數(shù)值分析典型例題

1、因止匕絕對誤差限和相對誤差限分另I為0.05和0.00205。解：因為f(0)f(1)<0,且當x0,1時，f'(x)=3x2-2x-2<0,所數(shù)值分析典型例題例1對下列各數(shù)寫出具有5位有效數(shù)字的近似值。236.478,0.00234711,9.000024,9.000034103.解：按照定義，以上各數(shù)具有5位有效數(shù)字的近似值分別為：236.478,0.0023471,9.0000,9.0000M103。注意：x=9.000024的5位有效數(shù)字是9.0000而不是9,因為9是1位有效數(shù)字。例2指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字。2.0004,-0.00200,-9000,9父1

2、03,2M10、解：按照定義，以上各數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)分別為5,3,4,1,1例3已測得某物體行程s*的近似值s=800m,所需時間s*的近似值為t=35s,右已知11-t|W0.05s,|s-s|W0.5m,試求平均速度v的絕對泰差和相對誤差限。解：因為v=s/t,所以e(v)%型+空e(t)=1e(s)-541)二s：ttt從而1s1800|e(v)|e(s)|三|e(t)|-0.52：0.0469三0.05tt235352同樣G(v)：幽ser(s)-er(t)=e(s)-er(t)v二sv二tv05005所以|er(v)|一|er(s)|er(t)|三：0.0020580035n例4試建

3、立積分In=_dxn=0,1，20的遞推關(guān)系，并研究它的誤差x5傳遞。1.解：In=-5In/.nI。=ln6-ln5,計算出I。后可通過(1)依次遞推計算出I1，,葭。但是計算I0時有誤差e0,由此計算出的I1j,I20也有誤差，由(1)可知近似值之間的遞推關(guān)系為1In=一5In.(2)n(1) -(2)可得en=-5en=(-5)ne0,由I。計算In時誤差被放大了5n倍。所以(1)不穩(wěn)定。(1) 可以改寫為1 1,、憶一一(3)55n如果能先求出I20,則依次可以求出I19，I0,計算I20時有誤差，這樣根據(jù)(3)計算/，I°就有誤差，誤差傳播為1ien口=-en,塊差依次減少

4、。<5J例5用二分法求解方程f(x)=x3-x2-2x+1=0在區(qū)間0,1內(nèi)的1個實根，要求有3為有效數(shù)字。11以萬程在0,1內(nèi)僅有一個實根，由$(1-0)M1x10,解得2k2k之孫”29.965,所以至少需要二分10次，才能得到滿足精度要ln2求的根。第k次有根區(qū)間為ak,bk,Xk=1(ak+bk)，該題的二分法的計算2過程問下表，結(jié)果x10=(a10,b10)/2：0.445k(ak(f(ak)的»)(xk(f(xk)的)(bk(f(bk)的»)00(+)0.5(-)1(-)10(+)0.25(+)0.5(-)20.25(+)0.375(+)0.5(-)30.

5、375(+)0.4375(+)0.5(-)40.4375(+)0.46875(-)0.5(-)50.4375(+)0.453125(-)0.46875(-)60.4375(+)0.4453125(-)0.453125(-)70.4375(+)0.44140625(+)0.4453125(-)80.44140625(+)0.443359375(+)0.4453125(-)90.443359375(+)0.444335937(+)0.4453125(-)100.444335937(+)0.444824218(+)0.4453125(-)例6在區(qū)間2,4上考慮如下2個迭代格式的斂散性(DXk書=j2

6、xk+3k=0,1,2,-3)1一一.解：(1)中(x)=、：2x+3W'(x)=,當xw2,4時，.2x3平(x)W(2),平(4)=行不不仁2,4;俾'(x)|W%2)W4<1,由收,7斂定理可知對任意的x°e2,4,迭代格式收斂1(2)邛(x)=(x23)p(x)=x,當x2,4時|%x)戶2,從而該迭2代格式發(fā)散。例7用迭代法求方程f(x)=x(x+1)2-1=0在0.4附近的根，精確到4位有效數(shù)字。1.解：將萬程改與成等價的形式x=2,于是有(x1)1中(x)=2,*(x)=3。|中(0.4)|=0.7289C1,從而迭代格(x1)(x1)式x

