函數(shù)與導(dǎo)數(shù)經(jīng)典例題--高考?jí)狠S題(含答案)8796

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)經(jīng)典例題-高考?jí)狠S1 .已知函數(shù) f (x) =4x3 +3tx2 一 6tx + t-1,xR,其中 tR.(I)當(dāng)t=1時(shí)，求曲線y = f(x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程；(II)當(dāng)t#0時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(田)證明：對(duì)任意的tw (0,y),f (x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點(diǎn).2 1_2.已知函數(shù) f(x)= x+ h(x) =qx . 32(I)設(shè)函數(shù) F(x)=18f(x)x2h(x) 2,求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(II)設(shè) a WR ,解關(guān)于 x 的方程 lg3 f (x -1) - 3 =21gh(a-x) 一 21gh(4-x)； 24*1(

2、田)設(shè) n WN ,證明：f (n)h(n)-h(1)+h(2) +|+h(n) >-.63 .設(shè)函數(shù) f (x) =a2 lnx x2+ax , a >0(I )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)求所有實(shí)數(shù)a ,使e 1 w f (x) We2對(duì)xw 1,e恒成立.注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).x4 .設(shè)f(x)=J,其中a為正實(shí)數(shù).1 ax(I)當(dāng)a=4時(shí)，求f(x)的極值點(diǎn)；(II)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.35 .已知 a, b 為常數(shù)，且 a才0,函數(shù) f (x) =-ax+b+axlnx , f (e) =2 (e=2. 71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))。(I)求實(shí)

3、數(shù)b的值； (II )求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(III )當(dāng)a=1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M (m<M,使得對(duì)每一個(gè) t G m, M,直線y=t與曲線y=f (x) (xG1, e)都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M;e若不存在，說(shuō)明理由。6 .設(shè)函數(shù) f (x =x3+2ax2+bx+ a , gx ) =x23x + 2 ,其中 xw R , a、b 為常數(shù)，已知曲線 y = f (x)與y=g(x)在點(diǎn)(2,0 )處有相同的切線l。(I)求a、b的值，并寫(xiě)出切線l的方程；(II )若方程f (x +g(x =mx有三個(gè)互不相同的實(shí)根 0、x、x ,其中x1&l

4、t;x2,且對(duì)任意的xWXi，X2，/)十g(x <m(x-1)恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)經(jīng)典例題-高考?jí)狠S答案1.已知函數(shù) f (x) =4x3 +3tx2 6tx +t-1,xR,其中 tR.(I)當(dāng)t=1時(shí)，求曲線y = f(x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程；(II)當(dāng)t#0時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(田)證明：對(duì)任意的tw (0,y),f (x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點(diǎn).【解析】(19)本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線 方程、函數(shù)的零點(diǎn)、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法，滿 分14分。(I)解：當(dāng) t=

5、1 時(shí)，f(x) = 4x3 +3x2 6x, f(0) =0,(x) =12x2 +6x6(0)=-6.所以曲線y = f(x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程為y=6x.(II )解：f '(x) =12x2 +6tx -6t2 ,令 f '(x) =0 ,解得 x = t或x = L2因?yàn)閠#0,以下分兩種情況討論：(1)若t <0,則工<-1,當(dāng)x變化時(shí)，f'(x), f (x)的變化情況如下表: 2+-+所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是13,上(-t,")；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 -,-t I 22(2)若t>0,則-1 當(dāng)x變化

6、時(shí)，f'(x), f(x)的變化情況如下表:2+-+所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是電的的單調(diào)遞減區(qū)間是(臼(in)證明：由(n)可知，當(dāng)t >0時(shí),f(x)在(0內(nèi)的單調(diào)遞減,在 ,2內(nèi)單調(diào)2遞增，以下分兩種情況討論：(1)當(dāng)工之1,即t之2時(shí)，f(x)在(0, 1)內(nèi)單調(diào)遞減，2所以對(duì)任意tw2,)，f(x)在區(qū)間(0, 1)內(nèi)均存在零點(diǎn)(2)當(dāng)0/<1即0<t <2時(shí)，f(x)在0,工內(nèi)單調(diào)遞減，在 工,1；內(nèi)單調(diào)遞增，若 222.17 37 3t (0,1, f = -t3 t -1 , -t3 ：二 0.244所以f(x)在1-,1 i內(nèi)存在零點(diǎn)2若t

