運用于科學和工程計算和復雜問題的可視化。它也標志著計算機語言向“智能化”方向發(fā)展。2.1.1 MATLAB的聯(lián)機幫助命令Helpplotxyz是顯示有關三維作圖的指令信息。2.1.2 MATLAB的m文件matlab基礎與實踐教程我們在MATLAB窗口輸入數(shù)據(jù)和命令進行計算時，當處理

10、復雜問題和大量數(shù)據(jù)時就不方便。此時，就需要編輯m文件。Matlab語句構成的程序存儲成以m為擴展名的文件，然后再執(zhí)行該程序文件，這就是程序文件模式。而且程序文件不能再指令窗口下建立因為指令窗口一次執(zhí)行一行上的幾個語句或者一個語句。創(chuàng)建m文件，它是一個普通的文本文件，我們可以系統(tǒng)認可的文本文件編輯器建立m文件。M文件的語法與c語言類似，但也有不同。它只是簡單的ASCII碼文件，他在執(zhí)行的過程中是逐行運行程序的，它是解釋性的編程語言。M文件包含兩類：1、可調用的m文件，即函數(shù)文件；2、獨立的m文件，即命令文件。MATLAB中有自定義的函數(shù)文件，稱它為內置函數(shù)文件。調用時，使用函數(shù)名并給出相應的入口

11、出口參數(shù)即可。函數(shù)的m文件需要輸入變量，返回輸出變量。用戶可以根據(jù)需要編輯自己的的m文件?？梢韵駧旌瘮?shù)一樣方便調用，這樣就擴大啦MATLAB的功能。M文件有它的格式也有特定的規(guī)則：格式：function返回變量=函數(shù)名（輸入變量）注釋說明語句段程序語句段規(guī)則：m文件第一行必須以單詞function作為開始，即Functionv因變量=v函數(shù)名(v自變量,)M文件它的文件名必須是v函數(shù)名.m程序中的變量都是局部變量，沒有保存在空間中的變量只有在函數(shù)運行其間有效。命令文件是簡單的m文件，它實際上是一串指令的集合。與在命令窗口逐行執(zhí)行文件中的所有命令是一樣的，并且沒有輸入輸出參數(shù)。2.1.3 MAT

12、LAB文件的類型數(shù)據(jù)文件.matMATLAB中的mat文件是以標準的二進制格式保存的數(shù)據(jù)文件，可以將空間中有用的數(shù)據(jù)保存起來。Mat文件它的生成和調用是有函數(shù)load和save完成的。M文件。Plot是基本的二維繪圖命令，Matlab的二維繪圖函數(shù)絕大部分是以Plot為基礎的。函數(shù)Plot最基本的調用格式為：Plot(x,y)。引用網其它二維繪圖函數(shù)還有等值線的繪制，可以使用Contouri函數(shù)。其調用格式：contour(x,y,z)同時MATLAB還有三維繪制函數(shù)功能，函數(shù)為Plot3,其調用格式為：Plot3(x,y,z,選項)要繪制三維表面圖時，可以使用SurfSEIPatch數(shù)，調用

13、格式分別為：Surf(x,y,z,c)Pateh(x,y,z,c)Matlab可以繪制很多函數(shù)。一個任務，Matlab也有多種方法、函數(shù)可以選擇，這為我們的運用提供了方便2.2 matlab的實例我們可以通過幾個例子來看一下MATLAB的功能。例如：用matlab來繪制正弦函數(shù)sinx和余弦函數(shù)cosx的圖像。»x=l:40；»yl=sin(pi*x/4)；»y2=cos(pi*x/8);»piot(x,yi,x,y2,c,r)執(zhí)行結果如圖1所示。53 D325 劉1510三角面效s 4 2 o 工 4 6 0c o Q o Q-Og-O.Q圖1正弦函數(shù)

14、sinx和余弦函數(shù)cosx的圖像例二：利用for循環(huán)求1!+2!+3!+4!+5!的值。sum=0；fori=l:5pdr=l；fork=l：ipdr=pdr*k；end這樣可以在MATLAB中求出sum的值。2.3 matlab的優(yōu)勢Matlab最大的特點就是簡單和直接，而且運算功能強大。1.1 .1繪圖功能方便MATLAB有一系列的繪圖命令，我們在繪制圖形時只需要調用相應的繪圖指令，然后在圖形中標出圖題等。MATLAB它具有完備的圖形處理功能，它可以將復雜的問題通過圖形傳遞給我們，實現(xiàn)計算結果和編程的可視化。MATLAB這種繪圖功能是其他編程語言所不具有的。1.2 具有強大的數(shù)據(jù)處理功能M

