第一章Mathematica+基礎(chǔ)知識

1、Mathematica數(shù)學(xué)實驗北京交通大學(xué)北京交通大學(xué)第一章第一章 Mathematica 基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識 1.1 Mathematica 概述概述1.1.1 Mathematica 簡介Mathematica Mathematica 作為一個功能強大的常用數(shù)學(xué)軟件作為一個功能強大的常用數(shù)學(xué)軟件, , 不不但可以解決數(shù)學(xué)中的數(shù)值計算問題但可以解決數(shù)學(xué)中的數(shù)值計算問題, , 還可以解決符號還可以解決符號演算問題演算問題, , 并且能夠方便地繪出各種函數(shù)圖形。并且能夠方便地繪出各種函數(shù)圖形。MathematicaMathematica自自19881988年由美國的年由美國的Wolfram Res

2、earchWolfram Research公公司首次推出司首次推出Mathematica1.0Mathematica1.0版本以來版本以來, ,隨著隨著Wolfram Wolfram ResearchResearch公司對它的不斷改進公司對它的不斷改進, ,先后推出了先后推出了Mathematica1.2Mathematica1.2、Mathematica2.0Mathematica2.0、Mathematica2.2Mathematica2.2、Mathematica3.0Mathematica3.0、Mathematica4.0Mathematica4.0等版本。等版本。下面看一些用下面看

3、一些用mathematicamathematica做的一些例子做的一些例子: :見圖見圖 -2246x-20-10102030y1.1.2 Mathematica 的安裝和進入的安裝和進入/退出退出(1) Windows 版本的版本的Mathematica 安裝步驟為安裝步驟為:啟動啟動Windows 操作系統(tǒng)操作系統(tǒng), 打開打開Windows 資源管理器資源管理器;在在Windows 資源管理器中選擇資源管理器中選擇Mathematica 系統(tǒng)安裝盤系統(tǒng)安裝盤, 察察看磁盤中的安裝文件看磁盤中的安裝文件Setup;用鼠標(biāo)雙擊安裝文件用鼠標(biāo)雙擊安裝文件Setup, 屏幕上出現(xiàn)一些選擇對話框屏幕

4、上出現(xiàn)一些選擇對話框;用鼠標(biāo)點擊所有選擇對話框的用鼠標(biāo)點擊所有選擇對話框的OK按鈕或鍵入字母按鈕或鍵入字母y, 則系統(tǒng)就則系統(tǒng)就在你的計算機上安裝了在你的計算機上安裝了Mathematica數(shù)學(xué)軟件。數(shù)學(xué)軟件。Mathematica 的安裝成功后的安裝成功后, 系統(tǒng)會在系統(tǒng)會在Windows【開始】菜【開始】菜單的【程序】子菜單中加入啟動單的【程序】子菜單中加入啟動Mathematica命令的圖標(biāo)命令的圖標(biāo), 用用鼠標(biāo)單擊它就可以啟動鼠標(biāo)單擊它就可以啟動Mathematica系統(tǒng)系統(tǒng),見下圖：見下圖：啟動Mathematica后, 屏幕上出現(xiàn)稱為Notebook 的Mathematica系統(tǒng)集

5、成界面: nMathematica在用戶區(qū)輸入的內(nèi)容被 Mathematica用一個具有擴展名為 “.ma” 的文件名來紀(jì)錄，該文件名是退出Mathematica時保存在用戶區(qū)輸入內(nèi)容的默認(rèn)文件名，一般是文件名：“Newnb-1.ma” 。n 退出Mathematica系統(tǒng)像關(guān)閉一個Word文件一樣, 只要用鼠標(biāo)點擊Mathematica系統(tǒng)集成界面右上角的關(guān)閉按鈕即可。關(guān)閉前, 屏幕會出現(xiàn)一個對話框, 詢問是否保存用戶區(qū)的內(nèi)容, 如果單擊對話框的“否(N)”按鈕, 則關(guān)閉Notebook窗口, 退出Mathematica系統(tǒng); 如果單擊對話框的“是(Y)”按鈕, 則先提示你用一個具有擴展名為

6、 .ma 的文件名來保存用戶區(qū)內(nèi)的內(nèi)容, 再退出Mathematica系統(tǒng)。 在在Notebook用戶區(qū)用戶區(qū), 從開始輸入到按下從開始輸入到按下Shift+Enter組合鍵稱為組合鍵稱為Mathematica一個輸入。一個輸入。Mathematica中的每個輸出或圖形的右邊也都有一個方括號中的每個輸出或圖形的右邊也都有一個方括號, 這些方括這些方括號括起的內(nèi)容稱為號括起的內(nèi)容稱為Cell, 而方括號是這個而方括號是這個Cell的手柄的手柄。Cell是是Notebook的基本單元的基本單元, Notebook中的所有內(nèi)中的所有內(nèi)容都被組成有序的容都被組成有序的 Cell。由若干個。由若干個Ce

