經(jīng)典相似三角形練習(xí)的題目(附參考答案詳解)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案相似三角形.解答題(共30小題)1.如圖，在ABC中，DE/ BC, EF/ AB,求證： ADa EFC.6.如圖，E是？ ABCM邊BA延長線上一點(diǎn)，連接 EC,交AD于點(diǎn)F.在不添加輔助 線的情況下，請(qǐng)你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對(duì)相似三角形給予證明.7.如圖，在 4X3的正方形方格中， ABC DEF 的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上.3.如圖,求證：2.如圖，梯形 ABCD43, AB/ CD點(diǎn)F在BC上，連DF與AB的延長線交于點(diǎn) G. (1)求證： CDM BGF(2)當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，過 F作EF/CD交AD于點(diǎn)E,若AB=6cmg EF=4cm,求

2、CD的長.點(diǎn) D, E 在 BC上，且 FD/ AB, FE/ AC.AB8 FDE(1)填空：/ ABC=° , BC=(2)判斷 ABC與 DEC是否相似，并證明你的結(jié)論.8.如圖，已知矩形 ABC曲邊長 AB=3cmg BC=6cm某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn) M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問:(1)經(jīng)過多少時(shí)間， AMN勺面積等于矩形 ABC面積的?94.如圖,已知 E是矩形 ABCD勺邊CD上一點(diǎn)，BF±AE于F,試說明： ABM EAD(2)是否存在時(shí)刻t,使以A, M N為頂點(diǎn)的三角

3、形與 ACDf似？若存在，求t5.已知:的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.如圖所示，在 ABC和4ADE中，AB=AC AD=AE / BAChDAE 且點(diǎn)B,A, D在一條直線上，連接 BE, CD M, N分別為BE, CD的中點(diǎn).(1)求證：BE=CDAMN等腰三角形；(2)在圖的基礎(chǔ)上，將4AD遴點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180° ,其他條件不變，得 到圖所示的圖形.請(qǐng)直接寫出(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立；(3)在(2)的條件下，請(qǐng)你在圖中延長ED交線段BC于點(diǎn)P.求證： PBtDA9.如圖，在梯形 ABCDK 若AB/ DC, AD=BC對(duì)角線BD AC把梯形分成了四個(gè)小 三角形.(

4、1)列出從這四個(gè)小三角形中任選兩個(gè)三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個(gè)三角形是相似三角形的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)(2)請(qǐng)你任選一組相似三角形，并給出證明.AMN10.如圖 ABC中，D為 AC上一點(diǎn)，CD=2DA / BAC=45 ,連接AE.(1)寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；(2)圖中有無相似三角形？若有，請(qǐng)寫出一對(duì);若沒有，請(qǐng)說明理由；(3)求 BECf BEA的面積之比.14.已知矩形 ABCD長BC=12cm寬AB=8cm P、Q分別是 AR BC上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn).若P自點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，Q自點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度 沿BC方

5、向運(yùn)動(dòng)，問經(jīng)過幾秒，以P、B Q為頂點(diǎn)的三角形與 BDC相似？精彩文檔11.如圖，在 ABC中，AB=AC=a M為底邊BC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn) M分別作AR AC的平行線交AC于巳交AB于Q(1)求四邊形AQMP勺周長；(2)寫出圖中的兩對(duì)相似三角形(不需證明)；(3) M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形 AQM的菱形并證明你的結(jié)論.12 .已知：P是正方形ABCDW邊BC上的點(diǎn)，且 BP=3PC M是CD的中點(diǎn)，試說明: ADMh MCP13 .如圖，已知梯形 ABCD43, AD/ BC, AD=2 AB=BC=8 CD=10(1)求梯形ABCM面積S;(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速

6、度，沿B? A? D? C方向，向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿 C? D? A方向，向點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) Q作QELBC 于點(diǎn)E.若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn) 動(dòng)時(shí)間為t秒.問：當(dāng)點(diǎn)P在B? A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的 t ,使得直線PQ各梯形ABCM周長平 分？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t ,使得以P、A D為頂點(diǎn)的三角形與 CQE相似？ 若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的 t ,使得以P、D Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以 DQ 為一腰的等

