排列組合第一講分類加法與分步乘法計數(shù)基本知識

1、兩個計數(shù)原理【知識網(wǎng)絡(luò)】知識點內(nèi)容分類加法計數(shù)原理完成一件事，可有n類辦法，在A類辦法中有mi種方法，在第一類辦法中后m2種方法，仕第n類辦法中后mn種方法，則完成這件事情，共有N=種不向的方法.分步乘法計數(shù)原理完成一件事情需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，完成第一步有mi種小向的方法，完成第一步后m2種小向的方法，完成第n步有mn種不問的方法，那么完成這件事情共有N二種不同的方法.區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，聯(lián)系：都涉及的/、同方法的種數(shù)。區(qū)別：分類加法計數(shù)原理與有關(guān)，各種方法,用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與有關(guān)，各個步驟,只有各個步驟都完成了，這件事才算

2、完成.【典型例題】題型一、分類加法計數(shù)原理例1、從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持本班的某次主題班會，則不同的選法種數(shù)為（）例2、在所有兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個【變式練習】1,若a,bCN*,且a+bw5,則在直角坐標平面內(nèi)的點（a,b）共有個.2.在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個?例3、有不同的語文書9本，不同的數(shù)學(xué)書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學(xué)科的書2本，則不同的選法有（）A.21種B.315種C.143種D.153種例4、某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友,每位朋友一本，則不同的贈送方法共

3、有（）.A. 4種B. 10種C. 18種D. 20種方法總結(jié)分類時，首先要確定一個恰當?shù)姆诸悩藴?，然后進行分類；其次分類時要注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理【變式練習】1.某校開設(shè)10門課程供學(xué)生選修，其中A,B,C三門由于上課時間相同，至多選一門學(xué)校規(guī)定，每位同學(xué)選修三門，則每位同學(xué)不同的選修方案種數(shù)是（）A.120B.98C.63D.562.某電腦用戶計劃使用不超過500元購買單價分別為60元、70元的電腦軟件和電腦元件，根據(jù)需要，軟件至少買3個，元件至少買2個，則不同的選購方法有（）A.

4、5B.6C.7D.83 .如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有個.4 .由0,1,2,3這四個數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有（）.A.238個B.232個C.174個D.168個例5、在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字也許重復(fù)）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1,則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為（）A.10B.11C.12D.15【變式練習】1 .為了應(yīng)對歐債危機，沃爾沃汽車公司決定從10名辦公室工作人員中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，則不同的裁員方案的種數(shù)為2 .在一塊

5、并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A、B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有多少種。3 .有4人各寫一張賀卡，放在一起，然后每個人取一張不是自己寫的賀卡，共有多少種不同取法?題型二：分步乘法計數(shù)原理例6、（1）四名運動員爭奪三項冠軍，不同的結(jié)果最多有多少種？（2）四名運動員參加三項比賽，每人限報一項，不同的報名方法有多少種?例7、甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（）.A.6種B.12種C.24種D.30種例8、用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有個（用數(shù)字作答）.

6、方法總結(jié)此類問題，首先將完成這件事的過程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積.注意：各步之間相互聯(lián)系，依次都完成后，才能做完這件事.簡單說使用分步計數(shù)原理的原則是步與步之間的方法“相互獨立，逐步完成”【變式練習】1.從1,0,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有個,其中不同的偶函數(shù)共有仝.(用數(shù)字作答)2.從集合1,2,3,，10中，選出由5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)中的任何兩個數(shù)的和不等于11,這樣的子集共有多少個？(1)可組成多少個3位數(shù)；(2)可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)；(3)可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，

7、且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個位數(shù)例10、(1)5名學(xué)生從3項體育項目中選擇參賽，若每名學(xué)生只能參加一項，則有多少種不同的參賽方法？(2)5名學(xué)生爭奪3項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能情況種數(shù)有多少？探究2|解決計數(shù)問題時一定要明確研究的對象是什么？怎樣才能完成計數(shù)，本題給出解決此類問題的一種方法：住店法.【變式練習】1 .十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，共有A.24B.16C.12D.102 .設(shè)集合M=3,2,1,0,1,2,P(a,b)是坐標平面上的點，a,bCM,P可以表示平面上多少個不同的點？第二象限內(nèi)的多少個點？不在直線y=x上的多少個點？3 .(1)三封信投入到4個不同的

8、信箱中，共有種投法.(2)動物園的一個大籠子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，問老虎將羊吃光的情況有多少種?4 .乘積(a1a2a3)(bib2b3)(c1C2qC4C5)展開后共有多少項?5.8本不同的書，任選3本分給3位同學(xué)，每人1本，有多少種不同的分法?考點三：分類與分步綜合之簡單的面的涂色問題例11、如圖，用5種不同的顏色給圖中A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法?方法總結(jié)涂色問題的實質(zhì)是分類與分步，一般是整體分步，分步過程中若出現(xiàn)某一步需分情況說明時還要進行分類.涂色問題通常沒有固定的方法可循，只能按照題

9、目的實際情況，結(jié)合兩個基本原理和排列組合的知識靈活處理.例12、圖為四棱錐P-ABCD,用四種不同的顏色涂四棱錐的各個面，每個面只用一種顏色涂，要求相鄰兩面不同色，有多少種涂法?【變式練習】1.如圖，要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏2.如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）排數(shù)問題例13、用0,1,2,3,4這五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的:（1）銀行存折的四位密碼？（2）四位數(shù)？（3）四位奇數(shù)？（4）比2000大的四位偶數(shù)?五、課后習題（40分鐘，共

10、50分）一、選擇題（每小題5分，共25分）1 .如圖，A、B、C、D為四個村莊，要修筑三條公路，將這四個村莊連接起來，則不同的修筑方案共有（）.A.8種B.12種C.16種D.20種2 .如圖，用6種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（）.A. 400種B. 460種C. 480種D.496種3 .甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有（）.A.20種B.30種C.40種D.60種4 .高三年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參加社會實踐，但去何工廠可自由選擇n,甲工廠必須有班級要去，則不同的分配方案有（）.A.16種B.18種C.37種D.48種5 .4位同學(xué)從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法有（）.A.12種B.24種C.30種D.36種二、填空題（每小題5分，共10分）6 .五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則報名方法的種數(shù)為五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍（冠軍不并列），獲得冠軍的可能性有種.7 .如圖所示22方格，在每一個方格中填入