7、(1,2), f - = -7t3 t -1 < -t31 :二 0.244所以f(x)在10,- i內(nèi)存在零點(diǎn)2所以，對(duì)任意ty0,2), f(x)在區(qū)間(0, 1)內(nèi)均存在零點(diǎn)綜上，X壬意t w (0,+=c), f (x)在區(qū)間(0, 1)內(nèi)均存在零點(diǎn)。2.已知函數(shù) f (x) = x + , h(x) =4x . 32(I)設(shè)函數(shù)F(x)=18f(x)x2h(x)2,求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(n)設(shè) a WR,解關(guān)于 x 的方程 lg3 f(x1)3=21gh(ax)21gh(4x)；*1(田)設(shè) n =N , 證明：f (n)h(n) h(1)+h(2)+ +h(n)之一.

8、6本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、 函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法及推理運(yùn)算、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.解：(I ) F(x) =18f (x) -x2h(x)2 =-x3 +12x+9(x 之 0),，F(xiàn) (x) =Tx2 + 12 .令二 F'(x)=0,得 x=2 ( x=-2 舍去).當(dāng) xW(0,2)時(shí).F(x)0;當(dāng) xW(2,)時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,故當(dāng)xW0,2)時(shí)，F(xiàn)(x)為增函數(shù)；當(dāng)xW2,F時(shí)，F(xiàn)(x)為減函數(shù).x =2 為 F(x)的極大值點(diǎn)，且 F(2) =-8 +24 +9=25 .(II)方法一

9、 原方程可化為log43 f (x -1) - =log2 h(a -x) -log2 h(4 -x),24即為 log 4(x -1) =1og2 a -x -log 2 4 -x =1og2 -Si , 且4式為 4-x 1 : x < 4,當(dāng) 1<aM4 時(shí)，1<x<a,貝(Jx_1=ax,即 x2 _6x+a+4 =0 ,4 - x =364(a+4)=204a>0,止匕時(shí) x = 6-120-4a =3 ±v-5_a ? ,/ 1<x<a ,此時(shí)方程僅有一解x = 3 _5a .當(dāng) a>4時(shí)，1 <x <4,由 x

10、1=ax,得x26x+a+4=0,A=36-4(a+4) =20-4a ,4 -x若4<a<5,貝(JA>0,方程有兩解 x=3±75Ti;若a =5時(shí)，貝4 A =0 ,方程有解 x=3；若a<1或a>5,原方程無(wú)解.方法二:原方程可化為log4(x -1) +log2 h(4 -x) =log 2 h(a -x),1 ：二 x ：4x : a, 2 a=-(x-3)5.x -1 . 0,1 4 - x . 0,即一log2(x1)+log2。4x =log24ax ,u2 a -x 0,J(x -1)(4 -x) =a -x.當(dāng)1<aM4時(shí)，原

11、方程有一解x =3 _/5a ；當(dāng)4<a<5時(shí)，原方程有二解x =3 ±J5 a ；當(dāng)a=5時(shí)，原方程有一解x=3；當(dāng)a M1或a >5時(shí)，原方程無(wú)解.(田)由已知得 h(1) h(2)中 h(n)=.彳 2 | n ,1 4n 3 - 1f八飛二丁洶飛.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S =f(n)h(n)-(nW N 6從而有 a1=S=1,當(dāng) 2 Wk 4 100 時(shí)，ak=Sk- Skj_=- Vk-/k 166一 22p - 11 (4k 3) k -(4k -1) (k -1)乂 ak - k =(4k 3) k -(4k -1) ,k -166 (4k

12、3) . k (4k -1). k -111c=,>0 .6 (4k 3) k (4k -1) k -1即對(duì)任意k豈2時(shí)，有ak >Vk ,又因?yàn)?a=1=石，所以現(xiàn)+a2+|+4宜石+ J2+|+Jn .則0之h(1)+h(2) +|+h(n),故原不等式成立.3 .設(shè)函數(shù) f (x) =a2 lnx x2+ax , a >0(I )求f (x)的單調(diào)區(qū)間;(n)求所有實(shí)數(shù)a,使e -1 E f (x) Me2對(duì)xW 1,e恒成立.注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).【解析】(21)本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查抽象概括、推理論證能力。滿分15分(