7、腰三角形？若存在， 請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理15 .如圖，在 ABC中，AB=10cm BC=20cm點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿 AB邊向B點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從A B同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘， PBQ與 ABC相似.16 .如圖，/ ACB=/ ADC=90 , AC=/E , AD=2.問當(dāng)AB的長為多少時(shí)，這兩個(gè)直角 三角形相似.17 .已知，如圖，在邊長為 a的正方形ABCN, M是AD的中點(diǎn)，能否在邊 AB上找 一點(diǎn)N (不含 A B),使得 CD% MAN目似？口C若能，請(qǐng)給出證明，若不能，請(qǐng)說明理由

8、.里A NS18 .如圖在 ABC中，/C=90° , BC=8cm AC=6cm 點(diǎn) Q從 B 出發(fā)，沿 BC方向以 2cm/s 的速度移動(dòng)，點(diǎn)P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動(dòng).若Q P分別同時(shí)從 R C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點(diǎn) C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與 CBAf似？19 .如圖所示，梯形 ABCM, AD/ BC, / A=90° , AB=7, AD=2 BC=3,試在腰 AB 上確定點(diǎn)P的位置，使得以 巳A, D為頂點(diǎn)的三角形與以 P, B, C為頂點(diǎn)的三角形相 似.20 . 4ABC和4DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，/ A=Z D=90°

9、; , DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上.（1）如圖1,設(shè)DE與AB交于點(diǎn) M, EF與AC交于點(diǎn)N,求證： BEMh CNE（2）如圖2,將 DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得 DE與BA的延長線交于點(diǎn) M, EF與AC交于 點(diǎn)N,于是，除（1）中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你 的結(jié)論.21 .如圖，在矩形 ABCM, AB=15cmg BC=10cm點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn) A開始向B以2cm/s 的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng).如果P、Q同時(shí)出 發(fā)，用t （秒）表示移動(dòng)的時(shí)間，那么當(dāng) 與 ABC相似.t為何值時(shí)，以點(diǎn) 。A、P為頂點(diǎn)的三角形22 .如圖，

10、路燈（P點(diǎn)）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（。點(diǎn)）20 米的A點(diǎn)，沿OA所在的直線行走14米到B點(diǎn)時(shí)，身影的長度是變長了還是變短了？ 變長或變短了多少米？23 .陽光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y(cè)量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達(dá)，頂部不易到達(dá)），他們帶了以下測(cè)量工具：皮尺，標(biāo)桿，一副三角尺，小平面 鏡.請(qǐng)你在他們提供的測(cè)量工具中選出所需工具，設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案.（1）所需的測(cè)量工具是：;（2）請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫出測(cè)量示意圖；（3）設(shè)樹高AB的長度為x,請(qǐng)用所測(cè)數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出 x.24 .問題背景在某次活動(dòng)課中，甲、 乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對(duì)校園 中一些物

11、體進(jìn)行了測(cè)量.下面是他們通過測(cè)量得到的一些信息： 甲組：如圖1,測(cè)得一根直立于平地 ,長為80cm的竹竿的影長為 60cm. 乙組：如圖2,測(cè)得學(xué)校旗桿的影長 為900cm.丙組：如圖3,測(cè)得校園 景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體心其粗細(xì)忽略不計(jì)）的高度為 200cm, 影長為156cm.任務(wù)要求：（1）請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖3,設(shè)太陽光線 NH與。相切于點(diǎn)M請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求 景燈燈罩的半徑.（友情提示：如圖3,景燈的影長等于線段 NG的影長；需要時(shí)可采 用等式 1562+2082=2602）25 .陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m

12、寬的亮區(qū)(如圖所示)，已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離 EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底邊離地面的高BC.(4)類比(1), (2), (3)的結(jié)論，請(qǐng)你總結(jié)出一個(gè)更具一般意義的結(jié)論.28.已知：如圖， ABS ADE AB=15, AC=9, BD=5.求 AE.26 .如圖，李華晚上在路燈下散步.已知李華的身高AB=h,燈柱的高 OP=O P' =l ,兩燈柱之間的距離 OO =m.(1)若李華距燈柱 OP的水平距離 OA=q求他影子AC的長；(2)若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個(gè)影子的長度之和(DA+AC是否是定值請(qǐng)說明理由；(3)若李華在點(diǎn)A朝著影子(如圖箭頭)的

