北師大版必修2精品講學(xué)案：第二章2.2圓與圓的方程

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第1課時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 核心必知1圓的定義平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓，定點(diǎn)就是圓心，定長(zhǎng)就是半徑2圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓心為(a，b)，半徑是r，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(xa)2(yb)2r2.(2)當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，圓的方程為x2y2r2.3中點(diǎn)坐標(biāo)A(x1，y1)，B(x2，y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為.問(wèn)題思考1若圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2t2(t0)，那么圓心坐標(biāo)是什么？半徑呢？提示：圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為|t|.2由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以得到圓的哪些幾何特征？提示：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以直接得到圓的圓心坐標(biāo)和半徑講一講1寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓心在原點(diǎn)

2、，半徑為8；(2)圓心在(2,3)，半徑為2；(3)圓心在(2，1)且過(guò)原點(diǎn)嘗試解答設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2.(1)圓心在原點(diǎn)，半徑為8，即a0，b0，r8，圓的方程為x2y264.(2)圓心為(2,3)，半徑為2，即a2，b3，r2，圓的方程為(x2)2(y3)24.(3)圓心在(2，1)且過(guò)原點(diǎn)，a2，b1，r.圓的方程為(x2)2(y1)25.直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是確定圓心坐標(biāo)與半徑，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程練一練1求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓心為(2，2)，且過(guò)點(diǎn)(6,3)；(2)過(guò)點(diǎn)A(4，5)，B(6，1)且以線段AB為直徑；(3)圓心在直線x2

3、上且與y軸交于兩點(diǎn)A(0，4)，B(0，2)解：(1)由兩點(diǎn)間距離公式，得r，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y2)241.(2)圓心即為線段AB的中點(diǎn)，為(1，3)又|AB|2，半徑r.所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y3)229.(3)由圓的幾何意義知圓心坐標(biāo)(2，3)，半徑r，圓的方程為(x2)2(y3)25.講一講2已知兩點(diǎn)P1(3,6)，P2(1,2)，求以線段P1P2為直徑的圓的方程，并判斷點(diǎn)M(2,2)，N(5,0)，Q(3,2)在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？嘗試解答由已知得圓心坐標(biāo)為C(1,4)，圓的半徑r|P1P2|2.所求圓的方程為(x1)2(y4)28.(21)2(24)258

4、，(51)2(04)2328，(31)2(24)28，點(diǎn)M在圓內(nèi)，點(diǎn)N在圓外，點(diǎn)Q在圓上判定點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系，即比較|MC|與r的關(guān)系：若點(diǎn)M在圓C上，則有(x0a)2(y0b)2r2；若點(diǎn)M在圓C外，則有(x0a)2(y0b)2r2；若點(diǎn)M在圓C內(nèi)，則有(x0a)2(y0b)2r2.練一練2已知點(diǎn)A(1,2)在圓C：(xa)2(ya)22a2的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：點(diǎn)A在圓內(nèi)部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a，a的取值范圍是.講一講3求圓心在直線l：2xy30上，且過(guò)點(diǎn)A(5,2)和點(diǎn)B(3，2)的圓的方程嘗試解答法一：設(shè)圓的方程為

5、(xa)2(yb)2r2，則解得圓的方程為(x2)2(y1)210.法二：圓過(guò)A(5,2)，B(3，2)兩點(diǎn)，圓心一定在線段AB的垂直平分線上，線段AB的垂直平分線方程為y(x4)，由解得即圓心C的坐標(biāo)為(2,1)r|CA|.所求圓的方程為(x2)2(y1)210.用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟：(1)設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)根據(jù)條件得關(guān)于a，b，r的方程組，并解方程組得a，b，r的值(3)代入標(biāo)準(zhǔn)方程，得出結(jié)果練一練3求圓心在直線5x3y8上，且圓與兩坐標(biāo)軸都相切的圓的方程解：設(shè)所求圓方程為(xa)2(yb)2r2.圓與兩坐標(biāo)軸相切，圓心滿足ab0或ab0，又圓心在直線5x3y8上，5a

6、3b8.解方程組或得或圓心坐標(biāo)為(4,4)或(1，1)可得半徑r|a|4或r|a|1.所求圓方程為(x4)2(y4)216或(x1)2(y1)21.已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x2)2y23，求x2y2的最大值和最小值巧思x2y2可以看成圓(x2)2y23上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方妙解方程(x2)2y23表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓，x2y2表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處分別取得最大值和最小值，又圓心到原點(diǎn)的距離為2，半徑為，故(x2y2)max(2)274.(x2y2)min(2)274.1圓心為點(diǎn)(3,4)且過(guò)點(diǎn)(0,0)的圓的方程是()Ax2y

