極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化

1、、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化1.(本小題滿分10分)選修4 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程2在極坐標(biāo)系下，已知圓O： P = cos6+sin日和直線l： Psin(0 -)=,42(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)日W (0,冗)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo).2.(選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知曲線 C的極坐標(biāo)方程是P = 2sin9 ,設(shè)3-x = -t +2直線l的參數(shù)方程是5(t為參數(shù))。4y=(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與x軸的交點是M , N為曲線C上一動點，求|MN|的最大值。3.(本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線

2、C的極坐標(biāo)方程為P2364cos2 - 9sin2 -'(1)若以極點為原點，極軸所在的直線為 x軸，求曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若P(x, y)是曲線C上的一個動點，求3x + 4y的最大值。5 .(本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程TT已知直線l經(jīng)過點P(1,1),傾斜角a =-o6(1) 寫出直線l的參數(shù)方程；x = 2cosu(2) 設(shè)l與圓(日是參數(shù))相交于兩點 A、B,求點P至IJA、B兩點的y = 2sin 距離之積。6 .(本題滿分10分)44(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)x = 3cos1、，c 2 亞一 為Psin(日十一)=.圓O的參數(shù)方程為42在直角坐標(biāo)系xO

3、y中，以。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線1的極方程2 , （9為參數(shù)，r >0）3 rr sin 二2(I)求圓心的極坐標(biāo);(n)當(dāng)r為何值時，圓O上的點到直線Z的最大距離為3. ,2一2、6. (1)圓心坐標(biāo)為(，)22設(shè)圓心的極坐標(biāo)為(：,口)則 P =卜§)2+(-* 11-2 分 .一 一，一，. .5 、所以圓心的極坐標(biāo)為(1,5n)- 4分4(2)直線l的極坐標(biāo)方程為P(sin + cos)= 222二直線l的普通方程為x + y 1= 06分I二圓上的點到直線l的距離d =-工 rcos一二r sin 111| - . 2 . 2rsin(-) -11

4、即d： 4，一 . 2. 2r 1，圓上的點到直線l的最大距離為-；=324 ,匚 2.r 二2-10 分7.(本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講已知直線l的參數(shù)方程為:x = 2 t(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為:y = 3t：2 cos2i - 1(1)求曲線C的普通方程；(2)求直線l被曲線C截得的弦長.7. (1)由曲線 C: ：2cos2 1-：-'2(cos2 1-sin21)=1,得P2 cos2 - P2 sin2日)=1,化成普通方程22.x y =1 5分(2)方法一：把直線參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程x =2 t22 J (t為參數(shù)) 3 .y 二

5、一t2把代入得:=1一 一 2一 一整理，得t -4t -6 =0設(shè)其兩根為tj,則 t1 +t2 =4,t1 t2 =-68 分從而弦長為 |t1 -t2 |=(L t2)2 -4n=.42 -4(-6)=癡 =2 10.10分方法二：把直線l的參數(shù)方程化為普通方程為y Z3(x -2),代入 x2 - y2 =1,2得 2x 12x+13 = 0 6 分設(shè) l 與 C 交于 A(Xi,X2), B(X2,y2)c13則 x1+x2=6,X| x2 =8 分210分.| AB|= ,1-3 . (x1 x2)2 -4x1x2 =2 62 -26 =2. 10.1、（09廣東理14）（坐標(biāo)系與

6、參數(shù)方程選做題）若直線kTt （t為參數(shù)）與直線 y = 2 3t4x+ky =1垂直，則常數(shù)k =x =1 -2t373【解析】將化為普通方程為y = 3x + 7，斜率k1 =-y -2 3t222當(dāng)k #0時，直線4x +ky =1的斜率k2 = 一±由k1k2 = I -k2 k=一 1 得 k = 一6 ;37當(dāng)k = 0時，直線y = 一一 X十一與直線4x = 1不垂直.22綜上可知，k - -6 .答案-6X =1 t3、（天津理13）設(shè)直線1i的參數(shù)萬程為V（t為參數(shù)），直線的方程為y =1 3ty=3x+4則ll與12的距離為【解析】由題直線11的普通方程為3x