7、ll可以組成按組分可以組成按組分級排列的復(fù)合級排列的復(fù)合Cell(見后面的圖見后面的圖)。復(fù)合。復(fù)合Cell的手柄是最的手柄是最外層的大方括號。用鼠標(biāo)單擊某個外層的大方括號。用鼠標(biāo)單擊某個Cell的手柄，對應(yīng)的方的手柄，對應(yīng)的方括號變黑表示已經(jīng)選定這個括號變黑表示已經(jīng)選定這個Cell了了, 此時此時, 你可以使用復(fù)你可以使用復(fù)制、刪除及粘貼等功能處理所選定的制、刪除及粘貼等功能處理所選定的Cell中的內(nèi)容。中的內(nèi)容。1.1.4 Mathematica操作的注意事項操作的注意事項(1)在Notebook 用戶區(qū)用戶輸入完Mathematica命令后, 還要按下Shift+Enter組合鍵, Ma

8、thematica才能執(zhí)行你輸入的Mathematica命令。(2)在Notebook用戶區(qū)如果某個命令一行輸入不下，可以用按下Enter 鍵的方法來達到換行的目的。(3)在Notebook用戶區(qū)除了可以用直接鍵盤輸入的方法進行輸入外, 還可以用打開的方式從磁盤中調(diào)入一個已經(jīng)存在的具有擴展名為 .ma 的文件來進行操作。(4)每次輸入完Mathematica命令并按下Shift+Enter組合鍵, 通常系統(tǒng)會在輸入內(nèi)容的前一行自動加入符號Inn=:以表出此次輸入是第n次輸入。如果用戶不想計算機顯示此次輸入的結(jié)果，只要在所輸入命令的后面再加上一個分號“；”即可以達到目的。如：l In1:= x=

9、 2 + 3 Out1=5l In2:= x = 2 + 3 ; 不顯示結(jié)果51.2 Mathematica 中的數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)1.2.1 Mathematica 中的數(shù)據(jù)類型和數(shù)學(xué)常數(shù)中的數(shù)據(jù)類型和數(shù)學(xué)常數(shù)Mathematica提供的簡單數(shù)據(jù)類型有整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)和復(fù)數(shù)4種類型，這些數(shù)據(jù)在Mathematica中有如下的要求：(1)整數(shù)描述為Integer，是可以具有任意長度的精確數(shù)。書寫方法同于我們通常的表示，輸入時，構(gòu)成整數(shù)的各數(shù)字之間不能有空格、逗號和其它符號，整數(shù)的正負(fù)號寫在該數(shù)的首位，正號可以不輸入。如：2367189、-932是正確的整數(shù)。 (2)有理數(shù)描述為Rational，用

10、化簡過的分?jǐn)?shù)表示，但其中分子和分母都應(yīng)該是整數(shù)，有理數(shù)是精確數(shù)，輸入時分號用“ / ”代替，即使用“分子 分母”的形式。如：23/45、- 41/345 是正確的有理數(shù)。(3)實數(shù)描述為Real，是除了整數(shù)和有理數(shù)之外的所有實數(shù)。與一般高級語言不同的是這里數(shù)學(xué)中的無理數(shù)是可以有任意精確度的近似數(shù), 如圓周率, 在Mathematica中它可以根據(jù)需要取任意位有效數(shù)字。(4)復(fù)數(shù)描述為Complex，用是否含有虛數(shù)單位I來區(qū)分，它的實部和虛部可以是整數(shù)、有理數(shù)和實數(shù)。如：.3I、18.5I都是正確的復(fù)數(shù)。 為了方便數(shù)學(xué)處理和計算更準(zhǔn)確，為了方便數(shù)學(xué)處理和計算更準(zhǔn)確，Mathematica定義了一

11、些數(shù)學(xué)常數(shù)，它們用英文字符串表示，定義了一些數(shù)學(xué)常數(shù)，它們用英文字符串表示，常用的有：常用的有：lPi 表示圓周率=3.14159lE 表示自然數(shù)e =2.71828lDegree 表示幾何的角度1或 /180lI 表示虛數(shù)單位-1開平方Il Infinity 表示數(shù)學(xué)中的無窮大 注意：注意：數(shù)學(xué)常數(shù)是精確數(shù)，可以直接用于輸入的公式中，作 為精確數(shù)參與計算和公式推導(dǎo)。 1.2.2Mathematica數(shù)的運算符數(shù)的運算符 數(shù)的運算有：加、減、乘、除和乘方數(shù)的運算有：加、減、乘、除和乘方,它們在它們在Mathematica中的符號為：加（）、減（）、乘（中的符號為：加（）、減（）、乘（*）、除（

12、）、除（/）和）和乘方（乘方（） 。不同類型的數(shù)參與運算，其結(jié)果的類型為：l如果運算數(shù)有復(fù)數(shù)，則計算結(jié)果為復(fù)數(shù)類型;l如果運算數(shù)沒有復(fù)數(shù)，但有實數(shù)，則計算結(jié)果為實數(shù)類型l如果運算數(shù)沒有復(fù)數(shù)和實數(shù)，但有分?jǐn)?shù)，則計算結(jié)果為有理數(shù)類型l如果運算數(shù)只有整數(shù)，則計算結(jié)果或是整數(shù)類型（如果計算結(jié)果是整數(shù)）；或是有理數(shù)類型（如果計算結(jié)果不是整數(shù)）。1.2.3Mathematica 中的精確數(shù)與近似數(shù)中的精確數(shù)與近似數(shù)lMathematica的的近似數(shù)近似數(shù)是帶有小數(shù)點的數(shù)是帶有小數(shù)點的數(shù)；精確數(shù)精確數(shù)是整數(shù)、是整數(shù)、有理數(shù)、數(shù)學(xué)常數(shù)以及函數(shù)在自變量取整數(shù)、有理數(shù)、數(shù)有理數(shù)、數(shù)學(xué)常數(shù)以及函數(shù)在自變量取整數(shù)、有

