實(shí)數(shù)綜合與提高

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔實(shí)數(shù)綜合與提高麒/=加（mw相曲曲=4梆圍船師M1麻楙，辨樂(lè)睇哪源陋僧修州雄醐G岫陲麻瞬雌脆腳 I %瓶海二鞫 報(bào)期陸翻期F |眺!I® -1遜 遜而嗣如- 就一、實(shí)數(shù)的概念及分類1、實(shí)數(shù)的分類一是分類是：正數(shù)、負(fù)數(shù)、0;另一種分類是：有理數(shù)、無(wú)理數(shù) 將兩種分類進(jìn)行組合：負(fù)有理數(shù)，負(fù)無(wú)理數(shù)，0,正有理數(shù)，正無(wú)理 數(shù)2、無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住“無(wú)限不循環(huán)”這一實(shí)質(zhì)，歸納起來(lái)有四類： (1)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如J7,V2等；(2)有特定意義的數(shù)，如圓周 率兀，或化簡(jiǎn)后含有兀的數(shù)，如 幾+8等；3(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如 0.101001

2、0001等;(4)某些三角函數(shù)值，如sin60o等二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值1、相反數(shù)實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)是一對(duì)數(shù)(只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相 反數(shù)，零的相反數(shù)是零)，從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng) 的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果 a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0, a=-b, 反之亦成立。2、絕對(duì)值在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做該數(shù)的絕對(duì)值。(間0)o零的絕對(duì)值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若 |a|=a ,則 aA0;|a|=-a ,則 aW003、倒數(shù)如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1,反之亦成立。倒數(shù)等于本身 的數(shù)是1和-1。零沒(méi)有倒數(shù)。4、數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)

3、度的直線叫做數(shù)軸（畫(huà)數(shù)軸時(shí)，要 注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一 對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。5、估算三、平方根、算數(shù)平方根和立方根1、算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2=a, 那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。特別地，0的算術(shù)平方根是 0。表示方法：記作“5”，讀作根號(hào)a。性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。2、平方根：一般地，如果一個(gè)數(shù) x的平方等于a,即x2=a,那 么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正數(shù)a的平方根記做“土3"，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩

4、個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是 零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。開(kāi)平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方。注意后的雙重非負(fù)性：玄-a -03、立方根一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a,即x3=a那么這個(gè)數(shù)x就叫 做a的立方根(或三次方根)。表示方法：記作3. a性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根； 零的立方根是零。注意：%= = -3萬(wàn)，這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。四、實(shí)數(shù)大小的比較1、實(shí)數(shù)比較大?。赫龜?shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù) 數(shù)；數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個(gè)負(fù)數(shù)， 絕對(duì)值大的反而小。2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法(1)數(shù)軸比較

5、：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的 數(shù)大。(2)求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，a -b 0 = a b,a-b=0= a=b,a -b :二 0 = a :二 b(3) 求商比較法：設(shè) a、b是兩正實(shí)數(shù)，a 1 = a b; a =1 = a =b; a 二 1 = a :二 b; bbb(4)絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則|a >|b a<bo(5)平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則a2>b2u a<b。五、算術(shù)平方根有關(guān)計(jì)算(二次根式)1、含有二次根號(hào)”；被開(kāi)方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。2、性質(zhì)：(1) (-. a)2 = a(a 二 0)-a(a _ 0)(2) j

6、a2 = ak：L-a(a <o)(3) Jab =盯 Jb(a >0,b > 0)(*<b = Vab(a 2 0, b 之 0)(4)修卷(a 之 0,b>0)(卓=&a2 0,b>0)b b. b b3、運(yùn)算結(jié)果若含有“石”形式，必須滿足：(1)被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式六、實(shí)數(shù)的運(yùn)算(1)六種運(yùn)算：力口、減、乘、除、乘方 、開(kāi)方(2)實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序先算乘方和開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。(3)運(yùn)算律加法交換律加法結(jié)合律(a b) c = a (b c)乘法交換律ab