7、- y - 2 = 0 ,故它與與12的距離為 卑2J .103. 10 O5答案 u 54、（09安徽理12）以直角坐標(biāo)系的原點為極點，X軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位。已知直線的極坐標(biāo)方程為二，、x = 1 2cos-(=一(Pw R),它與曲線4y = 2 2sin ;（口為參數(shù)）相交于兩點 A和B,則|AB|二【解析】直線的普通方程為y = x,曲線的普通方程（x-1）2+（y2）2' |AB |=2必（丫!）2=44 11答案,16、（09海南23）（本小題滿分10分）選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程。x = -4 cost,x = 8cos，已知曲線Ci： i

8、（t為參數(shù)），C2 ： S（e為參數(shù)）。y = 3 sint,y = 3sin3（1）化C1, C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線;冗（2）若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t =，Q為C2上的動點，求 PQ中點M到直線2'x=3 + 2t,C3"（t為參數(shù)）距離的最小值。y -2 t22解：(I) Ci: (x+4)2+(y 3)2 =1,C2 ：二+匕=1.649Ci為圓心是（-4,3）,半徑是1的圓.C2為中心是坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，長半軸長是 8,短半軸長是3的橢圓.3.（n）當(dāng) t=£時，P（4,4）.Q（8cos33sin8）,故M（2 + 4c

9、os32 + asing）.5C3為直線 x 2y7 =0,M 至UC3的距離 d =14cos日-3sin 9 -13 |.54,3 一一一 . 8、5555從而當(dāng)cos日=4,sine =3時，d取得最小值吧.C.選彳4 - 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程x =爪 _-1=已知曲線c的參數(shù)方程為t0t, （t為參數(shù)，t>0）y =3（t ；）求曲線c的普通方程。10【解析】本小題主要考查參數(shù)方程和普通方程的基本知識，考查轉(zhuǎn)化問題的能力。滿分分。解因為 x2 =t+1 2，所以 x2+2 = t+1 =乂，tt 3故曲線C的普通方程為：3x2y+6=0.10、（09遼寧理23）（本小題滿分10分

10、）選修4 4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOyHT中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為 Pco;s（0 _-）3=1 , M,N分別為C與x軸，y軸的交點。（1）寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求 M,N的極坐標(biāo)；（2）設(shè)MN的中點為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程。解（I ）由 Pcos（日一） =1 得1 3 .、 .：（ cosi -sin ”=12 2從而C的直角坐標(biāo)方程為1 .3.x y =12 2即x ,3y =2=0時，=2,所以 M(2,0)2 . 32.3 二、日=一時，p=,所以 N(,)233 2(n) M點的直角坐標(biāo)為(2, 0)N點的直角坐標(biāo)為（0,

11、所以P點的直角坐標(biāo)為仕馬，則P點的極坐標(biāo)為（宅寺，所以直線OP的極坐標(biāo)方程為e=%,P%q,F1. （2008廣東理）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C1, C2的極坐標(biāo)方程分別為 Pcos=3, P=4cos60,0 0 日 i,2則曲線Ci與C2交點的極坐標(biāo)為答案 (2 .3,-)65. (2008寧夏理)（10分）選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講已知曲線C1：卜二cos：（6為參數(shù)），曲線C2： 1 y =sin x='-22.(t為參數(shù)).w _2t y t2（1）指出（2）若把C1,C2各是什么曲線，并說明 C1與C公共點的個數(shù);G, C2上各點的縱坐標(biāo)都壓縮為原來的一半，

12、分別得到曲線C1', C2'.寫出C1', C2'的參數(shù)方程.C1'與C2'公共點的個數(shù)和 C1與G公共點的個數(shù)是否相同？說明你的理由.解（1） C1是圓，C2是直線.22Ci的普通方程為x +y =1,圓心Ci（0Q）,半徑r=1.C2的普通方程為x y+J2=0.因為圓心Ci到直線x -y +72 = 0的距離為1,所以C2與C1只有一個公共點.（2）壓縮后的參數(shù)方程分別為，22 庭 口fx - cos 6,x t - J2,2C1：1 （g為參數(shù)）；C2：42（t為參數(shù)）1ysinu22化為普通方程為：c/： x2+4y2 =1, C2：