7、1;=-12k=0,1,2,是局部收斂的，計算結(jié)果如下。(xk1)2x0=0.4,x1=0.510204,x17=0.465602,x18=0.4655521|x18-x17|=0.00005,誤差不超過M10,從而近似解x18=0.4655522具有4位有效數(shù)字。12xi-3x23x3=15例8用列主元Gauss消元法解線性方程組78x1-3x2+x3=15ix1+2x2+x36解：方程組的增廣矩陣為1218-1-3-32151561812l1-3-3215、156r2«_2開13T103r118r18-311518-31153修201119410111941T6186T61860

8、75003296-13J1111j通過回帶過程得解為X3=3,X2=2,X1=1。12X1-3x2例9將方程組-18x1-3x2-X1+2x23X3X3程組的解。解：增廣矩陣為1232工:12-332763_7216313211218-1-3-32151521612-31157-15311194161861800=15=15的系數(shù)矩陣作LU分解，并求方X3=61515，LU的緊湊格式為6所以系數(shù)矩陣的LU分解為-332372163)角形方程組為120-3320372163X1X2X3例10假設(shè)夕!陣A=15_152<161-1，解得x3=3,x2=2,x1=1。-3+cI，求11Ah11

9、A|1,|A|2。2解：|Ab=max1+|3|,|1|+2=4|A|1=max1|-1|b3|2=4=5ATA=2-5-513的特征方程為5二0-13，其特征根為15221,12215-221211A|2=7(AtA)=.152221:3.864例11討論用Jacobi迭代法求解線性方程組收斂性，如果收斂，取初值（3）（3）（3）X1,X2,X3。10X1-2x2-x3=342x1+10x2x3=15的_X1-2x2+5x3=10x1=x20)=x30)=0，求解：方程組的系數(shù)矩陣A10-2V1-210-29.110'-210-2-11=0，即入(500九2-54K-2)=0,通過計

10、算得特征B=D(LU)=一方程|'I-B|=0,-0.2-0.20.10.2-0.2-0.4得其特征值為1=-0.2,2=代法是收斂的。(k七x1迭代格式為x2k卡k1)(1)x1=0.3,x21)=1.5,x3"x10-2-2-1-10-200.20.20.200.40.1、0.1,特征0,271729,1350027一.1729,9，因此|九max|<1,從而迭代500法是收斂的。-0.1-0.1=0,即50九350九一0.6=0,通過計算迭代格式為(k1)x1(k1)x2(k1)x3=(2x2k)-x：3)/10=(2x1(k+)+x+15)/10,將初值帶入計算

11、可得二(x1(k1)2x2k1)10)517,'3二1010，因此|九max|<1，從而迭x1x1(3)=0.3,x2"=1.56,x3"=2.684,x1=0.8804,x22)=1.9445,x32)=2.9539,=0.9843,x23)=1.9923,x33)=2.9938=(2x2k)=(2x，(k)x3.(k)二(x，2x2k)3)/10+15)/10,10)5將初值帶入計算可得例13已知sin30°=0.5,sin45°=±2,sin60°，用一次插值多項式、22二次插值多項式近似sinx,并用此近似求出s

12、in50°。=2,x1(2)=0.8,x22)=1.76,=0.918,x23)=1.926,x33)=2.864(2)*3=2.66,解：取30°和45°作為節(jié)點作一次插值得L1(x)=x-451x-302X十X30-45245-302例12討論用Guass-Seidel迭代法求解線性方程組10X1-2x2-X3=3-2x110x2-x3=15-x1-2x25x3=10050-45150-30.2sin50°:L1(50)=-0.7761430-45245-30245°和60°作為節(jié)點作的收斂性，如果收斂，取初值x1(°)

13、=x20)(0),=x3=0(3)(3)(3)求x1,x2,x3。解：方程組的系數(shù)矩陣A=10-2-2-110-2-1-1,迭代矩陣的特征方程L(x)=x-452x-603芯-T-K30-45245-30sin50°=L1(50)=5045-30-45250-60=0.7600845-302x-x(X2-X0)(X2-x)取30°、45°和60°為插值節(jié)點，作二次插值(x-45)(x-60)1(x-30)(x-60).2(x-30)(x-45),3L2(X)工(30-45)(30-60)2(45-30)(45-60)2(60-30)(60-45)2sin