13、方向以vi勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動(dòng)的速度 V2.29,已知：如圖 RtAABC RtABD(C 若 AB=3, AC=4.(1)求BQ CD的長；(2)過B作BE, DC于E,求BE的長.560cm,27 .如圖，分別以直角三角形 ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用 S, G, 8表示，則不難證明 S尸S+S.(1)如圖，分別以直角三角形 ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用 S,4表示，那么S, 3, 4之間有什么關(guān)系；(不必證明)(2)如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別用S、$、&表示，請(qǐng)你確定 Si, S2, $之間

14、的關(guān)系并加以證明；(3)若分別以直角三角形 ABC三邊為邊向外作三個(gè)一般三角形，其面積分別用S,4表示，為使S, 3, S3之間仍具有與(2)相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿足什么 條件證明你的結(jié)論；30. (1)已知烏，且 3x+4z 2y=40,求 x, y, z 的值；2 3 5(2)已知：兩相似三角形對(duì)應(yīng)高的比為3: 10,且這兩個(gè)三角形的周長差為求它們的周長.一.解答題(共30小題)1 .如圖，在 ABC中，DE/ BC, EF/ AB,求證： AD EFC. 解答：證明：.DE/ BCDE/ FC, / AED= C.又 EF/ AB,EF/ AD, / A=Z FEC.4.如圖，已知

15、E是矩形 ABCDW邊CD上一點(diǎn)，BF±AE于F,試說明： ABD EAD解答:證明：二.矩形ABC邛,AB/ CD，/BAF=/ AED （4 分）-.BF± AE,，/AFB=90 .，/AFB=/ D. （5 分）.ABF EAD （6 分）/ D=90° , （ 2 分）點(diǎn)評(píng):考查相似三角形的判定定理，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的角. .AD曰 EFCBFC點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理.E 圖2 .如圖，梯形 ABCD43, AB/ CD點(diǎn)F在BC上，連DF與AB的延長線交于點(diǎn) G.(1)求證： CDM BGF(2)當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，過 F

16、作EF/CD交AD于點(diǎn)E,若AB=6cm EF=4cm)求CD的長.解答：（1）證明：二.梯形 ABCD AB/ CD /CDFh FGB / DCFh GBF （2 分） . CDS BGF （3 分）（2）解：由（1） CDM BGF 又F是BC的中點(diǎn)，BF=FC CD白 BGFDF=GF CD=BG （6 分）. AB/ DC/ EF, F 為 BC中點(diǎn),E為AD中點(diǎn)，£5是4 DAG的中位線，2EF=AG=AB+B GBG=2EF- AB=2X 4-6=2, CD=BG=2cm （8 分）3 .如圖，點(diǎn) D, E在 BC上，且 FD/ AB, FE/ AC. 求證： ABS

17、FDE解答：證明：FD/ AB, FE/ AC/ B=Z FDE, / C=Z FED. AB6 FDE5.已知：如圖所示，在 ABC和4ADE中，AB=AC AD=AE / BAChDAE 且點(diǎn) B, A, D在一條直線上，連接 BE, CD M N分別為BE, CD的中點(diǎn).(1)求證：BE=CD AMN等腰三角形；(2)在圖的基礎(chǔ)上，將4AD遴點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180° ,其他條件不變，得 到圖所示的圖形.請(qǐng)直接寫出(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立；(3)在(2)的條件下，請(qǐng)你在圖中延長ED交線段BC于點(diǎn)P.求證： PBtDAAMN解答： (1)證明：.一/ BAC=/ DAE

18、1 / BAE=/ CAD . AB=AC AD=AE .ABEAACtD BE=CDc由ABHAACD 得ZABE=Z ACD BE=CD M N分別是BE, CD的中點(diǎn)，.BM=CN 又 AB=AC圖而 .ABM AAChN.AM=AN即4 AMN等腰三角形.(2)解：(1)中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立.(3)證明：在圖中正確畫出線段PD,由(1)同理可證 ABW ACN / CAN=/ BAM，. / BAC=/ MAN 又. / BAC= DAE / MAN= DAE=Z BACAMN 人口£和4 ABCtB是頂角相等的等腰三角形. PBD和 AMNO為頂角相等的等腰三角形， ./

