數(shù)學(xué)建模：數(shù)碼相機(jī)定位模型

1、高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)那么.我們完全明白,在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式包括、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等與隊(duì)外的任何人包括指導(dǎo)教師研究、討論與賽題有關(guān)的問題.我們知道,抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)那么的,如果引用別人的成果或其他公開的資料包括網(wǎng)上查到的資料,必須根據(jù)規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出.我們鄭重承諾,嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)那么,以保證競(jìng)賽的公正、公平性.如有違反競(jìng)賽規(guī)那么的行為,我們將受到嚴(yán)肅處理.我們參賽選擇的題號(hào)是從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫：我們的參賽報(bào)名號(hào)為如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話：所屬學(xué)校請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?/p>

2、名：參賽隊(duì)員打印并簽名：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人打印并簽名：日期：年月日高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)：賽區(qū)評(píng)閱記錄可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)：數(shù)碼相機(jī)定位模型摘要本文利用光學(xué)原理建立物體成像位置關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,解決了相機(jī)系統(tǒng)標(biāo)定中的如何確定靶標(biāo)圓心對(duì)應(yīng)像坐標(biāo)和固定相機(jī)的相對(duì)位置等問題.針對(duì)如何確定靶標(biāo)圓心對(duì)應(yīng)像坐標(biāo)問題,我們分析討論了各種影像分析方法,基于針孔成像原理和相機(jī)坐標(biāo)系變換矩陣的思想,建立了線性相機(jī)模型,利用透視變換矩陣確定攝像機(jī)的位置標(biāo)定思想給出算法,通過(guò)找靶標(biāo)和像平面上對(duì)

3、應(yīng)公切線切點(diǎn)的方法取點(diǎn),利用取定的點(diǎn)和算法求得相機(jī)成像內(nèi)外參數(shù),利用MATLA編程求解,求得靶標(biāo)圓心對(duì)應(yīng)像坐標(biāo).結(jié)果如下：在問題1要求的三維坐標(biāo)系下A,B,C,D,E圓心對(duì)應(yīng)的像坐標(biāo)是(單位：mm：(-50.78,50.93,417.20),(-24.42,48.88,417.20),(32.77,44.44,417.20),(18.33,-32.20,417.20),(-60.37,-31.53,417.20).針對(duì)設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)我們模型的問題,我們采用最小二乘法擬合橢圓,確定中央點(diǎn),改變所選取的標(biāo)定點(diǎn),求得多組中央的值,比擬每組中央值與擬合的中央點(diǎn),差異不大.并對(duì)方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行了

4、討論.針對(duì)如何確定兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的問題,以物坐標(biāo)為中間變量,通過(guò)坐標(biāo)矩陣的變換建立模型,給出算法,最終確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置.本論文通過(guò)兩種方法比照分析,結(jié)果相對(duì)吻合,模型的可信度較高.考慮到畸變因素的影響,本論文進(jìn)行了模型改良,使模型具有更高的精度,有較強(qiáng)的推廣性.坐標(biāo)系變換矩陣公切線切點(diǎn)關(guān)鍵詞：針孔成像線性相機(jī)模型最小二乘法擬合橢圓1、問題重述數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管電子警察等方面有廣泛的應(yīng)用.所謂數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體外表某些特征點(diǎn)的位置.最常用的定位方法是雙目定位,即用兩部相機(jī)來(lái)定位.對(duì)物體上一個(gè)特征點(diǎn),用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像,分別獲得該點(diǎn)

5、在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo).只要知道兩部相機(jī)精確的相對(duì)位置,就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo),即確定了特征點(diǎn)的位置.于是對(duì)雙目定位,精確地確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置就是關(guān)鍵,這一過(guò)程稱為系統(tǒng)標(biāo)定.標(biāo)定的一種做法是：在一塊平板上畫假設(shè)干個(gè)點(diǎn),同時(shí)用這兩部相機(jī)照相,像位法是圓,中1得組對(duì)無(wú)法的形像圖到這些點(diǎn)在它們像平面上的像點(diǎn),利用這兩點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相置.然而,無(wú)論在物平面或像平面上我們都直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn).實(shí)際的做在物平面上畫假設(shè)干個(gè)圓稱為靶標(biāo),它們心就是幾何的點(diǎn)了.而它們的像一般會(huì)變?nèi)鐖D1所示,所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的把圓心的像精確地找到,標(biāo)定