7、 = ba乘法結(jié)合律(ab)c = a (bc)乘法對(duì)加法的分配律a(b +c) = ab + ac例題例1已知一個(gè)立方體盒子的容積為216cnf,問(wèn)做這樣的一個(gè)正方體盒子(無(wú)蓋)需要多少平方厘米的紙板？例2若某數(shù)的立方根等于這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，求這個(gè)數(shù)。例3下列說(shuō)法中：無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù)；無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)；無(wú)理數(shù)的平方一定是無(wú) 理數(shù)；實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的。正確的個(gè)數(shù)是()A、1 B 、2 C 、3 D 、4例 4 (1)已知 x -2 +(y +4)2 + Jx + y 2z = 0,求(xz)y的平方根。(2)設(shè)立的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,求-16ab-8b2的立方根。ir x, y

8、, m 適合于關(guān)系式 v3x+5y-3-m +12x +3y -m = Jx + y -2004 + 72004 - x - y,試求m -4的算術(shù)平方根。 a.3 一. .一(4)設(shè)a、b是兩個(gè)不相等的有理數(shù)，試判斷實(shí)數(shù)a 二是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù),并說(shuō)明理b ,3由。例5(1)已知2m-3和m-12是數(shù)p的平方根，試求 p的值。(2)已知m n是有理數(shù)，且(而+2)m + (3 2j5)n + 7 = 0,求m n的值。(3) ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c, a和b滿足JO=1 + b2 4b + 4 = 0 ,求c的取值范圍。(4)已知 x = (Z2a _ <1a|-3+3-|al)1

9、993 ,求 x 的個(gè)位數(shù)字。4 a 3-a分類講解一、二次根式的非負(fù)性1 .若 2004a| 7a 2005 = a ,貝U a20042 =.2 .已知：y = J1 _8x + J8x 1 +1,求 十上十2 Px+上2 的值.2 y x y x3.已知x、y為實(shí)數(shù)，且y = x - 9 - 9 - y +4,求、僅+ jy的值.二、二次根式的化簡(jiǎn)技巧（一）構(gòu)造完全平方2(n i)2,所得的結(jié)果為（拓展）計(jì)算Ji +4 +i2一:i 一 一 - i 2,2i+42+Ji+.20032 200422 .化簡(jiǎn)：、y +2+3J2y -5y-2 + /2y5 .4.化簡(jiǎn):23-6 6 -4 2

10、.化簡(jiǎn)：,i3 2、, 5 2,7 2,356.化簡(jiǎn)：，23-6,i0 4 3-2 2（二）分母有理化i .計(jì)算:+ 十3，35*3 3.57 *5 5.7i一尸=的值.49 1 47 47、492.分母有理化:2 .35計(jì)算：M 2 J3 +三、二次根式的應(yīng)用(一)無(wú)理數(shù)的分割1 .設(shè)a為J3745 - J3二后的小數(shù)部分，b為6+373 -a-3r3的小數(shù)部分，則2 1一一的值為()b a1.一(A)巡 72 +1(B) (C)1(D) 2-屈4282 .設(shè)娓+1的整數(shù)部分為x,小數(shù)部分為y，試求x2 +1xy + y2的值.5-1213 .設(shè) 出9 -8邪的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b ,

11、試求a+b+-的值b(二)最值問(wèn)題1 .設(shè)a、b、c均為不小于3的實(shí)數(shù)，則Ja - 2 + JET1 +|1 - JC二1|的最小值是 2 .實(shí)數(shù) a, b 滿足 Va2 -2a+1 +>/36-12a+a2 =10-|b+ 3| - |b-2|,則 a2 +b2 的最 大值為.1 .設(shè) m、x、y 均為正整數(shù)，且, m - 28 = % x - 4 y ,則 x + y + m =.2 .已知，15+x2 -,19 + x2 = -2,則 j15 + x2 +，19 + x2 的值為.353 - ; 554453 .已知 x=, y=,求 x +x y+xy + y 的值.221.已知

12、:(四)有二次根式的代數(shù)式化簡(jiǎn).8 - 74.已知 J3 =1.732, J30 =5.477,求 J27 的值.8.7 - x y 2- xy尸，求： 一=一” 的值8 - . 7x , y2.211-2a a已知a =廣,求2 、3 a-1a2 2a 12 a -a的值.3.已知：a, b為實(shí)數(shù)，且b =,a2 -22-a2,求（v2-b+a-J2 - baf 的值.（五）比較數(shù)的大小1.設(shè) a>b>c>d>0且，x = Tab +&d, y = VOC + Vbd z= Vad + 4bc-則 x、y、z 的大小關(guān)系.512 .比較5與 1-的大小.2 .

