雙曲線的定義及其標準方程（課堂PPT）

1、1雙曲線及其標準方程雙曲線及其標準方程 21. 1. 橢圓的定義橢圓的定義和和 等于常數(shù)等于常數(shù)2a ( 2a|F1F2|0) 的點的軌跡的點的軌跡.平面內與兩定點平面內與兩定點F1、F2的距離的的距離的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入問題：引入問題：差差等于常數(shù)等于常數(shù)的點的軌跡是什么呢？的點的軌跡是什么呢？平面內與兩定點平面內與兩定點F1、F2的距離的的距離的復習復習|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 34 兩個定點兩個定點F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點焦點; |F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0 ；雙曲線定義雙曲線定義思考：思考：（1）若）若

2、2a= |F1F2|,則軌跡是？則軌跡是？（2）若）若2a |F1F2|,則軌跡是？則軌跡是？說明說明（3）若）若2a=0,則軌跡是？則軌跡是？ | |MF1| - |MF2| | = 2a( (1) )兩條射線兩條射線( (2) )不表示任何軌跡不表示任何軌跡5如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?？如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?？原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單； ( (一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸所在的直線作為坐標軸.).) 探討建立平面直角坐標系的方案探討建立平面直角坐標系的方案OxyOxyOxy

3、方案一方案一Oxy(對稱、對稱、“簡潔簡潔”)1F2FMOxy方案二方案二6F2 2F1 1MxOy求曲線方程的步驟：求曲線方程的步驟：雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直線為所在的直線為x軸，線段軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系的中點為原點建立直角坐標系2.2.設點設點設設M（x , y）,則則F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1| - |MF2|=2a4.4.化簡化簡aycxycx2)()(2222即7aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222

4、acayaxac222bac)0, 0(12222babyax此即為此即為焦點在焦點在x軸上的軸上的雙曲線雙曲線的標準的標準方程方程812222byax12222bxayF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系時若建系時,焦點在焦點在y軸上呢軸上呢?9看看 前的系數(shù)，哪一個為正，前的系數(shù)，哪一個為正，則在哪一個軸上則在哪一個軸上22, yx10222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 橢橢 圓圓雙曲線雙曲線F（0，c

5、）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab1213利用定義法求雙曲線的標準方程利用定義法求雙曲線的標準方程1）首先找出兩個定點）首先找出兩個定點(即雙曲線的兩個焦點即雙曲線的兩個焦點)；2）然后再根據(jù)條件尋找動點到兩個定點的距離）然后再根據(jù)條件尋找動點到兩個定點的距離的差的差(或差的絕對值或差的絕對值)是否為常數(shù)，這樣確定是否為常數(shù)，這樣確定c和和a的值，的值，3）再由）再由c2a2b2求求b2，進而求雙曲線的方程，進而求雙曲線的方程1415對雙曲線定義的理解對雙曲線定義的理解雙曲線定義中雙曲線定義中|

6、PF1|PF2|2a(2a680|AB|680m, ,所以爆炸點所以爆炸點的軌跡是以的軌跡是以A A、B B為焦點的雙曲線在靠近為焦點的雙曲線在靠近B B處的一支上處的一支上. . 例例3 3.(.(課本第課本第5454頁例頁例) )已知已知A,BA,B兩地相距兩地相距800800m, ,在在A A地聽到炮彈爆地聽到炮彈爆炸聲比在炸聲比在B B地晚地晚2 2s, ,且聲速為且聲速為340340m/ /s, ,求炮彈爆炸點的軌跡方程求炮彈爆炸點的軌跡方程. .如圖所示，建立直角坐標系如圖所示，建立直角坐標系xO Oy, ,設爆炸點設爆炸點P的坐標為的坐標為( (x, ,y) )，則則340 26

7、80PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800,0PAPBx 1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮彈爆炸點的軌跡方程為因此炮彈爆炸點的軌跡方程為44400bca 2 22 22 217答答: :再增設一個觀測點再增設一個觀測點C，利用，利用B、C（或（或A、C）兩處）兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置準確位置. .這是雙曲線的一個重要應用這是雙曲線的一個重要應用. .18例例2利用雙曲線的定義求軌跡問題利用雙曲線的定義求軌跡問題 動圓動圓M與圓與圓C1：(x3)2y29外切，外切，且與圓且與圓C2：(x3)2y21內切，求動圓圓內切，求動圓圓心心M的軌跡方程的軌跡方程1920例例2 2: :如果方程如果方程 表示雙表示雙曲線，求曲線，求m的取值范圍的取值范圍. .22121xymm 解解: :22121xymm 思考：思考：21mm 得得或或(2)(1)0m m由由21例例32223雙曲線的定義是解決與雙曲線有關的問題的雙曲線的定義是解決與雙曲線有關的問題的主要依據(jù)，在應用時，主要依據(jù)，在應用