期中復(fù)習(xí)（易錯(cuò)50題20個(gè)考點(diǎn)）-蘇科版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練（解析版）

第第頁期中復(fù)習(xí)（易錯(cuò)50題20個(gè)考點(diǎn)）一．全等三角形的性質(zhì)（共2小題）1．已知△ABC與△DEF全等，∠A＝∠D＝90°，∠B＝37°，則∠E的度數(shù)是（）A．37° B．53° C．37°或63° D．37°或53°【答案】D【解答】解：在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝53°．∵△ABC與△DEF全等，∴當(dāng)△ABC≌△DEF時(shí)，∠E＝∠B＝37°，當(dāng)△ABC≌△DFE時(shí)，∠E＝∠C＝53°．∠E的度數(shù)是37度或53度．故選：D．2．如圖，已知長方形ABCD的邊長AB＝20cm，BC＝16cm，點(diǎn)E在邊AB上，AE＝6cm，如果點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點(diǎn)C向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上從點(diǎn)C到點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)△BPE與△CQP全等時(shí)，時(shí)間t為1或4s．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm，∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，當(dāng)△BPE≌△CQP時(shí)，則有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，當(dāng)△BPE≌△CPQ時(shí)，則有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，故答案為：1或4．二．全等三角形的判定（共4小題）3．如圖，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列條件中不能判斷△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．EF∥BC【答案】C【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A＝∠D，（1）AB＝DE，則△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；（2）∠B＝∠E，則△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；（3）EF＝BC，無法證明△ABC≌△DEF（ASS）；故C選項(xiàng)正確；（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B＝∠E，則△ABC和△DEF中，（AAS），∴△ABC≌△DEF，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．4．如圖，CA⊥BC，垂足為C，AC＝2cm，BC＝6cm，射線BM⊥BQ，垂足為B，動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度沿射線CQ運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，滿足PN＝AB，隨著P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)0或4或8或12秒時(shí)，△BCA與點(diǎn)P、N、B為頂點(diǎn)的三角形全等．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：①當(dāng)P在線段BC上，AC＝BP時(shí)，△ACB與△PBN全等，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝6﹣2＝4，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4÷1＝4（秒）；②當(dāng)P在線段BC上，AC＝BN時(shí)，△ACB與△NBP全等，這時(shí)BC＝PB＝6，CP＝0，因此時(shí)間為0秒；③當(dāng)P在BQ上，AC＝BP時(shí)，△ACB與△PBN全等，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝2+6＝8，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8÷1＝8（秒）；④當(dāng)P在BQ上，AC＝NB時(shí)，△ACB與△NBP全等，∵BC＝6，∴BP＝6，∴CP＝6+6＝12，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12÷1＝12（秒），故答案為：0或4或8或12．5．如圖，已知AB＝AC，D為∠BAC的角平分線上面一點(diǎn)，連接BD，CD；如圖2，已知AB＝AC，D、E為∠BAC的角平分線上面兩點(diǎn)，連接BD，CD，BE，CE；如圖3，已知AB＝AC，D、E、F為∠BAC的角平分線上面三點(diǎn)，連接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次規(guī)律，第n個(gè)圖形中有全等三角形的對(duì)數(shù)是．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：當(dāng)有1點(diǎn)D時(shí)，有1對(duì)全等三角形；當(dāng)有2點(diǎn)D、E時(shí)，有3對(duì)全等三角形；當(dāng)有3點(diǎn)D、E、F時(shí)，有6對(duì)全等三角形；當(dāng)有4點(diǎn)時(shí)，有10個(gè)全等三角形；…當(dāng)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，圖中有個(gè)全等三角形．故答案為：．6．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A﹣C路徑向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B﹣C﹣A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和Q分別以每秒1cm和3cm的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1或時(shí)，△PEC與△QFC全等．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖1所示；∵△PEC與△QFC全等，∴PC＝QC．∴6﹣t＝8﹣3t．解得：t＝1．如圖2所示：∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，∴△PEC與△QFC全等，∴6﹣t＝3t﹣8．解得：t＝．故答案為：1或．三．全等三角形的判定與性質(zhì)（共11小題）7．