14、50°：L(50)：0.76543誤差分析:°1.3二2|sin50°-11(50)1-1()2205=0.01319022180°13二2sin50-L(50)|()105=0.00659522180°133sin50°-L2(50)|()320510=0.00076762180可以看出用45°和60°做線性插值的精度比用45°和30°做線性插值的精度高，因為50°在45°和60°之間。例14已知節(jié)點上的函數(shù)值f(xj)=yj(j=0,1,2)及f'(x1

15、)=m1,求一個次數(shù)不超過3的多項式P3(x)使得P3(xj)=yj(j=0,1,2),且P3'(x1)=mi1,并估計插值余項f(x)-F3(x),其中xi(i=0,1,2)互不相同。22解：(1)求插值多項式P2(x)=£y-i(x),假設(shè)P3(x)=£yili(x)+Q(x),ifi0(2)假設(shè)R(x)=f(x)-P3(x),由于x°,x2是R(x)的一重零點，x1是二重零點，從而R(x)=k(x)(xx0)(xx1)2(xx2),顯然平(t)在插值區(qū)間內(nèi)，作輔助函數(shù)用(t)=R(t)-k(x)(tx0)(tx1)2(tx2),顯然.(t)在插值區(qū)間

16、內(nèi)有5個零點，分別是x0,x1,x1,x2,x,反復使用R°lle定理可得中(4)(“=0,即f(4)&)4!k(x)=0,f(4)()2R(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)o4!例15假設(shè)入(i=0,，n)互不相同，使用Lagrange插值方法可以求出滿足插值條件巳舊)=%。=0,，n)的插值多項式Pn(x),使用Newt°n插值方法可以求出滿足插值條件Nn(x)=yi(i=0,，n)的多項式Nn(x),問巳(刈三心(x)是否成立？為什么？解：匕三%是成立的假設(shè)滿足插值條件的多項式為Qn(x)=anxn+anxn"+ax+a。,則2x1-x0-

17、x2x-x2其中Q(x)=A(xx0)(xx1)(xx2),由于P；(x1)=m1,得到:17m1-y0：二：-yc17(x1一x0)(x1-x2),(x0-x1)(x0-x2)(x1一x0)(x1-x2)nanx0nanxin1anx°aix0a。nJanXiaiXi'a。=y0=y1(i)nanxnn-i.anXn,.aiXn.a。二ynki23456789Xki345678910yk1054211234由于Xi（i=0,，n）互不相同，方程組（i）的系數(shù)行列式解：將所給數(shù)據(jù)在坐標系中描出，從圖形上可以看出所給數(shù)據(jù)大致分布00,從而方程組（i）只有唯一解，即滿足插值條在一

18、條拋物線周圍，因此假設(shè)擬合曲線為y=a+bx+cx2nniXnXn件的多項式Qn（X）=anXn+anXn，+a1X+a0是唯一確定的，而Pn（x）9a53b381c=32正規(guī)方程組為<53a+381b+3017c=147,解得、381a+3017b+25317c=1025和Nn（X）滿足相同的插值條件，所以Pn(X)=Nn(X)a=13.4609,b=3.60585,c=0.267616,因此擬合多項式為_2y=13.4609-3.60585x+0.267616x。曲線，使其最好地擬合這組數(shù)據(jù)的最小二乘解例16假設(shè)lj（X）（j=0,，n）是Lagrange插值基函數(shù)，證明nkk乙Xj

19、lj(x)=x,k=0,i，n。j0證明：假設(shè)f(x)=xk，則f(n無(：)=0,則插值余項n.f(n1)()R(x)=f(x)-工Xjlj(x)=(x-x0)(x-x1)-JL(x-xn)=0,所以jJj(n1)!nZxklj(x)=xk,k=0,1，n。j0例題17假設(shè)一試驗中測得變量x和y的數(shù)據(jù)如下表，求一個代數(shù)多項式'2xi-x2=18x1T-4x2=0例18用最小:乘法求超定方程組12X+x2=1的近似解。7x1-x2=84xi二=32-T1、840z13725'72'解：因為A=21,b=1有ATA=,ATb=,故得正22519J1一817-1800；13