15、ATLAB和maple,mathematica它們并稱為三大數(shù)學軟件。由此可以得知它的運算功能很強大。它包含了大量計算算法。包括工程中用到的數(shù)學，運算函數(shù)等其它滿足用戶的各種所需要的計算。它可以代替c語言和C+等。若是在同樣的情況下我們用MATLAB的編程的工作量遠低于其他軟件編程，它可以從最簡單最基本的函數(shù)到傅里葉變換，矩陣等復雜的函數(shù)。線性方程的求解，微分方程的求解，傅里葉變換，工程中的優(yōu)化問題以及其他初等函數(shù)運算，二維，三維數(shù)組操作，還有建模模擬仿真等我們都可以通過MATLAB強大的數(shù)據(jù)處理能力解決。1.3 簡單比較好用Matlab語言中最基本的就是函數(shù)。對于同一函數(shù)名，輸入不同數(shù)目的變

16、量或者輸出變量的數(shù)目不同就代表著不同的含義，這樣MATLAB的庫函數(shù)功能功能就會變的非常豐富，而且也會減少所需要用的空間，這樣就會使MATLAB編寫的M文件簡單，短小并且高效。開放式可擴充結構，用戶可以根據(jù)自己的意愿隨意的更改。因此MATLAB的應用越來越廣泛。3緊束縛模型為了在MATLAB模擬仿真時，可以更加容易理解，先了解幾個固體物理的知識。在王矜奉固體物理教程的能帶理論中包含緊束縛模型，在此可以簡要分析緊束縛模型中二維晶格的等能面。3.1緊束縛模型中二維晶格的等能面等能面：K空間內，電子的能量等于定值的的曲面我們稱為等能面。對于自由電子，它的能量為救二，所以此時它的等能面是一些同心球面，

17、2m而費米面是對應能量為以的等能面。在一維近自由電子近似時，我們知道將勢場看作是晶格的周期函數(shù)，而且便于計算將勢場展開成傅立葉級數(shù)V(r)=2>(K/X即/在波矢空間內，布洛赫函數(shù)是倒格矢的周期函數(shù)，因此將布洛赫函數(shù)在波矢空間也展成便立葉級數(shù)，即0叫(凡八(3=一一對上式乘以而'并對第一布里淵區(qū)波矢求和，得到工產Walk,埒Wa(Rltir)=-y=由布洛赫函數(shù)的平移特性可以知道T(一凡)(4,r)=Wa(k,r-R)=產y/a化r)故可得Z仁 化 f)W。區(qū)= 一當晶體中原子的間距較大時，被束縛在原子附近的幾率比遠離原子的幾率大,此時的行為與自由電子近似。此時取力化一凡)=(%

18、)檀(一凡)，即得z產媛(一凡)到零級近似九化r)=結合薛定謗方程，并經一系列計算可以得到S態(tài)緊束縛電子的能帶Es(k)=E?-CJsZ噩對于邊長為"的二維正方晶格的情況，取坐標軸沿正方形邊長，則最近鄰的坐標應該為(土，.。)(0,±)，由此可以計算出二維晶格的緊束縛模型能量：Es(%)=成一G-2Js(cosk+c0sA兇)4倒格子倒格子是由倒格矢基矢在空間平移形成的，那么重點就是怎么求解倒格子基矢。下面我們將要分別討論二維晶格的倒格子，面心立方，體心立方晶格的倒格子以及簡單六角晶格的倒格子。4.1二維晶格的倒格子對二維晶格的倒格子，我們可以把二維晶格正格子基矢記為：人a

19、=aia】=bj其中代表慣用晶胞的邊長，仃代表正交單位基矢；由于在計算倒格子時根據(jù)公式需要有耳，瓦人設的=八因此計算晶胞的體積為：由倒格基矢的計算公式我們可以得到二維晶格得倒格矢為：772萬r24二4??；b2=由倒格子基矢和正格子基矢對比我們可以知道二維晶格的倒格子仍然是二維晶格。4.2 體心立方的倒格子體心立方晶格的正格子基矢可以寫為：其中a是慣用晶胞的邊長，7,J,不代表與x,y,z軸平行的單位基矢。其中我們可以根據(jù)晶胞體積的計算公式得：根據(jù)倒格矢的計算公式我們可以得到體心立方基矢：6=子（+不；瓦=殳+斗瓦=茨+）。由5，%,仄我們可以知道體心立方晶格的倒格子是面心立方晶格。4.3 面心