19、PBD=/ AMN / PDB=/ ANM PB必 AMN6 .如圖，E是？ ABCDW邊BA延長線上一點(diǎn)，連接 EC,交AD于點(diǎn)F.在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對(duì)相似三角形給予證明.分析:解答:解答:根據(jù)平行線的性質(zhì)和兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似這一判定定理可證明圖中相似三角形有： AED BEC AED DCF BE8 DCF解：相似三角形有 AED BECC AED DCF; BE8 DCF （3 分）如：4AE匕 BEC在? ABCD43, AD/ BC1 = Z B, / 2=73. （6 分） .AEM BEC （7 分）7 .如圖，在4X3的正方

20、形方格中， ABC DEF的頂點(diǎn)都在邊長為 1的小正方形的頂點(diǎn)上.（1）填空：/ ABC= 135°° , BCj2近（2）判斷 ABC與4DE愛否相似，并證明你的結(jié)論.解答：解：（1） /ABC=135 , BC3加；（2）相似；BC=y2+2? ECW1+1 = ;. AB 2 r- BC 2V2 r. 五祠壇，DE- 2事 鰻區(qū) CE-DE'又/ ABCh CED=135 , . AB6 DEC8 .如圖，已知矩形 ABCD勺邊長AB=3cm BC=6cm某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn) M從A點(diǎn)出發(fā)沿 AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向

21、以2cm/s 的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問：（1）經(jīng)過多少時(shí)間， AMN勺面積等于矩形 ABC面積的工？9（2）是否存在時(shí)刻t,使以A, M N為頂點(diǎn)的三角形與 AC"目似？若存在，求t 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒后， AMN勺面積等于矩形 ABC面積的工，9則有：1 （6 2x） x=-x 3X6, 29即 x2-3x+2=0, （2 分）解方程，得xi=1 , x2=2, （3分）經(jīng)檢驗(yàn)，可知Xi=1, x2=2符合題意，所以經(jīng)過1秒或2秒后， AMN勺面積等于矩形 ABC而積的工.（4分）9（2）假設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，以A, M N為頂點(diǎn)的三角形與 AC"目

22、似，由矩形ABCD可彳導(dǎo)/ CDA=/ MAN=90 ,因此有鯉口或鯉口（5分）AH-DA 蝴一DC即一/，或一一4（6分）6- 2t 66- 2t 3解，得t=-；解，得t= （7分）25經(jīng)檢驗(yàn)，t=或t=都符合題息，25所以動(dòng)點(diǎn)M N同時(shí)出發(fā)后，經(jīng)過 金秒或型秒時(shí)，以A, M, N為頂點(diǎn)的三角形25與4ACD相似.（8分）9 .如圖，在梯形 ABCDK 若AB/ DC, AD=BC對(duì)角線BD AC把梯形分成了四個(gè)小三角形.（1）列出從這四個(gè)小三角形中任選兩個(gè)三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個(gè)三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）請(qǐng)你任選一組相似三角形，并給

23、出證明.解：（1）任選兩個(gè)三角形的所有可能情況如下六種情況：，（2分）其中有兩組（，）是相似的.選取到的二個(gè)三角形是相似三角形的概率是P （4分）J證明：(2)選擇、證明.在 AOBW CO邛，時(shí)CD55CDBW DBA / DCAW CAB/. .AO歆 COD (8 分)選擇、證明.二工，川B四邊形ABC比等腰梯形，/ DAB= CBA，在 DAB與4CBA中有AD=BC / DABh CAB AB=AB.DA望 CBA (6 分) / ADOW BCO又/ DOA= COB . DOM COB(8 分).點(diǎn)評(píng)：此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件

24、 A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件 A的概率P (A)=工，即相似三角形 n的證明.還考查了相似三角形的判定./ECD=30 .在 RtMEF中，AEV3 X , / AED至 DAE=30 , .sin / AEF電，AE1 V3.AF=AE? sin / AEF=. "點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及三角形面積的求法 等，范圍較廣.10 .附加題：如圖 ABC中，D為 AC上一點(diǎn)，CD=2DA / BAC=45 , / BDC=60 , CE± BD于E,連接AE.(1)寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；11 .如圖，在 ABC中，AB=AC=a M為