6、就可實(shí)現(xiàn).靶標(biāo)上圓的像有人設(shè)計(jì)靶標(biāo)如下,取1個(gè)邊長(zhǎng)為100mm方形,分別以四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)為A、C、D、的正E為圓心,12mm為半徑作圓.以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心,12mm為半徑作圓,如圖2所示略.用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像,如圖3所示略.問題：1建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo),這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的焦點(diǎn),x-y平面平行于像平面；2對(duì)由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像,計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo),該相機(jī)的像距即焦點(diǎn)到像平面的距離是1577個(gè)像素單位1毫米約為3.78個(gè)像素單位,相機(jī)分辨率為1024X786;3設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ?并

7、對(duì)方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；4建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型和方法.2、模型假設(shè)2.1 假設(shè)相機(jī)鏡頭凸透鏡前后兩側(cè)弧度、介質(zhì)均相同,即鏡頭前后兩側(cè)折射率相同.2.2 假設(shè)相機(jī)鏡頭是很完善的,沒有缺損或傾斜等外部形變.2.3 假設(shè)物平面和像平面的中央與鏡頭的光學(xué)中央在同一條直線光軸上.2.4 假設(shè)物平面的點(diǎn)經(jīng)透鏡折射后都可以被像平面接到.2.5 假設(shè)問題1中靶標(biāo)和像平面的圖形是的.2.6 像平面上點(diǎn)的像坐標(biāo)的原點(diǎn)為該相機(jī)的光學(xué)中央,x-y平面平行與像平面2.7 假設(shè)不考慮照相機(jī)畸變.2.8 有效焦距f為相機(jī)鏡頭光學(xué)中央到像平面的距離,即像距.3、符號(hào)說(shuō)明OfXfyf：圖像像素坐

8、標(biāo)系(u,v):像點(diǎn)像素坐標(biāo)OXY:圖像物理坐標(biāo)系(X,Y):像點(diǎn)物理坐標(biāo)(Xc,yc,zc)：物點(diǎn)相機(jī)坐標(biāo)系OxwywZw:世界坐標(biāo)系(Xw,yw,zw):物點(diǎn)世界坐標(biāo)R:旋轉(zhuǎn)正交變換矩陣T:平移變換矩陣f：有效焦距M1：為相機(jī)成像內(nèi)部參數(shù)陣M2:為相機(jī)成像外部參數(shù)陣M:稱為投影矩陣4、模型建立及求解4.1 問題14.1.1 問題分析本問題的整體思路是：在僅物平面和像平面,相機(jī)的其他屬性參數(shù)未知的前提下,建立照相機(jī)模型,確定靶標(biāo)(物平面)上的點(diǎn)到該照相機(jī)像平面的像坐標(biāo)的映射關(guān)系,其中包括照相機(jī)成像系統(tǒng)內(nèi)外幾何及光學(xué)參數(shù)的標(biāo)定,從而到達(dá)只要給定標(biāo)靶上的點(diǎn),就可直接通過(guò)模型求得其像坐標(biāo)的目的.在

9、具體建立照相機(jī)模型時(shí),由于照相機(jī)與攝相機(jī)在成像原理上沒有本質(zhì)區(qū)別,因此沿用現(xiàn)有比擬成熟的攝機(jī)標(biāo)定技術(shù)的理論思想.對(duì)于問題1,根據(jù)假設(shè),靶標(biāo)和像平面的圖形是的,利用針孔成像原理建立模型,引入常用的相機(jī)模型坐標(biāo)體系,確定各坐標(biāo)體系的轉(zhuǎn)換關(guān)系,建立線性相機(jī)模型,利用透視變換矩陣的相機(jī)標(biāo)定技術(shù)的思想給出算法,求取相機(jī)模型的內(nèi)部參數(shù)和外部參數(shù).考慮到上述模型是基于靶標(biāo)點(diǎn)與像點(diǎn)已確定的前提下才能實(shí)現(xiàn)的,而實(shí)際上我們看到的只是靶標(biāo)上的假設(shè)干個(gè)圓和其拍攝的像(圓的變形圖),不是模型中要求的“點(diǎn).因此我們結(jié)合光學(xué)成像原理和兩圖形幾何位置關(guān)系確定假設(shè)干組特殊靶標(biāo)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)像點(diǎn).將靶標(biāo)點(diǎn)與對(duì)應(yīng)像點(diǎn)帶入模型,求得相機(jī)成

