倍數(shù)與因數(shù)奧數(shù)測(cè)試題匯編

1、一、教學(xué)方針：（1）認(rèn)識(shí)自然數(shù)、整數(shù)、倍數(shù)、因數(shù)；（2） 認(rèn)識(shí)奇數(shù)和雙數(shù)，掌握2，3，5的倍數(shù)的特征。（3） 在1-100中，能找出10以內(nèi)某個(gè)自然數(shù)的所有倍數(shù)；能找出10以內(nèi)兩個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。（4） 在1-100中，能找出某個(gè)自然數(shù)的所有因數(shù)；能找出兩個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)。（5）利用公倍數(shù)和公因數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題。二、根蒂根基知識(shí)講解： 自然數(shù)a除以自然數(shù)b（0除外），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。要是a能被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的因數(shù)。 能被2，3，5整除的數(shù)的特征：2的倍數(shù)特征：個(gè)位是0，2，4，6，8的數(shù)

2、5的倍數(shù)特征：個(gè)位是0，5的數(shù)3 或9的倍數(shù)特征：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼之和能被3或9整除。4 或25的倍數(shù)特征：末兩位數(shù)能被4或25整除。8或125的倍數(shù)特征：末三位數(shù)能被8或125整除。11的倍數(shù)的特征：奇數(shù)位的數(shù)碼之和與雙數(shù)位上的數(shù)碼之和的差是11的倍數(shù)。 奇數(shù)與雙數(shù)：能被2整除的數(shù)叫雙數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫奇數(shù)。質(zhì)數(shù)與合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身以外，沒有其它的因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）。一個(gè)數(shù)除了1和它本身外，另有另外因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。把一個(gè)合數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，叫做分解質(zhì)因數(shù)。 最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)：一般情況用短除法求。特殊情況：倍數(shù)瓜葛：（m，n）

3、=mm，n=n（n是m的倍數(shù)）互質(zhì)瓜葛：（m，n）=1m，n=mn3、經(jīng)典例題：例1：下列哪些式子是整除式？（1）8.8+1.1=8（2）130+10=13（3）29+7=41（4）14+5=2.4分析與解：根據(jù)整除的定義，被除數(shù)和除數(shù)必需是整數(shù)，商是整數(shù)而沒有余數(shù)才叫整除，因此只有（2）式才是整除式。例2：寫出24的因數(shù)和倍數(shù)。分析與解：因?yàn)?X24=242X12=243乂8=244X6=24所以24的因數(shù)有：1，2，3，4，6，8，12，24因?yàn)?4X1=24,24X2=48,24X3=72,24X4=96所以24的倍數(shù)有24,48,72,96例3：一個(gè)數(shù)萬位上是最小的合數(shù)，百位上是最大的

4、一位數(shù)，個(gè)位上是最小的質(zhì)數(shù)，百分位上的數(shù)既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，其余數(shù)位的數(shù)碼是零，這個(gè)數(shù)是多少？分析與解：最小的合數(shù)是4，最大的一位數(shù)是9，最小的質(zhì)數(shù)是2，既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)的數(shù)是1。所以這個(gè)數(shù)是40902.01。例4：1路汽車每隔3分鐘發(fā)一次車，3路汽車每隔5分鐘發(fā)一次車。這兩路車同時(shí)發(fā)車后，至少再過多少分鐘后又同時(shí)發(fā)車？分析與解：1路汽車每隔3分鐘發(fā)一次車，就是指發(fā)車時(shí)間是3的倍數(shù)，3路汽車每隔5分鐘發(fā)一次車，就是指發(fā)車時(shí)間是5的倍數(shù)。至少再過多少分鐘又同時(shí)發(fā)車一次，只要求是3和5的最小公倍數(shù)便可。3，5=15。答：至少再過15分鐘后又同時(shí)發(fā)車。例5：小明想把一張長36厘米，寬24厘米的

5、白紙折出一些盡可能大的正方，最后沒有多余，請(qǐng)問這些正方的邊長是多少？一共可以折出多少個(gè)正方？分析與解：要想使最后沒有多余，那么正方的邊長必需是36的因數(shù)，也必需是24的因數(shù)，這些因數(shù)里最大的一個(gè)就是正方的邊長。（36，24）=1236+12=324+12=23X2=6答：這些正方的邊長是12厘米，一共可以折出六個(gè)正方。例6：為慶六一，六年級(jí)同學(xué)買來336枝紅花，252枝黃花，210枝粉花，用這些花可以扎成每束最多多少束同樣的花？在每束花中，紅、黃、粉三種花共有幾枝？分析與解：要使每一束花的花束最多，并且沒有剩余，就是求每束花的最大公因數(shù)。（336，252，210）=42336F2=8252F2