25、底邊BC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn) M分另作AR AC 的平行線交 AC于巳交AB于Q(1)求四邊形 AQMP勺周長；(2)寫出圖中的兩對(duì)相似三角形(不需證明)(2)圖中有無相似三角形？若有，請(qǐng)寫出一對(duì)；若沒有，請(qǐng)說明理由;(3)求 BECf BEA的面積之比.解答:解：(1) AD=DE AE=CE CE1BD, / BDC=60 ,在 RtCED中，/ ECD=30 .CD=2ED CD=2DAAD=DE / DAEh DEA=30 =/ ECD解答:(3) M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形 AQM的菱形并證明你的結(jié)論.解：(1) AB/ MP QM/ AC,，四邊形APM虛平行四邊形，/ B=Z

26、PMC / C=Z QMB. AB=AC ，/B=/ C,/ PMC=QMB . . BQ=QM PM=PC，四邊形 AQMP勺周長=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2aAE=CE(2)圖中有三角形相似， AD曰AEC / CAEh CAE / ADEh AEC . AD曰 AEC(3)作 AF± BD的延長線于 F,設(shè) AD=DE=x 在 RtACED, 可得 CE=/K,故 AE=/3X.(2) PM/ AB, .PCMh AC(B / QM/ AC, .BMQ BCA(3)當(dāng)點(diǎn)M中BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形 APMQ1菱形，點(diǎn) M是 BC的中點(diǎn)，AB/ M

27、P QM/ AC,QM PM三角形 ABC的中位線. AB=AC，QM=PM=AB= AC2 2又由(1)知四邊形APM虛平行四邊形，平行四邊形 APM虛菱形.12 .已知：P是正方形ABCDW邊BC上的點(diǎn)，且 BP=3PC M是CD的中點(diǎn)，試說明:解答: ADMh MCP解答：證明：正方形 ABCD M為CD中點(diǎn), . CM=MD=AD.2 BP=3PC . PC= BC= AD= CM442.色山.CM AD 2 / PCM=ADM=90 , . MCD ADM13 .如圖，已知梯形 ABCD43, AD/ BC, AD=2 AB=BC=8 CD=10(1)求梯形ABCM面積S;(2)動(dòng)點(diǎn)

28、P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿B? A? D? C方向，向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿 C? D? A方向，向點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) Q作QHBC于點(diǎn)E.若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.問：當(dāng)點(diǎn)P在B? A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的 t ,使得直線PQ各梯形ABCM周長平 分？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t ,使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與 CQE相似？ 若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的 t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的 t ,使得以P、D Q為頂點(diǎn)的三角形恰

29、好是以 DQ 為一腰的等腰三角形？若存在， 請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理 由.解：(1)過D作DH/ AB交BC于H點(diǎn)，1. AD/ BH, DH/ AB, 四邊形 ABH虛平行四邊形.DH=AB=6 BH=AD=2 . . CH=8- 2=6. . 3=1。 . D曰+C行=Ct!,./ DHC=90 . / B=/DHC=90 .梯形ABCD直角梯形.Sabc匚(AD+BC AB1X (2+8) X 8=40.22(2): BP=CQ=t AP=8- t , DQ=10- t ,. AP+AD+DQ=PB+BC+CQ 8- t+2+10 - t=t+8+t .，t=3 &

30、lt;8.，當(dāng)t=3秒時(shí)，PQ將梯形ABC前長平分.第一種情況：0v t w 8 若 PAD QECW / ADP=/ C z _ g 4 .tan Z ADP=tanZ C=-6 3.8-t 4 . . 16 -,t=-2 33若APAaCEQW/APD=Z C . . tan / APD=tan/C里/，.一=i6 33-t 3，tJ； 2第二種情況：8<t <10, P、A、D三點(diǎn)不能組成三角形；第三種情況：10<t< 124ADW 鈍角三角形與 RtCQ環(huán)相似；.=9或t=V時(shí)， PAD與CQEffi似.32第一種情況：當(dāng) 0WtW8時(shí)過Q點(diǎn)作QEL BC QH

31、L AB,垂足為E、H. AP=8- t , AD=2PD=/AP2 + AD2=/t2- 16td-68 -_ 3_ _3_ _4,. CEt , QE=t ,QH=BE=8 -t , BH=QE=t .5555PH=t-，etpq=/qh2-i-ph£ y|t -胃t+64，DQ=10- t -I ： DQ=DP 10 t=t2_ 16t+6S ,解得 t=8 秒.n： DQ=PQ 10- t=化簡(jiǎn)彳導(dǎo):3t2 - 52t+180=0解得：t=t=48t+64 11J” 而326 - 2734>8 (不合題意舍去)3第二種情況：8WtW10 時(shí).DP=DQ=10t.當(dāng)8wt