10、像系統(tǒng)的內(nèi)外參數(shù).此時(shí)只要給出靶標(biāo)上的點(diǎn),即可求得其像坐標(biāo).建模流程圖如下：4.1.2 問題1模型建立：4.1.2.1 坐標(biāo)系為了定量的描述光學(xué)成像過(guò)程,計(jì)算機(jī)一般采用右手定那么定義坐標(biāo)體系,即圖像像素坐標(biāo)系,圖像物理坐標(biāo)系,相機(jī)坐標(biāo)系和世界坐標(biāo)系,如圖1.【1】0Qtw,Tw,2«)Fu(X叫Yc)FdCfdUd)圖1圖像像素坐標(biāo)系：在圖像上定義直角坐標(biāo)系Ofxfyf,本模型中原點(diǎn)Of在圖像平面的左下角,u,v是以像素為單位的圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo).圖像物理坐標(biāo)系：用物理單位表示圖像像素位置,定義坐標(biāo)系OXY,原點(diǎn)O定義在相機(jī)與圖像平面交點(diǎn),X,Y是以毫米為單位的圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo).相機(jī)坐

11、標(biāo)系：相機(jī)坐標(biāo)系Oxyz是固定在相機(jī)上的直角坐標(biāo)系,其原點(diǎn)O定義在相機(jī)的光心,x,y軸分別平行于圖像物理坐標(biāo)系的x,y軸,zc與光軸重合,x,y,z是物點(diǎn)相機(jī)坐標(biāo).世界坐標(biāo)系：坐標(biāo)系Oxwywzw描述環(huán)境中任何物體的位置,根據(jù)具體情況而定.4.1.2.2 常用坐標(biāo)系變換關(guān)系2D從世界坐標(biāo)系xw,yw,zw到相機(jī)坐標(biāo)系x,y,z的變換,世界坐標(biāo)系中的點(diǎn)到相機(jī)坐標(biāo)系的變換可由一個(gè)正交變換矩陣R和一個(gè)平移變換矩陣T表示:r13Ixw23|yw|+T(1)用齊次坐標(biāo)和矩陣形式表示為:-x1yFlz0TJ一Tyw11ZwJ一其中：T=tx,ty,tzT是世界坐標(biāo)系原點(diǎn)在相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo),ri2B正交旋

12、轉(zhuǎn)矩陣R=r4r5r6：7幾r9_ri2r22r32=1且矩陣元素滿足：r42r52r62=1222,rr8l=1正交旋轉(zhuǎn)矩陣中的三個(gè)獨(dú)立變量r1,r2,r3,加上平移矩陣中的tx,ty±總共有6個(gè)參數(shù)決定了相機(jī)光軸在世界坐標(biāo)系中空間位置,因此這六個(gè)參數(shù)稱為相機(jī)外部參數(shù).(2)從相機(jī)坐標(biāo)系到圖像物理坐標(biāo)系的理想投影變換即針孔模型下的理想透視投影變換,有下式成立X=fx/zY=fy/z(f為有效焦距)(3)同樣用齊次坐標(biāo)和矩陣表示上式為Xf000zY卜0f001_0010將上式的圖像坐標(biāo)系進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為圖像坐標(biāo)系:-U0=X/dx=SxX-V0=Y/dy=SyY(5)齊次坐標(biāo)表小為:(6

13、)其中,U0,V0是圖像中央(光軸與圖像平面的交點(diǎn))坐標(biāo),dx,dy分別為一個(gè)像素在X與Y方向上的物理尺寸,Sx=1/dx,Sy=1/dy分別為X與Y方向上的采樣頻率,即單位長(zhǎng)度的像素個(gè)數(shù).由此可得物點(diǎn)P與圖像像素坐標(biāo)系中像點(diǎn)P的變換關(guān)系:u-u0=fsxx/z=fxx/zv-V0=fSyy/z=fyy/zfx,fy,U0,V0等4個(gè)其中,fx=fSxh=fSy分別定義為X和Y方向的等效焦距.參數(shù)只與相機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)有關(guān),因此稱為相機(jī)內(nèi)部參數(shù)3世界坐標(biāo)系與圖像物理坐標(biāo)系變換關(guān)系共線方程Xu-u011例ZwtxffxYv-V0f=f31%.32Xw/Xwtz21人,吐丫亞,.ty3',32x