13、理數(shù)、數(shù)學(xué)常數(shù)時的函數(shù)值學(xué)常數(shù)時的函數(shù)值。如: 62243、2/3、E、Sin4都是精確數(shù)。如果參與運算或求值的數(shù)帶有小數(shù)點，則運算結(jié)果通常為帶有位有效數(shù)字的近似數(shù)，如：l In3: = 1.2345678020/30 l Out3=0.0411523 結(jié)果為近似數(shù)l In4: = 2+Sin1.0 l Out4= 2.84147 結(jié)果為近似數(shù)l In5: = 2+Sin1 l Out5= 2 + Sin1 結(jié)果為精確數(shù)l如果需要精確數(shù)的數(shù)值結(jié)果（除了整數(shù)之外），可以用Mathematica提供的N函數(shù)函數(shù)將其轉(zhuǎn)化，N函數(shù)可以得到該精確數(shù)的任意精度的近似結(jié)果，其形式有兩個：例如：l In6:

14、= 2*E+Sin Pi/5 / Nl Out6= 6.02345l In7:= N 2*E+SinPi/5 , 30 l Out7= 6.024348909210563599889280897341.2.4 Mathematica中的表中的表 l表可以用來表示數(shù)學(xué)中的集合、向量、矩陣和數(shù)據(jù)庫中的紀(jì)錄。在Mathematica中，任何用一對花括號括起來的一組元素都代一個表，其中的元素用逗號分隔且各元素可以具有不同的類型，特別其中的元素還可以是一個表。l 表的形式是表的形式是： 元素元素1，元素，元素2，元素，元素3，元素元素n l如:1，3，5、3，x，1，y，4都是表。建表命令有如下幾種形式

15、建表命令有如下幾種形式： 命令形式命令形式1: Table 通項公式通項公式f(i)，i ，imin，imax，h功能：功能：產(chǎn)生一個表 f(imin) ，f(imin +h)，f(imin +2h)， ，f(imin +nh) 其中： imax h imin + nh imax , h0例如：例如：建立一個表12，32，192命令：命令：In8: = Table i2 , i , 1, 19 , 2 Out8= 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361 命令形式命令形式2: Table 通項公式通項公式f(i)，i ，imin，imax功能：功能：產(chǎn)

16、生一個表 f(imin) ，f(imin +1)，f(imin +2)，f(imin +n)其中： imax 1 imin + n imax例如：例如：建立一個表22，102命令：命令：In9: = Tablei2, i, 2 , 10 Out9= 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 命令形式命令形式3: Table 通項公式通項公式f，循環(huán)次數(shù)循環(huán)次數(shù)n, f為常數(shù)為常數(shù)功能：功能：產(chǎn)生n個f的一個表 f ，f，f，f 例如例如：建立產(chǎn)生8個2一個表2，2，2，2，2，2，2，2命令：命令：In10: = Table2, 8 Out10= 2，2，2，2，2，

17、2，2，2 命令形式命令形式4: Table 通項公式通項公式f(i , j)，i ，imin，imax,j ，jmin，jmax功能：功能：產(chǎn)生一個二維表 f(imin, jmin) ，f(imin, jmin +1)，f(imin, jmin +2),， f(imin, jmin +m), f(imin+1, jmin) ，f(imin+1, jmin +1), f(imin+1, jmin +2), , f(imin+1 , jmin +m), f(imin+n, jmin) ，f(imin+n, jmin +1)，f(imin+n, jmin +2), ，f(imin +n, jmin

18、 +m)其中： imax 1 imin + n imax , jmax 1 jmin +m jmax例如例如 ：In11: = Tablei-j, i, 1 , 6, j, 1 , 2 Out11= 0, -1, 1, 0, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4 表的分量表示：表的分量表示：有時為了某種需要，希望取出表中的某一或某些元素有時為了某種需要，希望取出表中的某一或某些元素參與后面的運算和處理。常用表示表分量的命令有參與后面的運算和處理。常用表示表分量的命令有： 命令形式命令形式1: 表表 序號序號n 功能：功能：取出表中序號為取出表中序號為n的元素的元素例如：例如：取出表取出

19、表1, 9, x, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361的的正數(shù)第正數(shù)第3個元素、第個元素、第6個元素、和倒數(shù)第個元素、和倒數(shù)第2個元素的命令依個元素的命令依次為：次為：命令：命令：In12: = 1, 9, x, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361 3 Out12=xIn13: = 1, 9, x, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361 6 Out13=121,169In14: = 1, 9, x, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361 -2Out14=289命令形式命令形式2: 表表序

20、號n 1, 序號n 2, 序號n 3,，序號n m功能：功能：取出由表中序號分別為n1, n2, n3,，nm 的m個元素組成的一個表，其中序號n1, n2, n3,，n m可以重復(fù)。例如：例如：取出由表1, 9, x, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361中序號分別為1，3，3，6，-1 的5個元素組成的一個表：命令：命令：In15: = 1, 9, x, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361 1，3，3，6，-1 Out15= 1, x, x, 121, 169, 361命令形式命令形式3: 表表序號序號n1，序號，序號n2功能：功能：取