32、<10時(shí)，以DQ為腰的等腰 DPQ1成立.第三種情況：10vtW12 時(shí).DP=DQ=b 10.當(dāng)10vtW12時(shí)，以DQ為腰的等腰 DPQ值成立.t= ZZ魚或8wt V10或10vt W12時(shí)，以DQ為腰的等腰314.已知矩形 ABCD長BC=12cm寬AB=8cm P、Q分別是 AR BC上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn).若P自點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，Q自點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度 沿BC方向運(yùn)動(dòng)，問經(jīng)過幾秒，以P、B Q為頂點(diǎn)的三角形與 BDC相似？解答:解：設(shè)經(jīng)x秒后， PBM BCD 由于/ PBQW BCD=90 ,(1)當(dāng)/ 1=/2 時(shí)，有:8 -1217(2)當(dāng)

33、/ 1=/3 時(shí)，有:整因,DC BCBCDCPB QF一 綜上所述,DHQBDPQ立.答0ADD8£5CB Q即入生產(chǎn)2, 12 _ 8，經(jīng)過2秒或2秒， PB6 BCD7DPB Q15.如圖，在 ABC中，AB=10cmg BC=20cm點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿 AB邊向B點(diǎn)以2cm/s 的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從 A、B同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘， PBQ與 ABC相似.設(shè)縫過秒后t秒后， PBQ4ABC相似，則有 AP=2t, BQ=4t, BP=10- 2t ,當(dāng)PBM 4ABC時(shí)，有 BR AB=BQ BC, 即(10 - 2t)

34、: 10=4t : 20, 解得 t=2.5 (s) (6 分)當(dāng) 4QB匹 ABC時(shí)，有 BQ AB=BP BC,即 4t : 10=所以，經(jīng)過 解法二：設(shè) 分兩種情況:(10 2t) : 20,解得 t=1 .2.5s 或 1s 時(shí)， PBQf ABC相似(10 分).ts 后， PBQ ABC相似，則有， AP=2t, BQ=4t, BP=10 2t(1)當(dāng)BP與AB對(duì)應(yīng)時(shí)，有當(dāng)記，即Ad BC(2)當(dāng)BP與BC對(duì)應(yīng)時(shí)，有鑼塔，即Ad dC10-2t 4t1020'4t 10-2t1020解得t=2.5st=1s所以經(jīng)過1s或2.5s時(shí)，以P、B Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與4ABC!

35、似.16.如圖，/ ACBW ADC=90 , AC=f£, AD=2.問當(dāng)AB的長為多少時(shí)，這兩個(gè)直角 三角形相似.當(dāng) 里g或理，E時(shí)，兩三角形相似.（3分）CB-CA CA CB解答:解： AC代,AD=2,. CD=Jac21 如2=收.要使這兩個(gè)直角三角形相似，有兩種情況:(1)當(dāng)1)3)4)當(dāng) RtAABC RtACD時(shí)，右 AC AB . AD AC2 交有. AB=3;AD AC AD當(dāng) RtAACB RtCDAM,有里坦AB=-=3、n. CD AC CDD故當(dāng)AB的長為3或3注時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似.17.已知，如圖，在邊長為 a的正方形ABCM, M是AD的中點(diǎn)

36、，能否在邊 AB上找 一點(diǎn)N （不含A、B）,使得 CD巾MAN!似？若能，請(qǐng)給出證明，若不能，請(qǐng)說明 理由.解答：證明：分兩種情況討論：若 CDMh MAIN 則 AN AM邊長為a, M是AD的中點(diǎn)， AN=a.4若 CDMh NAM則理衛(wèi).姍端邊長為a, M是AD的中點(diǎn)， . AN=a即N點(diǎn)與B重合，不合題意.CQ 二 CPCBCACQ 二 CPCACB時(shí),時(shí),8- a8- 2工富所以，經(jīng)過亞秒或星秒后，兩三角形相似.（6分）511所以，能在邊AB上找一點(diǎn)N （不含AB),使得 CDMW MANK似.當(dāng) AN=a4時(shí)，N點(diǎn)的位置滿足條件.18.如圖在 ABC中，/C=90° ,

