第一章教學(xué)參考資料

1、第一章教學(xué)參考資料一、有理數(shù)的含義整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，很多學(xué)生想知道“為什么將這些數(shù)取名有理數(shù)” ？要回答這個問題并不難，只需要略微多了解一點數(shù)學(xué)的發(fā)展史就可以了“有理數(shù)”是一個外來詞，是由英語rational number翻譯而來的rational number的準(zhǔn)確含義是“能表示成兩個整數(shù)的比的數(shù)”，即“凡是能表示成兩個整數(shù)的比的數(shù)就是有理數(shù)”，或者說“凡能用分數(shù)的形式來表示的數(shù)就是有理數(shù)”，因此，rational number相對準(zhǔn)確地翻譯可以是“比數(shù)”，可惜的是我們的先輩并沒有把rational number翻譯為“比數(shù)”，而是按照rational一詞的另一意思“有理的”，把rati

2、onal number翻譯成了“有理數(shù)”，而且這種稱呼一直沿用到今如果我們的老師能給學(xué)生一些類似的解釋，相信學(xué)生不會再為這個名稱而苦惱在小學(xué)的時候，我們的學(xué)生都能把“整數(shù)表示成分母是1的分數(shù)”，而且大多數(shù)學(xué)生也都能把有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)表示成分數(shù)的形式這樣，整數(shù)、分數(shù)、有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)都屬于有理數(shù)教科書中說“整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)”，其中當(dāng)然包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)例 把3, 0.2, ，表示成分數(shù)思路分析：3=, 0.2=，=, ，=，特別提醒：把循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)是有規(guī)律可循的下面我們用方程的思想，借助具體的例子來總結(jié)這個規(guī)律：設(shè) x，現(xiàn)將左右兩端同時乘以1000得231. =1000 x于

3、是，由，得 2311000 x- x即 999x231故 x =,約分，得 x可見轉(zhuǎn)化成分數(shù)是于是在此基礎(chǔ)上給出純循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)的一般方法就不困難了請老師引導(dǎo)學(xué)生，盡量讓學(xué)生自已從中歸納得出相應(yīng)的一般方法來設(shè)，則有10y=2.1000y=231. 由得1000y-10 y =231-2即 y=可見轉(zhuǎn)化成分數(shù)是，在此基礎(chǔ)上給出混循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)的一般方法是不困難的請老師們引導(dǎo)學(xué)生自己去歸納二、任意兩個有理數(shù)之和、差、積、商仍為有理數(shù)證明：因有理數(shù)都可以表示成兩個整數(shù)的比的形式，故不妨設(shè)， ， 其中m，n，k，l均為整數(shù)，且(m，n)=1，(k，l)=1，于是由于m，n，k，l均為整數(shù)，因此nk

4、ml與mk均為整數(shù)，故必為有理數(shù)，故為有理數(shù)對于兩個有理數(shù)之差、積、商仍為有理數(shù)，可以用類似方法證明，這里從略三、 任意兩個有理數(shù)之間都存在著無窮多個有理數(shù)證明：假設(shè)任意兩個有理數(shù)a、b,設(shè)ab，它們之間僅有有限個有理數(shù)，不妨設(shè)僅有n個有理數(shù)，這n個有理數(shù)按從小到大的順序排列依次是ac1c2c3c4cnb由于任意兩個有理數(shù)之和與積仍是有理數(shù)，因此當(dāng)cn是有理數(shù)，b是有理數(shù)時，也是有理數(shù)，而且acnb即在有理數(shù)a與b之間找到了另外一個不同于c1c2c3c4cn的第n1個有理數(shù)，而這正好與假設(shè)矛盾因此，任意兩個有理數(shù)之間都存在著無窮多個有理數(shù)四、 按要求，數(shù)正方形1 在圖1中，所有正方形的個數(shù)是多