20、7x+25xc=72規(guī)萬程組12,解得Xi=0.79272,X2=-1.4641是原方程組25x1+19x2=-8例19證明Simpson公式S(f)之吐af(a)+4f(ab)+f(b)具有三次代62數(shù)精度。證明：Simpson公式是插值型的，因而至少具有2次代數(shù)精度。當f(x)=x11,T8f(0)2f(1/8)f(1/4)f(3/8)f(1/2)f(5/8)8f(3/4)f(7/8)f(1)=3.13898850時，有-b3144I(f)=xdx(b-a)a4b-a3ab33S(f)a4()b62,44_b-a4當f(x)=x-11S4f(0)4f(1/8)f(3/8)f(5/8)2f(

21、1/4)f(1/2)f(3/4)4f(1)=3.14159250例22用龍貝格算法計算積分I=12e*dx的近似值。02-0解：T1=0f(0)+f(2)=1.01831563802_1_2一T2=T1-f(1)=0.829944468122時，有I(f)=x4dx=1(b5-a5)a5S(f)=b7aa44(1)4b4=I(f)62所以Simpson公式具有3次代數(shù)精度。11例20考察求積公式二f(x)dx定1f(-1)+2f(0)+f(1)具有幾次代數(shù)精度。1解：當f(x)=1時，左邊=jjdx=2,右邊=21f(x)=1時，左邊=Jdx=2,右邊=21f(x)=x時，左邊=,xdx=0,

22、右邊=0C1C2f(x)=x時，左邊=Jxdx=,右邊=1,左邊¥右邊。所以所給求積J3公式具有1次代數(shù)精度。14例21利用復合梯形法和Simpson法計算積分I=LmTdx的近似值。解：該積分可以用牛頓-萊布尼茲公式計算I=f)dx=n電3.141592601x2xkf(xk)04.000000001/83.938461541/43.764705883/83.506849321/23.200000005/82.876404493/42.560000007/82.2654867312.0000000011.T4T2f(0.5)f(1.5)=0.880618633922_1_05一一一

23、一T8T4十f(0.25)f(0.75),f(1.25)f(1.75)=0.881703791222X-1A0=I0(x)dx=.11-31,31'1''一1'3.dx=1,A=f11(x)dx=dx=1,111_+,3.310.25T16uT8f(0.125)f(0.375)f(0.625)f(0.875)f(1.125)22f(1.375)f(1.625)f(1.875)=0.8819862452,.I、-、，1因而求積公式為f(x)dxf(-1、)f()。,3使用龍貝格算法列表計算如下例24使用Euler公式求解初值問題fy'=2xy0<x&

24、lt;1.8yy,步長h=0.1oy(0)=1區(qū)間等分T2kS2JR2kq解:本題的Euler求解格式為ym=yi+h(2xiyi),即yd=(1-0.2為)yi。2k1.0183156380.87703726020.829994446760.88061863390.88181242520.88527028900.88170379120.88206551030.88208238260.8820317809160.88198624520.88208039650.88208138890.8820813731所以所求I的近似值為0.8820814，,1例23對于積分1f(x)dx,構(gòu)造插值型求積公式

25、，要求其求積節(jié)點為X。14f(x)dx:Agf(-1、+Af(-),xiyi010.110.20.98000.30.94080.40.88440.50.81360.60.73220.70.64440.80.55420.90.46551.00.38171.10.30541.20.2382計算結(jié)果列于下表1.30.18101.40.13401.50.09641.60.06751.70.04591.80.0303例26依據(jù)以下函數(shù)值表建立次數(shù)不超過3次的Lagrange多項式及Newton插值多項式。x0124f(x)19233例25用4階龍格庫塔方法求解列23中的初值問題，取步長h=0.2.Yi+