37、 BC=8cm AC=6cm 點(diǎn) Q從 B 出發(fā)，沿 BC方向以 2cm/s 的速度移動(dòng)，點(diǎn)P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動(dòng).若。P分別同時(shí)從 B C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點(diǎn) C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與 CBAf似？解答：解：設(shè)經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，則CQ= （8-2x） cm, CP=xcm （1分） / C=Z C=90° ,. x=i ; ( 4 分) 5x= . (5 分) 11點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了路程問題，相似三角形的性質(zhì)及一元一次方程的解法.19.如圖所示，梯形 ABCD43, AD/ BC, Z A=90° , AB=7, AD=2, B

38、C=3 試在腰 AB 上確定點(diǎn)P的位置，使得以P, A, D為頂點(diǎn)的三角形與以 巳B, C為頂點(diǎn)的三角形相 似.解答： 解：(1)若點(diǎn)A, P, D分別與點(diǎn)B, C, P對(duì)應(yīng)，即 APDABCFBP BC'"JN-唐,/ ”研 3p， AF2- 7AP+6=0, .AP=1 或 AP=6,"、檢測(cè)：當(dāng) AP=1 時(shí)，由 BC=3 AD=2, BP=6,AN5C.堇迪, 又. / A=Z B=90° , .APD BCPBC BP當(dāng) AP=6 時(shí)，由 BC=3 AD=2 BP=1,又.一/ A=Z B=90° , .AP3 ABCP?(2)若點(diǎn)A,

39、 P, D分別與點(diǎn)B, P, C對(duì)應(yīng)，即 AP3ABPC-. 一 二. APJ'一, , AP=一.BP BC 7-AP 35檢驗(yàn)：當(dāng) ApM時(shí) 由BP&, AD=2, BC=3 .1空典,55BP BC又./Am/ B=90° , .AP3 ABPC因此，點(diǎn)P的位置有三處，即在線段AB距離點(diǎn)A的1、M、6處.5變長或變短了多少米?解答:20. 4ABC和 DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，/ A=Z D=90° , DEF的頂點(diǎn)E位于邊 BC的中點(diǎn)上.（1）如圖1,設(shè)DE與AB交于點(diǎn) M, EF與AC交于點(diǎn)N,求證： BEMh CNE（2）如圖2,將 DEF繞點(diǎn)

40、E旋轉(zhuǎn)，使得 DE與BA的延長線交于點(diǎn) M, EF與AC交于 點(diǎn)N,于是，除（1）中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你 的結(jié)論.-證明：（1） . ABC是等腰直角三角形， ./ MBE=45 , .BME廿 MEB=135又DEF是等腰直角三角形，DEF=45 / NEC廿 MEB=135/ BEMh NEC （4 分）而/ MBEW ECN=45 , .BEMhACNE （6分）（2）與（1）同理 BEMh CNE當(dāng)ABS QAP時(shí)，包衛(wèi)，所以二15 ,解得：t=也；AP AQ 2t 10-12當(dāng)AQMABAC時(shí)，典也，即上二13,所以t=也；BA BC15102當(dāng)4AQ

41、匹4BCA時(shí)，鯉理,即上二13,所以t=30 （舍去）.BC BA1015故當(dāng)t=6或t=時(shí)，以點(diǎn)Q A、P為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似.22.如圖，路燈（P點(diǎn)）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（。點(diǎn)）20米的A點(diǎn)，沿OA所在的直線行走14米到B點(diǎn)時(shí)，身影的長度是變長了還是變短了?解：. / MAC= MOP=90 , /AMCW OMP . MA6 MOP . MA ; AC 即 _6 MO -OP 20+MA " 8解得，MA=5米；同理，由 NBD NOP可求得 NB=1.5米, ，小明的身影變短了 5T.5=3.5米.工亙CN NE（8 分）又 : BE=EC三.