14、w,33.tz(8)齊次坐標(biāo)表小為:"ulfx00fyU0V0010-1J01R0TXwITywZw1=M1M2X=MX上式就是攝影測(cè)量學(xué)中最根本的共線方程,說(shuō)明物點(diǎn)、光心和像點(diǎn)這三點(diǎn)必須在同一條直線上.這是針孔模型或者中央投影的數(shù)學(xué)表達(dá)式.根據(jù)共線方程,在相機(jī)內(nèi)部參數(shù)確定的條件下,利用假設(shè)干個(gè)的物點(diǎn)和相應(yīng)的像點(diǎn)坐標(biāo),就可以求解出相機(jī)的六個(gè)外部參數(shù),即相機(jī)的光心坐標(biāo)和光軸方位的信息.4.1.3 算法設(shè)計(jì)利用透視變換矩陣相機(jī)標(biāo)定思想【3】,寫成具體算法如下:將9式寫為："u1一色1m12色3m21m22m231J口31m32m33m(4m24m34xwI|ywZwJ一(10)

15、mj為變換矩陣mmj的線性方程.其中XwywZw11是空間三維點(diǎn)的世界坐標(biāo),u,v,1為相應(yīng)的圖像坐標(biāo),的元素.它包含三個(gè)方程,整理消去Z后,可得到如下兩個(gè)關(guān)于關(guān)于(11)mxw“wm13Zwm-um-uywm-uz=umm2wmywm.m-V531一Vywmvzn=Vm方程11描述了三維世界坐標(biāo)點(diǎn)xw,yw,Zw,1與相應(yīng)圖像點(diǎn)u,v,1之間的關(guān)系.如果三維世界坐標(biāo)和相應(yīng)的圖像坐標(biāo),將變換矩陣看作未知數(shù),那么共有12個(gè)未知數(shù).對(duì)于每一個(gè)物體點(diǎn),都有如上的兩個(gè)方程,因此,理論上,取6個(gè)物體點(diǎn),就可以得到12個(gè)方程,從而求得變換矩陣M的系數(shù).但特殊的是,由于該方程沒有常數(shù)項(xiàng),即方程形式為AX=0

16、,因此無(wú)法直接求解.(1)求解M,Lr,r,t._、>*rA'1.1.*'>_.»»»*r*、>一?般可做如下變換令M=m34M,即求解M時(shí)令m34=1,那么共有11個(gè)未知數(shù),取n個(gè)目標(biāo)點(diǎn)n26可得2n個(gè)方程,是個(gè)超定方程,表示成矩陣形式如下:kLm'=u(12)其中xw10yw10zw10xw1zw1-u1xw1-v1xw1-U1yw1一v1yw1U1zw1一V1Zw1Xwi0ywi0zwi0xwiywizwi-Uixwi-vixwi-Uiywi-viywi-uiz-uizwiwi2n11'.''

17、'''.TM=m11,m12,m13,m14,m21,m22,m23,m24,m3m32,m33v1.qvi.unvnT利用最小二乘法求出上述線性方程組的解為:T1TM'=(KK)KU實(shí)際上由等式M'矩陣即可確定物體世界坐標(biāo)xw,yw,Zw到圖像點(diǎn)u,v的映射關(guān)系.(2)求解R,T和m34將R和M矩陣分塊,其中R代表R矩陣中第i行,Mi代表M矩陣中第i行的前三個(gè)元素組成的行向量,即XIR=r2/3Jm141m24m34=m34M-M1'm,4m2'm24.'M31534(13)由矩陣變換M1bM2=M可得:m1m14；41_Mm3

18、4MMm241M2m14m24fxR1U0R3=fyR2+v°R3fxtfyt_M3m34yv0tztz(14)化簡(jiǎn)結(jié)果如下:R2=m34M2-v0M3fyR3-m34M3txm34m14-U0fxtym34m24一Uofxfyfytz=m34''=m341M1M3I''.=m341MlM31綜上,帶入?yún)?shù),可得到投影矩陣MM=m34,M',同時(shí)可以求得相機(jī)成像內(nèi)外參數(shù).3在靶標(biāo)圖和像圖上確定特殊標(biāo)點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)像點(diǎn)線性相機(jī)模型成像原理本質(zhì)是相同的,因此基于小孔成像的原理,靶標(biāo)中兩圓間公切線所在的切點(diǎn)在經(jīng)過(guò)鏡頭折射后,必然與像中對(duì)應(yīng)的兩個(gè)形變后的圓