7、225 Bx2y25C(x3)2(y4)225 D(x3)2(y4)225解析：選C半徑r5，圓的方程是(x3)2(y4)225.2點(diǎn)A(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，則a的取值范圍是()A1a1 B0a1Ca1或a1 Da±1解析：選A點(diǎn)A(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部(1a)2(1a)24，解得1a1.3已知一圓的圓心為點(diǎn)(2，3)，一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是()A(x2)2(y3)213 B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252 D(x2)2(y3)252解析：選A設(shè)直徑兩端點(diǎn)為A(x,0)，B(0，y)，則圓心(2

8、，3)為直徑中點(diǎn)，即A(4,0)，B(0，6)r|AB|×.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y3)213.4圓C：(x2)2(y1)2r2(r0)的圓心C到直線4x3y120的距離為_解析：由圓C的方程知圓心C的坐標(biāo)為C(2，1)，再由點(diǎn)到直線的距離公式得：d.答案：5圓心在y軸上，半徑為5，且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：由題意可設(shè)圓的方程為x2(yb)225.則將(0,0)坐標(biāo)代入，得b225，b±5.所求圓的方程為x2(y5)225或x2(y5)225.答案：x2(y5)225或x2(y5)2256如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M(2,0)，AB邊所在直線的方程

9、為x3y60，點(diǎn)T(1,1)在AD邊所在直線上(1)求AD邊所在直線的方程；(2)求矩形ABCD外接圓的方程解：(1)因?yàn)锳B邊所在直線的方程為x3y60，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為3.又因?yàn)辄c(diǎn)T(1,1)在直線AD上，所以AD邊所在直線的方程為y13(x1)，即3xy20.(2)由解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，2)因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為M(2,0)所以M為矩形ABCD外接圓的圓心又|AM| 2.從而矩形ABCD外接圓的方程為(x2)2y28.一、選擇題1已知圓C：(x2)2(y3)24，則P(3,2)()A是圓心B在圓C外C在圓C內(nèi) D在圓C上解析：選C由圓C的方程知圓心C(

10、2,3)，半徑r2，故排除A.又|PC|2r，P在圓C內(nèi)部2圓(x3)2(y4)21關(guān)于直線xy0對(duì)稱的圓的方程是()A(x3)2(y4)21B(x4)2(y3)21C(x4)2(y3)21D(x3)2(y4)21解析：選B對(duì)稱后，圓的半徑不變，只需將圓心關(guān)于xy0的對(duì)稱點(diǎn)作為圓心即可已知圓的圓心(3，4)關(guān)于xy0的對(duì)稱點(diǎn)(4，3)為所求圓的圓心，所求圓的方程為(x4)2(y3)21.3在方程(x1)2(y2)2m29(mR)表示的所有圓中，面積最小的圓的圓心和半徑分別是()A(1,2)，3 B(1，2)，3C(1,2), D(1，2), 解析：選B當(dāng)m0時(shí)，圓的半徑最小且為3，這時(shí)圓的面積

11、最小，圓心為(1，2)4方程y表示的曲線是()A一條射線 B一個(gè)圓C兩條射線 D半個(gè)圓解析：選D由y，知y0，兩邊平方移項(xiàng)，得x2y29.原方程等價(jià)于表示圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓的上半部分5設(shè)M是圓(x5)2(y3)29上的點(diǎn)，則M到3x4y20的最小距離是()A9 B8C5 D2解析：選D圓心(5,3)到直線3x4y20的距離d5，所求的最小距離是532.二、填空題6圓心在x軸上，且過(guò)點(diǎn)A(5,2)和B(3，2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：法一：設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2.則解得所求圓的方程為(x4)2y25.法二：圓過(guò)A(5,2)，B(3，2)兩點(diǎn)，圓心一定在線段AB的中垂線上AB中

12、垂線的方程為y(x4)，令y0，得x4.即圓心坐標(biāo)C(4,0)，r|CA| ，所求圓的方程為(x4)2y25.答案：(x4)2y257已知圓C1的方程(x3)2(y2)25，圓C2與圓C1是同心圓且過(guò)點(diǎn)A(5,0)，則圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：由圓C1的方程知圓心C1(3,2)，因?yàn)镃2與C1是同心圓，所以C2的圓心也為(3,2)可設(shè)C2的方程為(x3)2(y2)2r2.又由C2過(guò)點(diǎn)A(5,0)，所以(53)2(02)2r2，r268.故圓C2的方程為(x3)2(y2)268.答案：(x3)2(y2)2688設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓x2(y4)24上任意一點(diǎn)，則的最大值為_解析：理解的幾何意義，即