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，E為BC上一點(diǎn)，連接AE，∠CAD＝2∠BAE，連接DE，下列結(jié)論中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正確的有（）A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④【答案】D【解答】解：如圖，延長EB至G，使BE＝BG，設(shè)AC與DE交于點(diǎn)M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC與△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正確的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正確；∴AE平分∠BED，當(dāng)∠BAE＝∠EAC時(shí)，∠AME＝∠ABE＝90°，則AC⊥DE，當(dāng)∠BAE≠∠EAC時(shí)，∠AME≠∠ABE，則無法說明AC⊥DE，故②是不正確的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，故④是正確的，綜上所述：其中正確的有①③④．故選：D．8．如圖BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長線上一點(diǎn)，BE＝BA，過E作EF⊥AB于F，下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BDC＝180°；③AD＝AE＝EC；④AB∥CE；⑤BA+BC＝2BF．其中正確的是①②③⑤．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD，又∵BD＝BC，BD＝BC，∴△ABD≌△EBC（SAS），即①正確；②∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE+∠BDC＝∠BDA+∠BDC＝180°，即②正確；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE為等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE＝EC，即③正確；④根據(jù)已知條件，可得AB∥CE不一定成立，故④錯(cuò)誤；⑤如圖，過E作EG⊥BC于G點(diǎn)，∵E是BD上的點(diǎn)，∴EF＝EG，在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），∴AF＝CG，∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF，即⑤正確．故答案為：①②③⑤9．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．過點(diǎn)B作BE⊥CA，垂足為點(diǎn)E．若CD＝2，CE＝6，則四邊形ABCD的面積是40．【答案】40．【解答】解：∵AB⊥AD，AC⊥DC，BE⊥CA，∴∠ACD＝∠BEA＝∠DAB＝90°，∴∠D+∠DAC＝90°，∠DAC+∠EAB＝90°，∴∠D＝∠EAB，∵AD＝AB，∴△ADC≌△BAE（AAS），∴AC＝BE，DC＝AE＝2，∵CE＝6，∴BE＝AC＝AE+CE＝2+6＝8，∴四邊形ABCD的面積＝△ADC的面積+△ABC的面積＝DC?AC+AC?BE＝×2×8+×8×8＝8+32＝40，故答案為：40．10．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，點(diǎn)D從B出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度在線段BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E同時(shí)從C出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度在線段CA上向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連接AD、DE，設(shè)D、E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜4）（1）運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，AE＝DC；（2）運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，△ABD≌△DCE能成立，并說明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，則∠ADE＝90°﹣α（用含α的式子表示）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題可得，BD＝CE＝2t，∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，∴當(dāng)AE＝DC，時(shí)，8﹣2t＝（12﹣2t），解得t＝3，故答案為：3；（2）當(dāng)△ABD≌△DCE成立時(shí)，AB＝CD＝8，∴12﹣2t＝8，解得t＝2，∴運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，△ABD≌△DCE能成立；（3）當(dāng)△ABD≌△DCE時(shí)，∠CDE＝∠BAD，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，∴∠ADE＝∠B，又∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．故答案為：90°﹣α．11．如圖，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC．（1）求∠APO+∠DCO的度數(shù)；（2）求證：AC＝AO+AP．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）連接BO，如圖1所示：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC，在△OBD和△OCD中，，∴△OBD≌△OCD（SAS），∴OB＝OC，又∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，又∵∠BAC＝120°，∠ABC＝∠ACB＝30°，又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°，∴∠APO+∠DCO＝30°；（2）過點(diǎn)O作OH⊥BP于點(diǎn)H，如圖2所示：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠HAO＝∠CAD＝60°，又∵OH⊥BP，∴∠OHA＝90°，∴∠HOA＝30°，∴AO＝2AH，又∵BO＝PO，OH⊥BP，∴BH＝PH，又∵HP＝AP+AH，∴BH＝AP+AH，又∵AB＝BH+AH，∴AB＝AP+2AH，又∵AB＝AC，AO＝2AH，∴AC＝AP+AO．12．如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠2＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A＝50°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)；（3）若∠A＝∠DEF，判斷△DEF是否為等腰直角三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDE和△CEF中，∵，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵∠DEC＝∠B+∠BDE，即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，∵△BDE≌△CEF，∴∠CEF＝∠BDE，∴∠DEF＝∠B，又∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，∴∠B＝65°，∴∠DEF＝65°；（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE＝EF，由（2）知，∠DEF＝∠B，而∠B不可能為直角，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．