數(shù)學(xué)建模編程-重要知識(shí)點(diǎn)

1、1.建立符號變量和符號常量MATLAB提供了兩個(gè)建立符號對象的函數(shù)：sym和syms,兩個(gè)函數(shù)的用法不同.sym函數(shù)sym函數(shù)用來建立單個(gè)符號量,一般調(diào)用格式為：符號量名=sym('符號字符串')該函數(shù)可以建立一個(gè)符號量,符號字符串可以是常量、變量、函數(shù)或表達(dá)式.應(yīng)用sym函數(shù)還可以定義符號常量,使用符號常量進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時(shí)和數(shù)值常量進(jìn)行的運(yùn)算不同.下面的命令用于比擬符號常量與數(shù)值常量在代數(shù)運(yùn)算時(shí)的差異.syms函數(shù)函數(shù)sym一次只能定義一個(gè)符號變量,使用不方便.MATLAB提供了另一個(gè)函數(shù)syms,一次可以定義多個(gè)符號變量.syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為：syms符號變量名1符號

2、變量名2符號變量名n用這種格式定義符號變量時(shí)不要在變量名上加字符串分界符(；)變量間用空格而不要用逗號分隔.32矩陣A=42-7831一16,矩陣B=21 12 2；分別求出AxB及A與B中對應(yīng)元素之3 3間的乘積的程序語句答案：A=323;426;781;B=111;222;333;>>A*B,A.*Bans=161616262626262626ans=323841221243方陣的行列式：det(A)方陣的逆：inv(A)方陣的特征值與特征向量：V,D=eigA例繪制y=x3的函數(shù)圖、對數(shù)坐標(biāo)圖、半對數(shù)坐標(biāo)圖x=1:1:100;subplot(2,3,1);plot(x,x.A

3、3);gridon;title'plot-y=xA3'subplot(2,3,2);loglog(x,x.A3);gridon;title'loglog-logy=3logx'subplot(2,3,3);plotyy(x,x.A3,x,x);gridon;title'plotyy-y=xA3,logy=3logx'subplot(2,3,4);semilogx(x,x.A3);gridon;title'semilogx-y=3logx'subplot(2,3,5);semilogy(x,x.A3);gridon;title

4、9;semilogy-logy=xA3'在數(shù)據(jù)處理和分析應(yīng)用的其他函數(shù)名稱含義名稱含義min最小值max最大值Mean平均值median中位數(shù)std標(biāo)準(zhǔn)差diff相鄰元素的差sort排序length個(gè)數(shù)norm歐氏(Euclidean)長度sum總和prod總乘積dot內(nèi)積cumsum累計(jì)元素總和cumprod累計(jì)元素總乘積cross外積叉積下面是矩陣操作的一些例子：>>a=1,4,6,8,10%一維矩陣>>a(3)%a的第三個(gè)元素ans=6?x=123456784567891011;%二維2x8矩陣?x(3)%x的第三個(gè)元素ans=2?x(125)%x的第一、

5、二、五個(gè)元素ans=143>>x(2,3)%x的第二行第三列的元素ans=6x(1:5)%x的第前五個(gè)元素ans=14253?x(10:end)%x的第十個(gè)元素后的元素ans=869710811?x(10:-1:2)%x的第十個(gè)元素和第二個(gè)元素的倒排ans=857463524?x(find(x>5)%x中大于5的元素ans=67869710811?x(4)=100%給x的第四個(gè)元素重新給值x=12345678410067891011?x(3)=%刪除第三個(gè)元素(不是二維數(shù)組)x=Columns1through1214100364758697Columns13through15

6、10811?x(16)=1%參加第十六個(gè)元素x=Columns1through1214100364758697Columns13through16108111當(dāng)元素很多的時(shí)候,那么須采用以下的方式：?x=(1:2.5:120);%以:起始值=1,增量值=2,終止值二120的矩陣?yán)⒕仃嘇,然后找出大于4的元素的位置.(1)建立矢I陣A.A=4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0(2)找出大于4的元素的位置.find(A>4)例3-1分別建立命令文件和函數(shù)文件,將華氏溫度f轉(zhuǎn)換為攝氏溫度Co程序1:首先建立命令文件并以文件名f2c.m存盤.clear;%去除工作空間中的變

7、量f=input('InputFahrenheittemperature:');c=5*(f-32)/9然后在MATLAB的命令窗口中輸入f2c,將會(huì)執(zhí)行該命令文件,執(zhí)行情況為:InputFahrenheittemperature:7322.7778例3-2輸入x,y的值,并將它們的值互換后輸出.程序如下：x=input('Inputxplease.');y=input('Inputyplease.');z=x;x=y;y=z;disp(x);disp(y)；例3-3求一元二次方程ax2+bx+c=0的根.程序如下：a=input('a=

8、?');b=input('b=?');c=input('c=?');d=b*b-4*a*c;x=(-b+sqrt(d)/(2*a),(-b-sqrt(d)/(2*a);disp('x1=',num2str(x(1),',x2=',num2str(x(2);例3-4計(jì)算分段函數(shù)的值.程序如下：x=input('請輸入x的值:');ifx<=0y=(x+sqrt(pi)/exp(2);elsey=log(x+sqrt(1+x*x)/2;end(商品價(jià)格用price來表示):例3-6某商場對顧客所購置的商品

9、實(shí)行打折銷售,標(biāo)準(zhǔn)如下price<200沒有折扣200<price<5003%折扣500<price<10005%折扣1000<price<25008%折扣2500<price<500010%折扣5000<price14%折扣輸入所售商品的價(jià)格,求其實(shí)際銷售價(jià)格.price=input(,請輸入商品價(jià)格switchfix(price/100)case0,1rate=0;case2,3,4rate=3/100;casenum2cell(5:9)rate=5/100;casenum2cell(10:24)rate=8/100;casenu

10、m2cell(25:49)rate=10/100;otherwiserate=14/100;endprice=price*(1-rate)');%價(jià)格小于200%價(jià)格大于等于%價(jià)格大于等于%價(jià)格大于等于%價(jià)格大于等于%價(jià)格大于等于200但小于500500但小于10001000但小于25002500但小于50005000%輸出商品實(shí)際銷售價(jià)格3.try語句語句格式為：try語句組1catch語句組2endtry語句先試探性執(zhí)行語句組1,如果語句組1在執(zhí)行過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤,那么將錯(cuò)誤信息賦給保存的lasterr變量,并轉(zhuǎn)去執(zhí)行語句組2.例3-7矩陣乘法運(yùn)算要求兩矩陣的維數(shù)相容,否那么會(huì)出錯(cuò).

11、先求兩矩陣的乘積,假設(shè)出錯(cuò),那么自動(dòng)轉(zhuǎn)去求兩矩陣的點(diǎn)乘.程序如下：A=1,2,3;4,5,6;B=7,8,9;10,11,12;tryC=A*B;catchC=A.*B;endlasterr%顯示出錯(cuò)原因例5-6在同一坐標(biāo)內(nèi),分別用不同線型和顏色繪制曲線y1=0.2e-0.5xcos(4兀x)和y2=2e-0.5xcos(兀x),標(biāo)記兩曲線交叉點(diǎn).程序如下：x=linspace(0,2*pi,1000);y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x);y2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x);k=find(abs(y1-y2)<1e-2);%查找y1與y2相

12、等點(diǎn)(近似相等)的下標(biāo)x1=x(k);%取y1與y2相等點(diǎn)的x坐標(biāo)y3=0.2*exp(-0.5*x1).*cos(4*pi*x1);%求y1與y2值相等點(diǎn)的y坐標(biāo)plot(x,y1,x,y2,'k:',x1,y3,'bp');MATLAB提供的統(tǒng)計(jì)分析繪圖函數(shù)還有很多,例如,用來表示各元素占總和的百分比的餅圖、復(fù)數(shù)的相量圖等等.例5-14繪制圖形：(1)某企業(yè)全年各季度的產(chǎn)值(單位：萬元)分別為：2347,1827,2043,3025,試用餅圖作統(tǒng)計(jì)分析.pie(2347,1827,2043,3025);title('餅圖')；legend(&

13、#39;一季度,二季度,三季度,'四季度');M文件MATLAB的內(nèi)部函數(shù)是有限的,有時(shí)為了研究某一個(gè)函數(shù)的各種性態(tài),需要為MATLAB定義新函數(shù),為此必須編寫函數(shù)文件.函數(shù)文件是文件名后綴為M的文件,這類文件的第一行必須是一特殊字符function開始,格式為：function因變量名=函數(shù)名(自變量名)函數(shù)值的獲得必須通過具體的運(yùn)算實(shí)現(xiàn),并賦給因變量M文件建立方法：1.在Matlab中,點(diǎn)：File->New->M-file2 .在編輯窗口中輸入程序內(nèi)容3 .點(diǎn)：File->Save,存盤,M文件名必須與函數(shù)名一致.例:定義函數(shù)f(x1,x2)=100(x

14、2-x12)2+(1-x1)21 .建立M文件：fun.mfunctionf=fun(x)f=100*(x(2)-x(1)A2)A2+(1-x(1)A22 .可以直接使用函數(shù)fun.m例如：計(jì)算f(1,2),只需在Matlab命令窗口鍵入命令:x=12fun(x)例3-4計(jì)算分段函數(shù)的值.程序如下：x=input('請輸入x的值:');ifx<=0y=(x+sqrt(pi)/exp(2);elsey=log(x+sqrt(1+x*x)/2;endY22【例】采用模型4+y2=1畫一組橢圓.a25-at=0:pi/50:2*pia=0.5:.5:4,5;X=cos(t)*a

15、;丫=sin(t)*sqrt(25-a.A2);plot(X,Y),axis('equal'),xlabel('x'),ylabel('y')title('AsetofEllipses')例5-3分析以下程序繪制的曲線.x1=linspace(0,2*pi,100);x2=linspace(0,3*pi,100);x3=linspace(0,4*pi,100);y1=sin(x1);y2=1+sin(x2);y3=2+sin(x3);x=x1;x2;x3'y=y1;y2;y3'plot(x,y,x1,y1-1)一、