13、為動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)(1,1)的距離因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y)是圓x2(y4)24上的任意一點(diǎn)，因此表示點(diǎn)(1,1)與該圓上點(diǎn)的距離易知點(diǎn)(1,1)在圓x2(y4)24外，結(jié)合圖易得的最大值為22.答案：2三、解答題9已知直線l與圓C相交于點(diǎn)P(1，0)和點(diǎn)Q(0,1)(1)求圓心所在的直線方程；(2)若圓C的半徑為1，求圓C的方程解：(1)PQ的方程為xy10.PQ中點(diǎn)M，kPQ1，所以圓心所在的直線方程為yx.(2)由條件設(shè)圓的方程為：(xa)2(yb)21.由圓過(guò)P，Q點(diǎn)得：解得或所以圓C方程為：x2y21或(x1)2(y1)21.10已知圓C的圓心坐標(biāo)為C(x0，x0)，且過(guò)定點(diǎn)P(4,2

14、)(1)求圓C的方程；(2)當(dāng)x0為何值時(shí)，圓C的面積最小，并求出此時(shí)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程解：(1)由題意，得圓C的方程為(xx0)2(yx0)2r2(r0)圓C過(guò)定點(diǎn)P(4,2)，(4x0)2(2x0)2r2(r0)r22x12x020.圓C的方程為(xx0)2(yx0)22x12x020.(2)(xx0)2(yx0)22x12x0202(x03)22，當(dāng)x03時(shí)，圓C的半徑最小，即面積最小此時(shí)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y3)22.第2課時(shí)圓的一般方程核心必知1圓的一般方程的定義當(dāng)D2E24F0時(shí)，稱二元二次方程x2y2DxEyF0為圓的一般方程2方程x2y2DxEyF0表示的圖形(1)當(dāng)D2E

15、24F0時(shí)，方程表示以為圓心，以為半徑的圓(2)當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn).(3)當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程不表示任何圖形問(wèn)題思考1方程x2y22x2y30是圓的一般方程嗎？為什么？提示：此方程不表示圓的一般方程D2E24F22(2)24×340.此方程不表示任何圖形2方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓時(shí)需要具備什么條件？提示：需同時(shí)具備三個(gè)條件：AC0；B0；D2E24AF>0.講一講1判斷下列方程是否表示圓，若是，化成標(biāo)準(zhǔn)方程(1)x2y22x10；(2)x2y22ay10；(3)x2y220x1210；(4)x2y22ax0.嘗試解答(1)原方程可化為(x1)

16、2y20，它表示點(diǎn)(1,0)，不表示圓(2)原方程可化為x2(ya)2a21，它表示圓心在(0，a)，半徑為的圓，標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(ya)2()2.(3)原方程可化為：(x10)2y2210，故方程不表示任何曲線，故不能表示圓(4)原方程可化為(xa)2y2a2.當(dāng)a0時(shí)，方程表示點(diǎn)(a,0)，不表示圓；當(dāng)a0時(shí)，方程表示以(a,0)為圓心，半徑為|a|的圓，標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2y2a2.對(duì)形如x2y2DxEyF0的二元二次方程可以通過(guò)配方變形成“標(biāo)準(zhǔn)”形式后，觀察是否表示圓；也可以由圓的一般方程的定義判斷D2E24F是否為正，確定它是否表示圓練一練1求下列圓的圓心和半徑(1)x2y2xy0；(

17、2)x2y22ax2aya20.(a0)解：(1)原方程可化為22，圓心坐標(biāo)為，半徑為.(2)原方程可化為(xa)2(ya)2a2.圓心坐標(biāo)為(a，a)，半徑為|a|.講一講2已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,3)，B(1，1)，C(3，5)，求這個(gè)三角形外接圓的方程嘗試解答法一：設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F0)，此圓過(guò)A、B、C三點(diǎn)，解得圓的方程為x2y24x4y20.法二：設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2，則、得解得a2，b2.r210.圓的方程為(x2)2(y2)210.法三：AB的中垂線方程為y1(x0)，BC的中垂線方程為y2(x2)，聯(lián)立解得圓心坐標(biāo)為(2