26、=yi+.-+2k2+2k3+k4)6ki=-2xiy解：公式為W=-23+0.1)(x+0.1ki),計算結(jié)果如下表k3=-2(Xi+0.1)(yi+0.1k2)k4=-2(Xi+0.2)(yi+0.2k3)解：(1)插值基函數(shù)l0(x)l1(x)=(x-1)(x-2)(x-4)=Jx3.2x2_7x，1(0-1)(0-2)(0-4)884(x-0)(x-2)(x-4)(1-0)(1-2)(1-4)13=一x3l2(x)(x-0)(x-1)(x-4)(2-0)(2-1)(2-4)13一x4-x2-x4xiyi010.20.96078930.40.85214290.60.69767550.80

27、.52729771.00.36790361.20.23698571.40.14095761.60.07743871.80.0393135L(x)=(x-0)(x-1)(x2)一-x(4-0)(4-1)(4-2)24-x2x812-311q45o1L3(x)=yili(x)xxx1442(3)Newton插值多項式和Lagrange插值多項式相同，通過建立差商標，得到N3(x)-11x345x2-x1442例27已知多項式p(x)=x4-x3+x2-x+1通過下列點x-2-10123p(x)315111161試構(gòu)造一多項式q(x)通過下列各點x-2-10123q(x)31511111f(4)(&

28、#39;)CC得到H3(x)=x3-2x2+1,插值余項R3(x)=(x2(x-1)2,tW(0,1)。4!解：由已知條件，多項式r(x)=p(x)q(x)滿足以下條件例29證明關(guān)于互異節(jié)點小匕的Lagrange插值基函數(shù)(x)也滿足恒等x-2-10123q(x)0000060n式£L(x)三1。i=0證明：假設(shè)f(x)=1,則f)=1(i=0,，n),f(x)的Lagrange插值多x55a由Lagrange多項式可知r(x)=-x322+2x,所以Ln(x)=、f(xi)1i(x)=、i(x)154332q(x)=p(x)-r(x)-x+x+x+x_3x+1。22例28試依據(jù)如下

29、數(shù)值表，構(gòu)造次數(shù)不超過3的多項式,并寫出插值余項。nf(x)-Ln(x)=1Jli(x)=Rn(x)=i=0id0i=0(n1)!x01f(x)10f'(x)0-1記x0=0以£li(x)-1三0,從而工li(x)三1i=0iH例30給定矩陣A=1-1-1<111-1-11-11-11111，計算11A|1,|A|2,|A|：,|A|ff(x0)=1,f(x1)=0,f'(x0)=0,f'(x1)=T,利用兩點的Hermite插值公式有H3(x)=£f(xi)%(x)+£f，(xi)Bi(x)=%(x)%x),式中'(x),。

30、")n11AUmaxv|ajjniTnIIA|to=mjaxZ|aij1=4二一njTi=0i=0式Hermite插值基函數(shù)，«0(x)=1-2(x-x0)lj(x)l2(x)1-2x(x-1)2=2x3-3x2+1,P1(x)=(x-x1)l12(x)=x3-x2,因止匕0-10-1ATA=4I,故11A|2二%max(ATA)=2。例31假設(shè)xRn,AWRn*,證明(1)llxl降|x*n|x|(2)|x|Lx|2Mn|x|二(2)X，0.5,浮，x=(0,1,0)T,x(4)=(0,1,0)T。n證明：(1)l|x|島=喘|*/<£|為|=|乂|1&q

31、uot;修，|=門|岡|00一一i=1一一例34給定線性方程組Ax=b,其中A=|x廿max|X|氣二x2引x|2M門惜|X|=n|x|昆i=1,10.5、0.50.510.50.50.5,證明用Jacobi例32求矩陣A=1L001010的條件數(shù)cond1(A)方法求解發(fā)散，而用G-S方法求解收斂。解：Jacobi迭代法的迭代矩陣Bj=D,(L+U)=解：11AHi=1,A、=101°10400010-0.5一0.5-0.50一0.5從而cond1(A)=|A|1|A,|1=1。例33假設(shè)求解線性方程組的迭代格式x(")=Bx(k)+g,k=0,1,2,，其0.50.51色00.51.20.50'0.5：10.5,試證明對