13、I )解：因?yàn)?f (x) = a21nx -x2 - ax.其中 x . 02所以 f (x)=-2x a = .(x-a)(2x a) xx由于a>0,所以f(x)的增區(qū)間為(0,a),減區(qū)間為(a,y)(n)證明：由題意得，f (1) =a-1 _ c-1,即a _ c由(I )知f (x)在1,e內(nèi)單調(diào)遞增，要使e -1 < f (x) £32對(duì)*W1£恒成立,只要f (1) = a -1 _e-1, 22.2f (e) = a - e ae _ e解得a = e.x4 .設(shè)f (x) = e 2 ,其中a為正實(shí)數(shù).1 ax2(I)當(dāng)a=4時(shí)，求f(x)

14、的極值點(diǎn)；3(II)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.【解析】(18)(本小題滿分13分)本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，極值點(diǎn)的判斷，導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù) 單調(diào)變化之間的關(guān)系，求解二次不等式，考查運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問(wèn)題的 能力.2解：對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)=ex1 ax Ux.(1 ax2)2431(1) =a=,右 f(x)=0，則 4x - 8x + 3= 0,解彳# x1 = 一，x2 = 一 .322綜合，可知+0一0+/極大值極小值/所以，x1 =2是極小值占八、x2 :2是極大值點(diǎn).(II )若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則 (x)在R上不變號(hào)，結(jié)合與條件a>0,知a

15、x 2 - 2ax 1 ：: 0在R上恒成立，因止匕 =4a2 _4a =4a(a 1) w0,由止匕并結(jié)合a>0,知0<aE1.5.已知 a, b 為常數(shù)，且 a才0,函數(shù) f (x) =-ax+b+axlnx , f (e) =2 (e=2. 71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))。(I )求實(shí)數(shù)b的值；(II )求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(III )當(dāng)a=1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù) m和M (m<M,使得對(duì)每一個(gè)t G m, M,直線y=t與曲線y=f (x) (xG1, e)都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最e大的實(shí)數(shù)M;若不存在，說(shuō)明理由。【解析】22.本小題主要考查函數(shù)

16、、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，滿分14分。解：(I )由 f(e) =2得b = 2,(II )由(I)可得 f (x) =ax+2+ax ln x.從而 f '(x) = a ln x.因?yàn)閍 #0 ,故：(1)當(dāng) a >0時(shí)，由f(x)>0 彳4x>1,由f(x)<0 得0Vx<1;(2)當(dāng) a c0時(shí)，由f'(x) A040<xc1,由f '(x) <0得x>1.綜上，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1

17、,收)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0, 1);當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, 1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,收)。(III )當(dāng) a=1 時(shí)，f (x) =-x+2 + xlnx, f'(x) =lnx.由(II )可得，當(dāng)x在區(qū)間(1,e)內(nèi)變化時(shí)，f'(x), f(x)的變化情況如下表: e-0+單調(diào)遞減極小值1單調(diào)遞增2一 21又2-2 <2,所以函數(shù)f'(x)=(xw1e)的值域?yàn)? , 2 eem = 1據(jù)經(jīng)可得，右,則對(duì)每一個(gè)twm, M,直線y=t與曲線y= f (x)(xw ,e)都有公M =2e共點(diǎn)。并且對(duì)每一l個(gè)t w (*, m) U

18、(M ,收)，直線y=t與曲線y = f (x)(x w Le)都沒(méi)有公共點(diǎn)。 e綜上，當(dāng)a=1時(shí)，存在最小的實(shí)數(shù) m=1,最大白實(shí)數(shù) M=2使得對(duì)每一個(gè)twm,M,直線y=t與曲線y = f (x)(xw ,e)都有公共點(diǎn)。 e6.設(shè)函數(shù) f (x =x3 +2ax2 +bx + a,gx )=x2-3x + 2,其中 xR,a、b 為常數(shù)，已知曲線 y = f (x)與y=g(x)在點(diǎn)(2,0 )處有相同的切線l(I)求a、b的值，并寫(xiě)出切線l的方程；(II )若方程f (x +g(x =mx有三個(gè)互不相同的實(shí)根 0、x、x ,其中Xi<X2,且對(duì)任意的xwx1,x2】，/)+g(X <m(x-1)恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍?！窘馕觥?0.本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力，以及函數(shù)與方程和特殊與一般的思想，(滿分13分)解：(I) f'(x) =3x2+4ax + b, g'(x) = 2x3.由于曲線y = f(x)與y = g(x)在點(diǎn)(2, 0)處