18、,2)設(shè)圓半徑為r，則r2(12)2(32)210，圓的方程為(x2)2(y2)210.法四：由于kAB2，kAC，kAB·kAC1，ABAC，ABC是以A為直角的直角三角形，外接圓圓心為BC的中點(diǎn)，即(2,2)，半徑r|BC|，圓的方程為(x2)2(y2)210.待定系數(shù)法是求圓的一般方程的常用方法，先設(shè)出圓的一般方程，再根據(jù)條件列出方程組求出未知數(shù)D，E，F(xiàn)，當(dāng)已知條件與圓心和半徑都無(wú)關(guān)時(shí)，一般采用設(shè)圓的一般方程的方法練一練2求過(guò)點(diǎn)A(2，2)，B(5,3)，C(3，1)的圓的方程解：設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0.由題意，得解之得所以所求圓的方程為x2y28x10y440

19、.已知定點(diǎn)A(a,2)在圓x2y22ax3ya2a0的外部，求a的取值范圍錯(cuò)解點(diǎn)A在圓外，a242a23×2a2a0，a2.錯(cuò)因本題錯(cuò)解的根本原因在于沒(méi)有把握住圓的一般式方程的定義二元二次方程x2y2DxEyF0表示圓時(shí)，需D2E24F0，所以，本題除了點(diǎn)在圓外的條件以外，還應(yīng)注意方程表示圓這一隱含條件正解點(diǎn)A在圓外，即2a，a的取值范圍是.1圓x2y22x6y80的周長(zhǎng)等于()A. B2C2 D4解析：選C圓的方程配方后可化為(x1)2(y3)22，圓的半徑r，周長(zhǎng)2r2.2方程x2y24x2y5m0表示圓，則m的范圍是()A0m1 Bm1Cm0 Dm1解析：選D方程x2y24x2

20、y5m0表示圓，須42(2)24×5m0，即m1.3如果過(guò)A(2,1)的直線l將圓x2y22x4y0平分，則l的方程為()Axy30 Bx2y40Cxy10 Dx2y0解析：選A由題意知直線l過(guò)圓心(1,2)，由兩點(diǎn)式可得l的方程為，即xy30.4以點(diǎn)A(2,0)為圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,1)的圓的一般方程是_解析：由題知r|AB|，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y210，化成一般方程為：x2y24x60.答案：x2y24x605圓x2y22x4y110關(guān)于點(diǎn)P(2,1)對(duì)稱的圓的方程是_解析：由x2y22x4y110得(x1)2(y2)216.圓心(1,2)關(guān)于P(2,1)的對(duì)稱點(diǎn)為(5,

21、0)所求圓的方程為(x5)2y216.答案：(x5)2y2166圓心在直線2xy70上的圓C與y軸交于A(0，4)，B(0，2)兩點(diǎn)，求圓C的一般方程解：設(shè)圓C的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，則圓心C在直線2xy70上，2×70，即D70，又A(0，4)，B(0，2)在圓上，由、解得D4，E6，F(xiàn)8，圓的方程為x2y24x6y80.一、選擇題1若圓x2y22x4y0的圓心到直線xya0的距離為，則a的值為()A2或2B.或C2或0 D2或0解析：選C由圓的方程得圓心坐標(biāo)為(1,2)再由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得a2或a0.2已知圓C的半徑長(zhǎng)為2，圓心在x軸的正

22、半軸上，直線3x4y40與圓C相切，則圓C的方程為()Ax2y22x30 Bx2y24x0Cx2y22x30 Dx2y24x0解析：選D設(shè)圓心為(a,0)，且a0，則(a,0)到直線3x4y40的距離為2，即23a4±10a2或a(舍去)，則圓的方程為(x2)2(y0)222，即x2y24x0.3圓x2y22x2y10上的點(diǎn)到直線xy2的距離的最大值是()A2 B1C2 D12解析：選B圓的方程變?yōu)?x1)2(y1)21，圓心為(1,1)，半徑為1，圓心到直線的距離d，所求的最大值為1.4已知圓C：x2y2mx40上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線xy30對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m等于()A8 B4C6 D無(wú)法

23、確定解析：選C因?yàn)閳A上兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線xy30對(duì)稱，所以直線xy30過(guò)圓心，從而30，即m6.5圓的方程為x2y2kx2yk20，當(dāng)圓面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)為()A(1,1) B(1，1)C(1,0) D(0，1)解析：選D方程變形為2(y1)21k2，r21k2，當(dāng)k0時(shí)，r有最大值圓心坐標(biāo)為(0，1)二、填空題6過(guò)點(diǎn)(，2)的直線l經(jīng)過(guò)圓x2y22y0的圓心，則直線l的傾斜角大小為_解析：由x2y22y0，得x2(y1)21，圓心為(0,1)，k.直線的傾斜角為60°.答案：60°7若直線3x4y120與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為A，B，則以線段AB為直徑的圓的一般方程為_解析：依