14．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD＝CD，點(diǎn)E在AD上，DE＝BD，M、N分別是AB、CE的中點(diǎn)．（1）求證：△ADB≌△CDE；（2）求∠MDN的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ABD與△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（SAS）；（2）∵△ABD≌△CDE，∴∠BAD＝∠DCE，AB＝CE，∵M(jìn)、N分別是AB、CE的中點(diǎn)，∴AM＝AB，CN＝CE，∴AM＝CN，在△ADM和△CDN中，，∴△ADM≌△CDN（SAS），∴∠ADM＝∠CDN，∵∠CDN+∠ADN＝90°，∴∠ADM+∠ADN＝90°，∴∠MDN＝90°．15．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，BC＝6cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在邊BC上以1.5cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在邊CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，經(jīng)過t秒后，△BPD與△CQP全等，求此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過24秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的AC邊上相遇？（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程）【答案】（1）①全等；②2秒，2.25cm/s；（2）24，AC．【解答】解：（1）①全等，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1.5＝1.5（厘米），∵AB＝9cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD＝4.5cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6cm，∴PC＝6﹣1.5＝4.5（cm），∴PC＝BD．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDP和△CPQ中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）；②假設(shè)△BPD與△CQP，∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又由∠B＝∠C，則只能是BP＝CP＝3，BD＝CQ＝4.5，∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝BP÷1.5＝3÷1.5＝2（秒），∴vQ＝CQ÷t＝4.5÷2＝2.25（cm/s）；（2）設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，由題意，得2.25x＝1.5x+2×9，解得x＝24，∴點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了24×1.5＝36（cm）．∴點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AC邊上相遇，∴經(jīng)過24秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AC上相遇．故答案為：24；AC．16．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線EG交AB于點(diǎn)E，交AB的平行線CG于點(diǎn)G，DF⊥EG，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：BE＝CG；（2）判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵AB∥CG，∴∠B＝∠DCG，在△BDE和△CDG中，∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴BE＝CG；（2）BE+CF＞EF．理由：如圖，連接FG，∵△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，又∵FD⊥EG，∴FD垂直平分EG，∴EF＝GF，又∵△CFG中，CG+CF＞GF，∴BE+CF＞EF．17．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A、C、D在同一條直線上時(shí)，AC＝12，EC＝5，①求證：AF⊥BD；②求AF的長度；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、D不在同一條直線上時(shí)，求證：AF⊥BD．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）①證明：如圖1，∵在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠AEC＝∠BEF，∴∠BFE＝∠ACE＝90°，∴AF⊥BD．②∵∠ECD＝90°，BC＝AC＝12，DC＝EC＝5，∴根據(jù)勾股定理得：BD＝13，∵S△ABD＝AD?BC＝BD?AF，即∴AF＝．（2）證明：如圖2，∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ACB+∠ACD＝∠ECD+∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠BFA＝∠BCA＝90°，∴AF⊥BD．四．全等三角形的應(yīng)用（共1小題）18．如圖，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，他根據(jù)所學(xué)的知識(shí)很快就畫出了一個(gè)與書上完全一樣的三角形，那么亮亮畫圖的依據(jù)是兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形．故答案為：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等．五．角平分線的性質(zhì)（共4小題）19．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長的最小值為（）A．1 B．6 C．3 D．12【答案】C【解答】解：過點(diǎn)D作DH⊥BC交BC于點(diǎn)H，如圖所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分線，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴點(diǎn)D是直線BC外一點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)H重合時(shí)DP最短，其長度為DH長等于3，即DP長的最小值為3．故選：C．20．如圖，直線l1，l2，l3表示三條相交叉的公路．現(xiàn)在要建一個(gè)加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地點(diǎn)有（）A．四處 B．三處 C．兩處 D．一處【答案】A【解答】解：滿足條件的有：（1）三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，共一處；（2）三角形外角平分線的交點(diǎn)，共三處．故選：A．21．如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△AED的面積分別為48和26，求△EDF的面積11．