6、=6210F2=58+6+5=19（支）答：這些花可以扎成每束最多42束同樣的花，在每束花中，紅、黃、粉三種花共有19支。4、數(shù)學(xué)思惟方法總結(jié)：在實(shí)際應(yīng)用時(shí),怎樣區(qū)分是求最大公因數(shù)還是求最小公倍數(shù),成為很多學(xué)生的難題.其實(shí),可以把問題模型化,畫一些簡單的示意圖就可解決.例如把一個(gè)長方形裁成若干個(gè)邊長最大的正方,動(dòng)手一畫,就發(fā)現(xiàn)是要求長與寬的最大公因數(shù).把若干個(gè)長方形拼成一個(gè)邊長最小的正方,動(dòng)手一畫,就發(fā)現(xiàn)是要求長與寬的最小公倍數(shù).5、設(shè)計(jì)構(gòu)想：<倍數(shù)與因數(shù)>的知識(shí)點(diǎn)相當(dāng)多,概念特別容易混合,建議同學(xué)們把這部分知識(shí)收拾整頓成知識(shí)樹,理清它們的區(qū)分與聯(lián)系。本單元的題型也很多，通過各類各

7、樣的題型練習(xí)，同學(xué)們可以學(xué)會(huì)怎樣審題，找到具體問題與實(shí)際知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。六、鞏固練習(xí)：一、寫一個(gè)能同時(shí)被4和25整除的最小五位數(shù)。分析與提示：4和25是互質(zhì)數(shù)，同時(shí)能被4和25整除的數(shù)一定是100的倍數(shù)，這個(gè)最小五位數(shù)是10000。二、在機(jī)床上有甲、乙兩個(gè)齒輪相互咬合，甲齒輪有28個(gè)齒，乙齒輪有42個(gè)齒，當(dāng)這兩個(gè)齒輪第二次咬應(yīng)時(shí)，乙齒輪轉(zhuǎn)了幾圈？分析與提示：28，42=8484F2=2答：乙齒輪轉(zhuǎn)了2圈。3、（1）A和B都是自然數(shù)，若A+B=10,那么A與B的最大公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。（2）若A=3X2X5X7B=3X5X2X11,則A和B的最大公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。分析

8、與提示：（1）A和B是倍數(shù)瓜葛時(shí)，且A大于B,A與B的最大公因數(shù)是B,最小公倍數(shù)是A。（2）A和B的最大公因數(shù)是3X2X5=30,最小公倍數(shù)是3X2X5X7X11=2310。4、有兩個(gè)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是225，其中一個(gè)數(shù)是45，另一個(gè)數(shù)是多少？分析與提示：兩個(gè)數(shù)的積等于這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)乘以這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。所以另一個(gè)數(shù)是15X225+45=75。5、有兩個(gè)數(shù)，其中的一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的，已經(jīng)知它們的最小公倍數(shù)是54，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是多少？分析與提示：將“其中的一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的”這句話進(jìn)行轉(zhuǎn)化得：“另一個(gè)數(shù)是這個(gè)數(shù)的3倍”，可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)瓜葛時(shí)，它

9、們的最小公倍數(shù)就是較大的那個(gè)數(shù)，所以這兩個(gè)數(shù)分別是54和18，它們的最大公因數(shù)是18。六、長和寬為自然數(shù)，平面或物體表面的大為105的形狀不同的長方形共有多少種？分析與提示：因?yàn)?05=1X105=3X35=5X21=7X15可把每一組數(shù)據(jù)當(dāng)做長方形的長和寬，故有5種。7、一個(gè)長方形的平面或物體表面的大是240平方厘米，長和寬是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，這個(gè)長方形的周長是多少厘米？分析與提示：240=15X16,所以這個(gè)長方形的周長是（15+16）X2=62厘米。8、把14、33、六、55、35、49這六個(gè)數(shù)均等分成兩組，使這兩組數(shù)各自的積相稱。分析與提示：先把這六個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：14=2X733=3