24、題意A(4,0)，B(0,3)，AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)為，半徑r|AC| ，圓的方程為(x2)222，即x2y24x3y0.答案：x2y24x3y08若點(diǎn)(a1，a1)在圓x2y22ay40的內(nèi)部(不包括邊界)，則a的取值范圍是_解析：點(diǎn)(a1，a1)在圓x2y22ay40內(nèi)部，即2a2，a1.答案：(，1)三、解答題9若點(diǎn)A(1，1)，B(1,4)，C(4，2)，D(a,1)共圓，求a的值解：設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入，整理得方程組解得D7，E3，F(xiàn)2.圓的方程為x2y27x3y20.又點(diǎn)D在圓上，a217a320.a0或a7.10求經(jīng)過(guò)A(4,2)、B(1,3)兩

25、點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和是2的圓的方程解：設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0，令y0得x2DxF0，圓在x軸上的截距之和為x1x2D.令x0得y2EyF0，圓在y軸的截距之和為y1y2E.由題設(shè)x1x2y1y2(DE)2.DE2.又A(4,2)，B(1,3)在圓上，1644D2EF0，19D3EF0.由解得D2，E0，F(xiàn)12.故所求圓的方程為x2y22x120.第3課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系核心必知直線AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離ddrdrdr代數(shù)法：由消元得到一元二次方程的判別式000

26、問(wèn)題思考1直線AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2相交時(shí)，方程組的解和的幾何意義是什么？，呢？提示：該方程組的解恰好是直線與圓的交點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，即有P(x1，y1)，Q(x2，y2)，而恰為弦PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)2是否任意直線與圓的位置關(guān)系的判定都可以用幾何法與代數(shù)法這兩種方法？提示：是幾何法與代數(shù)法是從不同的方面進(jìn)行判斷的，幾何法側(cè)重于“形”，代數(shù)法側(cè)重于“數(shù)”講一講1判斷下列直線與圓的位置關(guān)系，若有公共點(diǎn)求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)(1)直線：xy0，圓：x2y22x4y40；(2)直線：yx5，圓：x2y22x4y30；(3)直線xy3，圓：x2y24x2y40.嘗試解答(1)圓的方程x2y22x4

27、y40可化為(x1)2(y2)29，圓心(1，2)，半徑3.圓心到直線的距離d<3，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)消去y得x2x20，解得x11，x22，y11，y22，交點(diǎn)A(1,1)，B(2，2)(2)圓的方程可化為(x1)2(y2)22，圓心(1,2)，半徑，圓心到直線的距離d，直線與圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)，消去y得x24x40，x2，y3，切點(diǎn)(2,3)(3)圓的方程化為(x2)2(y1)21，圓心(2，1)，半徑長(zhǎng)為1，圓心到直線的距離d>1，直線與圓相離解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清直線與圓的位置和直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)間的等價(jià)關(guān)系在處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，常用幾何法，即比較圓心到直線

28、的距離和半徑的大小，而不用代數(shù)法練一練1已知圓的方程是x2y22，直線yxb，當(dāng)b為何值時(shí)，圓與直線相交、相切、相離？解：如圖，圓心O(0,0)到直線yxb的距離為d，圓的半徑r.當(dāng)dr，|b|2，即b2或b2時(shí)，圓與直線相切b為直線的截距，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)2b2時(shí)，直線與圓相交，當(dāng)b2或b2時(shí)，直線與圓相離.講一講2求直線l：3xy60被圓C：x2y22y40截得的弦長(zhǎng)嘗試解答法一：由直線l與圓C的方程，得消去y得x23x20.設(shè)兩交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系有x1x23，x1·x22，|AB|.弦AB的長(zhǎng)為.法二：圓C：x2y22y4

29、0可化為x2(y1)25.其圓心坐標(biāo)為C(0,1)，半徑r，點(diǎn)C(0,1)到直線l的距離為d，所以半弦長(zhǎng) .所以弦長(zhǎng)|AB|.1代數(shù)法(1)將直線與圓的方程聯(lián)立，解得兩交點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)(2)設(shè)直線的斜率為k，直線與圓聯(lián)立，消去y后所得方程兩根為x1，x2，則弦長(zhǎng)d|x2x1|.2幾何法設(shè)弦長(zhǎng)為l，弦心距為d，半徑為r，則有2d2r2，故l2，即半弦長(zhǎng)、弦心距、半徑構(gòu)成直線三角形，數(shù)形結(jié)合利用勾股定理得到練一練2已知關(guān)于x，y的方程C：x2y22x4ym0，(1)當(dāng)m為何值時(shí)，方程C表示圓；(2)若圓C與直線l：x2y40相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|，求m的值解：(1)方程C可