21、出表中序號為n1 元素（該元素必須是一個表）的序號為 n2的元素。例如：例如：取出表1, 9, x, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361中序號為6的元素的正數(shù)第二個元素命令：命令：In16: = 1, 9, x, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361 6，2 Out16= 169 表的運算函數(shù)表的運算函數(shù) Mathematica 表的運算函數(shù)有很多，這里介紹兩個常用的函數(shù)：例如例如：寫出將表1, 9, 49, 81, 225, 289, 361中所有元素相加存放在變量x中、將表1, 9, 49, 81, 225, 289, 361中所有元素

22、相乘存放在變量y中的Mathematica命令。命令命令：In17: = t=1, 9, 49, 81, 225, 289, 361 In18= x = ApplyPlus, t Out18=1015 In19= y = ApplyTimes, t Out19=838515647025函數(shù)形式函數(shù)形式 功能功能ApplyPlus, 表表對表中所有元素求和ApplyTimes, 表表對表中所有元素求積1.3 Mathematica 中的變量中的變量 1.3.1 Mathematica的變量命名的變量命名nMathematica的變量名規(guī)定為任何小寫英文字母或以小寫英文字母開的變量名規(guī)定為任何小寫

23、英文字母或以小寫英文字母開頭后跟若干字母或數(shù)字表示的字符串頭后跟若干字母或數(shù)字表示的字符串，如x,y,ae3,d3er45都是合法的變量名。n一般Mathematica的變量名不用小寫字母。如果在某些情況下一定要用大寫字母，應(yīng)該注意不要與Mathematica中的數(shù)學(xué)常數(shù)和內(nèi)部函數(shù)或命令的混淆。Mathematica中的變量名是區(qū)分大小寫字母中的變量名是區(qū)分大小寫字母的，如在Mathematica中，ab與 Ab表示兩個不同的變量。 n變量名中的字符之間不能有空格變量名中的字符之間不能有空格，因為變量名中的空格在因為變量名中的空格在Mathematica中被理解為變量的乘積。中被理解為變量的乘

24、積。如：abcd與ab cd有不同的含義，前者表示一個變量abcd, 而后者Mathematica會將其看成兩個變量ab 和cd的乘積關(guān)系。 n變量名不能以數(shù)字開頭的字符串來表示，如果在變量名不能以數(shù)字開頭的字符串來表示，如果在Mathematica里出現(xiàn)里出現(xiàn)了這種字符串，了這種字符串，Mathematica將其理解為數(shù)字與變量的乘積將其理解為數(shù)字與變量的乘積。例如: 以數(shù)字開頭的字符串3asd，在Mathematica中表示3乘以變量asd 即3asd表示3*asd。n在Mathematica中變量使用前不必先定義變量類型。Mathematica變變量的類型可以不斷變化，取決于其中所存數(shù)據(jù)

25、的類型；變量不但可以量的類型可以不斷變化，取決于其中所存數(shù)據(jù)的類型；變量不但可以存放前面所提到的四種數(shù)據(jù)數(shù)，而且可以存放一個方程式、一個圖形存放前面所提到的四種數(shù)據(jù)數(shù)，而且可以存放一個方程式、一個圖形或更復(fù)雜的關(guān)系式?；蚋鼜?fù)雜的關(guān)系式。1.3.2 Mathematica中的變量取值與清除中的變量取值與清除n如果一個變量在程序運行中沒有被存儲內(nèi)容如果一個變量在程序運行中沒有被存儲內(nèi)容, 此時該變量名只是一此時該變量名只是一般的數(shù)學(xué)符號參與程序的處理。如果變量被存儲了內(nèi)容般的數(shù)學(xué)符號參與程序的處理。如果變量被存儲了內(nèi)容, 稱為變量稱為變量取值。變量取值之后取值。變量取值之后,該變量就用存入的內(nèi)容參

26、與程序的處理。在該變量就用存入的內(nèi)容參與程序的處理。在Mathematica中，變量獲取值的方式有三種：中，變量獲取值的方式有三種：變量賦值、鍵盤輸入變量賦值、鍵盤輸入和變量替換和變量替換。下面分別介紹這三種方式：。下面分別介紹這三種方式：（1）變量賦值方式）變量賦值方式 變量賦值方式是變量取值的最常用的方式。Mathematica中變量賦值的一般形式為中變量賦值的一般形式為： 變量變量 = 表達式表達式 這里“=”稱為賦值號，表達式是廣義的表達式，即它可以是數(shù)值和通常意義的數(shù)學(xué)表達式，還可以是一個方程或圖形等。例如: In20: = x = 2+2 Out20= 4 In21:= x*x x

27、 + 1 Out21= 13（2）鍵盤輸入方式）鍵盤輸入方式 鍵盤輸入方式是變量取值的另一種常用的方式，多用于需要在命令或程序的運行中由用戶從鍵盤上臨時鍵入的人機交互式變量取值。 Mathematica中鍵盤輸入命令形式為中鍵盤輸入命令形式為： 變量變量= Input 當(dāng)遇到上面的鍵盤輸入命令后，計算機在屏幕上給出一個輸入小窗口，等待用戶在其中從鍵盤上鍵入一個表達式，鍵入完畢后，用鼠標(biāo)點擊“OK”按扭后，計算機將鍵入的表達式求值后，將結(jié)果存儲在算等號左邊的變量中。這里“=”是賦值號。 例如: In22: = x = Input *變量x等待鍵盤輸入賦值 (見圖) Out22= 23 （*此時此