10、X116=2X355=5X1135=5X749=7X7在這六個(gè)因式中，共有2個(gè)2，2個(gè)3，2個(gè)5，2個(gè)11，4個(gè)7。所以這兩組只能是49，6，55和14，35，33。二、數(shù)學(xué)能力的拓展與提高。一、數(shù)學(xué)思維方法的講解。（1）在求公倍數(shù)時(shí)，每3天去一次與每隔3天去一次并紛歧樣，要注意區(qū)分。（2）求一個(gè)數(shù)的因數(shù)有多少個(gè)，有一個(gè)公式，請(qǐng)同學(xué)們掌握，同時(shí)可以用來檢驗(yàn)找因數(shù)時(shí)是否有遺漏的情況。二、數(shù)學(xué)思維方法的應(yīng)用。例1:若A=32X54X75,那么A有多少個(gè)因數(shù)？分析與解：A的因數(shù)含有因數(shù)3的有3種情況，含有因數(shù)5的有5種情況，含有因數(shù)的有6種情況，搭配起來，共有3X5X6=90種情況。答：A有90個(gè)因

11、數(shù)。由上題我們可發(fā)現(xiàn)求因數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算方法：若A分解因式的結(jié)果是：A=amxbnxxcp那么A的因數(shù)有（m+1）x（n+1）xx（p+1）個(gè)。例2：有0，1，5，7，6五張卡片，從中選出四張組成一個(gè)四位數(shù)，使得這個(gè)數(shù)能被2整除，又能被3整除，這個(gè)數(shù)最大是多少？分析與解：先選擇較大的數(shù)。若選擇7，6，5，1四個(gè)數(shù)，不管組成的數(shù)是多少，都不能被3整除，故選擇7，6，5，0四個(gè)數(shù)碼，這個(gè)數(shù)最大是7650，它既能被2整除，又能被3整除。例3：六年級(jí)72名學(xué)生共捐款（）85.9（）元，若每人捐款的數(shù)量兩樣多，請(qǐng)你猜測(cè)每人捐了多少錢？分析與解：因?yàn)?2=8X9,8和9互質(zhì)，所以（）859（）這個(gè)數(shù)一定是8和

12、9的倍數(shù)。若是8的倍數(shù)，那么59（）一定是一定是8的倍數(shù)，只有592是8的倍數(shù)。若是9的倍數(shù)，8+5+9+2=24，只有24+3=27，所以這個(gè)數(shù)只能是38592。385.9272=5.36（元）答:可猜測(cè)出每人捐人5.36元。例4：某班學(xué)生人數(shù)在40與50之間。要是分成6人一組，那么有一個(gè)小組少4人；要是分成8個(gè)人一組，那么有4個(gè)小組各多一人。求這個(gè)班的人數(shù)。分析與解：先假設(shè)這個(gè)班的人恰好可分成6人一組，也恰好可分成8人一組，那么這個(gè)班的人數(shù)就是8和6的公倍數(shù)，在40-50之間的數(shù)滿足這個(gè)條件的只有48，嘗試一下：48-4=4444+8=54滿足條件。答：這個(gè)班的人數(shù)是44人。例5：從學(xué)校到

13、少年宮的路上，一共有37根電線桿，原來每2根電線桿之間相距50米，現(xiàn)在要改成每2根之間相距60米，除兩端的2根不需移動(dòng)外，中間另有多少根不必移動(dòng)？分析與解：先求出學(xué)校到少年宮的旅程：（37-1）X50=1800（米）50，60=300所以第300米、600米、900米、1200米、1500米處的電線桿不必移動(dòng)。答：中間有5根不需要移動(dòng)。3、鞏固練習(xí)：一、一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，分子、分母的和是50，要是把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母都減去5，所得分?jǐn)?shù)的值是，原來的分?jǐn)?shù)是（）。A、B、C、D、分析與提示：原來分?jǐn)?shù)的分子與分母的和是50，把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母都減去5后，現(xiàn)在分子與分母的和是40,分?jǐn)?shù)的值是，現(xiàn)在分

14、數(shù)的分子是40+5X2=16,分母是24,原來的分?jǐn)?shù)是，故選擇B。二、警察查找一輛肇事汽車商標(biāo)（四位數(shù)），一位目擊者對(duì)數(shù)碼很敏感。他提供說：“第一位數(shù)碼最小，最后兩位數(shù)是最大的兩位雙數(shù)，前兩位數(shù)碼的乘積的4倍剛好比后兩位數(shù)少2?！澳隳軒途焓迨宀鲁鲞@個(gè)車商標(biāo)嗎？分析與提示：最大的兩位雙數(shù)是98,倒推法得到前兩位數(shù)是（98-2）+4=24。所以這個(gè)車商標(biāo)碼是2498。3、一個(gè)能被2和3同時(shí)整除的四位數(shù)，它的千位上的數(shù)既然奇數(shù)又是合數(shù)，它的百位上的數(shù)不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，它的十位上的數(shù)是最小的質(zhì)數(shù)，個(gè)位上的數(shù)是多少？分析與提示：千位上的數(shù)是9，百位上的數(shù)是1，十位上數(shù)是2，同時(shí)又因?yàn)檫@個(gè)四位數(shù)能同時(shí)