30、化為(x1)2(y2)25m.顯然5m0，即m5時(shí)，方程C表示圓(2)圓的方程化為(x1)2(y2)25m圓心C(1,2)，半徑r.則圓心C(1,2)到直線l：x2y40的距離d.|MN|，|MN|.根據(jù)圓的性質(zhì)有r2d22，5m22，得m4.講一講3已知圓的方程為x2y22x4y40，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，1)的圓的切線方程嘗試解答設(shè)切線l的斜率為k，則其方程為y1k(x4)，即kxy4k10.圓的方程可化為(x1)2(y2)29.圓心為(1,2)，半徑為3.l是圓的切線，3，8k215k0.k0或k，代入kxy4k10并整理，得切線方程為y1或15x8y520.經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的圓的切線不存在；經(jīng)過(guò)圓

31、上一點(diǎn)的圓的切線有一條；經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線有兩條，若只求出一條，則說(shuō)明另一條切線的斜率不存在，切線為xx0的形式練一練3若直線l過(guò)點(diǎn)P(2,3)，且與圓(x1)2(y2)21相切，求直線l的方程解：若直線l的斜率存在，設(shè)l：y3k(x2)因?yàn)橹本€l與圓(x1)2(y2)21相切，所以1，所以k.所以直線l的方程為y3(x2)，即12x5y90.若直線l的斜率不存在，則直線l：x2也符合要求所以直線l的方程為12x5y90或x2.方程 k(x2)3有兩個(gè)不等實(shí)根，求k的取值范圍巧思將方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y和yk(x2)3圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題妙解在同一坐標(biāo)系中，分別作出曲線y和yk(x2)3.

32、如圖所示，曲線y表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的上半圓，yk(x2)3表示經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(2,3)，斜率為k的動(dòng)直線，易得kPA，切線PM的斜率為kPM.當(dāng)動(dòng)直線介于直線PM與PA之間時(shí)，與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即所給方程 k(x2)3有兩個(gè)不等實(shí)根所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.1(安徽高考)若直線xy10與圓(xa)2y22有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A3，1B1,3C3,1 D(，31，)解析：選C欲使直線xy10與圓(xa)2y22有公共點(diǎn)，只需使圓心到直線的距離小于等于圓的半徑即可，即，化簡(jiǎn)得|a1|2，解得3a1.2直線2xy10被圓(x1)2y22所截得的弦長(zhǎng)為()A. B.C. D.解析：選D圓

33、心為(1,0)，半徑為，圓心到直線的距離d，弦長(zhǎng)l22.3(天津高考)已知過(guò)點(diǎn)P(2,2) 的直線與圓(x1)2y25相切， 且與直線axy10垂直， 則a()A B1C2 D.解析：選C由切線與直線axy10垂直，得過(guò)點(diǎn)P(2,2)與圓心(1,0)的直線與直線axy10平行，所以a，解得a2.4圓心在原點(diǎn)且與直線xy20相切的圓的方程為_解析：由題意可知，原點(diǎn)到直線xy20的距離為圓的半徑，即r，所以圓的方程為x2y22.答案：x2y225(湖南高考)若直線3x4y50與圓x2y2r2(r>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且AOB120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則r_.解析：如圖，過(guò)點(diǎn)O作O

34、DAB于點(diǎn)D，則|OD|1.AOB120°，OAOB，OBD30°，|OB|2|OD|2，即r2.答案：26已知圓C：(x1)2(y2)22，點(diǎn)P(2，1)，過(guò)P點(diǎn)作圓C的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，求：(1)PA、PB所在的直線方程；(2)切線長(zhǎng)|PA|.解：(1)設(shè)切線的斜率為k，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P(2，1)，所以切線的方程為y1k(x2)，即kxy2k10.又圓心C(1,2)，半徑r，由點(diǎn)到直線的距離公式，得.解得k7或k1.故所求切線PA，PB的方程分別是xy10和7xy150.(2)如圖，連接AC，PC，則ACAP.在RtAPC中，|AC|，|PC|，所以|PA|2

35、.一、選擇題1若直線axby1與圓x2y21相交，則點(diǎn)P(a，b)與圓的位置關(guān)系是()A在圓上B在圓外C在圓內(nèi) D以上都有可能解析：選B由于直線axby1與圓x2y21相交，則1，即a2b21，從而可知點(diǎn)P(a，b)在圓x2y21的外部2若直線xy2被圓(xa)2y24所截得的弦長(zhǎng)為2，則實(shí)數(shù)a的值為()A1或 B1或3C2或6 D0或4解析：選D圓心C(a,0)到直線xy2的距離d，由題意得d2()222，解得d.所以，解得a0或a4.3(重慶高考)對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線ykx1與圓x2y22的位置關(guān)系一定是()A相離 B相切C相交但直線不過(guò)圓心 D相交且直線過(guò)圓心解析：選C易知直線過(guò)定點(diǎn)(0