13、y =1 x +2 , 22聯(lián)立消元得2x2+2j2x+1 =0,其判別式 =（2 J2）2 4父2M1 =0 ,所以壓縮后的直線 C2與橢圓C1'仍然只有一個公共點，和 C1與C2公共點個數(shù)相同.C：選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程x 2在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，設(shè)P（x,y）是橢圓 + y =1上的一個動點, 3求S=x+y的最大值.C.解：由橢圓A + y2二1的參數(shù)方程為J3（中為參數(shù)）,故可設(shè)動點P的坐標(biāo)為（J3sin Qsin中），其中0 W邛<2冗.因此，S = x + y = $3cos* +sin 邛=2 1 3cos +1sin* =2sin 十 三.<2

14、2）<3；JT所以當(dāng)cp=時,即得最大值2.61、（遼寧省撫順一中 2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考）極坐標(biāo)方程P=cos。化為直角坐標(biāo)方程為A. (X+ ) 2 +y2 = J_24C.x2 + (y- - ) 2 = 24答案 D.B.x 2 + (y+) 2 = 24D. ( x- J. ) 2 + y 2 =24冗4、（2009廣州一模）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題 ）在極坐標(biāo)系中，直線 p sin（。+）=2被圓P =4截得的弦長為.答案 4，,37、（ 2009廣東三校一模）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）極坐標(biāo)方程分別為 P = 2cos和P =sin B的兩個圓的圓心距為答案21

15、1、（2009東莞一模）（參數(shù)方程與極坐標(biāo)選做題）在極坐標(biāo)系中，點（1,0 ）到直線P（cos0 +sin9）=2的距離為.答案213、（2009江門一模）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）P是曲線x = sin 二 cos二，,，一<（日，0 , 2n ）是參數(shù)）上一點，P到點Q（0, 2）距離的最小值y =1 -sin 2二.、7答案 2nr16、（2009茂名一模）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）把極坐標(biāo)方程 P cos。-）=1化為直角坐標(biāo)方程是答案、3x y-2 -022、（2009 韶關(guān)一模）在極坐標(biāo)系中，圓心在 （J2,兀）且過極點的圓的方程為cow25、（2009 深圳一模）（坐標(biāo)系與

16、參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系中，曲線 Ci的參數(shù)方程為x=cosE 一日W0,叫，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2在極坐標(biāo)系中X =sin'的方程為P=.若曲線C1與C2有兩個不同的交點，則實數(shù)b的取值范圍sin 二-cos?是.答案 1 £ b :二、.228、（2009湛江一模）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，若過點 A（3,0）且與極軸垂直的直線交曲線 P=4cos日于A、B兩點，則|AB| =答案 2341、（2009廈門一中）（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）已知直線l經(jīng)過點P（1,1）,傾斜角久=二，設(shè)6x =2cos1l與曲線（ 6為參數(shù)）交于兩點 A,

17、B ,求點P到A,B兩點的距離之積。y = 2sin x = 1 t cos-x =1 t解直線的參數(shù)方程為 66 ,即2,，.二1y = 1 t sin y = 1 t6y 1 2t工.總x = 1 t曲線的直角坐標(biāo)方程為x2 +y2 =4,把直線22代入x2 +y2 =4（ 1y = 1 t2得(1 1)2 (1 L)2 =4,t2 (3 1)t - 2 =0 22域2 = -2 ,則點P到A, B兩點的距離之積為 2，-x = 2t ，42、（2009廈門二中）（極坐標(biāo)與參數(shù)萬程）已知直線l的參數(shù)方程：，（t為參y = 1 + 4tr 冗、數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程：P = 242sin日十

18、二,試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.<4 J解 將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為：y = 2x +1將圓C的極坐標(biāo)方程化為普通方程為：（x-1f +（y -1f = 2從圓方程中可知：圓心 C （1, 1）,半徑r =42 一 ，-2 1-112所以，圓心C到直線l的距離d -12 =£ <yj2 = r22 （-1）2.5所以直線l與圓C相交. -'x = sinH 、一 ，一一、43、（2009廈門集美中學(xué)）（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）求曲線過點（0,2）的切線萬y = cos26程.22x =sin 日，y =1-2sin 8,消去參數(shù) 日得 2x +y=1.設(shè)切線為

19、y = kx + 2 ,代入得2x2 + kx +1 = 0令 =k2 8=0,得 k = +272，故 y = ±2j2x+2 即為所求.,.,b - 21 - 2a -2. 2或y1=dx,設(shè)切點為（a,b）,則斜率為4a=b，="a一2 ,解得a = ±±B，aa2即得切線方程.44、（2009廈門樂安中學(xué)）（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓P = 3上的點到直線fcosB+73sin日）=2的距離為d ,求d的最大值.解 將極坐標(biāo)方程 P =3轉(zhuǎn)化為普通方程：x2 + y2 =9P（cos6 +T3sin 日）=2 可化為 x + /3y =

20、2在x2 +y2 =9上任取一點 A（3cosa,3sina ）,則點A到直線的距離為3cos口 +3V3sin« -2 6sin（a +30°） -2d =,它的最大值為 42245、（ 2009廈門十中）（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）已知圓C的參數(shù)方程為x =1 +2cos3（日為參數(shù)），若P是圓C與x軸正半軸的交點，以原點 O為極點,xy = . 3 2sin軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)過點P的圓C的切線為I,求直線l的極坐標(biāo)方程.解由題設(shè)知，圓心C1, V'3）,P（2.0）/CPO=60°，故過P點的切線飛傾斜角為 30°設(shè)M （巳日），是過

21、P點的圓C的切線上的任一點，則在 PMO中,/MOP = u . OMP = 300，OPM =1500OMOP：2由正弦定理得 , sin OPM sin OMP , sin1500 sin 300 -二pcos國+600 ）=14Psin（300 8 ）=1）,即為所求切線的極坐標(biāo)方程。46、（2009廈門英才學(xué)校）（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）求極坐標(biāo)系中，圓 P = 2上的點到直線PfcosQ + <3 sin 8 )=6的距離的最小值.解 由 P = 2即P2 =4則易得x2+y2 = 4 ,由P(coa十，3si n )= 6易得x + J3y 6= 0 二圓心（0,0）到直線的距離為

22、d00 0-6|=312 (.13)2又圓的半徑為2 ,二圓上的點到直線的距離的最小值為d =d0 -2 = 3 2 = 1.53、9 二（2009通州第四次調(diào)研）求經(jīng)過極點0（0,0）, A（6,萬），B（6j2,（）二點的圓的極坐標(biāo)方程.解 將點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，點O, A,B的直角坐標(biāo)分別為（0,0 ）,（0,6）,（6,6%故AOAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，圓心為 （3,3）,半徑為3衣，22o o圓的直角坐標(biāo)萬程為（x3 ） +（y3） =18,即x2 +y2 6x 6y = 0 ,將 x = PcosQ, y = Psin 6 代入上述方程，得 P2 6P（cosH +

23、sin日）=0,即 d =6、2cos f 54、（2009鹽城中學(xué)第七次月考）若兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為它們相交于 A, B兩點，求線段 AB的長.解 由 P =1 得 x2 +y2 =1,P =1 與 P = 2cosb + I 3 J又二二 2cos（二）= cos1 - 3sin1, P2 = ：；cos? - . 3 : sinx2 + y2 -x + T3y =0 ,x2y2 =1口1. 3x2+y2-x+a=0 將"©BLU,1.（2009番禺一模）在直角坐標(biāo)系中圓 C的參數(shù)方程為Lx = 2cos;y = 2 2sin :（“為參數(shù)），若以原點O為極點，以

24、x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓C的極坐標(biāo)方程為 .答案 D = 4 s i n16. （2009廈門同安一中）（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）若兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為 P =1與p =2cos （哈，它們相交于 A, B兩點，求線段 AB的長.解由 P =1 得 x2 + y2 =1,又丫 P=2cos（8+學(xué)=cosO_73sinB： P2 = Pcos日gPsinB二 x2 十 y2 x + 73y =0 ,得 A(1,0),7分B(,以直角坐標(biāo)系的原點17. （2009廈門北師大海滄附屬實驗中學(xué)）（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）JT為極點，x軸的正半軸為極軸.已知點P的直角坐標(biāo)為（1,5）,點M的極坐標(biāo)

25、為（4：）.若直線l過點P,且傾斜角為 3 ,圓C以M為圓心、4為半徑.（I ）求直線l的參數(shù)方程和圓 C的極坐標(biāo)方程；（n ）試判定直線l和圓C的位置關(guān)系.d 1,x =1 t解（I）直線l的參數(shù)方程為2 ，3y - -5 t2圓C的極坐標(biāo)方程為 8 =8sin g一、， f n _ .（n）因為M ,4,- 對應(yīng)的直角坐標(biāo)為（0,4）2直線l化為普通方程為 Qx-y-5-J3 = 0圓心到直線l的距離d =,3 19.3. . .一 .A 5,所以直線l與圓C相離.x = 1 2t ，/一1. (20072008泰興市蔣華中學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練）若直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），y =2-3t則直線的

26、斜率為（A. 2B. GcT D. -33322【解析】k JL2 =z3t二一3x -1 2t 2答案 D2. （20072008泰興市蔣華中學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練）lx = sin 2 1卜列在曲線（9為參數(shù)）上的y = cos 二 sin 二點是（）A. （I,-72）B.（-4,2）C. （2, 73）D.（1,73）31【解析】 轉(zhuǎn)化為普通方程：y2=1 +x,當(dāng)x = 3時，y=42答案B2 . x= 2 Sin 口3. （20072008泰興市蔣華中學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練）將參數(shù)萬程22（6為參數(shù)）化為普y = sin 1通方程為（A. y=x2 B. y=x+2 C. y=x2(2WxE3) D. y

27、 = x + 2(0EyW1)【解析】轉(zhuǎn)化為普通方程：y=x2,但是x三2,3, yw0,1答案 C4. （20072008泰興市蔣華中學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練）2化極坐標(biāo)方程 P cos - P = 0為直角坐標(biāo)方程為()A . x2 +y2 =0或y =122B. x=1 C. x + y = 04fcx =1 D. y=1【解析】P(Pcos1) = 0, P = Jx2 +y2 =0,或Pcos9 = x = 1答案C5. （2007-2008泰興市蔣華中學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練）點M的直角坐標(biāo)是（-1,J3）,則點M的極坐標(biāo)為()2 二A. (2-)B. (2,-)C. (2,)3332 二【解析】(2,2kn

28、 +),(kw Z)都是極坐標(biāo)3答案CD. (2,2kn+-),(kZ)6. （2007-2008泰興市蔣華中學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練）極坐標(biāo)方程Pcos日=2sin 2日表示的曲線為（）A . 一條射線和一個圓B .兩條直線C . 一條直線和一個圓D . 一個圓【解析】Pcos =4sin C cos“cos8 =0,或=4sin 日，即 P2 =4*sinH22.則日=kn +萬，或x +y =4y答案C11. （ 2007 2008泰興市蔣華中學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練）直線«"-3 + 4'（t為參數(shù)）的斜率為 y = 4 - 5t【解析】卜=匕4=0 = _a x=1 3t口 1將 j

29、 2 4t 代入 2x4y =5 得 t=1x -3 4t 45x =e e參數(shù)方程/ t t （t為參數(shù)）的普通萬y =2（e -e ）(x W4答案-5 412. (20072008泰興市蔣華中學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練)程為。x 二 S e x = 2et一， 一9解析y t "-=e -ey 。2x _ _ = 2e2.222答案人一匕=i,(x _2)41613. （2007 2008泰興市蔣華中學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練）12：2x 4y =5 相交于點 B,又點 A（1,2）,已知直線llx =1 3t1 :cy =2-4t（t為參數(shù)）與直線則AB =,則 B(-,0),而 A(1,2)，得 AB =

30、一2廠5答案52x =214. （2007-2008泰興市蔣華中學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練）直線2 （t為參數(shù)）被圓x2 + y2 = 41y = -1 t2落弦長的-半為2截得的弦長為【解析】直線為x + y-1 = 0,圓心到直線的距離dJ 咚）二斗，得弦長為144答案.1415. （2007 2008泰興市蔣華中學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練）直線xcosot +ysina = 0的極坐標(biāo)方程為 O【解析】：二 cos cos- P sHn stn0 ,五 o s（，取 _ ：= 一2答案 1 = 一 :222. （2007 2008泰興市蔣華中學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練）22已知點P（x,y）是圓x +y =2y上的動點,（1）求2x +y的取值范圍