16、問題提出市場上有n種資產(chǎn)si(i=1,2n)可以選擇,現(xiàn)用數(shù)額為M的相當(dāng)大的資金作一個(gè)時(shí)期的投資.這n種資產(chǎn)在這一時(shí)期內(nèi)購置sj的平均收益率為,風(fēng)險(xiǎn)損失率為qi,投資越分散,總的風(fēng)險(xiǎn)越小,總體風(fēng)險(xiǎn)可用投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量.購置Sj時(shí)要付交易費(fèi),(費(fèi)率pi),當(dāng)購置額不超過給定值u時(shí),交易費(fèi)按購置ui計(jì)算.另外,假定同期銀行存款利率是°,既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn).(0=5%)n=4時(shí)相關(guān)數(shù)據(jù)如下：(%/%Si128q2.5一p1,IIX/u/u103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案,即用給定到達(dá)資金M,有選擇地購

17、置假設(shè)干種資產(chǎn)或存銀行生息,使凈收益盡可能大,使總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小.根本假設(shè)：1 .投資數(shù)額M相當(dāng)大,為了便于計(jì)算,假設(shè)M=1;2 .投資越分散,總的風(fēng)險(xiǎn)越??；3 .總體風(fēng)險(xiǎn)用投資工程§中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量；4 .n種資產(chǎn)Si之間是相互獨(dú)立的；5 .在投資的這一時(shí)期內(nèi),ri,pi,qi,ro為定值,不受意外因素影響；6 .凈收益和總體風(fēng)險(xiǎn)只受ri,pi,qi影響,不受其他因素干擾.符號規(guī)定：S第i種投資工程,如股票,債券ri,pi,qi-分別為S的平均收益率,交易費(fèi)率,風(fēng)險(xiǎn)損失率ui-si的交易定額r0-同期銀行利率Xi-投資工程S的資金a-投資風(fēng)險(xiǎn)度Q-總體收益AQ-總體收益的增量

18、7 .購置Si所付交易費(fèi)是一個(gè)分段函數(shù),即ppiXiXi>Ui交易費(fèi)=1piUiXiWUi而題目所給定的定值U(單位:元)相對總投資M很小,pu更小,可以忽略不計(jì),這樣貝買Si的凈收益為(ri-pi)xi8 .要使凈收益盡可能大,總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小,這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃模型：n目標(biāo)函數(shù)|MAX工(n-pi)1 ：0MINmaxqiXin約束條件'、(1p)X=MXi>0i=0,1,na.在實(shí)際投資中,投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的程度不一樣,假設(shè)給定風(fēng)險(xiǎn)一個(gè)界限a,使最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)qiXi/MWa,可找到相應(yīng)的投資方案.這樣把多目標(biāo)規(guī)劃變成一個(gè)目標(biāo)的線性規(guī)劃.模型1固定風(fēng)險(xiǎn)水平,優(yōu)化收益n1

19、目標(biāo)函數(shù)：Q=MAX(ri-pi)xii4約束條件：世iwa.MZ(1+Pi)Xi=M,Xi>0i=0,1,nb.假設(shè)投資者希望總盈利至少到達(dá)水平k以上,在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合.模型2固定盈利水平,極小化風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)函數(shù)：R=minmaxqiXin約束條件:(ri-Pi)Xi>k,一Tz(1+pi)Xi=M,Xi>0i=0,1,-nc.投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面時(shí),希望選擇一個(gè)令自己滿意的投資組合.因此對風(fēng)險(xiǎn)、收益賦予權(quán)重s(0<s<1),s稱為投資偏好系數(shù).n模型3目標(biāo)函數(shù)：minsmaxqiXi-(1-s)£(ri-pi)xii&

20、#163;n約束條件£(1+p)X=M,Xi>0i=0,1,2,ni0模型1為：minf=(-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185)(xoxiX2X3x4)TxX0+1.01X1+1.02X2+1.045X3+1.065X4=1s.t.0.025X1<aI0.015X2<a0.055X3Wa0.026x4<aXi>0(i=0,1,.4)由于a是任意給定的風(fēng)險(xiǎn)度,到底怎樣給定沒有一個(gè)準(zhǔn)那么,不同的投資者有不同的風(fēng)險(xiǎn)度.我們從a=0開始,以步長a=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索,編制程序如下：a=0;while(1.1-a)>1c=-0

21、.05-0.27-0.19-0.185-0.185;Aeq=11.011.021.0451.065;beq=1;A=00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.'),axis(00.100.5),holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')例1-4求解線性方程組.a=2,-3,1;8,3,2;45,1,-9;b=4;2;17;x=inv(a)*b矩陣的逆對于一個(gè)方陣A,如果存在一個(gè)與其同階的方陣B,使得：AB=BA=I(I為單位矩陣)那么稱B為A的逆矩陣,當(dāng)然,A也是B的逆矩陣.求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作,容易出錯(cuò),但在MATLAB中,求一個(gè)矩陣的逆非常容易.求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A).例2-11用求逆矩陣的方法解線性方程