36、,1)，且點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi)，但是直線不過(guò)圓心(0,0)4(廣東高考)垂直于直線yx1且與圓x2y21相切于第一象限的直線方程是()Axy0 Bxy10Cxy10 Dxy0解析：選A因?yàn)樗笾本€l(設(shè)斜率為k)垂直于直線yx1，所以k·11，所以k1，設(shè)直線l的方程為yxb(b0)，即xyb0，所以圓心到直線的距離為1，所以b.5已知圓的方程為x2y26x8y0.設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A10 B20C30 D40解析：選B圓心坐標(biāo)是(3,4)，半徑是5，圓心到點(diǎn)(3,5)的距離為1，根據(jù)題意，最短弦BD和最長(zhǎng)弦(即圓的直徑)

37、AC垂直，故最短弦的長(zhǎng)為24，所以四邊形ABCD的面積為×|AC|×|BD|×10×420.二、填空題6已知圓C的圓心是直線xy10與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線xy30相切，則圓C的方程為_解析：由題意得圓心為C(1,0)由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心C到直線xy30的距離d，即圓半徑r.圓的方程為(x1)2y22.答案：(x1)2y227已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：yx1被該圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：圓心到直線xy10的距離為d.因?yàn)閳A截直線所得的弦長(zhǎng)為2，所以22(a1)2，即(a1)24，所以a3或a1(舍

38、去)所以圓心為(3,0)，半徑r2(a1)24，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y24.答案：(x3)2y248經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，3)作圓(x1)2y225的弦AB，使點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)，則弦AB所在直線方程為_解析：設(shè)圓心為C(1,0)，由題意知：ABCP，而kCP1，從而kAB1，弦AB所在的直線方程為y3x2，即xy50.答案：xy50三、解答題9自點(diǎn)P(6,7)發(fā)出的光線l射到x軸上點(diǎn)A處，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2y28x6y210相切于點(diǎn)Q.求光線l所在直線的方程解：如圖，作圓x2y28x6y210關(guān)于x軸的對(duì)稱圓x2y28x6y210，由幾何光學(xué)原理知，直線l與圓x2y28x6

39、y210相切，又l的斜率必存在，故可設(shè)直線l：y7k(x6)，即kxy6k70.由d2，得k或k，故光線l所在直線的方程為3x4y100或4x3y30.10已知圓C：(x3)2(y4)24和直線l：kxy4k30.(1)求證：不論k取何值，直線和圓總相交；(2)求k取何值時(shí)，圓被直線截得的弦最短，并求最短弦的長(zhǎng)解：由題可知圓心為C(3,4)，半徑為r2.(1)證明：直線方程可化為k(x4)(3y)0，直線過(guò)定點(diǎn)P(4,3)(43)2(34)24.點(diǎn)P在圓C內(nèi)部直線kxy4k30與圓C總相交(2)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(4,3)，當(dāng)PC與直線垂直時(shí)，圓被直線截得的弦最短設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為A，B，則由勾股

40、定理得(|AB|)2r2|CP|2422.AB2.PC與直線kxy4k30垂直，直線PC的斜率為kPC1，直線kxy4k30的斜率為k1.當(dāng)k1時(shí)，圓被直線截得的弦最短，最短弦長(zhǎng)為2.第4課時(shí)圓與圓的位置關(guān)系核心必知1圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種情況2圓與圓位置關(guān)系的判定已知兩圓C1：(xx1)2(yy1)2r，C2：(xx2)2(yy2)2r，圓心距為d.兩圓C1，C2的位置關(guān)系如下：位置關(guān)系滿足條件圖示兩圓相離d>r1r2兩圓外切dr1r2兩圓相交|r1r2|<d<|r1r2|兩圓內(nèi)切d|r1r2|兩圓內(nèi)含d<|r1r2|問(wèn)題思