19、的公切線所在切點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的,如下列圖所示：由左圖物圖到右圖像圖,圓的形狀雖然有改變,但是公切線所在切點(diǎn)還是對(duì)應(yīng)不變的.對(duì)于物平面上的假設(shè)干個(gè)圓,任取兩圓可得四個(gè)切點(diǎn),這樣可得假設(shè)干個(gè)切點(diǎn)及其對(duì)像平面上的像點(diǎn),實(shí)際取多少切點(diǎn)可根據(jù)圖形和解題需要具體確定.由此可確定靶標(biāo)中切點(diǎn)的世界坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)像中切點(diǎn)像素坐標(biāo).4.1.4 求解通過(guò)上述模型和算法程序見附錄prol得到投影矩陣,也就是確定了原模型中相機(jī)成像的內(nèi)外參數(shù).此時(shí),只要給出物平面的圓心,就可直接求得靶標(biāo)上圓心在像平面上像坐標(biāo).4.2 問題24.2.1 問題分析根據(jù)題目給出的條件,首先利用問題1取點(diǎn)方法得到多組靶標(biāo)點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)像點(diǎn),從而確定靶標(biāo)點(diǎn)的世

20、界坐標(biāo)及其像點(diǎn)的像素坐標(biāo),再將其帶入問題1模型,可以得到相機(jī)成像內(nèi)外參數(shù).最后將圖2的圓心的世界坐標(biāo)帶入模型,得到對(duì)應(yīng)像平面上的像坐標(biāo).4.2.2 模型的建立(1)選取特殊物點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)像點(diǎn)此題中選取的世界坐標(biāo)系是以物平面的左下角E為原點(diǎn),EA方向?yàn)閤軸,EB方向?yàn)閥軸.利用問題1中公切線取點(diǎn)的方法,結(jié)合問題本身,可選取的切點(diǎn)及其像平面對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)如下(圖中僅給出圓兩兩外切情況,公切線內(nèi)切選點(diǎn)也可用)：靶標(biāo)上的取點(diǎn)：像平面上靶標(biāo)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)no具體取點(diǎn)的算法和流程圖如下編程見附錄program2:Stepl:根據(jù)圖3靶標(biāo)的像的每個(gè)像素顏色的不同將bmp圖轉(zhuǎn)化為0/1編碼Step2：運(yùn)用廣度搜索算

21、法擴(kuò)展節(jié)點(diǎn),建立在一個(gè)區(qū)域圖形的相互關(guān)系Step3:運(yùn)用并查集算法壓縮路徑,將每個(gè)區(qū)域圖形獨(dú)立Step4：用一個(gè)像點(diǎn)周圍四個(gè)點(diǎn)來(lái)確定該點(diǎn)是否為區(qū)域圖形的邊緣點(diǎn),如果為邊緣點(diǎn)那么存入v數(shù)組中Step5:對(duì)于任意兩個(gè)區(qū)域,各取一個(gè)邊緣點(diǎn),確定一條直線y=k*x-bStep6:將這兩個(gè)區(qū)域上所有的邊緣點(diǎn)的橫坐標(biāo)帶入直線,檢測(cè)該直線是否與該區(qū)域相切,如果該直線與兩個(gè)區(qū)域都相切,那么這對(duì)邊緣點(diǎn)為兩個(gè)區(qū)域的一對(duì)切點(diǎn)Step7:對(duì)求出的切點(diǎn)進(jìn)行處理,確定任意兩個(gè)區(qū)域的所有切點(diǎn)注：任意兩個(gè)區(qū)域應(yīng)有兩對(duì)切點(diǎn),但由于精度原因,兩個(gè)區(qū)域我們求出多對(duì)解.將橫縱坐標(biāo)不超過(guò)2個(gè)像素的點(diǎn)歸為一類點(diǎn),將這一類點(diǎn)求平均值,拋棄