28、時x從鍵盤上被賦值從鍵盤上被賦值23） In23:= x + 1 Out23= 24下一頁下一頁返回返回（3）變量替換）變量替換變量替換類似于數(shù)學(xué)中的計算函數(shù)在某一點的函數(shù)值。Mathematica中變量替換的一般形式為中變量替換的一般形式為:表達式表達式 / . 變量名變量名1 表達式表達式1 或 表達式表達式 / . 變量名變量名1 表達式表達式1, 變量名變量名2 表達式表達式2, 這里符號符號“/.”是由鍵盤上的兩個符號是由鍵盤上的兩個符號“/”和和“.”組成的，中間不能有空格組成的，中間不能有空格。同樣,“ ”也是由鍵盤上的兩個符號也是由鍵盤上的兩個符號“ ”和和“”組成的組成的,

29、中間也不能有空中間也不能有空格格。例如: In24: = 2x+3y /. x - 2.1 Out24= 4.2 + 3 y In25:= 2x+3y /.x - 2.1, y -1 + a Out25= 4.2 + 3 (1 + a) 清除變量的含義是清除給變量所賦的值,它的命令形式為命令形式為:變量名變量名=.或Clear變量名變量名1,變量名變量名2,清除變量后,變量名就還原成一般的數(shù)學(xué)符號了。 1.3.3 Mathematica中有關(guān)變量的注意事項中有關(guān)變量的注意事項 使用變量前先用清除命令清除其中的內(nèi)容使用變量前先用清除命令清除其中的內(nèi)容 Mathematica中的變量名還可以用作代

30、數(shù)中的數(shù)學(xué)符號，在Mathematica的命令或程序中出現(xiàn)的任何合法的變量名符號，如果該變量名所代表的變量沒有被賦值，則它就作為數(shù)學(xué)算式中的符號參與數(shù)學(xué)的公式推導(dǎo)和運算；如果該變量被賦值了，則用該變量所賦的值參與對應(yīng)數(shù)學(xué)的公式推導(dǎo)和運算。因此，如果用戶在做符號運算時使用的符號有被賦值的變量名，則就會出現(xiàn)察覺不到的錯誤。 變量替換時變量本身還是數(shù)學(xué)符號，沒有發(fā)生變量賦值的行為變量替換時變量本身還是數(shù)學(xué)符號，沒有發(fā)生變量賦值的行為 如: In26: = x=9; In27: = 6/x-7 Out27= -19/3 In28: = x=. In29: = 6x-7/. x-9 Out29= -19

31、/3 In30: = 6/x-7 Out30= 6/x-71.4 Mathematica 中的函數(shù)中的函數(shù) Mathematica有很豐富的內(nèi)部函數(shù)，它們是Mathematica系統(tǒng)自帶的函數(shù)，函數(shù)名一般使用數(shù)學(xué)中的英文單詞，只要輸入相應(yīng)的函數(shù)名，就可以方便地使用這些函數(shù)。內(nèi)部函數(shù)既有數(shù)學(xué)中常用的函數(shù)，又有工程中用的特殊函數(shù)。如果用戶想自己定義一個函數(shù)，Mathematica也提供了這種功能。Mathematica中的函數(shù)自變量應(yīng)該用方括號中的函數(shù)自變量應(yīng)該用方括號 括起，括起，不能用圓括不能用圓括 ( ) 號括起，號括起，即一個數(shù)學(xué)中的函數(shù)f (x, y,)應(yīng)該寫為f x, y,才行。1.4

32、.1 Mathematica中的內(nèi)部函數(shù)中的內(nèi)部函數(shù)nMathematica的內(nèi)部函數(shù)名字大部分是其英文單詞的全名，如Random，Conjugate等。Mathematica內(nèi)部函數(shù)的名字第一個字母一定要大寫，其后的字母一般是小寫的，不過如果該名字有幾個含義，則函數(shù)名字中體現(xiàn)每個含義的第一個字母也要大寫，如反正切函數(shù)arctanx中含有反“arc”和正切“tan”兩個含義, 故它的Mathematica函數(shù)表示為ArcTanx。n下面列舉一些常用的Mathematica內(nèi)部函數(shù)：（1）數(shù)值函數(shù)：）數(shù)值函數(shù)：nAbsx 表示x的絕對值|x|nRoundx 表示最接近x的整數(shù)nFloorx 表示

33、不大于x的最大整數(shù)nCeilingx 表示不小于x的最大整數(shù)nSignx 表示x的符號函數(shù)sgn(x)nExpx 表示以自然數(shù)為底的指數(shù)函數(shù)e xnLogx 表示以自然數(shù)為底的對數(shù)函數(shù)ln xnLoga,x 表示以數(shù)a為底的對數(shù)函數(shù)log a xnSinx, Cosx 表示正弦函數(shù)sin x, 余弦函數(shù)cos xnTanx, Cotx 表示正切函數(shù)tan x ,余切函數(shù)cot xnArcSinx, ArcCosx 表示反正弦函數(shù)arcsin x , 反余弦函數(shù) arccos xnArcTanx, ArcCotx 表示反正切函數(shù)arctan x , 反余切函數(shù) arccot xnMaxx1,x2