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF＝DH，在Rt△FDE和Rt△HDG中，，∴Rt△FDE≌Rt△HDG（HL），同理，Rt△FDA≌Rt△HDA（HL），設(shè)△EDF的面積為x，由題意得，48﹣x＝26+x，解得x＝11，即△EDF的面積為11，故答案為：11．22．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為30，40，50．其三條角平分線交于點(diǎn)O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO＝3：4：5．【答案】3：4：5．【解答】解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，∵三條角平分線交于點(diǎn)O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，∴OD＝OE＝OF，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：CA＝3：4：5，故答案為：3：4：5．六．線段垂直平分線的性質(zhì)（共1小題）23．如圖，△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，則AF＝10．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接AE，BE，過E作EG⊥BC于G，∵D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，∴∠ACE＝∠ECG，又∵EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF＝CG，在Rt△AEF和Rt△BEG中，，∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），∴AF＝BG，設(shè)CF＝CG＝x，則AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x，∴12﹣x＝8+x，解得x＝2，∴AF＝12﹣2＝10．故答案為：10．七．等腰三角形的性質(zhì)（共3小題）24．若等腰三角形中有兩邊長分別為2和5，則這個(gè)三角形的周長為（）A．9 B．12 C．7或9 D．9或12【答案】B【解答】解：當(dāng)腰為5時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況成立，周長＝5+5+2＝12；當(dāng)腰長為2時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況不成立；所以這個(gè)三角形的周長是12．故選：B．25．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為（）A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D【解答】解：當(dāng)高在三角形內(nèi)部時(shí)（如圖1），頂角是60°；當(dāng)高在三角形外部時(shí)（如圖2），頂角是120°．故選：D．26．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一邊上的中線BD將這個(gè)三角形的周長分為15和12兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長為（）A．7 B．7或11 C．11 D．7或10【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，①當(dāng)AC+AC＝15，解得AC＝10，所以底邊長＝12﹣×10＝7；②當(dāng)AC+AC＝12，解得AC＝8，所以底邊長＝15﹣×8＝11．所以底邊長等于7或11．故選：B．八．等腰三角形的判定（共2小題）27．如圖在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，在直線AC或BC上取點(diǎn)M，使得△MAB為等腰三角形，符合條件的M點(diǎn)有8個(gè)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點(diǎn)M1，M2，交BC有一點(diǎn)M3，（此時(shí)AB＝AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點(diǎn)M5，M4，交AC有一點(diǎn)M6（此時(shí)BM＝BA）．③AB的垂直平分線交AC一點(diǎn)M7（MA＝MB），交直線BC于點(diǎn)M8；∴符合條件的點(diǎn)有8個(gè)．故答案為：8．28．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿B→A勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)同樣的速度沿A→C→B勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為秒或秒或秒時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：①當(dāng)BP＝PQ時(shí)，如圖1，由題意得：BP＝PQ＝AQ＝t，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴AP＝5﹣t，過Q作QD⊥AB于D，∴AD＝AP＝，∵∠A＝∠A，∠ADQ＝∠ACB＝90°，∴△ADQ∽△ACB，∴，∴，t＝；②當(dāng)BP＝BQ時(shí)，如圖2由題意得：BP＝AC+CQ＝t，∴BQ＝3+4﹣t＝7﹣t，∴7﹣t＝t，t＝；③當(dāng)BQ＝PQ時(shí)，如圖3，過Q作QD⊥AB于D，∴BD＝BP＝t，BQ＝7﹣t，∵∠B＝∠B，∠BDQ＝∠ACB＝90°，∴△BDQ∽△BCA，∴，∴，t＝，綜上所述，t的值是秒或秒或秒．故答案為：秒或秒或秒．九．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）29．如圖，BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP于P，連接PC，若△ABC的面積為1cm2，則△PBC的面積為（）A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能確定【答案】B【解答】解：如圖，延長AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×1＝0.5（cm2），故選：B．一十．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）30．如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請(qǐng)問在第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是400．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖①∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，∴B′O＝AB，CO＝AC，∴△B′OC是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形．又觀察圖可得，第1個(gè)圖形中大等邊三角形有2個(gè)，小等邊三角形有2個(gè)，第2個(gè)圖形中大等邊三角形有4個(gè)，小等邊三角形有4個(gè)，第3個(gè)圖形中大等邊三角形有6個(gè)，小等邊三角形有6個(gè)，…依次可得第n個(gè)圖形中大等邊三角形有2n個(gè)，小等邊三角形有2n個(gè)．故第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是：2×100+2×100＝400．