2019年數學(理)二輪名師公開課精品教案專題二第一講三角函數的圖象與性質含解析

1、第一講三角函數的圖象與性質考情分析明確方向年份卷別考查角度及命題位置命題分析2018I卷與三角函數有美的最值求法T16高考對此部分內容主要以選擇、填空題的形式考查，難度為中等偏下，大多出現在612題或第1415題位置上，命題的熱點主要集中于三角函數的定義、圖象與性質，主要考查圖象的變換，函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性及最值，并常與三角恒等變換交匯命題.n卷三角函數的單調性應用T102017I卷三角函數的圖象變換T9n卷三角函數的最值問題T14出卷三角函數的性質于62016I卷三角函數的性質于12n卷三角函數的圖象變換與性質T7出卷三角函數的圖象變換T14洪練結合U考點一函數y=Asin(

2、cox+昉的圖象與變換授課提示：對應學生用書第19頁悟通一一方法結論函數y=Asin(cox+的圖象(1)“五點法”作圖：設z=wx+(),令z=0,2c，為3,2%求出x的值與相應的y的值，描點、連線可得.(2)圖象變換：向左0>0手向右(<j><0)y=sinx平百市f位y=sin(x+橫坐標變?yōu)樵瓉淼闹?gt;0)倍,L4-*V=S1H(縱坐標不變,丁縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁©>0戶橫坐標不菱y=Asin(3X+昉.全練一一快速解答1. (2017高考全國卷I)已知曲線C：y=cosx,C2：y=sin2x+23?y,則下面結論正確的是（）A.把C1上各

3、點的橫坐標伸長到原來的個單位長度，得到曲線 C2B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的個單位長度，得到曲線 C22倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移兀12C.把Ci上各點的橫坐標縮短到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移6個單位長度，得到曲線C21,、D.把Ci上各點的橫坐標縮短到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移12個單位長度，得到曲線C2解析：易知C1:y=cosx=sin3+2!,把曲線C1上的各點的橫坐標縮短到原來的2倍,縱坐標不變，得到函數y=sin，x+2；的圖象，再把所得函數的圖象向左平移益?zhèn)€單位長度,可得函數y=s

4、in2x+：i2/2-sin2x+2j的圖象，即曲線C2,故選D.答案：D2. （2018南昌模擬）函數y=sin6，勺圖象可以由函數y=cos的圖象（）A.向右平移段個單位長度得到3B.向右平移2"個單位長度得到3C,向左平移1個單位長度得到3D,向左平移23%單位長度得到解析：由y=cos2=sin|+2!,y=sinJx-2/+sin+-6!,知函數y=sin+-6i:的圖象可以由y=cos2的圖象向右平移23n個單位長度得到.答案：B3. （2018益陽、湘潭聯(lián)考）若將函數f（x）=2sinx+6加圖象向右平移；個單位長度，再把所得圖象上的點的橫坐標擴大到原來的2倍，得到函數

5、g（x）的圖象，則函數g（x）圖象的一條對稱軸的方程為（）B.x=24C.x =12D.7兀解析：將函數f(x)=2sin"6的圖象向右平移4個單位長度，得到fg4=2sin,：+612sinjx-1的圖象，再把所得圖象上的點白Wt坐標擴大到原來的2倍，得到函數g(x)=2sin又一看的圖象.令1x亮=：+kit,kCZ,解得x=-7r+2k%kCZ.當k21221226=0時，函數g(x)圖象的一條對稱軸的方程為x=W，故選D.6答案：D4.(2018唐山*II擬)將函數y=J3cos2x-sin2x的圖象向右平移各單位長度，所得圖3象對應的函數為g(x),則g(x)=()C. 2

6、cos?x-6jA.2sin2xB.2sin2xD . 2sin 2x-匚6解析：因為y=J3cos2xsin2x=2cos2x+6j,將其圖象向右平移小單位長度得到3g(x)=2cos2x-3產6L2cos2x-2'f=2sin2x的圖象.答案：A.-，類題通法f1在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換，變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數不是1,就要把這個系數提取后再確定變換的單位長度和方向.L；講練結合11考點二由圖象求y=Asin(cox+昉的解析式悟通一一方法結論函數y=Asin(wx+昉解析式的確定利用函數圖象的最高點和最低點確定A,利用周期確定3