22、距離平均值點(diǎn)10個(gè)像素點(diǎn),再求剩余點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的平均值,取整,確定兩個(gè)區(qū)域的兩對(duì)切點(diǎn).讀入靶標(biāo)的像的圖片得到如下特殊切點(diǎn)的像點(diǎn)坐標(biāo)像平面左下角為原點(diǎn),單位是像素uvuvuvP1326619P7288301P13364580P2425610P8591296P14323266P3645591P9278232P15604554P4312539P10577233P16549253P5416532P11282579P17676559P6636517P12246262P18617270機(jī)成像內(nèi)外參數(shù)：3.380.140283.79M=0.162.710264.820.000.0001-3.380.14028

23、3.79M=0.162.710264.824工J.00M107.00父10010.260.040R=-0.010.260-0.10-0.100_20.96T=20.2511.73_注：線性方程組中未知數(shù)的數(shù)目大于實(shí)際自由度的數(shù)目,因此,線性方程中的未知數(shù)不是相互獨(dú)立的,在有噪聲的情況下,解的線性方程中的未知數(shù)也許能很好地符合這一組線性方程,但由此分解得到的參數(shù)值未必能與實(shí)際情況相符,使得精度受到一定限制.3靶標(biāo)上圓心在像平面上對(duì)應(yīng)的像坐標(biāo)利用MATLAB程求解,程序見pro2對(duì)于靶標(biāo)上的圓,通過(guò)M矩陣變換求得其在像平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的像素坐標(biāo)為以左下角為坐標(biāo)原點(diǎn),單位：像素：ABCDEu320.0

24、7419.69635.88581.32283.79v576.51568.78552262.3264.82問題1要求的坐標(biāo)系下,A,B,C,D,E的相機(jī)坐標(biāo)為單位：mri:ABCDEx-50.7751-24.420632.7724918.33862-60.373y50.9285748.883644.44444-32.1958-31.5291z417.1958417.1958417.1958417.1958417.19582確定相機(jī)內(nèi)外參數(shù)確定特殊點(diǎn)以后,帶入問題1中線性相機(jī)模型,利用問題1中具體算法可以求得相禾I用MATLA做圖,在像平面的圓上標(biāo)出求得的像點(diǎn),如下:網(wǎng)6005505口口45040

25、0350300250200200250300360400450500560600660700從圖形可以直觀的看出,求得的像點(diǎn)在圖形(近似看成橢圓)的中央附近,偏差不大,這是符合實(shí)際中照相機(jī)拍照原理的,由此也表達(dá)了模型的合理性和有效性.4.3問題34.3.1 問題分析在前兩問中,我們建立的模型主要是從光學(xué)成像原理方面,利用坐標(biāo)系的變換關(guān)系來(lái)找到靶標(biāo)上圓的像坐標(biāo).實(shí)際中,由于物距比相距大得多,一般可以近似的認(rèn)為,圓在經(jīng)過(guò)透鏡成像以后變?yōu)闄E圓,假設(shè)不考慮畸變因素,可以認(rèn)為橢圓的中央就是原物平面圓的中央.基于這種思路,在本問題中我們首先提取橢圓邊緣點(diǎn),然后采用最小二乘法提取像平面中橢圓,進(jìn)而求得橢圓中

26、央坐標(biāo),即為靶標(biāo)圓心的像坐標(biāo),并基于此解對(duì)問題2進(jìn)行檢測(cè).4.3.2 模型建立(1)建立橢圓最小二乘法擬合模型：先對(duì)采集的像平面的bm|H像轉(zhuǎn)化為0/1編碼,通廣度搜索和并查集確定橢圓區(qū)域邊緣點(diǎn),跟據(jù)邊緣點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合.橢圓的平面方程為【4】：Ax2BxyCy2DxEyF=0BE-2CDXc2根據(jù)該方程所確定的橢圓的中央坐標(biāo)為:4AC-B2BD-2AEyc4AC-B2假設(shè)一般形式的橢圓方程如所列,為了防止零解,并將解的任何整數(shù)倍都視為對(duì)同一橢圓的表述,對(duì)參數(shù)做一些限制,約束條件設(shè)為A=1,顯然,直接應(yīng)用上述方程對(duì)邊緣檢測(cè)后的離散點(diǎn)進(jìn)行最小二乘處理,就可以得到方程中的各系數(shù).也即求目標(biāo)函