34、,xn 表示取出實數(shù)x1,x2,。,x n的最大值nMaxs 表示取出表s中所有數(shù)的最大值 nMinx1,x2,xn 表示取出實數(shù)x1,x2,。,x n的最小值nMins 表示取出表s中所有數(shù)的最小值 nn! 表示階乘n(n-1)(n-2) .1nn! 表示雙階乘n(n-2)(n-4) .nModm,n 表示整數(shù)m除以整數(shù)n的余數(shù)nQuotientm,n 表示整數(shù)m除以整數(shù)n的整數(shù)部分nGCDm1,m2,mn 表示取出整數(shù)m1,m2,。,mn的最大公約數(shù)nGCD s 表示取出表s中所有數(shù)的最大公約數(shù)nLCMm1,m2,mn 表示取出整數(shù)m1,m2,。,mn的最小公倍數(shù)nLCM s 表示取出表s

35、中所有數(shù)的最小公倍數(shù)nBinomialn, m 表示二項式系數(shù)nRez 取復(fù)數(shù)z的實部nImz 取復(fù)數(shù)z的虛部nConjugatez 取復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)nSqrtx 表示x 的平方根函數(shù)mnC舉例說明：舉例說明： In31: = Abs -4 Out31= 4In32: = Round1.1 Out32= 1In33: = Round1.9 Out33= 2In34: = Floor2.1 Out34= 2In35: = Ceiling 2.1 Out35= 3In36: = Sign22 Out36= 1In37: = Sign-2222 Out37= -1舉例說明：舉例說明： In31:

36、= Exp5 Out31= e5In32: = Log1 Out32= 0 In33: = Log10,100 Out33= 2In34: = Sin0 Out34= 0 In35: = Cos0 Out35= 1In36= TanPi Out36= 0 In37= CotPi/2 Out37= 0In38= ArcSin 1 Out38= Pi/2In39= ArcTan 1 Out39= Pi/4舉例說明：舉例說明： In31: = Max9, 5, -4, 3.1 Out31= 9In32: = Min9, 5, -4, 3.1 Out32= -4 在9, 5, -4, 3.1這四個數(shù)中

37、，最大的是這四個數(shù)中，最大的是9，最小的是，最小的是4In33: = Max2, 5, -4,-3.1, 8, 3 Out33= 8In34: = Mod26, 3 Out34= 2 In35: = Quotient26, 3 Out35= 826除以除以3，得，得8，余數(shù)為，余數(shù)為2，Mod和和Quotient功能不同功能不同 In36=Re3+4i Out36= 3 求求3+4i的實部，求虛部用的實部，求虛部用ImIn37= Sqrt4 Out37= 2 練習(xí)：練習(xí)： 1 用mathematica數(shù)學(xué)軟件計算下列各式值（1）1238e2.3log23cos21o（2）tan(-x2)arc

38、cosx,在x=0.25和x=0.78x的函數(shù)值2 假設(shè)有一種傳染病，任何人得病后，在傳染期內(nèi)不會四無，且最初有m人患病，每個人年平均傳染率為k，治愈率為i，若一年內(nèi)等時間間隔檢測n次，則一年后患病人數(shù)為？若檢測次數(shù)無限次數(shù)增加，一年后傳染病人數(shù)會無限增加嗎？函數(shù)形式函數(shù)形式功能功能Random隨機給出閉區(qū)間0,1內(nèi)的一個實數(shù)RandomReal, xmax隨機給出閉區(qū)間0,xmax內(nèi)的一個實數(shù)RandomReal, xmin, xmax隨機給出閉區(qū)間xmin,xmax內(nèi)的一個實數(shù)RandomInteger隨機給出整數(shù)0或1RandomInteger, xmin, xmax隨機給出xmin到x

39、max之間的一個整數(shù)RandomComplex隨機給出單位正方形內(nèi)的一個復(fù)數(shù)（2） 隨機函數(shù)：隨機函數(shù)：舉例：(i)產(chǎn)生小于等于5的一個非負(fù)隨機實數(shù)。命令: In39: = RandomReal, 5 Out39= 4.72088(ii)產(chǎn)生閉區(qū)間0,1內(nèi)的6個隨機實數(shù)的一個表。命令: In40: = TableRandom,6 Out40= 0.836874, 0.347154, 0.150818, 0.373472, 0.689255, 0.546614(iii)產(chǎn)生閉區(qū)間-2,10內(nèi)的5個隨機實數(shù)的一個表。命令: In41: = TableRandomReal,-2,10,5 Out41

40、= 8.873, -0.643032, 2.00279, 4.83199, 4.47409(iv)產(chǎn)生1到8之間的10個隨機整數(shù)的一個表。命令: In42: = Table RandomInteger, 1,8, 10 Out42= 3, 8, 1, 5, 4, 5, 6, 8, 6, 5(v)產(chǎn)生單位正方形內(nèi)的5個隨機復(fù)數(shù)的一個表。命令: In43: = TableRandomComplex, 5 Out43= 0.537111+0.917944I, 0.944971+ 0.283356I, 0.289054 + 0.937503I1.4.2 Mathematica中的自定義函數(shù)中的自定義函