13、7 、2.5,33 .比較 而一而與Jm +1997 一 Jn +1997的大小.4 .比較J1996-屈95與屈97-JT996的大小.2001-1 人.2001 165 .比較-與二的大小.2002 -1、2002 16 .比較更+2與213的大小.,a 3. a 4實(shí)數(shù)拓展提高訓(xùn)練題1 .有下列說(shuō)法：（1）無(wú)理數(shù)就是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；（2）無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；（3）無(wú)理數(shù) 包括正無(wú)理數(shù)、零、負(fù)無(wú)理數(shù)；（4）無(wú)理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示。其中正確的說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）A. 1 B . 2 C . 3 D . 42 .如果a有算術(shù)平方根，那么a一定是（）A.正數(shù) B. 0 C.非負(fù)數(shù) D,非

14、正數(shù)3 . ”121的平方根是土 11”的數(shù)學(xué)表達(dá)式是（）A.11B. VH1=±11C. ±v，=11D. ±±例=±114 .設(shè)a是9的平方根，B=（超）2,則a與B的關(guān)系是（）A. a=±BB. a=BC. a=- BD.以上結(jié)論都不對(duì)5 .下列說(shuō)法：一3是兩T的平方根；一7是（一7）2的算術(shù)平方根；125的立方根是土 5;16的平方根是土 4;0沒(méi)有算術(shù)平方根.其中，正確的有（）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D, 4個(gè)6 .如果一個(gè)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根等于它的立方根，那么滿足條件的實(shí)數(shù)有（）D. 3個(gè))D. 4個(gè)C.A. 0個(gè)B.

15、 1個(gè)C. 2個(gè)7 .在0到20的自然數(shù)中，立方根是有理數(shù)的共有（A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)8 .下列一定沒(méi)有平方根的是（）A . xB. 2x 1D. -2-x29.下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. 14B. 48D. 4a+ 410 .若-1<m<0,且門=Vm，則m、n的大小關(guān)系是（）.A. m >n B.m<n C.m = n D .不能確定11 .下列說(shuō)法中：9的平方根是3;72是2的平方根；-2是716的平方 根.土強(qiáng)是9的平方根；0的平方根是0其中正確的是:A. B. C. D.12 .當(dāng)a取 時(shí)，舊有意義.13 .若收-12 2 +（5-

16、x2 =x-12+x-5,則x的取值范圍是 14 .若（4 - k）3 =k4,則k的值為.小6的平方根是.15 .已知a是舊的整數(shù)部分，b是50的小數(shù)部分，則（b訪）a的立方根是1 6.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，等式+卜+ 3=0成立，則式'=.17 .已知：若"365 = 1. 910, "36.5 = 6. 042,貝鵬365000 =18 . （12分）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi):1, 0, 0.16, 31, 0.15, V3,一坐,-T-, V16, 38, 3.141 592 6 , 0.101 2233001 000 1 .整數(shù)集合分?jǐn)?shù)集合正數(shù)集合負(fù)數(shù)集合有理數(shù)

17、集合無(wú)理數(shù)集合19 . (12分)計(jì)算：(2);.(1)( -a/6)2-V25+ (-3) 2;20 .已知3/匚2X, 3/3，=2互為相反數(shù)，求代數(shù)式 上2x的值. y221 . (1)當(dāng)a<0時(shí)，化簡(jiǎn)：la二a的結(jié)果是 a(2)化簡(jiǎn)(m-1) 二的結(jié)果是m -122 .已知x=a學(xué)M是M的立方根，y =Vb二6是x的相反數(shù)，且M =3a-7 ,請(qǐng)你 求出x的平方根.23 .閱讀理解. R<v虧(碼,即 2<v'5<3.詹的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為弱-2, 1村-1<2751的整數(shù)部分為1.賽-1的小數(shù)部分為謳 2解決問(wèn)題：已知：a是屈-3的整數(shù)部分，b是、J7-3的小數(shù)部分,求：(1) a, b的值；(2) ( - a) 3+ (b+4) 2 的平方根.24. (14分)(黔西南州中考)閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)在一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)