42、亙CN NE（10 分）23.陽光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y(cè)量一棵樹的高度（這棵樹底部可以 . ECW MEN （12 分）21.如圖，在矩形 ABCM, AB=15cmg BC=10cm點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn) A開始向B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng).如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t （秒）表示移動(dòng)的時(shí)間，那么當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn) 。A、P為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似.解答：解：以點(diǎn)Q A P為頂點(diǎn)的三角形與 ABCffi似,所以 AB8 PAQe ABS QAP當(dāng) AB8 PAQ寸，鯉羋,所以至二10,解得：t=6 ;AP AQ 2t 10-t（1）所

43、需的測(cè)量工具是：;（2）請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫出測(cè)量示意圖；（3）設(shè)樹高AB的長度為x,請(qǐng)用所測(cè)數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出 x.解答：解：（1）皮尺，標(biāo)桿；（2）測(cè)量示意圖如圖所示；（3）如圖，測(cè)得標(biāo)桿 DE=a樹和標(biāo)桿的影長分別為 AC=lb EF=c,DED BAC- DE . a c . ah二, y二BA CA k b c（7分）則4 ECNlWMEIN有區(qū)又/ ECNh MEN=45 ,CN EN到達(dá)，頂部不易到達(dá)），他們帶了以下測(cè)量工具：皮尺，標(biāo)桿，一副三角尺，小平面 鏡.請(qǐng)你在他們提供的測(cè)量工具中選出所需工具，設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案.即:口156 208（6分）24.問題背景在某次活動(dòng)課中，甲、

44、 乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對(duì)校園 中一些物體進(jìn)行了測(cè)量.下面是他們通過測(cè)量得到的一些信息：甲組：如圖1,測(cè)得一根直立于平地，長為 80cm的竹竿的影長為60cm.乙組：如圖2,測(cè)得學(xué)校旗桿的影長為900cm.丙組：如圖3,測(cè)得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì)）的 高度為200cm,影長為156cm.任務(wù)要求：（1）請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖3,設(shè)太陽光線NH與。相切于點(diǎn)M.請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求 景燈燈罩的半徑.（友情提示：如圖3,景燈的影長等于線段 NG的影長；需要時(shí)可采 用等式 1562+2082=2602）解答：解：

45、（1）由題意可知：/ BAC=/ EDF=90 , / BCA4 EFD.AB6 DEF. .螞即理!（2分）DE DF DE 900DE=1200 （cm）.所以，學(xué)校旗桿的高度是 12m. （3分）（2）解法一：與類似得： 期/,即盤!一!_,GN=208 （4分）GN GH GN 156在RtANGHI,根據(jù)勾股定理得：N屆1562+2082=2602,NH=260 （5 分）設(shè)。的半徑為rcm,連接OM. . NH®。于 M，OML NH （6 分）貝U/ OMN = HGN=90 , 又. / ONMg HNG .OMN HGN .（7 分），HG-HN又 ON=OK+KN

46、=OK+GN- GK =r+8 ,. 丁 /+”156260解得：r=12.，景燈燈罩的半徑是 12cm. （8分）解法二：與類似得：典萼,GN GH即理!GN 156.GN=208 （4 分）設(shè)。的半徑為rcm,連接OM. NH切。于M OML NH （5 分）貝U/OMN=HGN=90 , 又. / ONM = HNG .OMN HGN門HG GN4 .MN= r ,3又ON=OK+KN=OK+GN- GK =r+8 . （7 分）在RtAOMhN,根據(jù)勾股定理得：r2+ （4） 2= （r+8） 2即 r29r 36=0,3解得：1=12,2=-3 （不合題意，舍去） ，景燈燈罩的半徑是

47、 12cm. （8分）25. （2007?白銀）陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)（如圖所示），已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離 EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底邊離地面的 高BC解答：解：AE/ BD, . ECM DCB . .匹厘 AC"EC EC=8.7m, ED=2.7m, CD=6m AB=1.8m, AC=BC+1.8m 國-6BC+L8-8.7BC=4即窗口底邊離地面的高為4m.oc由等比性質(zhì)得:所以人影頂端在地面上移動(dòng)的速度為（DA+AC是否是，解得：AC=AB=hi,燈柱的高 OP=O P' =l ,（3）根據(jù)題意設(shè)李華由 A到A', 由（1）可知/，世，即與二空，OC 0P 1 0C同理可得：J-h, 型二B,S即AC 二，即其二.OC - AC - 1 - h0廣 l-hAcT0k同理可得：A，1 - n1 - hDA+AC= i h 二（0A+。' A）=" 是定值.1 - h1 - n身高為A'B' , A'C'代表其影長（如圖）.OA 0C AC 1 hOC ci A'oc1 OC OC'AAy