15、能被2和3整除，所以個(gè)位上的數(shù)可能是0或6。4、一筐蘋果不超過250個(gè)，3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)，5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)，7個(gè)7個(gè)地?cái)?shù)恰好數(shù)完。這筐蘋果最多有多少個(gè)？分析與提示：這筐蘋果絕對(duì)是3的倍數(shù)，5的倍數(shù)，7的倍數(shù)。3，5，7=105，在250以內(nèi)，這堆蘋果最多有210個(gè)。5、商店里有6箱貨物，分別重16，17，18，19，20，31千克，兩個(gè)顧客買走了其中的5箱。已經(jīng)知一個(gè)顧客買的貨物的質(zhì)量是另一個(gè)顧客的2倍。問：商店里剩下的1箱貨物重多少千克？分析與提示：這6箱貨物共重16+17+18+19+20+31=121千克，因?yàn)橐粋€(gè)顧客的貨物是另一個(gè)顧客的2倍，這兩個(gè)顧客買走了其中的5箱貨物總重一定是3的倍數(shù)，只

16、有121-16=105，121-19=102，121-31=90滿足條件。105-H3=3535=17+18滿足要求；102-H3=3434=16+18滿足要求；90K=30不滿足要求；答：商店里剩下的1箱貨物重16千克或19千克。六、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的環(huán)形跑道從同一點(diǎn)兒同時(shí)同向跑步，經(jīng)過多少時(shí)間三人又同時(shí)從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)？分析與提示：甲跑一圈需要時(shí)間：600+3=200（秒）乙跑一圈需要時(shí)間：600+4=150（秒）丙跑一圈需要時(shí)間：600+2=300（秒）200，150，300=600答：經(jīng)過600秒三人又同時(shí)從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)。7、500位同學(xué)站成一排，從左

17、到右數(shù)“1，2，3”報(bào)數(shù)，凡報(bào)到1和2的離隊(duì)，報(bào)3的留下，向左看齊再重復(fù)同樣的報(bào)數(shù)過程，如此進(jìn)行了若干次后，只有兩位同學(xué)了，這兩位同學(xué)在開始的隊(duì)伍中位于從左到右的第幾個(gè)？分析與提示：首屆報(bào)數(shù)留下的人是3,6,9,12,恰好是3的倍數(shù)。第二次報(bào)數(shù)留下的人是9,18,27,恰好是9的倍數(shù)。第三次報(bào)數(shù)留下的人是27,54,81,恰好是27的倍數(shù)。第四次報(bào)數(shù)留下的人是81,162,243,恰好是81的倍數(shù)。第五次報(bào)數(shù)留下的人是243，486號(hào)同學(xué)。答：這兩位同學(xué)在開始的隊(duì)伍中位于從左到右的第243號(hào)和第486號(hào)。三、數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練。一、經(jīng)典例題：例1:在六位數(shù)568口地方框中填入三個(gè)數(shù)碼，使這個(gè)六位數(shù)能

18、被3,4,5整除。求滿足條件的最小的六位數(shù)。分析與解：設(shè)六位數(shù)為568ABC,因?yàn)榱粩?shù)分別是3,4,5的倍數(shù)，所以：（1）5+6+8+A+B+C=19+A+B+C是3的倍數(shù)，即A+B+C被3除余2。（2）BC是4的倍數(shù)。（3）C=0或5。由此可知，C=0，且B是0，2，4，6，8之一。由于要求最小的六位數(shù)，所以A從最小數(shù)開始實(shí)驗(yàn)，有A=0、B=2時(shí)滿足條件。所以所求的六位數(shù)為568020。例2：已經(jīng)知七位數(shù)92AB427能被99整除，求這個(gè)七位數(shù)。分析與解：因?yàn)?9=9X11，且9和11互質(zhì)，所以所求的七位數(shù)要能被9和11整除。有:（1）9+2+4+2+7+A+B=24+A+B是9的倍數(shù)，得