20、立方晶格的倒格子面心立方正格子的基矢可記為：可由此可以計算原胞的體積：V=R（區(qū)xZ）|=；/。根據(jù)倒格基矢的計算公式我們可以得到倒格基矢：瓦=*+網；瓦=冢小斗瓦勺-田。根據(jù)以上公式可以得出面心立方晶格的倒格子是體心立方晶格。4.4 簡單六角晶系的倒格子六角晶系正格子的基矢可記為：區(qū)=9（一技+）;根據(jù)正格子基矢我們可以求出原胞的體積V =4 伍X根據(jù)倒格矢的計算公式，可以求出倒格基矢：b3 = -k.cA=巖（;+0）也=患1;+6），我們得到了六角晶格的倒格子基矢,根據(jù)公式我們可以得到六角晶系的倒格子仍然是六角晶系。5matlab對緊束縛模型以及倒格子的模擬仿真5.1 matlab對倒格

21、子的模擬仿真5.1.1 對二維晶格倒格子的模擬仿真由上述二維晶格倒格矢的公式。二維晶格的MATLAB程序如下：functionHX()b=l;bl=(2*pi/a)*lA0；b2=(2*pVb)*0,l,0;pd(l,l:2)=0,0,0；fordd=l:4H=size(pd,l);k=l;fori=l:Hforj=l:2pl(J)=pd(iJ)+bl(J);endplot(pd(l,l),pl(l),pd(U),pl(2),ro');holdon;plot(pd(l,l),pl(l),pd(U),pl(2);holdon;pdt(k4：2)=pl;k=k+l;forj=l:2p2(J

22、)=pd(iJ)+b2(j);endplot(pd(l,l),p2(l),pd(i,2),p2,To');holdon;plot(pd(i,l),p2(l),pd(i,2),p2(2);holdon;pdt(kj:2)=p2;k=k+l;endpd=pdt;endend執(zhí)行上述程序，所得圖像如圖2所示。|OOOFigure2File_Edit_View_Insert_Tools_Desktop_Window_Help»3Jg1%':4公口口目圖2二維晶格倒格子由圖2可以得到二維晶格的倒格子仍然是二維晶格，只是二維晶格的邊長不同。通過圖2的仿真圖，我們可以比較直觀的看到

23、結果，便于我們理解。5.1.2 體心立方晶格的倒格子體心立方晶格倒格子的MATLAB程序代碼如下：functionHX()a=l;al=(2*pi/a)*0,14；a2=(2*pi/a)*l,041；a3=(2*pi/a)*l,l,0;pd(l,l:3)=0,0,0；fordd=l:4H=slze(pd,l);k=l;fori=l:Hforj=l:3pl(J)=pd(iJ)+al(J);endplot3(pd(i,l),pl(l),pd(i,2),pl(2),p(l(i,3),pl(3),ro,);holdon;holdon;pdt(kj:3)=pl;k=k+l;forJ=l:3p2(J)=p

24、d(iJ)+a2(J);endplot3(pd(i,l),p2(l),pd(i,2),p2(2),pd(i,3),p2(3),ro,);holdon;plot3(pd(i,l),p2Mpd(l,2),p2(2),pd(i,3),p2C3);holdon;pdt(k,l:3)=p2;k=k+l;forj=l:3p3(j)=pd(ij)+a3(j);endplot3(p(l(i,l),p3(l),pd(i,2),p3(2),pd(i,3),p3(3),ro,);holdon;plot3(pd(i,l),p3,pd(l,2),p3(2),pd(in),p3(3)D；holdon;pdt(k,l:3)

25、=p3;k=k+l;endpd=pdt;end執(zhí)行上述程序，所得圖像如圖3所示。體心立方晶格的倒格子由圖3可以得到體心立方晶格的倒格子是面心立方。圖3比較直觀的將其結果展示出來。5.1.3 面心立方晶格的倒格子面心立方晶格的倒格子MATLAB代碼如下：functionHX()b=l;bl=(2*pVa)*-l,141；b2=(2*pi/a)*l,-l,l;b3=(2*pi/a)*l,l,-l;pd(l,l：3)=0,0,0；fordd=l:4H=slze(pd,l);k=l;fori=l:Hforj=l:3pl(J)=pd(iJ)+bl(j);endplot3(pd(i,l),pl(l),pd