5、少？思路分析：要把圖中的正方形數(shù)清楚，顯然以邊長的不同數(shù)值來分類進行統(tǒng)計要方便一些解：圖1中，設(shè)邊長最小的正方形的邊長為1，則邊長為1的正方形共有4216個；邊長為2的正方形共有329個；邊長為3的正方形共有224個；邊長為4的正方形僅有121個于是圖1中所有正方形，一共有1222324230個2 在圖2中，以圖中各點為頂點一共能畫出多少個正方形？思路分析：本題與第1題相比，略有不同在本題中，除了第1題所涉及到的正方形之外，還有邊長為、2等幾種新的情形解：由1可知，邊長為1的正方形共有4216個；邊長為2的正方形共有329個；邊長為3的正方形共有224個；邊長為4的正方形有121個此外，還有邊

6、長為的正方形共有329個，如圖3所示；邊長為的正方形共有2×228個，如圖4所示；邊長為的正方形共有2個，如圖5所示；邊長為2的正方形1個，如圖6所示故圖2中所有滿足條件的正方形一共有30982150個特別提醒：這里的兩個問題從本質(zhì)上說并不難，但是對初一的學(xué)生來說，要能夠把其中所有的正方形都按要求一一數(shù)清楚，可不是一件容易的事因此，老師需要引導(dǎo)學(xué)生按“類”去數(shù)每個圖中可能有的正方形這樣做的目的在于逐漸滲透“分類討論的數(shù)學(xué)思想”，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)作鋪墊至于問題討論過程中可能涉及到的、2等數(shù)，可以根據(jù)學(xué)生的實際可能來處理，只要學(xué)生能認識它們是一些正方形的邊長即可，不必在此向?qū)W生介紹這些無

7、理數(shù)五、關(guān)于“負負得正”乘法運算法則“為什么負負得正”要從初等數(shù)學(xué)的角度給學(xué)生講清楚，是一件非常不容易的事情可以參考中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2005年第3期P3P4的“負負得正”的乘法法則可以證明嗎？一文，文中最后指出：“綜上所述，筆者認為，負負得正的乘法法則是數(shù)學(xué)中的一種規(guī)定（定義），它不能通過邏輯證明得出然而，對這個法則的規(guī)定既有客觀世界中的實際背景，又有數(shù)學(xué)內(nèi)部需要和諧發(fā)展的思想背景教學(xué)中適當(dāng)?shù)亟榻B這些背景，可以幫助學(xué)生認識乘法法則的由來與合理性，但是不能將這樣做認為是證明了這個法則”此外，如果能夠參閱浙江大學(xué)出版社出版、沈鋼編著的高觀點下的初等數(shù)學(xué)概念一書的第一章、第二章的相關(guān)內(nèi)容，也許你還能

8、獲得一些新觀點我們認為這個問題對初一的學(xué)生來說，只要學(xué)生能夠理解一些具體實例，并能認可“負負得正”即可，不必再做過多的講解或過高的要求下面引用一個有實際背景的例子，讓學(xué)生體會一下“負負得正”的實際背景如果水位一直以每小時2cm的速度下降，現(xiàn)在的水位在水文標(biāo)尺刻度的A處，試問3小時前水位在水文標(biāo)尺刻度的什么位置？為了區(qū)分水位變化的方向，我們可以規(guī)定水位上升為正，下降為負；為了區(qū)分時間，我們規(guī)定現(xiàn)在以后為正，現(xiàn)在以前為負顯然3小時以前水位在水文標(biāo)尺刻度的A處上方6cm處，于是有（2）×（3）=6這雖然是一個“有實際背景的原型”，的確有助于學(xué)生理解“負負得正”的乘法法則，但絕對不能就此認為這是對“負負得正”的證明因為數(shù)學(xué)中的證明不是個例的驗證，是需要依據(jù)已有的公理、定理、定義等進行合乎邏輯的推證的六、“科學(xué)記數(shù)法” 課題引入的設(shè)計（一）快速記憶游戲目的：激發(fā)學(xué)生對數(shù)字或數(shù)據(jù)的興趣下面有幾組數(shù)據(jù)，你能過目不忘嗎？一閃而過之后，你能記住多少，請大家一起來試一試，看誰記得多！中國國土面積有9 600 000平方公里；中國人口約有1 300 000 000人