19、：A+B=3或A+B=12（2）9+4+7+A-（2+2+B）=16+A-B是11的倍數(shù)，得：A-B=6或B-A=5，對(duì)比條件可知，只有當(dāng)A+B=12，A-B=6時(shí)，A、B有解：A=9，B=3因此所要求的數(shù)是：9293427例3：把一張長1米3分米5厘米、寬1米5厘米的紙裁成同樣巨細(xì)的正方紙塊，而沒有剩余，問能裁成最大的正方紙塊的邊長是多少？共可裁成幾塊？分析與解：要把長方形的紙裁成同樣巨細(xì)的正方紙塊，還不能剩余，這個(gè)正方紙塊的邊長應(yīng)該是長方形的長和寬的條約數(shù)。由于題目要求是最大的正方紙塊，所以正方紙塊的邊長是長方形的長和寬的最大條約數(shù)。1米3分米5厘米=135厘米1 米5厘米=105厘米（1

20、35，105）=15長方形的平面或物體表面的大是：135X105=14175（平方厘米）正方的平面或物體表面的大是：15X15=225（平方厘米）共可裁成正方紙塊：14175+225=63（張）例4：一盒鉛筆，可以均等分給2，3，4，5，六個(gè)小伴侶，這盒鉛筆最少有多少支？分析與解：這些鉛筆可以均等分給2，3，4，5，六個(gè)小伴侶，因此，鉛筆的支數(shù)一定是2，3，4，5，6的公倍數(shù)，求鉛筆最少有多少支，就是求2，3，4，5，6的最小公倍數(shù)。2，3，4，5，6=60例5：兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是50，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多少？分析與解：把50表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，共有四種形式：50=47+3=43+7=3

21、7+13=31+19經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)：31X19=587最大。例6：試寫出十個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，個(gè)個(gè)都是合數(shù)。分析與解：我們要想找出十個(gè)連續(xù)的自然數(shù)而且每一個(gè)數(shù)都是合數(shù)，顯然1，2，3，4，5，6，7，8，9，10是不行的，因?yàn)檫@十個(gè)自然數(shù)不是個(gè)個(gè)都是合數(shù)。我們?cè)O(shè)K=1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11那么K+2,K+3,K+4K+11為連續(xù)的10個(gè)數(shù)。K是2的倍數(shù)，所以K+2能被2整除；K是3的倍數(shù)，所以K+3能被3整除；K是4的倍數(shù)，所以K+4能被4整除；K是11的倍數(shù)，所以K+11能被11整除。所以K+2,K+3,K+4K+11為連續(xù)的10個(gè)合數(shù)。二、數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練題：一、爺爺對(duì)小明說：“

22、我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過幾年是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！睜敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡各是多少？分析與提示：此題先可以這樣想：設(shè)小明今年X歲，爺爺今年就是7X歲。再過A年，可列方程：6（X+A）=7X+A解得X=5A再過B年，可列方程：5（X+B）=7X+B解得X=2B所以X既然5的倍數(shù)，又是2的倍數(shù)，所以X是10的倍數(shù)?？蓮?0嘗實(shí)驗(yàn)證。恰好得到爺爺今年70歲，小明今年10歲。二、甲、乙兩人在400米的環(huán)形跑道上晨練，甲跑一圈需要70秒，乙跑一圈需要75秒，兩人約好同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，到兩人同時(shí)回到終點(diǎn)時(shí)結(jié)束晨練，那么這次晨練他們用了幾分鐘？分析與提示：70，75=1050。10

23、50-60=17.5（分）答:這次晨練他們用了17.5分鐘。3、有一根繩子，分別在它的10等分處、12等分處和15等分處剪斷，那么這根繩子最后被剪成幾段？分析與提示：假設(shè)這段繩子長60米。60+10=6（米）60+12=5（米）60+15=4（米）10等分和12等分重疊的地方在30米處；10等分和15等分重疊的地方在12米、24米、36米、48米處；12等分和15等分重疊的地方在20米、40米處。9+11+14-7=2727+1=28（段）答：這根繩子最后被剪成28段。4、大雪后的一天，小亮和爸爸共同步測(cè)一個(gè)圓形花園的周長，他倆走的起點(diǎn)和標(biāo)的目的完全相同，小亮每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，由于兩人的腳印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下60個(gè)腳印，求花園的周長。分析與提示：54,72=216216-54=4（步）216H2=3（步）4+3-1=6（步）60毋X216=2160（米）答:花園的周長是2160米。5、有一根長方體木料，它相鄰兩個(gè)面的平面或物體表面的大是108平方分米和32平方分米，長、寬、高都是整分米數(shù)且長度均不為1分米，要是把它鋸成若干個(gè)小正方體并能拼成一個(gè)大正方體，那么這個(gè)長