7、,利用圖象的某一已知點確定全練一一快速解答1. (2018鄭州模擬)將函數f(x)的圖象向左平移;個單位長度后得到函數g(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)的解析式是(A.f(x)=sin：2x-記(xR)B. f(x)=sin:2x+(xR)C. f(x)=sin2xj(XR)D. f(x)=sin2x+(xR)解析：依題意，設g(x)=sin(ox+0),其中w>0,|0|<,則有丁=#=4第一$=兀，«o p""i .=2, g 廠 sin1,則。=京 因此 g(x) = sin(2x + f(x) = g x/卜 sin 2： x-6J=sin

8、(2x-g)故選A.答案：A2. (2018貴陽模擬)已知函數f(x)=Asin(wx+<j)(A>0,3>0,0</。,其導數f'(x)的圖象如圖所示，則玲)勺值為()A.2亞c五V-/.2解析：依題意得f'（x）=Acocos（cox+昉，結合函數y=f'（x）的圖象可知,=兀，3=2.又A1,因此A=2.因為0（）兀,乎竽十亦¥，且，（8；=cos亨1+1，所以芋十QTt,（f）=j,f（x）=2sin2x+打fJ21=2sin卜+jj=-2X乎=乎，故選D.答案：D3. （2018山西八校聯(lián)考）已知函數y=Asin（cox+（f

9、）（A0,«0,B懷0）的部分圖象如圖所示，則.解析：由函數圖象得A=2,所以y=2sin（cox+昉，因為圖象過點（0,1）,所以sin。1一.5兀=一2,因為x=0位于圖象的單倜遞減區(qū)間，所以（）=2kTt（kZ）,又一兀（|）0,所以（|）5兀=一/答案：胡61T類題通法，用五點法求。值時，往往以尋找“五點法”中的第一個點為突破口.“第一點”（即圖象上升時與x軸的交點）時3X+Q0;“第二點”（即圖象的“峰點”）時3X+2;"第三點”（即圖象下降時與x軸的交點）時3X+Q升“第四點”（即圖象的“谷點”）時3X+Q3TT“第五點”時3X+4=2兀.I;講練緒合11考點三

10、三角函數的性質悟通方法結論1 .三角函數的單調區(qū)間y=sinx的單倜遞增區(qū)間是2k兀一萬，2k兀+/(kCZ),單倜遞減區(qū)間是2k兀+2，2k兀+32(kCZ)；y=cosx的單調遞增區(qū)間是2k%-%,2kntkCZ),單調遞減區(qū)間是2k%,2k兀+nt(kCZ)；y=tanx的單調遞增區(qū)間是上兀'k兀+2j(kCZ).2 .三角函數奇偶性判斷，一，兀，一一一，y=Asin(cox+機當k4kCZ)時為奇函數；當上k計2(kCZ)時為偶函數；對稱軸41一r.口.一方程可由wx+(j)=k兀+2(kCZ)求得.，兀，,一，,，,，y=Acos(cox+當QkTt+2(kCZ)時為奇函數；

11、當上kkCZ)時為偶函數；對稱軸方程可由cox+4=kkCZ)求得.y=Atan(cox+機當kMkCZ)時為奇函數.3 .三角函數周期性的求法一、.一一，一，一2兀一一一函數y=Asin(cox+昉(或y=Acos(cox+%的取小正周期T=|.應特別注息y=|Asin(cox+昉|的周期為丁=產.4 .求解三角函數的值域(最值)常見到以下幾種類型(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函數化為y=Asin(x+昉+k的形式，再求最值(值域).(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數，可先設sinx=t,化為關于t的二次函數求值域(最值).(3)形如y=asinxcosx+

12、b(sinx±cosx)+c的三角函數，可先設t=sinx±cosx,化為關于t的二次函數求值域(最值).全練一一快速解答1. (2018高考全國卷n)若？(x)=cosx-sinx在a,a是減函數，則a的最大值是()兀兀A.4B.2C.D.兀2解析：?(x) = cos x- sin x= - 72 'in x 2 cos xsinx4)，當 xC714'即x_；22時，y=sinjX-4%調遞增，y=，2sinj-j調遞減.函數?(x)在-a,a是減函數,.a,a?4,4J,0Vaw4,a的最大值為4.故選A.答案：A12. (2017局考全國卷出)函數

13、f(x)=£sin56A.5C.51D.5解析：因為cos3 i 所以 f(x) = |sinx+于是f(x)的最大值為6.5答案：A3. (2016高考全國卷I)已知函數f(x)=sin(cox+昉e0,W2；,x=j為f(x)的零點,x=4為y=f(x)圖象的對稱軸，且f(x)在怎，眈上單調，則的最大值為()kZ,B. 9D. 5k2”,A.11C.7r一4(1>+(j)=k1Tt,解析：由題意得,兀兀Lj«+()=k2計2,則w=2k+1,kCZ,4=占或()=44又函數f(x)在百，3p上單調，所以12W2X,即12.若3=11,則4=j,此時f(x)=sin

14、,1xjf(x)在區(qū)間忘44上單調遞增，在區(qū)間(34,16tl:單調遞減，不滿足f(x)在區(qū)間扇，36；上單調；若9,則,此時f(x)=sinQx+j)滿足f(x)在區(qū)間盆，器上單調遞減，故選B.答案：B.，類題通法/fI1 .三角函數單調性的求法：求形如y=Asin(cox+昉(或y=Acos(x+M)(A、se為常數，Aw0,3>0)的單調性的一般思路是令cox+(j)=z,則y=Asinz(或y=Acosz),然后由復合函數的單調性求解.2 .三角函數的最值問題注意判斷類型，尤其是可化為Asin(cox+型的值求解時注意x的范圍對cox+()范圍的影響.練通一一即學即用1. (20

15、17高考全國卷出)設函數f(x)=cosx+3G則下列結論錯誤的是()A. f(x)的一個周期為一2兀B. y=f(x)的圖象關于直線x=8%稱3兀C. f(x+力的一個零點為x=6D. f(x)在弓兀產 (2018湖北七校聯(lián)考)要得到函數y=sin"x + 3的圖象,()a,向左平移6個單位長度B,向右平移1個單位長度3C.向左平移1個單位長度3D.向右平移£個單位長度6解析：y=sin"x+34sin 2卜+；,只需將函數 y= sin 2x的圖象向左平移6t單調遞減解析：根據函數解析式可知函數f(x)的最小正周期為2兀，所以函數的一個周期為一2兀,A正確;x

16、+3=3 兀,所以cosx+3/-1,所以B正確;f(x+ 句= cos ,x+ 兀+& cos)x+43 37,所以 f(x+ m=0,所以 C正確；函數f(x)=cosi+3；在:，單調遞減，在白兀:單調遞增，故D不正確.答案：D2. (2018太原模擬)已知函數f(x)=sincox-43cos3乂e0)在(0,句上有且只有兩個零點,則實數3的取值范圍為()C.3-解析:易得 f(x)=2sin3X3 設 t= 3X1因為0vx<兀，所以一*t<3兀一; 因為函 33數f(x)在(0,句上有且僅有兩個零點，所以兀s3&2兀，解得3<3司，故選B.答案：B

17、3. (2018高考全國卷I)已知函數?(x)=2sinx+sin2x,則？(x)的最小值是解析：？'(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x1)=2(2cos2x+cosx-1)=2(2cosx1)(cosx+1).cosx+1>0,，當cosx<2時，?(x)V0,?(x)單倜遞減；1.當cosx>:時，？(x)>0,?(x)單調遞增.1當cosx=2，?(x)有取小值.又?(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),當 sin x=一,?(x)有最小值,即？(x)min=2X答案：呼只需將函數y=sin 2x的圖象提升

18、能力授課提示：對應學生用書第122頁、選擇題1位長度即可得到函數答案：Ay= sin i'2x+ g 的圖象.32. （2018寶雞模擬）為了得到函數y= sin（2x31的圖象，只需把函數y=圖象（）A,向左平移-個單位長度b.向右平移r個單位長度4c.向左平移2個單位長度D.向右平移2個單位長度解析:y=cos 2x-45 _3廠sin故要得到函數y= sin 2x-的圖象，只需要平移（一6卜一修=4個單位長度，又上0,所以應向左平移，故選A.答案：A3.函數 f(x)= sin2x+ V3sin的最小值是（）xcos x 在 4,A.B13B. 2C.3D.22113斛析：f(x

19、) = sinx+ V3sin xcos x=22cos 2x+ ? sin 2x= sin2,因為xwg所以 3w2x-6<56?,所以當2x- 6 =57t,即x=函數f(x)= sin2x+ V3sin xcos x 取得最小1 1值，且取小值為2 + 2=1.答案：Atan x4. （2018局考全國卷出）函數?（x）= +匕j*的取小正周期為（）兀A.4兀B.2c.兀D.sin xsin x解析：由已知得?（x） =tan x _ cos x1 + tan2x / sin x 21 + (cos x)cos xcos2x + sin2x.1 ,= sin x cos x=2si

20、n 2x,所以cos2x?（x）的最小正周期為t=22?=兀.故選C.答案：C5.（2018貴陽模擬）已知函數f（x）=Asin（x+昉（3>0,的部分圖象如圖所示，則。的值為（）兀B.3兀解析：由題意，得T=3+，=2,所以T =兀，由 T=紅，得3由圖可知A=1,所以 f(x)= sin(2x+ 昉.又sinc兀0, - 2<71D.6答案：B6. （2018湘中名校高三聯(lián)考）已知函數f（x）=sinCOX6 j+ g, 3>°,xCR,且 f(a) = 2,13萬*3）=2.若1”一日的最小值為則函數f（x）的單倜遞增區(qū)間為（）兀，C,，C，B.5+3k7t,

21、tH-3k兀C.兀+ 2k%，2k%kC ZD.兀+ 3k% 5 3k 兀kC Z2兀 ,T=3tt=,所以 93解析：由f（>-2,四12,心日的最小值為年，知：=¥，即23，所以f(x)=sin06K1，由尹2k后2x新尹2k*”),iTT_、得一2、3k廄x<兀+3kXkZ),故選B.答案：B7. （2018鄭州質檢）已知函數f（x）=Asin（水+昉的部分圖象如圖所示，點B,C是該圖象與x軸的交點，過點C的直線與該圖象交于D,E兩點，則（bD+BE）（bECE）的值為（）A.D. 21c.-解析：(弗+§i)(.晶-無)=(彘)+靈)彘)=2能晶=2|京

22、j,顯然的長度為半個周期，周期T=2,|BC|=1,所求值為2.%答案：D8. (2018成都模擬)設函數f(x)=sin2x+§/若x1x2<0,且f(x1)+f(X2)=0,則儂一x1|的取值范圍為()B.自十8 2J解析：f(x1)+f(x2)=0?f(xi)=f%),/一%|可視為直線y=m與函數y=f(x)>函數y=f(x)的圖象的交點的橫坐標的距離，作出函數y=f(x)與函數y=f(x)的圖象如圖所示，設A,B分別為直線y=m與函數y=f(x)>函數y=f(x)的圖象的兩個相鄰交點，(o,陰時，直線為y=手,因為Xix2<0,且當直線y=m過y=f

23、(x)的圖象與y軸的交點|AB|=.所以當直線y=m向上移動時，線段AB的長度會增加，當直線y=m向下移動時,O線段AB的長度也會增加，所以|X2xi|>o答案：B4)(0懷句的圖象關于直線 x=兀對稱，則cos 2(f)9. 已知函數f(x)=sin(x+()2cos(x+)3A5D.解析：由題意可得f(x)=45sin(x+4力,其中sin產255,cos產害.當x=兀時，由兀十。一產k兀+2c,彳導24=2k兀一兀+2%則cos2()=cos(2k兀一兀+2-)=cos2ksin2ycos2產3£.故選A.5答案：A10. (2018廣西三市聯(lián)考)已知x=*是函數f(x)

24、=J3sin(2x+(f)+cos(2x+4)(0懷兀)圖象.一37r的一條對稱軸，將函數f(x)的圖象向右平移7個單位長度后得到函數g(x)的圖象，則函數g(x)4在：，6上的最小值為()A.-2B.1C.-/D.-V3解析：=x=:是f(x)=2sin伊十6十打圖象的一條對稱軸，一TT即4=6+kMkCZ).兀irI-.10<(f<7t,(f)=-,則f(x)=2sin2x+6.g(x) = 2sin 2x- 7T/=2sin,x+565 ；'7t5兀7兀.1十丁苗K2sin2x+562t產2.g(x)在61上的最小值為1.答案：B11.已知函數f(x)=1+2cosx

25、cos(x+3是偶函數，其中代"，2'；,則下列關于函數g(x)=cos(2x4)的正確描述是()A. g(x)在區(qū)間二行，3上的最小值為一1兀A、，、，一，1一，B. g(x)的圖象可由函數f(x)的圖象向上平移2個單位長度，向右平移鼻個單位長度得到3C. g(x)的圖象的一個對稱中心是D. g(x)的一個單調遞減區(qū)間是0,2解析：,函數f(x)=1+2cosxcos(x+3是偶函數，y=1,y=2cosx都是偶函數，y=cos(x+3昉是偶函數，3(j)=kTt,kCZ,(j)=kr,kCZ,又0<1-4='二.g(x)=cos2x-323當<x<

26、;12，25 3<3, cos 2x-0,1,故 A 錯誤；f(x)= 1 + 2cos xcos(x+ )=1 - 2cos2x= cos 2x,顯然 B 錯誤；當 x=比時,g(x)= cos2''廠0,故C正確；當0W x/時,增有減，故D錯誤.故選C.,g(x) = cos答案：C12. (2018 肇慶一模)設向量 a=(a1，a2), b= (b1，bz),定義一種向量積：a?b=(a1，a2)?(b，b2)=(a1b1, a2b2).已知向量 m=弓，4 i n=0，點 P 在 y=cos x 的圖象上運動，點Q在y= f(x)的圖象上運動，且滿足OQ= m

27、?OP+n(其中。為坐標原點),則y= f(x)在區(qū)間的最大值是()a. 2mB. 2>/3C. 2D. 4解析：由題意，設點P的坐標為(X0, cos X0),點Q的坐標為(x, y),則 OQ=m'；?(Xo, cos Xo)+ 9 0,? (x, y)= &。+6，4cos 小1 5x = 1x0+6',y= 4cos xo,xo= 2 即? y=4cos,x-3 j,N= 4cos xo當xC兀 兀f(x)在區(qū)間",； 1-O3.答案：D二、填空題,0W2x?w 盟1w cos12x 3 3 21? 2< 4cos2x-3 產4,所以函數

28、y =的最大值是4.13.函數 f(x)=2sin(«x+ 昉,0懷2加圖象如圖所示，已知圖象，經過點A(0,1),B6,1)則f(x)=解析：由已知得，T=穹，又T=,co=3.zooco.,1c,兀,71-sin25,°用，-，函數f(x)=2sinj3x+i'答案：2sin'x十'J14.(2018沈陽質檢)函數f(x)=Asin(cox+(J)(A>0,。>0,0<懷句的部分圖象如圖所示,則解析：由圖象可知A=2,=T=7t,41264.co=2,二,當x=$寸,函數f(x)取得最大值,兀兀-2X-+=-+2kXkZ),62

29、兀F+2kMkCZ),6。亦冗，'.f(x)=2sin2x+：),則f£12sing+&2cos薩小.答案：*15.若存在實數上使得圓面x?+y?w4恰好覆蓋函數y=sin5(+。圖象的最高或最低點共三個，則正數k的取值范圍是.y = ±1上，由解析：函數y=sin缶+6的圖象的最高點或最低點一定在直線y=±12'解得k+/<4,由題意可得：T="=2k,T<2V§<2T,解得正數k的取值范圍是償，同k答案:哈,w16. (2018武漢調研)若函數f(x)=2sin"x+：j(eO)的圖象的對

30、稱軸與函數g(x)=cos(2x+昉JM<2的圖象的對稱軸完全相同,則4=.解析：因為函數f(x)=2sincox+4,(co>0)的圖象的對稱軸與函數g(x)=cos(2x+昉母<2/的圖象的對稱軸完全相同，故它們的最小正周期相同，即華票所以2,故函數f(x)=2sin2x+4/*TTTT令2x+j=kTt+£,kCZ,貝U*=芋+8,kCZ,故函數f(x)的圖象的對稱軸為x=2+8,kCZ.令2x+(j)=mtt,mZ,mrrm7tjbr貝Ux=25,meZ,故函數g(x)的圖象的對稱軸為x=m3。meZ,故AQmr+2=n”，即(j)=(m+nk)k-4又IM

31、<2,所以e=-4答案：一：4三、解答題3117. (2018合月已模擬)已知函數f(x)=4sinxcosx2sinxcosx2cos4x.(1)求函數f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間0,41上的最大值和最小值.解析：f(x)=2sinxcosx(2sin2x1)2cos4x1.=sin2xcos2x2cos4x2sin4x2cos4x2 =-sin 4x+ 4 .(1)函數f(x)的最小正周期T=2j5=2.令2kTt+&4x+%2kTt+紅，kCZ,即%WxW盤+2，kCZ.242''216216所以f(x)的單調遞增區(qū)間為"k2t+戊，k+16rLkCZ.(2)因為0Wxwf,所以44x十六察4444此時一wsin'x+j尸1,所以一當&sin4x+4產2,即一f(x)<2.所以f(x)在區(qū)間-0,41上的最大值和最小值分別為2,，.18. (2018汕頭模擬)已知函數f(x)=cos2xcos/sincoxcosw)sin()2sine+4(co>0,0<懷句的最小正周期為Tt,且x=6是函數f(x)的圖象的一條對稱軸.TT人、，、，-，一一，一、一一，、一(2)將函數y=f(x)圖象上的各點向左平移不個單位長度，