41、數(shù) Mathematica自定義函數(shù)的一般命令為：自定義函數(shù)的一般命令為： 函數(shù)名函數(shù)名自變量名自變量名1_, 自變量名自變量名2_ ,:= 表達式表達式 這里函數(shù)名與變量名的規(guī)定相同，方括號中的每個自變量名后都要有一個下劃線“_”,中部的定義號“: =”的兩個符號是一個整體，中間不能有空格。常用的自定義函數(shù)命令有常用的自定義函數(shù)命令有：定義一個一元函數(shù)定義一個一元函數(shù) 函數(shù)名函數(shù)名自變量名自變量名_:= 表達式表達式 例如例如 : 定義一個函數(shù) y=asin x+x5, a是參數(shù) 命令命令: In44: = yx_ := a*Sinx+x5定義一個二元函數(shù)定義一個二元函數(shù) 函數(shù)名函數(shù)名自變量

42、名自變量名1_, 自變量名自變量名2_ := 表達式表達式 例如例如: 定義一個函數(shù) z1=tan(x/y) - ye5x 命令命令: In45: = z1x_ ,y_ :=Tanx/y+y*Exp5x自定義函數(shù)的幾點注意事項自定義函數(shù)的幾點注意事項：自定義函數(shù)名的第一個字母不能大寫以利于區(qū)別內(nèi)部函數(shù)。鍵入自定義函數(shù)并按下Shift+Enter鍵后，Mathematica不在計算機屏幕顯示輸出結(jié)果Outn,只是記住該自定義函數(shù)的函數(shù)名和對應(yīng)的表達式，以利于后面的函數(shù)求值和運算使用。如果自定義函數(shù)不再使用，應(yīng)該及時清除該自定義函數(shù)以釋放由自定義函數(shù)占用的內(nèi)存空間，清除自定義函數(shù)的命令與清除變量的

43、命令相同，即清除自定義函數(shù)的命令為： Clear自定義函數(shù)名自定義函數(shù)名 舉例： 寫出從集合x=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0中等概率取出n個元素的自定義函數(shù)（可以重復(fù)抽?。?。 解：解：Mathematica命令: In46: = drawoutx_, n_:=x Table Random Integer, 1,Lengthx , n In47: =x=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0;In48: = drawoutx, 5 （*隨機取出5個元素）Out48= 0, 3, 3, 5, 9In49: = drawoutx, 12 （*隨機取出12個元素）Out49= 1, 2, 5

44、, 7, 9, 4, 8, 4, 1, 4, 0, 6- 本題自定義函數(shù)本題自定義函數(shù)drawoutx_, n_是由是由（i）Random Integer, 1,Lengthx (ii) Table Random Integer, 1,Lengthx , n (iii) x表表 三個函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成的。三個函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成的。1.4.3Mathematica中的函數(shù)求值中的函數(shù)求值n表示函數(shù)在某一點的函數(shù)值有兩種方式：一種是數(shù)學(xué)方式，即直接在函數(shù)中把自變量用一個值或式子代替，如Sin2.3，Sqrta+1，z13, 5等；另一種為變量替換的方式：函數(shù)函數(shù) / . 變量名變量名 數(shù)值或表達式數(shù)值或表

45、達式 或函數(shù)函數(shù) /. 變量名變量名1 數(shù)值數(shù)值1或表達式或表達式1, 變量名變量名2 數(shù)值數(shù)值2或表達式或表達式2,n例如:n In46: = fnx_:=x*Cosx+Sqrtxn In47: = fn2 Out47:= Sqrt2 + 2 Cos2 n In48: = fnx /. x- 8 Out48 = 2 Sqrt2 + 8 Cos8n In49: = fnx /. x- a+1 n Out49 = Sqrt1 + a + (1 + a) Cos1 + an In50: = fnx_,y_:=x3+y2n In51: = fn2, a Out51:= 8 + a2 n In52:=

46、 fnx,y /. x- a, y-b+2 Out52= a3 + (2 + b) 21.4.4純函數(shù)純函數(shù) p純函數(shù)命令形式如下:Function變量或變量表, 表達式p注意注意:Function僅表示純函數(shù)的記號,它的縮寫形式“ 變量或變量表變量或變量表,表達式表達式& ”使行文更簡潔。純函數(shù)用&分隔函數(shù)定義和調(diào)用的(實在)函數(shù), &后放調(diào)用的參數(shù). 當(dāng)函數(shù)中只有一個變量時,用#表示變量,否則用 #1,#2,分別表示第一個變量和第二個變量等。舉例：In56:= Functionx, Cosx2-SinxOut56= Functionx, Cosx2 - Sinx （

47、函數(shù)已建立）In57:= %3 （*計算x=3時的函數(shù)值f(3)Out57= Cos32 - Sin3 （*輸出函數(shù)值Cos32 - Sin3）In58:= s = Functionx, y, x - y Out58= Functionx, y, x - yIn59:=s19, 10Out59=9 In60:=(# + 1)&xOut60:=1+xIn61:= (#1 - #2)&a, b Out61= a - bIn62:=#1#2&2，3 Out62:=8 1.5 Mathematica中的表達式 數(shù)學(xué)中常用的表達式有算術(shù)表達式、關(guān)系表達式和邏輯表達式。1.5.1