41、考1當(dāng)兩圓的方程組成的方程組無(wú)解時(shí)，兩圓是否一定相離？只有一組解時(shí)，一定外切嗎？提示：不一定當(dāng)兩圓組成的方程組無(wú)解時(shí)，兩圓無(wú)公共點(diǎn)，兩圓可能相離也可能內(nèi)含；只有一組解時(shí)，兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩圓相切，可能外切，也可能內(nèi)切2圓A：x2y28x70和圓B：x2y28x70的位置關(guān)系如何？提示：外離圓A，圓心(4,0)，半徑3.圓B，圓心(4,0)，半徑3，圓心距大于兩半徑和3在外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含的位置關(guān)系下，兩圓的公切線條數(shù)分別為多少條？提示：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含公切線條數(shù)4條3條2條1條0條講一講1已知圓C1：x2y22ax2ya2150，C2：x2y24ax2y4a20(a0

42、)試求a為何值時(shí)兩圓C1、C2(1)相切；(2)相交；(3)相離嘗試解答對(duì)圓C1、C2的方程，經(jīng)配方后可得：C1：(xa)2(y1)216，C2：(x2a)2(y1)21，圓心C1(a,1)，r14，C2(2a,1)，r21，|C1C2|a.(1)當(dāng)|C1C2|r1r25，即a5時(shí)，兩圓外切，當(dāng)|C1C2|r1r23，即a3時(shí)，兩圓內(nèi)切(2)當(dāng)3|C1C2|5，即3a5時(shí)，兩圓相交(3)當(dāng)|C1C2|5，即a5時(shí)，兩圓外離當(dāng)|C1C2|3，即a3時(shí)，兩圓內(nèi)含判斷兩圓位置關(guān)系的方法有兩種，一是代數(shù)法，看方程組的解的個(gè)數(shù)，但往往較繁瑣；二是幾何法，看兩圓圓心距d，若dr1r2，兩圓外切，d|r1r

43、2|時(shí)，兩圓內(nèi)切，dr1r2時(shí)，兩圓外離，d|r1r2|時(shí)，兩圓內(nèi)含，|r1r2|dr1r2時(shí)，兩圓相交練一練1判斷下列兩圓的位置關(guān)系，若相交，請(qǐng)求出公共弦長(zhǎng)x2y26x70和x2y26y270.解：將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x3)2y216，x2(y3)236.故兩圓的半徑分別為r14和r26，兩圓的圓心距d3.顯然，2310，即|r1r2|dr1r2，所以兩圓相交，得3x3y100. 方程表示公共弦所在直線的方程因?yàn)槭绞枪蚕宜谥本€的方程，所以第一個(gè)圓的圓心(3,0)到直線的距離為d.又半徑r14，所以弦長(zhǎng)為2.講一講2已知兩圓x2y22x10y240和x2y22x2y80.(1)

44、試判斷兩圓的位置關(guān)系；(2)求公共弦所在的直線方程；(3)求公共弦的長(zhǎng)度嘗試解答(1)將兩圓方程配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210.則圓C1的圓心為(1，5)，半徑r15；圓C2的圓心為(1，1)，半徑r2.又|C1C2|2，r1r25.r1r25.r1r2|C1C2|r1r2，兩圓相交(2)將兩圓方程相減，得公共弦所在直線方程為x2y40.(3)法一：兩方程聯(lián)立，得方程組兩式相減得x2y4. 把代入得y22y0，y10，y22.或所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)和(0,2)兩圓的公共弦長(zhǎng)為2.法二：兩方程聯(lián)立，得方程組兩式相減得x2y40，即為兩圓相交弦

45、所在直線的方程由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圓心為C1(1，5)，半徑r15.圓心C1到直線x2y40的距離d3，設(shè)公共弦長(zhǎng)為2l，由勾股定理r2d2l2，得5045l2，解得l，所以公共弦長(zhǎng)2l2.求兩圓的公共弦長(zhǎng)及公共弦所在直線方程一般不用求交點(diǎn)的方法，常用如下方法：注意：當(dāng)兩圓相切時(shí)，公共弦所在直線即為兩圓的公切線練一練2已知圓C1：x2y210x10y0和圓C2：x2y26x2y400相交，圓C過(guò)原點(diǎn)，半徑為，圓心在已知兩圓圓心連線的垂直平分線上，求圓C的方程解：設(shè)圓C1與圓C2交于A，B兩點(diǎn)，由兩圓的方程相減，得x3y100，此方程即為公共弦AB所在的直線方程由已知，圓C的圓心C在兩圓圓心連線的垂直平分線上，即在直線AB上，設(shè)C(a，b)，則a3b100，又由|CO|，得a2b210，聯(lián)立，解得a1，b3.所以，圓C的方程為(x1)2(y3)210.3求以圓C1：x2y212x2y130和圓C2：x2y212x16y250的公共弦為直徑的圓的方程解：聯(lián)立兩圓方程相減得公共弦