冰塊融化模型

1、課 程 報 告題目： 冰塊融化模型 組 長：李桂林 202112021110 組 員：劉文亭 202112021115 劉姣姣 202112021113 王佳佳 202112021215 院 系： 文理學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師： 岳宗敏 2021年 5月 16日 冰塊融化模型摘要據(jù)資料顯示：地球上的水資源有97%被鹽化，僅有3%是淡水資源，且大局部是主要分布在南北兩極地區(qū)的固體冰川，眾所周知，水是生命的源泉，是人類賴以生存和開展的重要物質(zhì)資源之一。而在一些淡水資源非常匱乏的地方，各種產(chǎn)水方式應(yīng)運而生，就比方建議之一是把冰山從極地水域拖到南加州的近水岸水域，以期用融化的冰塊來提供

2、淡水。而融化過程中，冰塊融化的體積又會隨著時間的流逝發(fā)生什么樣的改變呢？而冰塊融化中這種改變又會受到哪幾種因素的制約呢？拋開幾種復(fù)雜因素，例如人為因素,溫度和濕度等,本文通過建立模型研究了水資源短缺以期用融化的冰塊來提供淡水的問題。問題提出：美國的加利福尼亞州存在較嚴重的干旱問題，因此總在尋找著新的水資源。建議之一是把冰山從極地水域拖到南加州的近水岸水域，以期用融化的冰塊來提供淡水。我們把冰塊設(shè)想成巨大的立方體或長方體、棱錐體、等具有規(guī)那么形狀的固體，并且假定在融化過程中冰塊保持為立方體不變，現(xiàn)在的問題是，融化這樣的冰塊需要多長時間？模型假設(shè)：我們把冰塊設(shè)想成巨大的立方體或長方體、棱錐體、等具

3、有規(guī)那么形狀的固體假定在融化過程中冰塊保持為立方體不變。符號說明：立方體的邊長為：s體積V:V=s3外表積S：S=6s2k: 為常數(shù)，由很多因素決定，諸如周圍空氣的溫度和濕度以及是否有陽光等等。符號注釋：這里V和S、s均為t的可微函數(shù)，此外，我們假設(shè)冰塊體積的衰減率和冰塊外表積成正比注：由于融化現(xiàn)象發(fā)生在冰塊的外表，故改變外表積的大小葉能改變冰的融化速度。至此我們得到 根據(jù)上述假設(shè)，比例因子k是常數(shù)，負號表示體積不斷縮小，它依賴于很多因素，諸如周圍空氣的溫度和濕度以及是否有陽光等等。建立模型在這個問題里面，我們更想知道的是：要融化特定百分比的冰塊，需要多少時間？為此，我們在此再提出一組假設(shè)條件

4、。設(shè)在最前面的一個小時里冰塊被融化的掉1/4的體積我們也可以用字母n%來代替特定值，例如r小時融化掉n%體積的冰等，從而的得到如下數(shù)學(xué)問題： 現(xiàn)在要求使的值。 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，對兩邊關(guān)于時間求導(dǎo)得 令，我們可以得到 上述表示立方體的邊長以每小時的常速度率在減少，因此假設(shè)立方體邊長的初始長度為，一小時后為，兩小時后為上述關(guān)系告訴我們，故冰塊全部融化的時間為使得的值，從而有 以為例可得 所以 這說明，如果在1小時里有1/4體積的立方體冰塊被融化，那么融化掉其余局部冰塊所需時間約為11小時。模型的應(yīng)用1. 從致冰廠購置了一塊立方體的冰塊，在運輸途中發(fā)現(xiàn)，第一小時大約融化了1/4， 1從致冰廠購

5、置了一塊立方體的冰塊，在運輸途中發(fā)現(xiàn)，一小時大約融化了1/4 求冰塊全部融化要多長時間設(shè)氣溫不變？ 2 如運輸時間需要2.5小時，問：運輸途中冰塊大約會融化掉多少？解:設(shè)立方體的邊長為：s,體積V:V=s3,外表積S：S=6s2由于V和S、s均為t的可微函數(shù)，此外，我們假設(shè)冰塊體積的衰減率和冰塊外表積成正比,第一步:根據(jù)體積的變化率正比于冰塊的外表積列出關(guān)系式:因為體積是單調(diào)下降的,故的右端加負號第二步:對兩邊關(guān)于時間求導(dǎo)得所以,解得:,令,得,.第三步:因此在時,冰塊邊長,根據(jù)題設(shè)第一小時大約融化了1/4,可列出,得出,所以.第四步:故冰塊全部融化,即，又由和得出：解：中所需要的步驟同第題中第一步，第二步，第三步相同，第四步： ， 當運輸時間需要2.5小時： 由得:冰塊全部融化的時間為t使得：又由1題第三步中得： 運輸時間為2.5小時時，運輸途中冰塊大約會融化掉原體積的。模型的檢驗?zāi)壳坝幸粔K體積為1立方米的冰塊，在溫度不變的情況下手工計算體積隨時間的變化情況：融化時間/h012345剩余體積10.75000.54560.38220.25510.16006789100.09200.04670.01940.00550.0006實際測量的結(jié)果：融化時間/h012345剩余體積10.69990.53280.30130.2658