27、數(shù)n222f(B,C,D,E,F)='、(Ax：BXiyCy：DXjEyF-0)2i4的最小值來(lái)確定各系數(shù).再由極值原理,欲使fA,B,C,D,E值為最小,必有f=f=f?$.,由此可得一個(gè)線性方程組151:N寸22£XV、i士N,.13XiVi一Nk2工XiViiVN2、Xy一N“Xy,i1NN寸13%.2“Xiy'XiyNN.2,.“Xiy'、Xiyi1i=1NNN4Vi-2XiVi3Vii1i1i1i1i1N2XiViN2XNzzzXiVii1iWiVNNNz3VizXiViz2Vii1i=1i=1N2ViNNzzXzViN-2Vii=1N"X

28、iVN"Vii=1NCId,FN3£xViiVN,.22XVi.1Nk3工xiVN2“XVi一N2戶VJiT1然后應(yīng)用求解線性方程組的算法如全主元高斯消去法,結(jié)合約束條件,用MATLAB編程求解程序見pro3,就可以求得方程系數(shù)A,B,C,D,E,F的值,同時(shí)求得橢圓圓心.2結(jié)果檢驗(yàn)及精度和穩(wěn)定性分析Step1:判斷區(qū)域圖像內(nèi)的每個(gè)像點(diǎn)是否在擬合的橢圓內(nèi),像素點(diǎn)坐標(biāo)為Xo,V.,代入2222Ax+Bxv+Cv+Dx+Ev+F,右Ax.+Brv.+Cv.+Dx.+Ev.+F>0,貝U點(diǎn)x.,v.在擬合的橢圓外,否那么那么在橢圓內(nèi).Step2:確定像點(diǎn)在擬合橢圓內(nèi)的個(gè)數(shù)M

29、像點(diǎn)個(gè)數(shù)為N,那么該區(qū)域的擬合精度為S=MNStep3:求出所有區(qū)域圖像的擬合精度,求平均值,即為此最小二次擬合橢圓的精度利用MATLAB®程求解程序見pro4,擬合圖像為：擬合度為:橢圓12345精度0.9725P0.90370.98160.97670.9903那么平均橢圓擬合度為：3=0.96496,由此可以看出擬合度較高,擬合效果很好.3利用擬合橢圓對(duì)問題2結(jié)果的檢驗(yàn)由于對(duì)相機(jī)來(lái)說(shuō),物距遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于焦距,圓經(jīng)小孔成像的投影接近橢圓,我們對(duì)成像進(jìn)行橢圓的最小二乘擬合,以橢圓的中央作為圓心的參考投影點(diǎn),評(píng)價(jià)模型結(jié)果的精確性以及穩(wěn)定性.模型2結(jié)果的精確性檢驗(yàn)根據(jù)橢圓擬合的結(jié)果,以橢圓左下

30、角為原點(diǎn),自左向右為x軸,自下向上為y軸建立圖像素坐標(biāo)系,得到橢圓中央的坐標(biāo)ABCDEU325.4300F424.9500641.0200583.7100287.5200；V586.9800576.0500557.0700266.4000271.7900JUi-u；2Vi-v；2定義平均偏差d二且5那么求得d=8.12像素單位假設(shè)以分辨率lx=1024,ly=768作為權(quán)重那么誤差率d=-=d=.=0.63%Yi2兩種方法得到的圓心坐標(biāo)根本一致,證實(shí)模型結(jié)果比擬精確.模型2結(jié)果的穩(wěn)定性分析在問題二的模型中,參數(shù)是由切點(diǎn)的世界坐標(biāo)和圖像像素坐標(biāo)決定的考察模型結(jié)果的穩(wěn)定性應(yīng)考察取不同的切點(diǎn)組求得的

31、圓心坐標(biāo)的差異在取100組100EC；0不同的切點(diǎn),每組10個(gè)切點(diǎn)：第一組：P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9,P10第二組：P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9,P11第三組：P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9,P12第一組ABCDEu323.07415.69639.88584.32283.79v578.51568.78552.10261.30264.82:第二組ABCDEu317.09417.52635.88580.321286.79v576.52566.30551.98264.30262.81第三組ABCDEu319.09419.526