48、Mathematica中的算術(shù)表達式中的算術(shù)表達式l在Mathematica中，算術(shù)表達式是由算術(shù)運算符（加（）、減（）、乘（*）、除（/）和乘方（）連接常數(shù)、變量、函數(shù)構(gòu)成的一個式子。如：57、Sqrtx、2+3.2、3*x-Expy、（SinPi/34-1）*x+1、(a+1)/(3-a)-(b-1)/a等都是算術(shù)表達式。l符號%、%、%n在Mathematica 中分別表示最后一次、次后一次和第n次的輸出結(jié)果,。l算術(shù)表達式的運算順序是括號優(yōu)先、同級運算遵守從左到右的先后順序運算、算符運算順序的優(yōu)先級按（由高到低）：函數(shù)計算函數(shù)計算乘冪乘冪乘除乘除加減加減1.5.2 Mathematic

49、a中的關(guān)系表達式中的關(guān)系表達式關(guān)系表達式也稱為算術(shù)關(guān)系表達式，常用來比較兩個算術(shù)表達式值的大小。在Mathematica中，關(guān)系表達式的一般形式為： Mathematica的關(guān)系運算符有六種，它們的表示和含義如下： 關(guān)系運算符關(guān)系運算符含義含義對應(yīng)的數(shù)學(xué)符號對應(yīng)的數(shù)學(xué)符號例子例子= =相等關(guān)系=如x+3=0應(yīng)該寫為x+3= =0 !=不等關(guān)系如x+30應(yīng)該寫為x +3!=0 大于關(guān)系如x4應(yīng)該寫為x4=大于等于關(guān)系如x 4應(yīng)該寫為x= 4小于關(guān)系如x4應(yīng)該寫為x4=小于等于關(guān)系如x 4應(yīng)該寫為x=、=中間不能有空格或中間不能有空格或其他符號。其他符號。l關(guān)系表達式的計算順序為：先分別計算兩個算

50、術(shù)表達式的值，再比關(guān)系表達式的計算順序為：先分別計算兩個算術(shù)表達式的值，再比較它們的值。較它們的值。l關(guān)系表達式的計算結(jié)果是三個邏輯值關(guān)系表達式的計算結(jié)果是三個邏輯值True (真真)、False(假假)和非真非和非真非假，取值的規(guī)則為：當(dāng)關(guān)系表達式成立時，取值為假，取值的規(guī)則為：當(dāng)關(guān)系表達式成立時，取值為True；當(dāng)關(guān)系表達；當(dāng)關(guān)系表達式不成立時，取值為式不成立時，取值為False;當(dāng)關(guān)系表達式不能確定時，將關(guān)系表達式當(dāng)關(guān)系表達式不能確定時，將關(guān)系表達式原樣輸出，表示取值為非真非假。原樣輸出，表示取值為非真非假。l關(guān)系表達式中關(guān)系運算符的計算優(yōu)先級別低于算術(shù)運算符。關(guān)系表達式中關(guān)系運算符的計

51、算優(yōu)先級別低于算術(shù)運算符。1.5.3 Mathematica中的邏輯表達式中的邏輯表達式n關(guān)系表達式只能表示一個條件，如果考慮的問題涉及到多個關(guān)系表達式只能表示一個條件，如果考慮的問題涉及到多個條件的組合，用邏輯表達式最方便。關(guān)系表達式的形式有：條件的組合，用邏輯表達式最方便。關(guān)系表達式的形式有： 或或常用的常用的Mathematica的邏輯運算符有三種的邏輯運算符有三種 :邏輯運算符邏輯運算符名稱名稱含義含義 ！邏輯非當(dāng)關(guān)系表達式A為真時，!A為假；當(dāng)關(guān)系表達式A為假時，!A為真。 & 邏輯與 當(dāng)關(guān)系表達式A和B都為真時，A&B為真，否則為假。 | 邏輯或 當(dāng)關(guān)系表達式A和B

52、都為假時，A|B為假，否則為真。 邏輯表達式常用來表示數(shù)學(xué)條件，特別在描述變量的范圍時比關(guān)系表達式更為簡潔和方便，如 x(a,b 邏輯表達式為 xa&x=b x(a,b 邏輯表達式為 xb 2x4或1=y2&x=1&y箭頭右面的內(nèi)容替換箭頭左邊的內(nèi)容箭頭右面的內(nèi)容替換箭頭左邊的內(nèi)容 例例1. 求2的平方根（默認(rèn)精度）、求10位精度、最后檢驗在計算過程中是否存在較大的誤差。 解解:In1:=Sqrt2 Out1:=Sqrt2In2:=N% Out2:=1.41421In3:=N % , 10 Out3:=1.414213562In4:=(%1)2 Out4:=2In5:=(%2)2 Out5:=2.輸出： Out4:=2和Out5:=2. 說明本題計算不存在較大誤差。(2 )查看幫助符號？、？的使用查看幫助符號？、？的使用例例2. 查看函數(shù)查看函數(shù)N 的大致用法和詳細(xì)用法的大致用法和詳細(xì)用法 Mathematica命令命令: 輸入：輸入： In6:=? N 輸入：輸入：In7:=？N例例3 查看以查看以Exp開頭的所有內(nèi)建函數(shù)名及開頭的所有內(nèi)建函數(shù)名及Expand函數(shù)的詳細(xì)用函數(shù)的詳細(xì)用法法Mathematica命令命令: