圓錐曲線齊次式與點(diǎn)乘雙根法

1、圓錐曲線齊次式與點(diǎn)乘雙根法,圓錐曲線齊次式與斜率之積（和）為定值22例1：Qi,Q2為橢圓條1上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OQiOQ2，過原點(diǎn)O作直線Q1Q2的垂線OD,求D的軌跡方程D(x0,yo),設(shè)直線QQ2方程為ykxm,解法一(常規(guī)方法)：設(shè)QKKyJQMxz,y2),ykxm聯(lián)立x2y2化簡可得：於F1所以(2b2k2b2)x24kmb2x2b2(m2b2)0,2b2(m2b2)b2(m22b2k2)xix22b2k2b2,y1y22b2k2b2因?yàn)镺QOQ2所以2(m2b2)m22b2k22k212k212b2(m2b2)b2(m22b2k2)x1x2y1y22b2k2b22b2k2b23m2

2、2b2(1k2)2xo),即yx0x-xy對(duì)比于yov。0又因?yàn)橹本€QQ方程等價(jià)于為yy-(x120X0kykxm，則丫x0y0解法（齊次式）：設(shè)直線Q1Q2方程為mxny代入中，化簡可得:mx1,聯(lián)立x2xvv2b2b22V。mx2x2b2ny12y210b22x2b22y分化簡可得22b-2mnxy0mxby)整理成關(guān)于x,yx,y的齊次式：（22b2n2)y2(12m2b2)x24mnb2xy0,進(jìn)而兩邊同時(shí)除以x2,則2m2b2(22bn)k4mnbk12mbkh22b2因?yàn)镺Q1OQ2OQ1OQ所以Ik22m2b22b2n232b2(m2n2)又因?yàn)橹本€QQ方程等價(jià)于為12x0Z-(

3、xV。xoV。20x-yV。對(duì)比于0xO2x)mxny1,則X202y0y2-yn0代入中，化簡可得:2y°2x例2:已知橢圓一4設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P（0,1）的直線交于AB兩點(diǎn)，若直線PA,PB的斜率之和為1,證明：直線i恒過定點(diǎn).解：以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立新的直角坐標(biāo)系x'py',如圖所示:舊坐標(biāo)新坐標(biāo)AA'BB'(x,y)(x',y')即(0,1)(0,0)x'x所以y'y1原來kkPAPBi112y21i則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為:yiy2x12即kJk2'1設(shè)直線l方程為：mx'ny'1原方程：

4、x24y24則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為：x'24(y'1)24展開得：x'24y'28y'0構(gòu)造齊次式：x'24y'28y'(mx'ny')0整理為：(48n)y'28mx'y'x'20兩邊同時(shí)除以x'2，則（48n）k'28mk'10所以k'k128m48n1所以2m2n11而mx'ny'1(n)x'ny'122x'n(x'y')一10對(duì)于任意n都成立.2x'y'0則：，工102x&#

5、39;2,故對(duì)應(yīng)原坐標(biāo)為y'2x2所以恒過定點(diǎn)（2,1）.y12例3:已知橢圓上8y221,過其上一定點(diǎn)P（2,1）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別交于橢圓于A,B兩點(diǎn)，證明：直線AB斜率為定值解：以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立新的直角坐標(biāo)系x'py',如圖所示:舊坐標(biāo)新坐標(biāo)(x,y)(x',y')即(2,1)(0.0)所以AA'BB'原來kk0PAPByi1x21y21八、一，y20則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為:xn2y1y2"x-'X12即kJk2'0設(shè)直線AB方程為：mx'ny'1原方程：x平移變換，斜率不變，

6、所以直線AB斜率為定值.4y28則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為：(x'2)24(y'1)28展開得：x'24y'24x'8y'0構(gòu)造齊次式：x'24y'24x'(mx'ny')8y'(mx'ny')0整理為：y'2(48n)x'y'(4n8m)(14m)x'20兩邊同時(shí)除以x'2,則(48n)k'2(4n8m)k'14m0所以k'k'4n8m0所以n2m1248n1而mx'ny'1mx'(2m)y&

7、#39;1mx2my10.所以k=2，點(diǎn)乘雙根法例4:設(shè)橢圓中心在原點(diǎn)O,長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A,左右頂點(diǎn)分別為F1,F2,線段OFi,OF2中點(diǎn)分別為Bi,B2,且ABiB2是面積為4的直角三角形.(1)求其橢圓的方程(2)過B1作直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，使PB2QB2,求直線l的方程.(2)易知：直線l不與軸垂直，則設(shè)直線l方程為:yk(x2)P(Xi,yi),Q(X2,y2)所以(xi2.y)(X22、)0(Xi2)(X22)k2(Xi2)僅22)現(xiàn)聯(lián)立yk(x2)22士Ei20425k(x22)20則方程X25k2(X2)2200可以等價(jià)轉(zhuǎn)化(i5c2)(xiX)(X2x)即x25k2(x2)220(i5k2)(xx)(xx)2,480k220(i5k2)(Xi2)(X22)(Xi2)(X22)80k2i6i5k22,4020(i5k2)(x2)(x2)i2(X2)(x,2