故答案為：400．31．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED＝EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由”．小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE＝DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．（2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE＝DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請(qǐng)你完成以下解答過程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請(qǐng)你直接寫出結(jié)果）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）故答案為：＝．（2）過E作EF∥BC交AC于F，∵等邊三角形ABC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝EF＝AF，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF，∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD，故答案為：＝．（3）解：CD＝1或3，理由是：分為兩種情況：①如圖1過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝1，∵AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝，∵DE＝CE，EN⊥BC，∴CD＝2CN，∵AB＝1，AE＝2，∴AB＝BE＝1，∵EN⊥DC，AM⊥BC，∴∠AMB＝∠ENB＝90°，在△ABM和△EBN中，，∴△AMB≌△ENB（AAS），∴BN＝BM＝，∴CN＝1+＝，∴CD＝2CN＝3；②如圖2，作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝1，∵AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝，∵DE＝CE，EN⊥BC，∴CD＝2CN，∵AM∥EN，∴＝，∴＝，∴MN＝1，∴CN＝1﹣＝，∴CD＝2CN＝1，即CD＝3或1．一十一．直角三角形的性質(zhì)（共1小題）32．如圖，∠AOB＝50°，點(diǎn)P是邊OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），當(dāng)∠A的度數(shù)為90°或40°時(shí)，△AOP為直角三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：若△AOP為直角三角形，則①∠A＝90°時(shí)，△AOP為直角三角形；②當(dāng)∠APO＝90°時(shí)，△AOP為直角三角形，此時(shí)∠A＝40°．故答案為90°或40°．一十二．含30度角的直角三角形（共2小題）33．如圖所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，則PD等于2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，∵PC∥OA，∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，∴∠BCP＝30°，∴PM＝PC＝2，∵PD＝PM，∴PD＝2．故答案為：2．34．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？【答案】（1）；（2）或t＝1．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）當(dāng)BP＝BQ時(shí)，△PBQ為等邊三角形．即4﹣2t＝t．∴．當(dāng)時(shí)，△PBQ為等邊三角形；（2）若△PBQ為直角三角形，①當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴．即當(dāng)或t＝1時(shí)，△PBQ為直角三角形．一十三．勾股定理（共7小題）35．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的邊長是6cm，則正方形A，B，C，D，E，F(xiàn)，G的面積之和是（）A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2【答案】D【解答】解：由圖可得，A與B的面積的和是E的面積；C與D的面積的和是F的面積；而E，F(xiàn)的面積的和是G的面積．即A、B、C、D、E、F、G的面積之和為3個(gè)G的面積．∵G的面積是62＝36cm2，∴A、B、C、D、E、F、G的面積之和為36×3＝108cm2．故選：D．36．如圖，OP＝1，過點(diǎn)P作PP1⊥OP，得OP1＝；再過點(diǎn)P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又過點(diǎn)P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法繼續(xù)做下去，得OP2018＝（）A． B．2018 C． D．1【答案】C【解答】解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，OP4＝，…，以此類推，OP2018＝．故選：C．37．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)M在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，若使△BDM與△CMN全等，則點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度應(yīng)為2或3厘米/秒．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①當(dāng)BD＝CM＝6厘米，BM＝CN時(shí)，△DBM≌△MCN，∴BM＝CN＝2厘米，t＝＝1，∴點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為2厘米/秒．②當(dāng)BD＝CN，BM＝CM時(shí)，△DBM≌△NCM，∴BM＝CM＝4厘米，t＝＝2，CN＝BD＝6厘米，∴點(diǎn)N的速度為：＝3厘米/秒．故點(diǎn)N的速度為2或3厘米/秒．故答案為：2或3．38．如圖，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，分別以AB，AC，BC為邊向外作等邊三角形，面積分別記為S1，S2，S3，則S1+S2+S3的值等于8．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵如圖，分別以Rt△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)等邊三角形，∴S3＝c2，S2＝a2，S1＝b2，又∵△ABC是直角三角形，∴a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．∴S1+S2+S3＝2S3＝2××42＝8．故答案為：8．39．對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AD＝5，BC＝12，則AB2+CD2＝169．【答案】169．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得，BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2＝25+144，∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2，∴AB2+CD2＝169；故答案為：169．