32、28.88586.321289.791v582.52585.30558.98269.30266.81求得誤差率分別為：；=0.6%2=0.72%.=0.63%直方圖x?2?.=0.085N=100中的取值在0.48,0.78區(qū)間內(nèi),變化范圍不大,證實(shí)模型結(jié)果有較強(qiáng)的穩(wěn)定性.4.3.3對(duì)誤差原因的探討誤差主要是未考慮畸變因素造成的,引入畸變影響因素,可建立非線性模型對(duì)其進(jìn)行修正,進(jìn)而得到精度更高的解.主要的畸變誤差分為三類：徑向畸變、偏心畸變和薄棱鏡畸變.第一類只產(chǎn)生徑向位置的偏差,后兩類那么既產(chǎn)生徑向偏差,又產(chǎn)生切向偏差.(1)徑向畸變：光學(xué)鏡頭徑向曲率的變化是引起徑向變形的主要原因.這種變形

33、會(huì)引起圖像點(diǎn)沿徑向移動(dòng),離中央點(diǎn)越遠(yuǎn),其變形量越大.正的徑向變形量會(huì)引起點(diǎn)向遠(yuǎn)離圖像中央的方向移動(dòng),其比例系數(shù)增大；負(fù)的徑向變形量會(huì)引起點(diǎn)向靠近圖像中央的方向移動(dòng),具比例系數(shù)減小.、X=kiXd(X；Yd2)O(Xd,Yd)5、Yr=kiYd(X：Y；)O(Xd,Yd)5(2)偏心畸變：由于裝配誤差,組成光學(xué)系統(tǒng)的多個(gè)光學(xué)鏡頭的光軸不可能完全共線,從而引起偏心變形,這種變形是由徑向變形分量和切向變形分量共同構(gòu)成.Xd=P1Xd(3X；Y；)2p2XdYdO(Xd,Yd)4Yd=2.XdYdp2Xd(Xd3Y；)O(Xd,Yd)4(3)薄棱鏡變形：薄棱鏡變形是指由光學(xué)鏡頭制造誤差和成像敏感陣列制

34、造誤差引起的圖像變形,這種變形是由徑向變形分量和切向變形分量共同構(gòu)成、.Xp=s(X；Yd2)O(Xd,Yd)422_4_-Yp=S2(XdYd)O(Xd,Yd)圖像平面理想圖像點(diǎn)坐標(biāo)(Xu,Yu)與實(shí)際圖像點(diǎn)坐標(biāo)(Xd,Yd)與畸變誤差之和,即：Xu=Xd、Xr、Xd、XpX=YdYrYdYp綜上,根據(jù)實(shí)際情況引入不同畸變因素,用非線性相機(jī)模型求解,具體可見模型改進(jìn).4.4問題44.4.1 問題分析當(dāng)兩部相機(jī)位置固定時(shí)確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置,就是要確定兩部相機(jī)間的旋轉(zhuǎn)角度和平移距離.根據(jù)其拍攝的圖像,利用問題1模型可以分別得到在同一世界坐標(biāo)系下的物與兩部相機(jī)的位置關(guān)系,然后以物的世界坐標(biāo)為中

35、間變量,利用旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣,對(duì)物與相機(jī)坐標(biāo)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換,得到兩相機(jī)間的相對(duì)位置關(guān)系.4.4.2 模型建立立體相機(jī)模型如圖4世界中標(biāo)系X月期Xttr*P(XWiYw.Zw)雙目立體相機(jī)系統(tǒng)不同于單相機(jī)的一個(gè)主要方面是,除了每個(gè)相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)需要標(biāo)定之外,還要精確確定兩個(gè)相機(jī)之間的相對(duì)位置和姿態(tài),稱為外部參數(shù)標(biāo)定【6】.如圖,設(shè)P點(diǎn)在世界坐標(biāo)系、左鏡頭坐標(biāo)系、右鏡頭坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為xxXrX=y,Xl=|yiI,Xr=yr-zj!zizj故由問題1模型中從世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換有Xl二RXTXr=RrXTr1其中R,R分別為左右攝像機(jī)在世界坐標(biāo)系下的方向矩陣,標(biāo)系下的平移矩陣那么由左攝像機(jī)坐標(biāo)變換可得X=RXl-Rl/Tl將該式帶入右坐標(biāo)系,可得Xr=RrR,Xl+Tr-RRT1Tl令Rr二RrR1Tir=Tr-叩一丁(15)(16)Ti,Tr為左右攝像機(jī)在世界坐(17)(18),Tk表示從左相機(jī)坐標(biāo)系到右那么用Rr表示從相機(jī)左坐標(biāo)系到右相機(jī)坐標(biāo)系的旋