26、(i,2),pl(2),pd(i,3),pl(3),ro,);holdon;plot3(pd(i,l),pl,pd(l,2),pM2),pd(i,3),pl(3);holdon;pdt(kj:3)=pl;k=k+l;forj=l:3p2(J)=pd(iJ)+b2(j);endplot3(pd(l,l),p2(l),pd(i,2),p2(2),pd(i3),p2(3),ro,);holdon;plot3(pd(i,l),p2(l),pd(i,2),p2(2),pd(i,3),p2(3)；holdon;pdt(k,l:3)=p2;k=k+l;forJ=l:3p3(j)=pd(ij)+b3(j);e

27、ndplot3(pd(i,l),p3(l),pd(i,2),p3(2),pd(i,3),p3(3)/ro,);holdon;plot3(pd(i,l),p3(l),pd(i,2),p3(2),pd(i,3),p3(3);holdon;pdt(k,l:3)=p3;k=k+l;endpd=pdt;endend執(zhí)行上述程序，所得圖像如圖4所示。面心立方晶格的倒格子由圖4可以得到面心立方晶格的倒格子是體心立方。圖4比較直觀的將其結果展示出來。5.1.4 六角晶格晶格的倒格子functionHX()b=l;bl=(2*pi/a*V3)*l,技0;b2=(2*pVa*也也,0;b3=(2*pi/c)*0,

28、0,l；pd(l,l:3)=0,0,0;fordd=l:4H=slze(pd,l);k=l;fori=l:Hforj=l:3pl(J)=pd(iJ)+bl(j);endplot3(pd(i,l),pl(l),pd(i,2),pl(2),pd(i,3),pl(3),ro,);holdon;plot3(pd(i,l),pl(l),pd(i,2),pl(2),pd(i,3),pl(3)；holdon;pdt(kj:3)=pl;k=k+l;forj=l:3p2(J)=pd(iJ)+b2(j);endplot3(pd(l,l),p2(l),pd(i,2),p2(2),pd(i3),p2(3),ro,);

29、holdon;plot3(pd(i,l),p2(l),pd(i,2),p2(2),pd(13),p2(3);holdon;pdt(k,l:3)=p2;k=k+l;forJ=l:3p3(j)=pd(ij)+b3(j);endplot3(pd(i,l),p3(l),pd(i,2),p3(2),pd(i,3),p3(3),ro,)；holdon;plot3(pd(iJ),P3(l)4pd(i,2),p3(2)Jpd(i,3),p3(3);holdon;pdt(k,l:3)=p3;k=k+l;endpd=pdt;endEnd執(zhí)行上述程序，所得圖像如圖5所示。CQFigure1FileEditViewI

30、nsertToolsDesktopWindowHelp，J二d#4二3a%ca00Q圖5六角晶格晶格的倒格子由圖5matlab仿真圖可以知道六角晶格的倒格子仍然是六角晶格,只是邊長不同。5.2 緊束縛模型中二維晶格的模擬仿真由前邊介紹的內容，我們得到二維晶格的能量Eo=Jjdxdy(pa；(x,y)心,y)-K"(x,y)R；(>0由緊束縛模型能量公式可以得到能帶寬度為8E。取能帶底部能量的值為0。£=-燈dxdy(p(''x+a、y版"+u(x,y(x,y)卜"(x,y).=-jpW，娉(x+a,y+a)歸；"+,)，)

31、-叫x,y)k”(x,)，)同E一樣，M一般大于零。令=與,E，E,依次為中心原子S態(tài)波函數(shù)與石2最近鄰及次緊鄰原子s態(tài)波函數(shù)的交疊的能量積分。我們可以通過matlab來完成其仿真圖。二維晶格緊束縛能量等能面的matlab程序如下：# defineEN(n,kx,ky)(015/n+015-0125*(cos(kx)+cos(ky)-015/n*cos(kx)*cos(ky)# definecoskx(E,n,ky)(4*n+4-E-2*n*cos(ky)/(2*n+4*cos(ky)# definecosky(E,n,kx)(4*n+4-E-2*n*cos(kx)/(2*n+4*cos(kx)#definepi3114159265intirange;floatfn;voiddraw(floate)(intx,y;floatkx,ky,coskx,cosky；boolbflrst=true;for(x=0;x<=irange;x+)(kx=x*pi/irange;cosky=cosky(e,fn,kx);if(fabs(cosky)<=110)(ky=acos(cosky);y=ky*irange/pi;if(