40．如圖，∠AOB＝90°，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，作射線OP，點(diǎn)M在射線OB上，且OM＝，點(diǎn)M′與點(diǎn)M關(guān)于射線OP對(duì)稱，且直線MM′與射線OA交于點(diǎn)N．當(dāng)△ONM'為等腰三角形時(shí)，ON的長為3或1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：M'位置有兩種情況，Ⅰ．M'在∠AOB內(nèi)部，如圖1，∵點(diǎn)M′與點(diǎn)M關(guān)于射線OP對(duì)稱，△ONM'為等腰三角形，∴M′N＝OM′＝OM＝，MH＝M′H，∵∠AOB＝90°，cos∠OMN＝∴，解得MH＝，∴MN＝2，在Rt△MON中，ON＝＝3Ⅱ．M'在∠AOB外部，如圖2，過N點(diǎn)作QN⊥OM′，∵△ONM'為等腰三角形，即M′N＝ON，∴M′Q＝M′O，∵OM＝，點(diǎn)M′與點(diǎn)M關(guān)于射線OP對(duì)稱，∴M′Q＝，OM＝OM′，∴∠OM′M＝∠OMM′，cos∠OM′M＝，cos∠OMM′＝，設(shè)ON＝M′N＝x，MH＝M′H＝y(tǒng)，，解得：x＝1，y＝，綜上所述：當(dāng)△ONM'為等腰三角形時(shí)，ON的長為3或1．故答案為3，1．41．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)N從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為2cm/s，點(diǎn)M從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為4cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（1）出發(fā)2s后，求MN的長；（2）當(dāng)點(diǎn)M在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘，△MNB是等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)M在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCM成為等腰三角形的t的值．【答案】（1）MN的長為4cm．（2）出發(fā)s后△MNB是等腰三角形．（3）當(dāng)t的值為6.6或6或5.5時(shí)，△BCM為等腰三角形．【解答】解：（1）當(dāng)t＝2時(shí)，AN＝2t＝4cm，BM＝2t＝8cm．∵AB＝16cm，∴BN＝AB﹣AN＝16﹣4＝12（cm），在Rt△BPQ中，由勾股定理可得，MN＝＝＝4（cm），即MN的長為4cm．（2）由題意可知AN＝2t，BM＝4t，又∵AB＝16cm，∴BN＝AB﹣AN＝（16﹣2t）cm，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，則有BM＝BN，∴16﹣2t＝4t，解得t＝，∴出發(fā)s后△MNB是等腰三角形．（3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC＝20cm，當(dāng)點(diǎn)M在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AM＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t，∴CM＝AC﹣AM＝20﹣（32﹣4t）＝4t﹣12，∵△BCM為等腰三角形，∴有BM＝BC，CM＝BC和CM＝BM三種情況：①當(dāng)BM＝BC＝12時(shí)，如圖，過B作BE⊥AC，則CE＝CM＝2t﹣6，在Rt△ABC中，可求得BE＝；在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，即122＝（）2+（2t﹣6）2，解得t＝6.6或t＝﹣0.6（舍去），②當(dāng)CM＝BC＝12時(shí)，則4t﹣12＝12，解得t＝6，③當(dāng)CM＝BM時(shí)，則∠C＝∠MBC，∵∠C+∠A＝90°＝∠CBM+∠MBA，∴∠A＝∠MBA，∴MB＝MA，∴CM＝AM＝10，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5，綜上可知，當(dāng)t的值為6.6或6或5.5時(shí)，△BCM為等腰三角形．一十四．勾股定理的證明（共2小題）42．“趙爽弦圖”是四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)正方形拼成的大正方形．如圖，每一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長分別是3和6，則中間小正方形與大正方形的面積差是（）A．9 B．36 C．27 D．34【答案】B【解答】解：根據(jù)題意得：小正方形的面積＝（6﹣3）2＝9，大正方形的面積＝32+62＝45，45﹣9＝36．故選：B．43．勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為4，則S1+S2+S3＝48．【答案】48．【解答】解：設(shè)八個(gè)全等的直角三角形的長直角邊為a，短直角邊是b，則：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案為：48．一十五．勾股定理的應(yīng)用（共1小題）44．《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部3尺遠(yuǎn)．問：原處還有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原處的竹子還有尺高．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝．故答案為：．一十六．生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象（共1小題）45．如圖，彈性小球從點(diǎn)P（0，1）出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到正方形OABC的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為P2，…，第n次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pn，則點(diǎn)P2020的坐標(biāo)是（）A．（0，1） B．（﹣2，4） C．（﹣2，0） D．（0，3）【答案】B【解答】解：如圖，根據(jù)反射角等于入射角畫圖，可知光線從P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（﹣2，4），再反射到P5（﹣4，3），再反射到P點(diǎn)（0，1）之后，再循環(huán)反射，每6次一循環(huán)，2020÷6＝336……4，即點(diǎn)P2020的坐標(biāo)是（﹣2，4），故選：B．一十七．軸對(duì)稱的性質(zhì)（共2小題）46．如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D為BC上一動(dòng)點(diǎn)，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作DF⊥AB于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值為．【答案】．【解答】解：如圖，連接AD，取AD中點(diǎn)G，連接EG、FG，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵DE⊥A