學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法(轉(zhuǎn)自“未來(lái)北大人,作者：SU)打印版

1、關(guān)于精做高考數(shù)學(xué)試題最近在北京與大學(xué)同班同學(xué)交換高考數(shù)學(xué)的意見(jiàn)，他是高考數(shù)學(xué)的權(quán)威。他贊同我的觀點(diǎn)：掌握基本理論， 適當(dāng)做題。適當(dāng)做題，一是數(shù)量不多。二是精選典型試題。如何精選，我建議從去年高考試題中先選，只選同一類型的題，然后和 06 年考綱提出的知識(shí)點(diǎn)對(duì)照。將未覆蓋知識(shí)點(diǎn)的部分從05 年高考試題中補(bǔ)充。（要考的七種數(shù)學(xué)思想和五種數(shù)學(xué)能力 06 年試題已包括了）。做高考試題必須在讀完課本后再做。也就是中學(xué)數(shù)學(xué)的公式和定理你全能獨(dú)立推出。做到知識(shí)系統(tǒng)化、條理化。做高考試題必須要做四次（能力強(qiáng)的可做三次，較次的做五次）。第一次要理解出題者的意圖，對(duì)所包含的知識(shí)點(diǎn)要理解，要一題多解。第二次、第三次

2、重點(diǎn)是鞏固，只做最佳解法。第四次是升華。要從課文中找到試題的原型（在30%以上），要將試題變形，自己成為出題者。我未指定十年高考書(shū)，國(guó)為版本太多，只有全看完才知優(yōu)劣?？催^(guò)二本，各有優(yōu)劣。但不完全。完全的試題應(yīng)包括三部分：（一）試題（二）參考答案（各種解法）（三）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)要養(yǎng)成的幾個(gè)好習(xí)慣中學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)要養(yǎng)成的幾個(gè)好習(xí)慣一、要重視概念。數(shù)學(xué)是由概念（最原始的定義）和幾個(gè)公理（公設(shè)）出發(fā)經(jīng)過(guò)推理建立一門數(shù)學(xué)體系。因此對(duì)數(shù)學(xué)概念要深刻理解，為此，對(duì)每個(gè)概念都要讀，要咬文嚼字，要注意概念間的區(qū)別和聯(lián)系，如集合中屬于和包含，反函數(shù)與互為倒數(shù)，函數(shù)與映射等等。二、公式要獨(dú)立推導(dǎo)，定理要自己證明。

3、學(xué)定理時(shí)，除了弄清條件和結(jié)論外，還要寫出逆否定理，并看逆命題能否成立，如成立需要證明，不成立要舉反例。也就是看定理?xiàng)l件是否充分且必要。公式則要將其變形，如正切兩角和的公式。三、做習(xí)題一定要做到一題多解和多題一解。四、對(duì)數(shù)學(xué)， 0 分和 99 分是一回事。因此要保證解答正確。中學(xué)的數(shù)學(xué)都是可解的，做完習(xí)題后一定要檢查，要學(xué)會(huì)判斷是否正確，如尾數(shù)是 2， 3，7 等肯定不是平方數(shù)。求幾個(gè)數(shù)的和，答案是否正確，一般做法是再算一次，兩次結(jié)果一樣，并不能保證你是對(duì)的，因?yàn)橛腥肆?xí)慣將3+5 7。如果你反過(guò)來(lái)算，出現(xiàn)5+37 的概率極小，或用逆運(yùn)算。五、做選擇題和填空題一定要備一個(gè)本子，記下解題過(guò)程。高考復(fù)

4、習(xí)時(shí)如何讀課本高考復(fù)習(xí)不同初學(xué)，要系統(tǒng)，以重要知識(shí)點(diǎn)為核心，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)集中在一起。以函數(shù)為例。將四個(gè)知識(shí)點(diǎn)集中，即定義、性質(zhì)、圖象和應(yīng)用。復(fù)習(xí)定義時(shí)，要準(zhǔn)確默寫出來(lái)，然后再分析。集合是非空數(shù)集，要進(jìn)一步思考：我們學(xué)過(guò)那些數(shù)集，有那些函數(shù)以自然數(shù)為定義域，那些函數(shù)定義域是全集，那些是子集。對(duì)集合 A，要求是任何一個(gè)元素，實(shí)際上是全部元素。對(duì)集合B，要求是存在并唯一，不一定是全部。如果是全部，集合 A 和集合 B 互為反函數(shù)。在理解抽象函數(shù)定義后，再理解具體函數(shù)的定義。這些函數(shù)的定義域和值域。如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等。函數(shù)的性質(zhì)。單調(diào)性、奇偶性、周期性、連續(xù)性、可導(dǎo)性等。先掌握抽象函數(shù)然后討論具體函

5、數(shù)。函數(shù)圖像。由f(x) 的圖象得出f(x)+a,f(x+a),f(wx),Af(x)，再研究具體函數(shù)圖像。函數(shù)應(yīng)用。主要是兩方面。一是用于研究其他數(shù)學(xué)對(duì)象如方程；一是研究實(shí)際問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型。在系統(tǒng)了解后，對(duì)有些知識(shí)點(diǎn)還要深入討論。如指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的異同，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，兩角和、差、倍、半公式，正弦定理，余弦定理等。將要考的知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)完后，將相近的概念、公式、定理作對(duì)比研究，如數(shù)( 式) 、集合、向量運(yùn)算，等差數(shù)列和等比數(shù)列，空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)、定理。至此，課本復(fù)習(xí)可告一段落。再將公式推導(dǎo)、定理證明、例題用到的數(shù)學(xué)思想和方法歸類。最后做高考試題。六、考前不

6、要做新題，看做過(guò)的習(xí)題（同類型只要看一兩個(gè)即可）和錯(cuò)題本。七、使用計(jì)算器前，先要檢查計(jì)算器，辦法是算12345679×9 如全是 111 則此計(jì)算器可用。八、演算草稿必須從左到右，不要東寫一處，西寫一處，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，無(wú)法檢查，只有重做一次，浪費(fèi)時(shí)間。充分利用高考試卷數(shù)學(xué)備考之一你們要找到全國(guó)試卷及本省試卷。不僅要做，不限時(shí)間，做完試卷后還要做幾件事：( 一 )全卷研究。各分支比例，即代數(shù)立體幾何，解析幾何比例。易、中、難比例。（三種題型）( 二 )與考綱對(duì)照。該題考哪些知識(shí)點(diǎn)，有沒(méi)有考綱沒(méi)有的。( 三 )與題型示例對(duì)照。哪些有，哪些沒(méi)有。( 四 )與十年高考試題對(duì)照，哪些有，哪些沒(méi)有。

7、( 五 )有無(wú)新題型，若有，從課本能否找到解法。過(guò)去的試題都可以從課本找到解法。對(duì)今年是否適用，尚未得知。如適用，得到新題型可以從課本找到解法。這是用的不完全歸納法。備考之二復(fù)習(xí)三階段 - 數(shù)學(xué)備考之二第一階段，認(rèn)真讀課本。很多學(xué)校不用課本采用輔導(dǎo)資料，我認(rèn)為用輔導(dǎo)資料不如用課本。課本學(xué)過(guò)一次，再看印象會(huì) 深一些，效果會(huì)好一些。課本要看三次。第一次對(duì)概念要求知道“是什么”“為什么”，“如何用”。要會(huì)用文字語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言表達(dá)概念。不同概念的區(qū)別要分清，如函數(shù)和映射，數(shù)學(xué)的向量和物理矢量的區(qū)別。 研究三角函數(shù)為什么將平面分為四個(gè)象限， 不分為三個(gè)象限或六個(gè)象限。 對(duì)性質(zhì)，法則，公式，定理

8、要能夠進(jìn)行推導(dǎo)證明。例題要獨(dú)立做一次，領(lǐng)會(huì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，課本上的習(xí)題不用做，看看和哪個(gè)例題相似。如果沒(méi)有則要做。第二次建立知識(shí)框架。將知識(shí)歸納。如函數(shù)性質(zhì)分幾本書(shū)講，歸納時(shí)要集中，將單調(diào)性，奇偶性，周期性，連續(xù)性，可導(dǎo)性集中一起。第三次將解法歸納。如求函數(shù)定義域，函數(shù)極值，最小正周期等。你的分?jǐn)?shù)可在120-130 之間。第二階段， 將知識(shí)從數(shù)學(xué)思想方法高度總結(jié)。 高考要考的數(shù)學(xué)思想方法包括： 函數(shù)與方程的思想， 數(shù)形結(jié)合思想，分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，特殊與一般思想，有限與無(wú)限思想，或然與必然思想。數(shù)學(xué)基本方法有待定系數(shù)法，換元法， 配方法， 割補(bǔ)法，反證法等，它們是數(shù)學(xué)通法主體。數(shù)學(xué)

9、思維方法有分析與綜合，歸納與演繹，比較與類比，具體與抽象等。如求直線斜率用分類與整合思想，點(diǎn)到直線距離公式用轉(zhuǎn)化思想。你的分?jǐn)?shù)可到130 138 之間。第三階段，做高考試題，重點(diǎn)是提高解題速度。將高考試題分成四組。一。函數(shù)；集合，函數(shù)概念，一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，數(shù)列，不等式。二概率與統(tǒng)計(jì)。三。立體幾何。四。解析幾何。采用新課標(biāo)的省還要增加算法。題不在多， 200 題左右。原則是根據(jù)考綱，包括全部知識(shí)點(diǎn)，數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)能力。各種題型都有。要做四次。第一次。一題多解。第二次，第三次。用最佳解法。第三次還要將試題按問(wèn)題分類。第四次，做完后從課本中找試題原型，其

10、余將試題變形。你的分?jǐn)?shù)可在135 150 之間。高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)每天用時(shí)1 小時(shí) -1小時(shí)半不包括上課時(shí)間。關(guān)于選擇題 - 數(shù)學(xué)備考之三關(guān)于選擇題 - 數(shù)學(xué)備考之三選擇題是高考數(shù)學(xué)一種題型，有4 題（上海）， 8 題北京，廣東等），10 題（天津廣東文科等）12 題（全國(guó)等）。選擇題優(yōu)點(diǎn)是： 1。判卷評(píng)分準(zhǔn)確。 2?？扇菁{較大題量，可擴(kuò)大考查內(nèi)容的覆蓋面。每道選擇題所考查的知識(shí)點(diǎn)一般為 2 5 個(gè)，以 3 4 居多，用時(shí)每題 1。 5 分。缺點(diǎn)是：難以進(jìn)行深層次的考察；無(wú)法考察表達(dá)能力；考生應(yīng)答易投機(jī)。在編制選擇題時(shí)，當(dāng)題干與正確的選擇項(xiàng)確定之后，干擾項(xiàng)的設(shè)置，宜圍繞考生可能出現(xiàn)的失誤情況，進(jìn)行編

11、制。如有可能，還要使正確選項(xiàng)多點(diǎn)隱蔽的色彩，干擾項(xiàng)多些迷惑的形態(tài)。在選擇題設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)干擾項(xiàng)時(shí)常常運(yùn)用如下的方法和技術(shù)，了解這些對(duì)我們解選擇題是有益的。1概念混淆法。針對(duì)考生容易產(chǎn)生混淆的概念，性質(zhì)，公式，法則，編制誘誤項(xiàng)。如考生會(huì)混淆的兩條直線平行與垂直的判定或性質(zhì)?；榉春瘮?shù)與互為倒數(shù)。2條件疏漏法。疏漏已知條件是考生解題出錯(cuò)的一個(gè)常見(jiàn)原因，尤其是疏漏隱蔽條件的情況更為普遍。因此，常將由疏漏已知條件所產(chǎn)生的結(jié)果設(shè)計(jì)為誘誤項(xiàng)。3計(jì)算差錯(cuò)法。計(jì)算差錯(cuò)，包括公式或運(yùn)算法則的誤用，錯(cuò)用，數(shù)值計(jì)算或字符的運(yùn)算的失誤。由此導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。所以在設(shè)計(jì)干擾項(xiàng)時(shí)，細(xì)心模擬考生的演算過(guò)失和差錯(cuò)，常常得到迷惑性和

12、干擾性比較大的干擾項(xiàng)。4推理錯(cuò)亂法。將解題過(guò)程中由于不合邏輯的推理而造成的錯(cuò)誤結(jié)果，設(shè)計(jì)成干擾項(xiàng)。5題意誤解法。讀題不慎，誤解題意，引發(fā)錯(cuò)誤結(jié)論，設(shè)計(jì)為干擾項(xiàng)。6集合變更法。有不少數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論是集合或與集合相關(guān)的事項(xiàng)，即結(jié)論的核心是某一個(gè)特定的集合，這時(shí)可將集合加以變更，將變更后的相應(yīng)結(jié)果設(shè)計(jì)為誘誤項(xiàng)。7字符誤用法。數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，數(shù)學(xué)符號(hào)的辯識(shí)和應(yīng)用，是數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)，考生常錯(cuò)，用來(lái)設(shè)計(jì)干擾項(xiàng)。8圖形錯(cuò)覺(jué)法。看錯(cuò)圖或畫圖錯(cuò)了引發(fā)失誤，得出錯(cuò)誤結(jié)果，將其設(shè)計(jì)為干擾項(xiàng)。9順序顛倒法。對(duì)于結(jié)論是不等式或與排序有關(guān)的命題，起誘誤項(xiàng)可由正確的順序加以顛倒調(diào)亂來(lái)獲得。10邏輯排列法。有些數(shù)學(xué)答案，按一定的角

13、度作形式邏輯的演繹，充其量也只能得到另外的3 種形態(tài)，即是說(shuō)，連答案在內(nèi)，只有4 種邏輯結(jié)構(gòu)。這時(shí)，作為選擇項(xiàng)，可以取為4 種邏輯結(jié)構(gòu)，加以適當(dāng)排列。上面 10 種方法，在實(shí)踐中是加以混合使用的。在解答選擇題時(shí)可用的方法：一直接法從題設(shè)條件出發(fā)，直接通過(guò)演算推理得出與某一選項(xiàng)相同的結(jié)論，從而決定選項(xiàng)的方法。這是最基本， 最常用的方法。但我不主張采用此方法。拿到題后可以考慮用此方法墊底，然后再想有無(wú)簡(jiǎn)便方法。二篩選法又稱淘汰法或排它法。分兩類：1符合條件選由結(jié)論看條件，符合者可選取也可用選項(xiàng)代入已知條件驗(yàn)證。2用特殊值法（圖形）理論依據(jù)是命題和逆否命題等價(jià)，即一般情況成立特殊情況也成立，逆否命題

14、是特殊情況不成立一般情況也不成立。用適合條件某些特殊值或圖形驗(yàn)算。也可用反例，也就是選取不合適某一選項(xiàng)的特殊值或圖形來(lái)驗(yàn)證已知條件是否成立。三圖象法根據(jù)題設(shè)條件，先畫圖，使問(wèn)題直觀，再用有關(guān)定理，性質(zhì)分析推理找出正確答案。四變換法1將命題變換為等價(jià)命題。例如將命題轉(zhuǎn)化為逆否命題。2將題設(shè)條件進(jìn)行恒等變形。五直覺(jué)思維法直覺(jué)思維是指不受固定的邏輯規(guī)則約束，直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的一種思維方法。在解答時(shí)，不少選擇題可用幾種方法也就是一題多解，有的在解一題時(shí)并用幾種方法掌握化歸與轉(zhuǎn)化思想數(shù)學(xué)備考之四化歸與轉(zhuǎn)化思想是指在研究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使原來(lái)問(wèn)題得以解決的一種解題的策

15、略。解析幾何就是用坐標(biāo)法將幾何問(wèn)轉(zhuǎn)題化為代數(shù)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)350 年才證明的費(fèi)馬大定理最后將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題從而得解。波利亞說(shuō)解題過(guò)程就是轉(zhuǎn)化過(guò)程，不斷地變換你的問(wèn)題，重新敘述它， 變換它， 直到最后成功地找到有用的東西為止。一化歸與轉(zhuǎn)化思想主要特點(diǎn)是靈活性與多樣性。數(shù)學(xué)問(wèn)題組成要素之間相互依存和相互聯(lián)系的形式是夸的，變形不惟一。 因此，進(jìn)行變形時(shí)就可以有多種選擇。一般來(lái)說(shuō)， 將復(fù)雜問(wèn)題化歸轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，難解問(wèn)題化歸為容易問(wèn)題，未解決問(wèn)題化歸為已解決的問(wèn)題，這也是波利亞如何解題的基本思想。代數(shù)中，式的恒等變形，方程的同解變形，解方程由高次向低次，多元向一元轉(zhuǎn)換。立體幾何中空間問(wèn)題與相應(yīng)平面

16、問(wèn)題轉(zhuǎn)換。我們可以變更問(wèn)題的條件，也可以變更問(wèn)題的結(jié)論。既可以變換問(wèn)題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，也可以變換問(wèn)題的外部形式。轉(zhuǎn)化中抓住三點(diǎn)： 1。把什么東西轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化的對(duì)象； 2。轉(zhuǎn)化到何處，即轉(zhuǎn)化的目標(biāo)； 3。如何轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化方法。二轉(zhuǎn)化一些常用方法1借助函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，本身無(wú)明顯函數(shù)關(guān)系，但經(jīng)過(guò)變換，可以找到一個(gè)函數(shù)。運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，將問(wèn)題解決。前提是要熟悉各種函數(shù)模型。2借助方程（組）進(jìn)行轉(zhuǎn)化。問(wèn)題不是解方程，但可以根據(jù)題設(shè)各數(shù)量關(guān)系，設(shè)定未知數(shù)，列出方程，將方程求解。3借助輔助命題轉(zhuǎn)化。某些問(wèn)題求解時(shí)，如果缺乏現(xiàn)成依據(jù)，不能直接推出?？梢詷?gòu)造或借用一個(gè)輔助命題為依據(jù)，只要證明這個(gè)輔助命題是

17、真命題，可以以它為依據(jù)。4。用換元法?？捎么鷶?shù)換元或三角換元。三高考試題實(shí)例12005年全國(guó)卷（一）11 題。考察恒等變形，同解變形。本題是由繁到簡(jiǎn)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換的典型試題。22004年全國(guó)卷（三）7 題。本題用構(gòu)造轉(zhuǎn)移法，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體來(lái)研究。32003年全國(guó)卷理8 題。依據(jù)反函數(shù)定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化。42002年理 6題。把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程。52001年全國(guó)卷理1 題。將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為輔助命題，SinA 與 CosA同號(hào)，那 A 在第幾象限。62003年全國(guó)卷理17 題。用倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后為y=2SIN(WX+Q)+B形式可求。72003年全國(guó)卷填空題不等式解集。借助等價(jià)變換轉(zhuǎn)化。82

18、001年全國(guó)卷8 題。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，把a(bǔ),b 用一個(gè)同名的三角函數(shù)表示，轉(zhuǎn)化為比較三角函數(shù)值的大小。92000 年全國(guó)卷15 題。這是已知數(shù)列前后兩項(xiàng)的關(guān)系（隱形關(guān)系），求數(shù)列通項(xiàng)。直接求解有難度，需要將隱形關(guān)系轉(zhuǎn)化為前后兩項(xiàng)的顯性關(guān)系，再運(yùn)用特殊化思想，由特殊歸納出通項(xiàng)公式。出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此誠(chéng)危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報(bào)之于陛下也。誠(chéng)宜開(kāi)張圣聽(tīng)，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法也。侍中、侍郎郭攸之、費(fèi)祎、董允等，此皆良實(shí)，志慮忠純，是以先帝簡(jiǎn)拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無(wú)大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補(bǔ)闕漏，有所廣益。將軍向?qū)?，性行淑均，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱之曰“能 ”，是以眾議舉寵為督：愚以為營(yíng)中之事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所。親賢臣，遠(yuǎn)小人，此先漢所以興隆也；親小人，遠(yuǎn)賢臣，此后漢所以傾頹也。先帝在時(shí)，每與臣論此事，未嘗不嘆息痛恨于桓、靈也。侍中、尚書(shū)、長(zhǎng)史、參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計(jì)日而待也 。臣本布衣，躬耕于南陽(yáng)，茍全性命于亂世，不求聞達(dá)于諸侯。先帝不以臣卑鄙